MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Ângulos e
polígonos
Segmento de reta
O curso de geometria plana começa com três
conceitos primitivos (conceitos sem definição): ponto,
reta e plano, que nos leva a uma melhor compreensão no estudo dos ângulos e têm grande utilidade
no dia-a-dia.
Ponto, reta e plano
PONTO
RETA
S
PLANO
A
Se tomarmos dois pontos distintos A e B de uma
reta r, o pedaço da reta que vai de um ponto ao outro
é chamado de segmento de reta AB.
B
A
Ângulos
Se traçarmos duas semirretas de mesma origem,
as regiões formadas no plano que as contém serão
chamadas de ângulos.
(α)
0
Tipos de ângulos
Numa reta há infinitos pontos. Num plano,
há ­infinitas retas e, consequentemente, infinitos
pontos.
Agudo
É todo ângulo α, tal que 0° < α < 90°.
0
α
Semirreta
Se tomarmos um ponto O de uma reta r, formaremos duas semirretas, com origem no ponto O.
r
É todo ângulo α, tal que α = 90°.
Símbolo
EM_V_MAT_026
O
Reto
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1
Adjacentes
Possuem o mesmo vértice e um lado comum
entre eles.
Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o
ângulo só será considerado reto se tiver o símbolo
ou vier escrito.
A
O
AÔB e BÔC
B
C
Obtuso
É todo ângulo α, tal que 90°< α < 180°.
Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem
todo ângulo consecutivo é adjacente.
α
0
Raso
É todo ângulo α, tal que α = 180°.
α
Complementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 90°.
α + β = 90°
A
0
B
α
Reentrantes
β
É todo ângulo α, tal que 180° < α < 360°.
C
0
α
α é o complemento de β
ou
β é o complemento de α
0
Suplementares
Comparação de dois ou mais
ângulos
São dois ângulos cuja soma é igual a 180°.
α + β = 180°
β
α
0
Consecutivos
Possuem o mesmo vértice e um lado em comum.
A
α é o suplemento de β
ou
β é o suplemento de α
O
2
B
C
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EM_V_MAT_026
AÔB e AÔC
Alternos
Replementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 360°.
B
Internos: c – e; d – f
Externos: a – g; b – h
α + β = 360°
α
A
0
β
Todos os ângulos alternos são congruentes.
α é o replemento de β
ou
β é o replemento de α
Colaterais
Internos: c – f; d – e
Externos: a – h; b – g
Opostos pelo vértice
São dois ângulos de mesma medida, tais que os
lados de um são as respectivas semirretas opostas
aos lados do outro.
β
α
α=β
Todos os ângulos colaterais são suplementares.
Bissetriz de um ângulo
Correspondentes
É a semirreta de origem no vértice que divide o
ângulo em duas partes com a mesma medida.
São os ângulos que se superpõem quando
deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, são
congruentes.
a – e; b – f; d – h; c – g
A
O
OR é bissetriz de AÔB
R
α
α
B
Retas paralelas cortadas
por uma transversal
t
r
u
θ
α
t
a
b
EM_V_MAT_026
d
f
g
s
r
c
e
h
β
(r//s)
s
α
θ
α + β + θ = 180º. A soma dos ângulos externos
de qualquer triângulo vale 180º.
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3
Polígonos
Equiângulo
As figuras poligonais geralmente são usadas
para delimitar uma região em destaque, assim podendo calcular a área de seu interior de acordo com seus
ângulos internos. Muito utilizado na idade média
quando as igrejas eram construídas com mosaicos
e vitrais em suas decorações interiores, atualmente
vemos duas dessas formas poligonais (pentágono e
hexágono) nos gomos da bola de futebol.
O polígono é a união de n segmentos de retas
consecutivas (n > 3).
V2
V1
É todo polígono que tem ângulos congruentes.
A
B
A
B
D
C
D
C
Retângulo
Regular
É todo polígono equilátero e equiângulo.
V4
Vn
A
B
A
V3
Quadrado
A
E
V5
D
V1∪V2∪V2V3∪V3V4∪...∪Vn∪V1
C
Quadrado
Classificação
B
D
B
C
F
C
Pentágono
regular
E
D
Hexágono
regular
Gênero
Convexo
É o polígono no qual quaisquer pontos interiores
unidos formam um segmento de reta completamente
contido no polígono.
A
É todo número de lados (ou vértices) de um
polígono.
•• 3 lados – triângulo
•• 4 lados – quadrado
•• 5 lados – pentágono
B
•• 6 lados – hexágono
E
C
D
•• 7 lados – heptágono
•• 8 lados – octógono
Côncavo
•• 9 lados – eneágono
É o polígono no qual existem pontos interiores
que, unidos, formam um segmento de reta que não
está completamente contido no polígono.
