MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
3.
AULA 01
( UDESC – 09.2 ) No paralelogramo ABCD, conforme
mostra a Figura 4, o segmento CE é a bissetriz do
ângulo DCB.
GEOMETRIA PLANA
Exercícios de Sala
o
1. ( FURG-08 ) Sabendo que o ângulo EÂB mede 120 e
que AB é paralelo a DC, o valor de x e y na figura
abaixo é
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do
perímetro do paralelogramo ABCD é:
a)
b)
c)
d)
e)
0
26
16
20
22
24
0
a) x = 120 e y = 60
0
0
b) x = 130 e y = 60
0
0
c) x = 110 e y = 60
0
0
d) x = 120 e y = 110
0
0
e) x = 60 e y = 130
4. (ITA) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC.
Sobre o lado AC desse triângulo considere um ponto D
tal que os segmentos AD, BD e BC são todos
congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
2 ( UFMG ) Observe a figura.
Nela, a, 2a, b, 2b, e x representam as medidas, em
graus, dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus,
é:
a) 100
b) 110
c) 115
d) 120
PROFESSOR RICARDINHO
3
23°
32°
36°
40º
45º
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
c)
d)
e)
Tarefa
01) Determine o valor de x na figura abaixo:
05) ( OBM-2006 ). Três quadrados são colados pelos seus
vértices entre si e a dois bastões verticais, como
mostra a figura.
r//s
25º
130°
95°
125°
130º
x
75°
30°
x
126°
s
Qual a medida do ângulo x?
02) Na figura ABCD é quadrado e o triângulo CDE é
eqüilátero. Calcule o valor de x.
06) (Fuvest-SP) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE,
CD = CF e BA = BC. Se o ângulo EDF mede 80°,
então o ângulo ABC mede:
a)
b)
c)
d)
e)
03) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então:
20°
30°
50°
60°
90°
7) (VUNESP-SP) Considere o triângulo ABC da figura
abaixo. Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a
bissetriz externa do ângulo C um ângulo de 50°,
determine a medida do ângulo interno A.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
y = 3x
y = 2x
x + y = 180°
x=y
3x = 2y
_____
08) Na figura, os segmentos AB e CD são paralelos
θ = 2α, BD = 12cm e AB = 7cm. Determine, em cm, o
comprimento do segmento CD.
04) ( UDESC– 2011.2 ) Na figura 1 tem-se que BC é
_____
congruente a
_____
_____
_____
AG ; DE é congruente a EF e
_____
A
AB é paralelo a CG .
B
θ
α
C
GABARITO AULA 01
1) 75°
2) 15°
3) a
4) a
5) 39
6) a
7) d
8) 19
Se o ângulo Ê mede 50° e os ângulos FDE e BCG são
congruentes, então o ângulo  mede:
a)
b)
115°
65°
PROFESSOR RICARDINHO
70°
80°
90°
100°
120°
4
D
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
5. ( UFSC – 2011 – DISCURSIVA )
AULA 02
a) Defina um octógono regular.
ESTUDO DOS POLÍGONOS
Exercícios de Sala
1.
b) Determine, apresentando os cálculos, a medida do
ângulo central do octógono regular.
( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o
segmento de reta que une dois vértices não
consecutivos do polígono. Se um polígono convexo
tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?
a)
b)
c)
d)
e)
72
63
36
27
18
c) Determine, apresentando os cálculos, a soma das
medidas dos ângulos internos do octógono regular.
2. ( UEL- 2010 ) Seja o heptágono irregular, ilustrado na
figura seguinte, onde seis de seus ângulos internos
o
o
o
o
o
o
medem 120 , 150 , 130 , 140 , 100 e 140 . A medida
do sétimo ângulo é
Tarefa
01) O número de diagonais de um hexágono, é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
9
10
11
12
13
02) O polígono que tem o número de lados igual ao
número de diagonais é o:
o
110
o
120
o
130
o
140
o
150
a)
b)
c)
d)
e)
3. Em um dodecágono regular ABCDE... calcule:
hexágono
pentágono
triângulo
heptágono
não existe
03) ( PUC -PR ) A soma dos ângulos internos de um
hexágono regular é:
a) a soma dos ângulos internos
b) a soma dos ângulos externos
c) cada ângulo interno e externo
a) 1080º
b) 540º
c) 360º
d) 180º
e) 720º
4. ( OBM ) A figura mostra dois quadrados sobrepostos.
