EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA II
→ CONTEÚDO: TRIÂNGULOS E POLÍGONOS
3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO
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SÉRIE A
1) (UFOP – Ouro Preto/MG) - Os lados de um triângulo escaleno são números
inteiros e um deles mede 4 e o outro, 7 . Se o terceiro lado mede x, calcule a soma
dos valores possíveis de x.
2) (UFMG ) – Num triângulo , dois lados medem 3 e 7. Se a medida do terceiro lado
pertence ao conjunto X = { 2 ,3 , 4 , 5 , 10}, quanto mede ele?
3) (UFGO) – Se dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 3 dm e 4 dm,
quais são as possibilidades de medida do terceiro lado?
4) Em cada caso a seguir, são dadas algumas medidas de ângulos de um triângulo.
Calcule o que se pede .
a) Se dois ângulos internos medem 63o e 27o, quanto mede o outro?
b) Se dois ângulos internos medem 32o15’e 76o45’, quanto mede o outro?
c) Se o triângulo é isósceles com ângulo oposto à base medindo 47o, quanto medem
os outros dois?
d) Se o triângulo é equilátero, quanto medem seus ângulos internos?
e) Se o triângulo é equilátero, quanto medem seus ângulos externos?
f) Se dois ângulos externos medem 110o e 100o, quanto mede o ângulo interno não
adjacente a esses dados?
5) Se os ângulos internos de um triângulo têm suas medidas dadas pelas expressões
2x – 10o, x + 35o e 3x - 5o, qual é o valor de x?
6) Dois ângulos internos de um triângulo têm suas medidas dadas pelas expressões
3a - 12o e 5a + 15o e o externo não adjacente a eles mede 163o. Quais são as medidas
dos ângulos internos desse triângulo?
7) Os três ângulos externos de um triângulo medem 7x + 10o, 6x e 4x + 10o. Quanto
medem os ângulos internos desse triângulo?
8) Num triângulo ABC, os ângulos internos com vértices em A e C têm suas medidas
dadas, respectivamente, pelas expressões 2a e 2b. Se o ângulo externo com vértice
em B mede 130o e a - b = 15o, calcule os valores de a e b.
1
9) Calcule os ângulos da base de um triângulo isósceles, sabendo-se que cada um
deles vale o dobro do ângulo do vértice.
10) Em um triângulo, um dos ângulos internos mede 50o. Calcule a medida do ângulo
agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos do triângulo.
11) Na figura, sabe-se que AB = AC = CD. Calcule x em função de y.
A
x
y
B
D
C
12) Na figura, calcule x em função de m e n, sendo AE = AF.
A
E
F
m
n
x
B
C
D
13) Na figura, OB = OC = BC e AB = AC. Calcule x, em graus.
A
3x
x O
B
C
2
14) Na figura, AD é uma bissetriz interna do triângulo ABC. Calcule os ângulos
internos do triângulo ABC.
A
30o
108o
B
C
15) O triângulo ABC da figura é retângulo em A. AH é altura e AD é bissetriz
interna. Calcule os ângulos de vértices B e C, sabendo que a medida do ângulo HÂD
é igual a 25o.
A
B
H
D
C
16) Na figura, OI e EI são, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos AÔE e AÊD.
Se α + β = 75o, calcule β.
A
I
α
O
β
E
D
17) Num triângulo ABC, a altura AH forma com a bissetriz interna AP um ângulo
de 18o; as bissetrizes internas que saem dos vértices B e C formam um ângulo de
130o. Quanto mede o maior ângulo do triângulo ABC?
3
18) Calcular o valor de x, de acordo com os dados da figura :
A
15o
60o
45o
x
B
C
D
19) Calcular a soma dos ângulos de vértices A, B, C, D, E e F, assinalados na figura:
B
A
F
C
E
D
20) (UFMG) – Quanto medem os ângulos α e β da figura?