A
B
C
•• 11 lados – undecágono
•• 12 lados – dodecágono
•• 20 lados – icoságono
E
F
•• 10 lados – decágono
•• Para os demais dizemos polígonos de n lados.
D
Número de diagonais
Equilátero
A
B
4
D
C
Losango
A
B
D
C
Quadrado
Diagonal
É o segmento de reta que une dois vértices não
adjacentes.
(n lados)
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EM_V_MAT_026
É todo polígono que tem lados congruentes.
Diagonais de cada vértice
Como podemos observar, de cada vértice sai
(n – 3) diagonais, pois não pode sair diagonal para os
vértices adjacentes e nem para o próprio vértice.
Ângulos internos (ai) e
ângulos externos (ae)
Em cada vértice temos um ângulo interno e um
ângulo externo adjacente.
A1
ae1
ai1
A2
ai2
An
Logo, se o polígono tem n lados ele terá n vértices, o que nos leva a pensar errado que o número
de diagonais é igual a n (n – 3).
Total de diagonais
Como podemos observar, cada diagonal é contada duas vezes, então a relação correta do número
de diagonais é:
n(n − 3)
2
ae2
A3
A4
Soma dos ângulos internos
(Sai)
V1
V2
V3
V4
Vn
V5
ai ≠ ae = 180º
n lados
Como podemos observar, temos n lados nos
dando n triângulos, assim concluímos que a soma
dos ângulos internos será:
Sai = 180° (n – 2)
Pentágono
nd =
n(n − 3)
2
nd =
5(5 − 3)
=5
2
EM_V_MAT_026
Somente em polígonos regulares de gênero par
podemos afirmar que o número de diagonais que
passam pelo centro é igual à metade do número
de lados n .
2
Soma dos ângulos externos
(Sae)
Consideremos, como exemplo, o polígono da
figura a seguir:
Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do
polígono. Os ângulos formados em torno do ponto
p são congruentes, respectivamente, aos ângulos
externos do polígono.
Logo, é fácil concluir que:
ae1 + ae2 + ae3 +ae4 +ae5 = 360°
ae3
ae2
ae2
ae3
ae1
ae4 a a
e4
e5
ae1
ae5
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5
A soma dos ângulos externos de um polígono
convexo é dada por:
Sae = 360°
Para todo polígono regular podemos afirmar
que:
soma dos ângulos internos
Ângulo interno = o número de ângulos internos
ai =
180°(n − 2)
n
``
Propriedades
Os lados e os ângulos opostos são congruentes, as
diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ângulos
consecutivos são suplementares.
O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas
propriedades, formando, assim, retângulos, losangos e
quadrados.
Retângulo
soma dos ângulos externos
Ângulo externo = o número de ângulos externos
360°
ae =
n
É todo paralelogramo que possui os quatro
ângulos congruentes.
A
•
O
Quadriláteros
x
w D
B
y
``
Propriedades
As diagonais são congruentes e cortam-se ao meio.
Losango
^
D
^
A
^
B
C
D
É a figura plana determinada por quatro segmentos de reta consecutivos (polígono de quatro
lados).
A
B
É todo paralelogramo que possui os quatro lados
congruentes.
^
C
C
A
z
^
A, ^
B, ^
C e^
D são ângulos internos.
x, y, z, w são ângulos externos.
^
A +^
B +^
C +^
D = 360°
D
O
•
B
C
x + y + z + w = 360°
AC e BD são diagonais.
``
Classificação
Propriedades
As diagonais são perpendiculares entre si bissetrizes dos
ângulos internos e se cortam ao meio.
Paralelogramo
Quadrado
É todo quadrilátero que possui os lados opostos
paralelos.
É todo paralelogramo que possui os quatro lados
e os quatro ângulos congruentes.
B
A
B
A
C
D
6
D
C
AB // CD e AD // BC
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EM_V_MAT_026
O
•
``
Isósceles
Propriedades
As diagonais são congruentes, perpendiculares entre si,
bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio.
Os lados não-paralelos são congruentes.
B
A
D
É interessante observarmos que, ao destacarmos uma das partes do retângulo dividido por sua
diagonal, teremos um triângulo retângulo e deste
tiramos algumas propriedades:
B
A
C
x O x
x
x
A
x
x
D
O
AD // BC
AC // BD
Os ângulos pertencentes à mesma base são
congruentes.
Retângulo
x
C
C
D
A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo mede a metade da hipotenusa.
Por consequência, teremos dois triângulos
isósceles, AOC e COD.
Um dos lados não-paralelos é perpendicular às
bases (possui dois ângulos retos).
A
B
D
C
AD // AB
AD // CD
O trapézio retângulo é também escaleno.