Qual é o valor de x + y, em graus?
04) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a)
b)
c)
d)
e)
x
y
a)
b)
c)
d)
e)
05) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo
do externo?
270
300
330
360
390
PROFESSOR RICARDINHO
230°
130°
144°
28°
150°
a) Dodecágono
b) Pentágono
c) Octógono
d) Heptágono
e) Hexágono
5
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
06) ( PUC-SP ) O ângulo interno de um polígono de 170
diagonais é:
a)
b)
c)
d)
e)
15) ( ITA-SP ) De dois polígonos convexos, um tem a
mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a
soma total dos números de vértices e de diagonais
dos dois polígonos é igual a
80°
170°
162°
135°
81°
a)
b)
c)
d)
e)
07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos
ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:
a)
b)
c)
d)
e)
16) ( ITA-SP ) Considere as afirmações sobre polígonos
convexos:
15 diagonais
20 diagonais
25 diagonais
30 diagonais
35 diagonais
I – Existe apenas um polígono cujo número de
diagonais coincide com o número de lados.
II – Não existe polígono cujo número de diagonais
seja o quádruplo do número de lados.
III – Se a razão entre o número de diagonais e o de
lados de um polígono é um número natural, então
o número de lados do polígono é ímpar.
08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre
o número de lados é 1/3.
09) ( PUC-SP ) Qual é o polígono regular em que o
número de diagonais é o dobro do número de lados?
a)
b)
c)
d)
e)
a) Dodecágono
b) Pentágono
c) Octógono
d) Heptágono
e) Hexágono
a)
b)
c)
d)
e)
19) ( ITA-2005 ) Seja n o número de lados de um polígono
convexo. Se a soma de n – 1 ângulos(internos) do
polígono é 2004°. Determine o número n de lados do
polígono.
60°
45°
36°
83°
51°
20) (Mackenzie-SP) A medida em graus do ângulo interno
de um polígono regular é um número inteiro. Sendo n
o número de lados desse polígono, então, n pode
assumir
11) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono
regular medem 20°. Então o número de diagonais
desse polígono é:
a)
b)
c)
d)
e)
12) A soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono regular é 2160º. O número de diagonais
desse polígono que não passam pelo centro é:
b) 50
c) 60
d) 70
1) a
2) b
3) e
4) c
5) c
6) c
7) e
8) quadrado e dodecágono
9) d
10) e
11) 135
12) d
13) 54
14) b
15) b
16) b
17) 150°
18) 14
19) e
e) 80
14) (Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono
convexo medem 130° cada um e os demais ângulos
medem 128° cada um. O número de lados do
polígono
é:
6
7
13
16
17
PROFESSOR RICARDINHO
60 valores distintos.
50 valores distintos.
40 valores distintos.
30 valores distintos.
22 valores distintos.
GABARITO AULA 02
13) Qual o número de diagonais de um polígono convexo,
em que a soma das medidas dos ângulos internos é o
quíntuplo da soma das medidas dos ângulos
externos?
a)
b)
c)
d)
e)
todas as afirmações são verdadeiras
apenas I e III são verdadeiras
apenas I é verdadeira
apenas III é verdadeira
apenas II e III são verdadeiras
17) Um polígono regular possui a partir de cada um de
seus vértices tantas diagonais quantas são as
diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno
desse polígono mede, em graus:
10) (FAAP-SP 97) A medida mais próxima de cada
ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$
0,25 é:
a) 40
63
65
66
70
77
6
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
3. ( UFSC 2010 ) O valor numérico de t na figura abaixo
é:.
AULA 03
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Exercícios de Sala
1. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B̂ D são
congruentes. Então o valor de x é:
4. ( UFMG ) Se as medidas, em metros, das diagonais de
um losango são a e b, então a medida do raio do
círculo inscrito nesse losango é, em metros:
a)
b)
a)
b)
c)
d)
e)
42
32
21
60
10
c)
d)
2
2
2 a +b
ab
2
2
a +b
2 2
a b
2
2
a +b
2ab
2
2
a +b
2 2
a b
e)
2
2
a +b
2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 10 cm e altura 6 cm. Obter o
perímetro do quadrado.
5.