O
α
β
60o
A
80o
B
80o
C
4
21) (PUC – MG) - Obtenha x em função de α, β e γ na figura:
β
α
x
γ
22) (PUC – MG) - Num triângulo ABC, os ângulos internos de vértices B e C
medem, respectivamente, 60o e 20o. Calcule a medida do complemento do ângulo
formado pela bissetriz interna e pela altura que partem do vértice A.
23) (UFMG) – Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede
π
7
radianos. Calcule, em radianos, a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes
internas dos ângulos de vértices B e C.
24) (UFMG) – No triângulo ABC, o ângulo interno de vértice C mede
π
6
radianos e
a bissetriz interna do ângulo de vértice A corta o lado BC no ponto D, tal que AD =
=DC. Quanto mede o ângulo interno de vértice B?
25) Calcule o número de diagonais de um
a)Octógono.
b)Dodecágono.
c)polígono de 3n lados.
d)polígono de n – 3 lados.
26) Que polígono convexo tem o número de diagonais igual ao número de lados?
27) A diferença entre os números de lados de dois polígonos convexos é 5 e a
diferença entre os números de diagonais é 40. Que polígonos são esses?
28) As medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo são dadas por x, x +
+ 10o, x - 20o, 2x e x + 30o. Quanto mede o maior dos ângulos?
29) Quanto mede cada ângulo interno de um dodecágono regular?
5
30) A diferença entre a medida do ângulo interno e a do externo de um polígono
regular é 120o. Que polígono é esse?
31) Se AB, BC, CD e DE são quatro lados consecutivos de um icoságono regular e
os prolongamentos dos lados AB e DE cortam-se no ponto I. Calcular o ângulo BÎD.
32) (PUC – MG) – A diferença entre o número de lados de dois polígonos é 4 e a
diferença entre o número de suas diagonais é 26. Quais são os números de lados
desses polígonos?
33) Os números de lados de dois polígonos convexos são pares consecutivos e um
deles possui 11 diagonais a mais que o outro. Calcule a soma dos números de lados
desses polígonos.
34) No polígono convexo ABCDE..., as bissetrizes dos ângulos internos de vértices A
e C formam um ângulo que é a quarta parte do ângulo interno. Que polígono é esse?
35) Determinar o polígono regular em que o ângulo formado pelas mediatrizes de
dois lados consecutivos mede 30o.
36) Em que polígono convexo as bissetrizes de dois ângulos internos de vértices
consecutivos formam um ângulo de 45o.
37) (UFMG) – Observe a figura:
Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas.
Assim sendo, calcule a medida do ângulo ABC, de vértice B.
6
38) (CEFET – MG) - Na figura, ABCDE é um pentágono regular, ABM, um
triângulo isósceles de base AB e o ângulo AMB, de vértice M, mede 70o. BCPN é
um quadrado. Calcule a medida do ângulo MBN, de vértice B.
39) (CEFET – MG) - Na figura, AB//FE, AF//DE, DC ⊥ DE e AB ⊥ BC, α e β são
as medidas em graus, dos ângulos AFE (de vértice F) e BCD ( de vértice C),
respectivamente. Dessa forma, determine o valor de α, em função de β.
40) (CEFET – MG) - Na figura, BCDE é um trapézio retângulo, onde DE = 5 cm,
CD = 4 cm e BE = 7cm. Sendo ABC um triângulo isósceles de base AB, calcule a
medida do ângulo BÂD
7
SÉRIE B
1) (FUVEST-SP) - Dados: MÔB = OÂB, AO = 3, OB = 2 e AB = 4. Calcule a
medida MB.
2) (FUVEST-SP) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um
quadrado, AB = 2 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?
3) (CESGRANRIO-RJ) – O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como
mostra a figura. Se AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, quanto mede o lado do
losango?