Trapézio
É todo quadrilátero que possui somente um par
de lados paralelos, chamados bases.
B
A
Base média e mediana de
Euler
Agora vamos estudar como se calcula a base
média e a mediana de Euler do trapézio, para isso
temos:
C
D
AB // CD
O trapézio, de acordo com sua forma, é subdividido em três: escaleno, isósceles e retângulo.
Base média do triângulo
A
Escaleno
M
EM_V_MAT_026
Os lados não-paralelos não são congruentes.
B
A
C
D
AD ≠ BC
B
N
C
MN // BC
BC
MN =
2
M e N são pontos médios de AB e AC respectivamente.
MN é a base média do triângulo.
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7
Polígonos inscritos
Base média do trapézio
A
B
M
N
C
D
MN // AB
MN // CD
MN = AB + CD
2
M e N são pontos médios de AD e BC respectivamente.
MN é a base média do trapézio.
Como já foi estudado anteriormente, um polígono convexo é regular se seus lados e ângulos
são congruentes.
A grande importância dos polígonos regulares
na geometria plana é tirada pela inscrição e circunscrição das figuras.
Vamos estudar os três principais polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono
regular, calculando os lados e os apótemas em função
dos raios das circunferências inscritas e circunscritas
(os apótemas são as distâncias do centro da circunferência aos pontos médios dos lados).
Triângulo equilátero
Mediana de Euler
A
M
B
P
N
Q
a= R
2
C
D
PQ // AB
PQ // CD
=R 3
PQ = CD – AB
2
M e N são pontos médios de AD e BC respectivamente.
MN é a base média do trapézio.
PQ é a mediana de Euler.
``
Demonstração:
Trapezoide
D
C
2a = R
hTE=
a= R
2
3
2
3
3a= 2
3R
3
= 2
2
=
3R
3
=R 3
8
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EM_V_MAT_026
É todo quadrilátero que não possui lados paralelos.
B
A
Quadrado
``
Demonstração:
 3
2
R 3
a=
2
h TE =
a= R 2
2
=R 2
``
Demonstração:
Polígonos circunscritos
Triângulo equilátero
d=
2
2a=
2R=
2
2a=R 2
=
2R
2
R 2
a=
2
a=R
=2 3 R
=R 2
Hexágono regular
``
Demonstração:
a=R
a=R
=2R
EM_V_MAT_026
a= R 3
2
=R
 3
2
 3
3a =
2
h TE =
 3
2
6R
3R =
=
3
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 = 2 3R
9
Quadrado
5
do seu suplemento. Calcule o
4
replemento do dobro desse ângulo.
1. Um ângulo é igual a
a=R
= 2a
= 2R
``
``
Solução:
5
x = (180° − x )
4
900° − 5 x
x=
4
4x = 900° − 5 x
Demonstração:
9 x = 900°
x = 100°
Log o :
( 360° − 2 x ) = ?
360° − 2.100 = 160°
Hexágono regular
2. Determine o menor ângulo formado pelas bissetrizes de
dois ângulos adjacentes e suplementares.
B
r
β/2
β/2
=
``
β
A
a=R
2R 3
3
``
α
α/2
s
α/2
C
O
Solução
α + β = 180°
α β
RÔS = +
2 2
α + β 180°
RÔS =
=
= 90°
2
2
Demonstração:
3. Na figura, calcule α se r//s.
160º
a=R
10
 3
R=
2
2R
=
3
r
2R 3
=
3
2α
40°
30°
s
EM_V_MAT_026
 3
h TE =
2
 3
a=
2
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5. Determine o polígono convexo, cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
160°
``
160°
20°
Solução:
nd = 3n
n( n − 3 )
nd =
2
n( n − 3 )
3n =
2
10°
10°
30°
30°
30°
2α = 20°+ 10°
2α = 30°
α = 15°
4. Um raio de luz é refletido por três espelhos planos,
dois dos quais são paralelos, como mostra a figura.
Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho
segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo
de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valor do
ângulo α é, em graus:
6n = n 2 − 3n
n 2 − 9n = 0
n = 9 → eneágono
6. Em um polígono regular, o ângulo interno é o quádruplo
do ângulo externo. Calcule a soma dos ângulos internos
desse polígono.