3. ( UFSC – 2011 – ADAPTADA ) Se a sombra de uma
árvore, num terreno plano, em uma determinada hora
do dia, mede 10 m e, nesse mesmo instante, próxima
à árvore, a sombra de um homem de altura 1,70 m
mede 2 m, então a altura da árvore é de
aproximadamente:
PROFESSOR RICARDINHO
ab
7
( FUVEST ) Um lenhador empilhou 3 troncos de
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a
figura ao lado. Cada tronco é um cilindro reto, cujo
raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros,
é:
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
07) Considere a figura abaixo.
Tarefa
01) Na figura abaixo AB é paralelo a CD. Sabe-se que:
AB = 15
AE = 9
AC = 6
Determine o valor do segmento CD
Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito
no triângulo ABC. A medida do lado do losango é x.
Determine o valor de 10x
08) Um quadrado está inscrito num triângulo acutângulo, e
tem um lado apoiado sobre a base do triângulo. O
lado do quadrado é igual aos 3/5 da altura do triângulo
relativa a base. Calcule o perímetro do quadrado,
sabendo que a base do triângulo é igual a 12cm.
a)
b)
c)
d)
e)
02) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.
Nessas condições, determine o valor de x + y.
C
09) ( UFPR – 2011 ) Um telhado inclinado reto foi
construído sobre três suportes verticais de aço,
colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura
ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem,
respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A
altura do suporte em B é, então, de:
10
E
15
x
10
A
y
D
18
20cm
19,2cm
21,4cm
18cm
10 cm
B
03) ( FUVEST ) A sombra de um poste vertical, projetada
pelo sol sobre um chão plano mede 12m. Nesse
mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de
1m de altura mede 0,6m. A altura do poste é:
04) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z
a)
b)
c)
d)
e)
10) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB
mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm.
MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N
pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao
lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é:
05) ( UFSC ) Uma escada com 10m de comprimento foi
apoiada em uma parede que é perpendicular ao solo.
Sabendo-se que o pé da escada está afastada 6m da
base da parede, determine a altura em metros,
alcançada pela escada.
C
06) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm,
7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo
semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.
a)
b)
c)
d)
e)
P
Q
8cm, 14cm e 16cm
6cm, 14cm e 18cm
3cm, 7cm e 9cm
10cm, 13cm e 15cm
5cm, 14cm e 19cm
PROFESSOR RICARDINHO
4,2 metros.
4,5 metros.
5 metros.
5,2 metros.
5,5 metros.
A
8
M
N
B
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
a)
b)
c)
d)
e)
4
8
12
14
16
5
a) 4
d)
11) ( ITA ) Considere a circunferência inscrita num
triângulo isósceles com base 6cm e altura de 4cm.
Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela
à base do triângulo. O segmento de t compreendido
entre os lados do triângulo mede:
b) 2
4 5
5
5
c)
2 5
5
e) n.d.a.
17) O triângulo ABC da figura é eqüilátero. AM = MB = 5
e CD = 6. Calcule o valor de AE.
12) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B
têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância
entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente
interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule,
em centímetros, a medida do segmento CD.
t
18) ( FGV-SP ) Sendo x o raio do círculo inscrito num
setor circular de 90° e raio r, então
D
B
A
a)
13) ( FUVEST ) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e
altura 4. O perímetro desse trapézio é:
e)
x = r(
2
- 1)
19) A medida da bissetriz em relação à hipotenusa de um
triângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 8cm é
igual a:
13
14
15
16
17
20) ( UEM-07 ) Na figura a seguir, ABCD é um
paralelogramo, M é ponto médio do lado AB, N é
ponto médio do lado BC, e P é ponto médio do lado
CD. Sabendo-se que a medida de BC é 7 cm, a
medida da diagonal AC é 10 cm e a medida da
diagonal BD é 8 cm, então o perímetro do triângulo
MNP é
14) ( MACK-SP ) Num triângulo retângulo, um cateto é o
dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor
dos segmentos determinados pela altura sobre a
hipotenusa é:
a)
b)
c)
d)
2
2
b) x = 2r
c) x = 2r/5
d) x = r/3
C
a)
b)
c)
d)
e)
x=r
2
3
4
3/2
5
e)
15) (Fuvest-SP 2000) No quadrilátero ABCD da figura
abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o
ângulo
)
BCD
e
)
ABE mede
60° e os ângulos
)
EBD
são retos. Sabe-se ainda que AB = CD =
BC = 1. Determine a medida de AD.
e
3
a)
b)
c)
d)
e)
20 cm
19cm
16cm
25cm
18cm
GABARITO AULA 03
1) 05
2) 29
3) 20m
5) 08
6) b
7) 48
11) 1,5 cm
16) As dimensões de um retângulo são AB = 4m e
BC = 2m. O valor da distância AH do vértice A
perpendicular à diagonal BD, em metros, é:
16) d
20) c
PROFESSOR RICARDINHO
9
17)
4) x = 4 y = 2,25
8) b
9) d
12) 20 13) d
18
11
18) e
14) c
z = 3,75
10) b
15)
19) 24 2 cm
7
7
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
AULA 04
Tarefa
POLÍGONOS REGULARES
01) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:
a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo
Exercícios de Sala
1. ( UFSC – 2010 ) Considere um quadrado circunscrito a
uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito
na mesma circunferência. Se o lado do triângulo
equilátero mede
mede:
6 3 cm , então o lado do quadrado
b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo
c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo
2.
( UFSC-05 ) Considere um triângulo eqüilátero cujo
lado mede 12cm de comprimento e um quadrado em
que uma das diagonais coincida com uma das alturas
desse triângulo. Nessas condições, determine a área
2
(em cm ) do quadrado.
02) ( UFRGS – 2010 ) O perímetro do triângulo equilátero
circunscrito a um círculo de raio 3 é:
3. ( UFSC – 2011 – ADAPTADA ) Um quadrado de
lado
5
2
está
inscrito
numa
circunferência
a) 18 3
b) 20 3
de
c) 36
comprimento:
d) 15 6
e) 38
03) Calcular o perímetro de um quadrado inscrito
4.
( FGV – 2010 ) O perímetro de um triângulo equilátero,
em cm, é numericamente igual à área do círculo que
o circunscreve, em cm², Assim, o raio do círculo
mencionado mede, em cm:
numa circunferência de raio 3
2 cm.
04) ( ACAFE ) Dois triângulos eqüiláteros têm áreas
2
a)
A razão entre suas alturas é :
π
b)
3 3
π
c) 3
d)
6
π
e)
π 3
2
PROFESSOR RICARDINHO
2
medindo, respectivamente , 81 3 cm e 9 3 cm .
3 2
10
a)
b)
2
c)
d)
e)
2 2
3
6
3
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
2
09) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular (em cm )
05) ( UDESC-08 ) Suponha que os quatro vértices de um
quadrado estão situados sobre uma circunferência, A
razão entre o comprimento dessa circunferência e o
perímetro desse quadrado é dada por:
inscrito numa circunferência de raio
a)
3
b)
3
c)
2
a)
4
π 2
b)
3
2
3
2
2
E
π
c)
é igual a:
10) ( UFSC – 2006 ) Considere um hexágono eqüiângulo
(ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,
conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do
hexágono.
π 2
a)
2
2
20
D
2
13
π
d)
4
C
e) 2π 2
F
06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de
árvore, para que dele se possam fazer postes
quadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é:
15
23
A
a) 10cm
b) 40cm
c) 30cm
d) 20 2 cm
e) 80 cm
GABARITO AULA 04
07) ( UFPA ) O raio de uma circunferência onde se
inscreve um triângulo eqüilátero de 3 cm de lado é:
1) a) 10 3
2) a
3) 24
4) d
5) a
6) d
7) e
8) a
9) a
10) 99
3
a)
2
3
b)
4
c)
2 3
3
d) 1
e) 3
08) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das
circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado
é:
a)
b)
c)
2
d)
2
e)
2
3
2
3
3
2
PROFESSOR RICARDINHO
11
b) 10
c) 10
2
B
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
2
3. ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 105 m . O lado
do quadrado EFGD mede, em m:
AULA 05
A
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
E
D
10
Exercícios de Sala
F
1.
2
( UFSC-98 ) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm.
Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada,
em centímetros quadrados, é:
B
C
a)
b)
4
5
c)
2
d)
e)
5
6
5
2
4. ( UFPR – 08 ) Num triângulo ABC com 18 cm de base e
12 cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua
base sobre o lado AB, conforme a figura ao lado.
2.
(
FUVEST
)
Dois
lados
consecutivos
de
um
paralelogramo
medem
2 3 cm
e
5cm,
respectivamente, e formam um ângulo de 60°. A área
2
desse paralelogramo, em cm , é igual a:
a)
12
b)
c)
12
15
3
d)
e)
15
17
3
a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um
terço da medida da base, qual é a sua área?
b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x,
obtenha uma expressão da área do retângulo em
função de x.
c) Calcule a maior área possível desses retângulos
inscritos.