``
Solução:
ai = 4ae
110°
ai + ae = 180°
4ae + ae = 180°
5ae = 180°
ae = 36°
45°
α
c) 80º
``
Solução: B
45°
45°
110°
25°
25°
70°
45°
α
αα + 70° + 25 = 180°
45°
Sai = 180°.8
Sai = 1 440°
``
Solução:
360°
n
360°
45° =
n
360°
n=
45°
n =8
e) 65º
Sai = 180°(10 − 2 )
Determine o número de diagonais que não passam
pelo centro de um polígono regular cujo ângulo externo
vale 45°.
ae =
d) 75º
Sai = 180°( n − 2 )
7.
a) 90º
b) 85º
360°
= 36°
n
360°
n=
36°
n = 10
8( 8 − 3 ) 8.5
=
= 20
2
2
n 8
nd pc = = = 4
2 2
nd npc = nd − nd pc
nd =
nd npc = 20 − 4 = 16
8. Na construção civil, é muito comum a utilização de
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são
todas as combinações de polígonos que se prestam a
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou
superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.
EM_V_MAT_026
α = 85°
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11
9. Num trapézio isósceles, a base menor é igual a um dos
lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos agudos.
``
Solução:
A
Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
α
D
α
B
α
α
α C
α
^ = α, então A ^
Se B DC
B D = α, como AB = AD, A ^
BD =
^
A DB = α, assim, a diagonal também é bissetriz do vértice
D analogamente com AC.
10. Na figura, ABCD é um quadrado e CDE um triângulo
equilátero, calcule α.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição).
A
E
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares,
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono
B
α
C
D
Figura
``
Ângulo
interno
60°
90°
108º
120º
135º
A
140º
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela,
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá
ter a forma de um:
a) triângulo.
b) quadrado.
E
α
α
B
30º
60º
C
D
Como CD é lado do triângulo e do quadrado, temos CE
= BC = α, logo BCE é um triângulo isósceles, assim
ααα + αα + 30º = 180º 2α α = 150º
α = 75º.
11. No trapézio ABCD da figura, E e F são pontos médios. De
AD e BC , respectivamente. Sabendo-se que DC = 4cm
e MN= 3cm, calcule a diferença entre os perímetros dos
trapézios ABFE e EFCD.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
``
Solução:
D
Solução: B
E
135º
135º
α
C
M
N
A
F
B
α = 90º, logo é ângulo interno de um quadrado.
12
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EM_V_MAT_026
α + 135° + 135° = 360°
``
13. Calcule o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa
circunferência com 12cm de diâmetro.
Solução:
b=4
D
x
x
E
N
M
C
y
3
A
``
A
y
B
B=?
B – b = 3 → B – 4 = 6 → B = 10
2
10+4
=7
EF =
2
2PABFE = 10 + x + y + 7 = 17 + x + y
B
2R = 12
2PCDEF = 4 + x + y + 7 = 11 + x + y
Figura 1
C D
B
E
B
Figura 2
C D
C
F
Figura 3
12. Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe
as figuras anteriores, onde estão descritos os passos iniciais
para fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça
coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de
modo que o vértice A e C se encontrem. Considerando-se
o quadrilátero BEDF da figura 3, pode-se concluir que o
ângulo BED mede:
a) 100º
2PABC= 3 = 18 3cm
14. Ache a razão entre o lado do quadrado inscrito e o
lado do quadrado circunscrito a uma mesma circunferência.
``
Solução:
R
2R
=R 2
2
R 2
Razão = L = 2R =
2
15. Uma moeda tem em seu interior um hexágono regular
inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o perímetro do
hexágono inscrito na moeda.
b) 112º 30’
c) 115º
d) 125º 30’
e) 135º
``
R = 6cm
= 6 3cm
B A
A
D
C
=R 3
2PABFE - 2PCDEF = 6
A
Solução:
F
``
Solução:
Solução: B
E
45º45º
67,5º
C
B
F
22,5º
Como = R = 1cm, temos 2p = 6 = 6cm
D
EM_V_MAT_026
BED = 45º + 67,5º = 112,5º = 112º30’
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13
6. Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo
vértice são colineares.
7.
1. Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então
esse ângulo vale:
A medida da soma de dois ângulos é 125º e a metade de
um deles é igual à terça parte da medida do suplemento
do outro. Calcule a diferença entre esses ângulos.
8. Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Encontre
a medida de cada caso.
a) 30°
b) 60º
a)
c) 45°
d) 80º
e) 90°
2. O ângulo igual a
a) 100°
5
do seu suplemento mede:
4
b) 144°
b)
c) 36°
d) 72°
e) 80°
3. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e
x + 50°. Um deles mede:
a) 20°
c)
b) 70º
c) 30°
d) 45º
e) 80°
4. Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes
da figura:
d)
3x –α 30º
xα +α 10º
a) 120º e 60º
b) 105º e 75º
c) 100º e 80º
d) 90º e 90º
e) 110º e 70º
5. A semirreta OC é exterior ao ângulo AÔB de bissetriz
OX. Se AÔC = 32° e BÔC = 108º, determine CÔX:
b) 64°
c) 54°
d) 66°
14
e) 82°
10. (UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ângulo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo
ângulo. Determine a quarta parte desse ângulo.
a) 15º
b) 22,5º
c) 45º
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EM_V_MAT_026
a) 70°
9. Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes
e suplementares formam ângulo reto.
d) 60º
e) 67,5º
11. (Unirio) A diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo qualquer é:
a) um ângulo raso.
b) um ângulo agudo.
c) um ângulo reto.
d) um ângulo obtuso.
e) não pode ser determinada.