PROFESSOR RICARDINHO
12
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
05) ( UFSC ) O número de ladrilhos de 20cm por 30cm,
cada um, necessários para ladrilhar um banheiro de
2
5,94m de área é:
Tarefa
01) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é:
06) ( ACAFE-07 ) Um terreno na forma retangular está
sendo preparado para o cultivo da cana-de-açúcar. A
área de plantio deverá ocupar 4/5 da área do terreno.
Sabendo que o terreno tem 190m de perímetro, e a
razão entre as medidas dos lados é 0,9, então, a
2
região ocupada pela plantação, em m , vale:
C
4
120°
B
3
a)
b)
c)
2
3
d)
e)
4
6
a) 1710
b) 2000
c) 1900
d) 1800
e) 2250
A
3
3
07) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm,
BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero
2
MBNP é um losango de área 8cm
3
A
2
02) ( UDESC-2005 ) A área, em m , do quadrado ABCD,
da figura a seguir, é:
P
M
B
a) 100.
b) 144.
c) 169.
d) 128.
e) 112.
A medida, em graus, do ângulo BNP é:
a)
b)
c)
d)
e)
03) ( ACAFE-05 ) A base de um triângulo mede 72cm e
sua altura, em cm, é h. Se a base for aumentada em
48cm e a altura em 32cm, obtém-se um novo
triângulo, cuja área é o triplo da área do primeiro. O
valor da altura h, em cm, é:
a)
b)
c)
d)
e)
C
N
15
30
45
60
75
08) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é
aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%.
A
área do novo retângulo formado é:
20
64
80
40
12
a)
b)
c)
d)
e)
04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido
em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a
figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da
de A e um terço da de C.
1,04 S
1,02 S
S
0,98 S
0,96 S
09) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um
retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em
quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo
CEF e a área do retângulo é:
D
B
C
C
A
A
Com base nessas informações, é correto afirmar:
2
01. A soma das áreas de A, B e C é 72m .
02. A área de A é 1/6 da área de C.
2
04. A área de A é 24m .
08. Um dos lados de A mede 2m.
16. Um dos lados de C mede 8m.
PROFESSOR RICARDINHO
a)
b)
c)
d)
e)
13
E
1/6
1/7
1/8
1/9
1/10
F
G
B
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
10)
( UFSC ) Queremos revestir uma parede usando
azulejo de 20cm x 20cm. Já dispondo de 342 peças
desse azulejo, qual a quantidade de peças a serem
compradas?
a) 18 metros.
d) 24 metros.
b) 20 metros.
e) 28 metros.
c) 22 metros.
15) Determine a área de um dodecágono regular inscrito
numa circunferência de raio igual a 3cm.
16) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto
médio do lado AD; N está sobre o lado BC e
2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros
ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.
11) ( UFSC ) Um retângulo está inscrito num círculo de 5
cm de raio, e o perímetro do retângulo é de 28 cm.
Calcular, em centímetros quadrados, a área do
retângulo.
17) ( UEL-07 ) Um retângulo é inscrito no triângulo
eqüilátero de lado a , de modo que a base do
retângulo está contida na base do triângulo, como
ilustra a figura abaixo.
12) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC
medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito
nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x
cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para
que a área do retângulo seja máxima?
13) ( UFSC ) Calcule em metros quadrados, a área
limitada pela figura plana.
4m
Se a altura do retângulo é a/3, então a área do
retângulo em função do lado do triângulo é dada por:
2,5m
a 2 (9 − 2
27
2
a (9 + 2
b) A =
27
2
a (9 − 2
c) A =
18
2
a (9 + 2
d) A =
18
2
a (2 − 3
e) A =
3
a) A =
3m
2m
2m
14) ( UEL-PR ) Um terreno possui a forma de um trapézio
isósceles ABCD, conforme a figura a seguir.
GABARITO AULA 05
1) c
2) b
3) d
4) 13
5) 99
6) d
7) b
8) e
9) c
10) 73
11) 48
12) 03
13) 18
14) c
15) 27cm2
16) 20
17) a
A base maior DC tem 64 metros; a base menor AB
tem 28 metros e a altura do trapézio é igual a 49
metros. O dono do terreno deseja dividi-lo em dois
polígonos de áreas equivalentes e com mesmo
perímetro. Para efetuar esta divisão deverá traçar um
segmento de reta PQ . O ponto P deverá estar na
base maior DC a uma distância de 24 metros do
vértice C e o ponto Q sobre a base menor AB. Nestas
condições, a distância do ponto Q ao vértice B deverá
ser igual a:
PROFESSOR RICARDINHO
14
3)
3)
3)
3)
3)
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
AULA 06
ÁREA DO CÍRCULO E SUAS
PARTES
Exercícios de Sala
1. Se o raio de um círculo cresce 30%, sua área cresce:
a)
b)
c)
d)
e)
30%
30,4%
40%
69%
169%
2. ( UEL-2007 ) Com a crise nas penitenciárias
brasileiras decorrentes das rebeliões simultâneas em
várias instituições, houve discussões sobre o uso de
bloqueadores de celulares. “O princípio do bloqueio é
gerar um sinal, por meio de uma antena instalada
internamente no presídio, que interfere na freqüência
da rede celular e que seja mais forte do que o sinal da
operadora” Fonte: Eduardo Neger em entrevista
publicada por IDG NOW! www.idgnow.com.br em
16/05/06.
Acesso
em
20/07/2006.
A dificuldade, porém, está em evitar que o bloqueio
extrapole a área do presídio. Supondo um
determinado presídio inteiramente contido em um
círculo com raio de 500 m, no qual a antena para o
bloqueio esteja instalada no centro deste círculo e o
bloqueio de celulares extrapole este círculo em 10%
do raio, assinale qual a alternativa que corresponde à
área indevidamente bloqueada fora deste círculo:
a)
b)
c)
d)
e)
4.
OA= 4 3 , OB = 2 3 e AB e AC tangenciam a
circunferência de centro O em B e C.
A área da região hachurada é:
2
52.000 π m
2
52.500 π m
2
53.000 π m
2
53.500 π m
2
54.000 π m
π -3
b) 2 π c) 4 π - 3
d) 4 π - 2
e) 4 π -
a)
3. ( UDESC – 09.1 ) Uma circunferência intercepta um
triângulo eqüilátero nos pontos médios de dois de
seus lados, conforme mostra a Figura 2, sendo que
um dos vértices do triângulo é o centro da
circunferência
Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região
destacada na Figura 2 é:
PROFESSOR RICARDINHO
( UFMG ) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
15
3
3
3
3
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
5. ( UEL-PR ) Na figura a seguir tem-se a reta r tangente à
circunferência de centro C e o triângulo equilátero ABC,
cujo lado mede 8
3
Tarefa
cm.
01) ( UEL-PR ) Oito amigos compram uma pizza gigante
circular com 40cm de diâmetro e pretendem dividi-la
em oito pedaços iguais. A área da superfície de cada
pedaço de pizza, em centímetros quadrados, é:
a)
b)
c)
d)
e)
02) ( FGV-SP ) Um círculo de área 16π está inscrito em
um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
A área da região sombreada é, em centímetros
quadrados,
a) 52
b) 48
c) 36
d) 30
e) 24
50π
60π
75π
100π
120π
π
π
π
π
π
a)
b)
c)
d)
e)
32
28
24
20
16
03) ( ACAFE ) Calcule a área do círculo inscrito no
hexágono regular, cujo lado mede 6
3 m.
a) 9 π m
2
b) 18π m
2
6.
c)
d)
( UDESC-2010.1 ) Suponha que os termos da
progressão geométrica infinita  12 , 3 , 3 , 3 ,....


2 4


sejam apótemas de hexágonos regulares. Sabendo
que cada hexágono está inscrito em um círculo, então
a soma das áreas destes círculos é:
a)
b)
c)
e) 81
2
3 π m2
04) ( FUVEST ) Na figura seguinte, estão representados
um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma
circunferência de raio 2. Então, a área da região
hachurada é:
16π
3
32π
3
64π
3
π
+2
b) π + 2
d) π + 2
e) 2 π + 1
a)
c) π + 2
2
d) 12 π
e) 16 π
PROFESSOR RICARDINHO
18 3 π m
2
81π m
05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de
2
16 π cm . Sabendo-se que a diferença entre os dois
raios é 2cm, determine o valor numérico do produto
desses raios.