12. Calcular os valores dos ângulos internos e externos do
polígono regular convexo que possui 27 diagonais.
13. No polígono regular ABCD... da figura, as diagonais AC
e BD formam, entre si, um ângulo que mede 20º.
19. Três polígonos convexos têm lados expressos por números consecutivos. Sendo 2 700° a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos, determine o número
de diagonais de cada um deles.
20. Determine o número de lados de um polígono regular
ABCDE, sabendo que as bissetrizes de AP e CP, dos
ângulos A e C, formam um ângulo que vale 2/9 do seu
ângulo interno.
21. (UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos
formam uma progressão aritmética de razão r. O valor
de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça
128° é:
a) 10°
b) 15º
c) 20°
d) 27º
e) 36°
22. Na figura, ABCDE é um pentágono regular.
Determine o número de lados do polígono.
14. O número de diagonais do polígono convexo cuja soma
dos ângulos internos é 1 440° é:
a) 20
Determine a soma:
b) 27
c) 35
23. Assinale a alternativa que contém a propriedade diferenciada do quadrado em relação aos demais quadriláteros.
d) 44
e) 48
15. Qual o gênero do polígono convexo em que a diagonal
AC faz com o lado BC um ângulo de 20º?
b) Os lados são todos iguais.
16. Qual o polígono convexo em que o número de diagonais
é o triplo do número de lados?
c) As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.
17. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo igual a 20°. Determine
o número de diagonais desse polígono.
e) Os lados opostos são paralelos e iguais.
18. De cada vértice de um polígono regular só podemos
traçar três diagonais, sendo que a maior mede T. O
perímetro desse polígono vale:
EM_V_MAT_026
a) Todos os ângulos são retos.
d) As diagonais se cortam ao meio.
24. Q, T, P, L, R e D denotam, respectivamente, o conjunto
dos quadriláteros, dos trapézios, dos paralelogramos,
dos losangos, dos retângulos e dos quadrados. De
acordo com a relação de inclusão entre esses conjuntos,
a alternativa verdadeira é:
a) T
a) D
R
L
P
b) 2T
b) D
L
P
Q
c) 3T
c) Q
P
L
D
d) 6T
d) T
P
Q
R
D
e) 8T
e) Q
T
P
R
C
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15
25. Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de
um paralelogramo propriamente dito é um retângulo.
26. Na figura, os triângulos A^
BM e B^
C P são equiláteros e
ABCD é um quadrado.
29. (UFMG) Sobre figuras planas, é correto afirmar que:
a) um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados opostos têm comprimentos iguais.
b) um quadrilátero que tem suas diagonais perpendicu­
lares é um quadrado.
c) um trapézio que tem dois ângulos consecutivos
congruentes é isósceles.
d) um triângulo equilátero é também isósceles.
e) um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos são
retos.
30. (PUC-SP) Sendo:
Calcule o ângulo .
a) 24°
b) 22°
c) 15°
d) 45°
e) 30°
27. (Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de
+ é:
A = {x | x é quadrilátero}
B = {x | x é quadrado}
C = {x | x é retângulo}
D = {x | x é losango}
E = {x | x é trapézio}
F = {x | x é paralelogramo}
então vale a relação:
a) A D E
b) A
F
D
B
c) F
D
A
d) A
F
B
C
e) B
D
A
E
31. Na figura, ABCD é um quadrado e AMB um triângulo
equilátero.
a) 50°
b) 90°
c) 120°
d) 130°
e) 220°
28. A afirmativa “um quadrado foi subdividido em n quadrados congruentes” acarreta que:
b) n não pode ser par.
b) 68°
c) n não pode ser ímpar.
c) 60°
d) n pode ser 36.
d) 48°
e) n pode ser 29.
e) 50°
EM_V_MAT_026
16
a) n pode ser 12.
^
Determine a medida do ângulo A MD.
a) 75°
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32. (Cesgranrio) As bases MQ e np de um trapézio medem
42cm e 112cm, respectivamente.
38. Calcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito
num círculo de raio R.
39. Calcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um
círculo de raio R.
40. Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um
círculo de raio R.
Se o ângulo M^
NM, então o
Q P é o dobro do ângulo P^
lado PQ mede:
a) 154cm
b) 133cm
41. Calcule a distância entre dois lados opostos de um
hexágono regular de 2cm de lado.
42. Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos
regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito
a um mesmo círculo.
43. ABCDE é um polígono regular convexo de 2cm de
lado. As diagonais AC e BD formam um ângulo de 18º.
Calcule o perímetro do polígono.
c) 91cm
d) 77cm
e) 70cm
33. Na figura ad = dc = cb e bd = ba
44. (UFF) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o
lado do quadrado circunscrito em uma circunferência
de raio R é:
a)
b)
1
3
1
2
3
3
d) 2
2
c)
A medida do ângulo  do trapézio ABCD mede:
a) 30°
b) 36°
e)
2
45. (PUC) A1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n
lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15 é diametralmente oposto ao vértice A46, o valor de n é:
c) 72°
d) 48°
a) 62
e) 80°
34. Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadrilátero convexo de diagonais 6 e 8, obtém-se um outro
quadrilátero convexo de perímetro:
a) 7
b) 60
c) 58
d) 56
e) 54
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
EM_V_MAT_026
35. (UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo
estão em progressão aritmética de razão igual a 20°.
Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero.
1. (Unirio) Às 13 horas e 15 minutos, os ponteiros de um
relógio formam um ângulo de:
a) 7°30’
b) 17°30’
36. Calcule o lado e o apótema do triângulo equilátero
inscrito num círculo de raio R.
c) 22°30’
37. Calcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num
círculo de raio R.
e) 52°30’
d) 37°
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2. Nesta figura, as retas r e s são paralelas e t e u são
transversais.
c) 4h
d) 4h 5
7.
min e 4h 38
min.
min e 4h 38
min.
e
(UFRRJ) As semirretas consecutivas
são tais que
são colineares e BÔC = 72°.
Calcule a medida do ângulo PÔQ, sabendo-se que
são as bissetrizes dos ângulos AÔB e DÔC.
a) 36°
e
b) 54°
c) 90°
O valor em graus de (2x + 3y) é:
a) 64°
b) 500°
e) 126°
8. Pelo ponto C de uma reta AB traçam-se, num mesmo
semiplano dos determinados por AB, as semirretas
. O ângulo
é o dobro do ângulo
eo
ângulo
é o dobro do ângulo
. Calcule o ângulo
formado pelas bissetrizes dos ângulos
e
.
c) 520°
d) 660°
e) 580°
3. O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do seu suplemento aumentada da metade do
replemento do quádruplo desse ângulo. Determine o
valor do complemento desse ângulo.
4.
d) 92°
9. Na figura abaixo, calcule
.
e
são, respectivamente, as bissetrizes dos ângué a bissetriz do ângulo
los adjacentes MÔN e NÔP.
QÔR. Calcule as medidas, em graus, dos ângulos MÔN
e NÔP, sabendo que MÔP = 100° e MÔT = 55°.
5. Sendo r//s na figura abaixo, o valor de a é:
10. (OBM) Quantos ângulos retos são formados pelos
ponteiros (horas e minutos) de um relógio em um
dia completo que se inicia às 0:00 h?
b) 10º
c) 15º
a) 48
d) 20º
b) 40
e) 30º
c) 44
6. (ITA) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um
relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro
dos minutos. Os momentos dessas ocorrências serão:
18
a) 4h 5
min e 4h 38
min.
b) 4h5
min e 4h 38
min.
d) 96
11. (CMC) Na figura a seguir:
I. AÔC = 108°
II. ZÔB = 4°
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EM_V_MAT_026
a) 6º
d)
e)
16. O número de diagonais de um polígono regular de 2n
lados que não passam pelo centro da circunferência
circunscrita nesse polígono, é dado por:
Sabendo-se que OX, OY e OZ são as bissetrizes de
AÔB, BÔC e XÔY, respectivamente, determine a medida
de AÔB.
12. Duas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos
de um polígono regular formam um ângulo dado por:
a)
a) 2n (n – 2)
b) 2n (n – 1)
c) 2n (n – 3)
d)
e) 2n
17. (UFF) A figura representa um triângulo equilátero FHN
de lado e um hexágono regular.
b)
c)
d)
e)
13. (Cesgranrio) Na figura ABCDE é um polígono regular.
Sabendo que I é ponto médio do lado
e pertence
ao segmento
, assinale a alternativa que representa
o perímetro do quadrilátero FGLM.
a) 7
b) 6
c) 5
Determine a medida do ângulo CÂD.
14. (Consart) Se cada ângulo interno de um polígono não
excede
, então o polígono tem, no máximo:
a) 4 lados.
e) 3
18. Se a razão entre o número de diagonais e o número
de lados de um polígono é um número inteiro positivo,
então o número de lados do polígono é:
b) 5 lados.
a) par.
c) 6 lados.
b) ímpar.
d) 8 lados.
c) múltiplo de 3.
e) 12 lados.
d) não existe.
15. Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são
prolongados para formar uma estrela. O número de graus
em cada vértice da estrela é:
a)
b)
EM_V_MAT_026
d) 4
c)
e) nenhuma das anteriores.
19. A soma dos (n –1) ângulos internos de um polígono
regular de n lados é 945º. Determine o número de lados
do polígono.
20. (FEI) O menor ângulo de um polígono convexo mede
139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma
progressão aritmética de razão 2. Determine o número
de lados do polígono.
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19
21. (Mackenzie) A medida em graus de um ângulo interno
de um polígono regular é um número inteiro. O número
de polígonos não semelhantes que possuem essa
propriedade é:
25. O hexágono da figura abaixo é equiângulo e não equilátero. Determine o valor de X e Y.
a) 24
b) 22
c) 20
d) 18
e) 15
22. Um polígono P1 tem 3 lados a mais e 30 diagonais a mais
que um polígono P2. Quantas diagonais possui P1?
26. ABCD é um quadrado cujas diagonais cortam-se no
ponto I. Constrói-se, exteriormente, um triângulo equilátero ABM.
23. (CN) O número de polígonos regulares, tais que quaisquer duas de suas diagonais, que passam pelo seu
centro, formam entre si ângulo expresso em graus por
número inteiro, é:
a) 17
b) 18
c) 21
d) 23
Calcule o ângulo AÎJ, sabendo-se que J é o ponto médio
do lado am.
27. Observe a figura abaixo:
e) 24
24. (CEFET) Para ladrilhar o chão de uma varanda foram
usadas lajotas na forma de pentágonos regulares e
losangos, como mostra a figura.
O trapézio ABCD é isósceles e o lado oblíquo BC tem
para o dobro da medida da base menor ab. O ponto M
é médio de bc e dm = dc
Se o ângulo A^
DM mede 30°, calcule o valor da medida
^
do ângulo B CD.
28. Na figura a seguir, A não pertence ao plano determinado pelos pontos B, C, e D. Os pontos E, F, G e H são
os pontos médios dos segmentos ab, bc, cd E da
respectivamente.
Os ângulos agudos de cada losango medem:
a) 36°
b) 42°
d) 56°
Prove que EFGH é um paralelogramo.
e) 72°
20
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EM_V_MAT_026
c) 48°
29. Dado o triângulo acutângulo ABC da figura AH, tal
que ab = 8, bc = 12 e bh = 3, calcule o perímetro do
quadrilátero convexo MNPH, onde M, N e P são pontos
médios dos lados ab, ac e bc.
O perímetro do paralelogramo ABCD é igual a:
a) 48cm
b) 46cm
c) 40cm
d) 36cm
e) 32cm
32. Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado OX
do ângulo XÔY da figura.
30. (Unificado) No quadrilátero ABCD da figura a seguir
são traçadas as bissetrizes cm e bn, que formam entre
si o ângulo .
Traçamos, então:
1. ab OY
2. aq // OY
3. opq tal que pq = 2oa
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero
corresponde a:
a) 3
b) 2
b) 66°
c) 72º
d) 78º
c)
d)
Se PÔB = 26°, XÔY mede:
a) 61°
e) 80º
2
e)
4
31. Na figura, ABCD é um paralelogramo.
B
33. No paralelogramo ABCD, as distâncias de A, B e C a
uma reta exterior que contém D são, respectivamente,
a, b e c.
Prove que b = a + c.
Considere:
EM_V_MAT_026
1. ap bissetriz de Â, bp bissetriz de ^
B e cq bissetriz
C.
de ^
2. M e N pontos médios, respectivamente, de ab e
bc
3. pm = 5cm e qn = 3cm.
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21
34. Na figura, M é o ponto médio do lado bc, an bissetriz
do ângulo BÂC e bn perpendicular a an.
Se AB = 14 e ac = 20, calcule o comprimento do
segmento mn.
35. (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à
base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma
com a base.
38. Na figura abaixo, ABCD é um trapézio e M e N os pontos
médios dos lados não-paralelos.
Mostre que:
a) Os pontos P, M, N e Q são colineares.
b) O perímetro do trapézio ABCD vale o dobro do
segmento pq.
36. No quadrilátero ABCD, temos AD = bc = 2 e o prolongamento desses lados forma um ângulo de 60°.
39. Ao montar um quebra-cabeça, Joãozinho montou o
retângulo abaixo de dimensões a e b, decomposto
em quatro quadrados.
a
a) Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértice A, B, C e D, calcule A + B e C + D.
b) Sejam J o ponto médio de dc, M o ponto médio de
ac e N o ponto médio de bd. Calcule jm e jn.
c) Calcule a medida do ângulo M^
J N.
37. Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde ad =
bc e DÂB + A^
BC = 120º.
b
Qual o valor da razão a/b?
5
a)
3
2
b)
3
c) 2
3
2
1
e)
2
d)
22
EM_V_MAT_026
Calcule o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que
P, Q e R são respectivamente os pontos médios dos
segmentos ac, bd E dc e que ad = 6m
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40. Na figura a seguir, calcule o ângulo , sabendo que
D = 90º, ab = bc,
ABCDE é um pentágono onde B = ^
cd = de e que M é o ponto médio do lado ae.
A medida que está mais próxima do comprimento do
segmento B’C’ é:
a) o perímetro do quadrado de lado AC.
b) o comprimento da semicircunferência de raio r.
c) o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.
d) o semiperímetro do triângulo equilátero de lado
AB.
43. Calcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito
ao círculo que circunscreve um quadrado de 8 6 cm
de perímetro.
44. Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexágono regular inscrito num círculo inscrito num triângulo
equilátero de 6m de lado.
45. Calcule a razão entre os perímetros do triângulo
equilátero inscrito num círculo e do hexágono regular
circunscrito ao mesmo círculo.
46. Calcule o lado do octógono regular convexo inscrito num
círculo de raio igual a 2cm.
41. Em uma circunferência de centro O e raio 2, têm-se
duas cordas paralelas, AB e CD, que são os lados do
quadrado e do hexágono regular convexo inscritos,
respectivamente.
47. Calcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito
num círculo de raio 3cm.
48. Calcule o comprimento da diagonal do pentágono regular convexo, de lado = 2cm.
49. A razão entre os comprimentos das circunferências
circunscrita e inscrita a um quadrado é:
a)
1
2
b) 2
c)
A distância EF entre essas cordas é, aproximadamente,
igual a:
a)
3
d) 2 2
e) 2
5
b)
c)
6
d) 2
e)
π
2
42. Na figura a seguir, AB e AC são, respectivamente, lados
do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na circunferência de raio r. Com centro em A, traçam-se os
arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a
reta t em B’ e C’.
50. (Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado
por um triângulo equilátero que está inscrito numa
circunferência e que circunscreve um hexágono
regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve
medir 3cm, então a soma das medidas, em cm, do
lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser:
EM_V_MAT_026
a) 7
b) 2 3 + 1
c) 2 3
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23
d) 3 + 1
e)
77
22
24
EM_V_MAT_026
51. Ache o lado do decágono regular inscrito em um círculo
de raio R.
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12. 140° e 40°
13. 18
1. A
2. A
3. B
4. A
5. A
6. Demonstração
7.
95°
8.
a) 120°
b) 18º
c) 40°
d) 55º
EM_V_MAT_026
9. Demonstração
10. B
11. C
14. C
15. Eneágono.
16. Eneágono.
17. 135 diagonais.
18. C
19. 9, 14 e 20
20. 20 lados
21. A
22. 216°
23. C
24. B
25. 2 + 2 = 180°
+ = 90°
26. C
27. D
28. D
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25
29. D
17. D
30. B
18. B
31. A
19. D
32. E
20. 12 lados.
33. C
21. B
34. D
22. 35 diagonais.
35. 120°
23. A
R
2
R 2
37. R 2 e
2
R 3
38. R e
2
2
R
3
39.
24. A
36. R 3 e
40. 2R 3
3
41. 2 3 cm
3
2
42.
43. 40cm
44. D
45. A
25. x = 1
y=4
26. = 30°
27.
= 70°
28. H e FG é um paralelogramo.
29. 17cm.
30. B
31. E
32. D
33. Demonstração
34. Como an é bissetriz, temos dois triângulos congruentes
ABN e ANQ, logo aq = 14 e qc = 6.
No triângulo BCQ, N e M são pontos médios, assim
mn = 3.
35. 45°, com as bases.
2. B
a) 120° e 240°
3. 45°
b) 1
4. 60° e 40°
c) 60°
5. B
37. 9cm
6. B
38.
7.
E
a) 2 + 2 = 180°
8. 30°
+ = 90°
9. 135°
2 + 2 = 180°
10. C
11. 62°
12. B
13. 36º
14. D
15. B
26
36.
16. A
+ = 90
b) pq = pm + mn + nq
B+b
mn =
2
B+b +y
pq = x +
2
2x
B
+
b + 2y
pq =
2
2PABCD = 2x + B + b + 2y
2PABCD = 2.pq
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1. E
39. A
40. 90°
41. B
42. B
43. 36cm
44. 3m
45. 3
4
46. 2 2 − 2 cm
47. 3 2 − 3 cm
48. (1+ 5 ) cm
49. B
50. B
51. R ( 5 − 1)
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