16
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
06) ( UFSM-09 ) O plantio de hortas vem melhorando a
alimentação dos estudantes e aprimorando o
aprendizado. Desenvolvido pelo fundo nacional de
desenvolvimento da educação (FNDE), em parceria
com a organização das nações unidas para agricultura
e alimentação (FAO), o projeto “Educando com a
Horta Escolar” tem levado os alunos do Ensino
Fundamental a aprender, na prática, as disciplinas
curriculares, ajudando a criar nas crianças consciência
ambiental e melhoria nos hábitos alimentares.
Em uma escola participante do projeto, os alunos
construirão um canteiro em forma de círculo, com 2m
de raio, para plantar verduras. Sabendo que cada
planta ocupará 20cm x 20cm de área, então o número
máximo de plantas que caberão desse canteiro é,
aproximadamente, igual a
d)
e)
32%
44%
10) ( PUC ) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas
“grandes”de forma circular, por R$ 15,00. Para
atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer
a seus clientes pizzas “médias”, também na forma
circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se
os preços das pizzas “grande” e “média” são
proporcionais às suas áreas?
Dados: raio da pizza “grande”: 35cm
raio da pizza “média”: 28cm
11) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita
e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado
6cm é igual a:
A
a)
b)
c)
d)
e)
16
31
157
314
1570
O
07) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1,
a área do setor assinalado é:
B
C
7π
a)
12) ( CESGRANRIO ) Na figura, os três círculos são
concêntricos e as áreas das regiões hachuradas são
iguais. Se o raio do menor círculo é 5m e do maior é
13m, então o raio do círculo intermediário é:
9
7π
b)
18
5π
c)
18
d)
5π
9
e)
8π
9
13) Calcule a área da região hachurada, sabendo-se que o
2
quadrado tem área 16cm .
08) ( ACAFE ) Na figura abaixo, o triângulo equilátero é
circunscrito ao círculo de raio 2m. Então, a área, em
2
m , da região hachurada é:
a) 4(6 3 − π)
b) 8 3 − π
14) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num
cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com
lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de
40m que está fixada num dos cantos do quadrado.
Considerando π = 3,14, calcule a área, em metros
quadrados, da região do cercado que o cavalo não
conseguirá alcançar, porque está amarrado.
c) 8 3
d) 4(3 3 − π)
e) 20 3
a)
b)
c)
d)
e)
09) ( FCMSC-SP ) Um lago circular de 20m de diâmetro é
circundado por um passeio, a partir das margens do
lago, de 2m de largura. A área do passeio representa
a seguinte porcentagem da área do lago:
a)
b)
c)
10%
20%
15%
PROFESSOR RICARDINHO
17
1244
1256
1422
1424
1444
MODULAR SEMI – GEOMETRIA PLANA
15) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua
área cresce:
a)
b)
c)
d)
e)
14%
14,4%
40%
44%
144%
20) ( FUVEST-2005 ) Na figura, ABCD é um quadrado de
lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de
raio 1.
16) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e
C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro
de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado
pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros
2
quadrados, calcule em cm , a área do círculo limitado
pela circunferência C2.
17) ( MACK-SP ) Um jardineiro, trabalhando sempre no
mesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteiro
circular de 3 metros de raio. Se o raio fosse igual a
6m,
ele demoraria:
a)
b)
c)
d)
e)
Logo, a área da região hachurada é:
a) 1 – π + 3
6
4
π
b) 1 – + 3
3
2
π
c) 1 – − 3
6
4
π
d) 1 + − 3
3
2
π
e) 1 – − 3
3
4
8 horas
9 horas
6 horas
12 horas
15 horas
18) ( UFSC ) A figura abaixo representa um campo de
beisebol.
GABARITO AULA 06
1. a
2. a
3. d
4. b
5. 15
6. d
7. b
8. d
9. e
10. R$ 9,60
11. 9π cm2
12. 12
Sabe-se que:
1) AB = AC = 99 m;
2) AD = 3 m;
3) HI =
DF
;
6
13.
4) o arremessador fica no círculo localizado no centro
do quadrado.
2
Se a área hachurada mede 1458π m , então a
medida, em METROS, do raio do círculo onde fica o
arremessador é:
14.
15.
16.
17.
18.
19.
19) ( UDESC ) Se o raio de um círculo aumenta em 10%,
então seu perímetro e a sua área aumentarão
respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
20.
10% e 10%
10% e 21%
21% e 21%
10% e 0%
0% e 10%
PROFESSOR RICARDINHO
18
4π
− 3 cm
3
a
d
16
d
05
b
c
2