4) (FATEC-SP)- Num trapézio isósceles ABCD as bases são dadas, respectivamente,
por AD = 2 cm e BC = 5 cm. Em tal trapézio, traça-se o segmento MN paralelo à
1
3
base AD e tal que AM= AB. Calcule o comprimento MN.
8
5) (ITA-SP) – Considere o triângulo ABC, onde o segmento AD é mediana relativa
ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP
paralelo ao segmento AD, onde P é o ponto de interseção desta paralela com o
prolongamento do lado AC (veja figura a seguir). Se N é o ponto de interseção do
lado AB com o segmento MP, calcule a soma MN + MP.
6) (MACKENZIE-SP) – O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e
CD = 6. Calcule a medida AE.
7) (PUC-SP) – Na figura, as retas AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD =
50. Quanto mede o segmento AE?
9
8) (FUVEST- SP) – A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão
plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de
altura mede 0,6 m. Qual é a altura do poste?
9) (UFRS) – Num trapézio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais
interceptam-se de tal modo que os menores segmentos determinados em cada uma
delas medem 2 e 3. Qual é a medida da menor diagonal?
10) (UFSE) – Na figura a seguir, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. Calcule a
medida BD.
11) (UFMG) – Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AM no ponto
E. Se (AE).(EB) = 3, qual é a medida do segmento CD?
12) (UFMG) – Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm seus centros na altura relativa
à base do triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. Calcule a altura
relativa à base do triângulo.
10
13) (UFMG) – Na figura, o triângulo ABC é isósceles, BC é a base e BE, altura
relativa ao lado AC. Se AC = 3 cm e CE = 1 cm, calcule, em centímetros, a medida
BC.
14) (UFMG) – O triângulo ABC da figura é equilátero, AD = DE = EF = FB e os
segmentos DG, EH, FI e BC são paralelos. Se DG + EH + FI = 18, calcule o
perímetro do triângulo ABC.
15) (PUC-MG) – Um prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que
uma baliza de 1 m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem 3 m
de altura, calcule o número de andares.
16) (MACKENZIE-SP) – Num triângulo, a base mede 60 cm, a altura e a mediana
em relação a essa base medem, respectivamente, 12 cm e 13 cm. Calcule as medidas
dos outros dois lados do triângulo.
17) (CESGRANRIO-RJ) – No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o
segmento DM é perpendicular à diagonal AC. Quanto mede o segmento AM?
11
18) (U.F. Uberlândia) – Num triângulo ABC, o ângulo de vértice A é reto. A altura
hA divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n (m > n). Sabendo-se que o cateto
b é o dobro do cateto c, calcule a razão entre m e n.
19) (UFGO) – O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm.
Calcule as medidas dos lados do triângulo.
20) (UECE) – Num retângulo, a diagonal mede 25 cm. A diferença entre a base do
retângulo e sua altura é de 5 cm. Calcule o perímetro do retângulo.
21) (UCMG) – Num triângulo retângulo de catetos medindo 1 cm e 3 cm, qual é a
medida da altura relativa à hipotenusa?
22) (UCMG) – A diagonal de um retângulo mede 10 cm e os lados formam uma
proporção com os números 3 e 4. Calcule o perímetro do retângulo.
23)(UFRS) – Na figura, ABC é um triângulo retângulo, os segmentos AP e CB são
perpendiculares, CP = 1,8 e PB = 3,2. Calcule o perímetro do triângulo ABC.
24) (PUC – SP) – A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é
igual a 3. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?
25) (U. E. Londrina-PR) – Em um triângulo retângulo ABC, as medidas das
projeções dos catetos AB e BC sobre a hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a
razão entre AB e BC, nessa ordem, é igual a 0,5, qual é a razão entre m e n?
26) (UFSE) – Se nos triângulos retângulos representados na figura, tem-se AB = 1,
BC = 2 e AD = 3, qual é a medida do segmento CD
12
27) (UFPA) – Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa
mede 10 m. Qual é a soma das medidas dos catetos?
28) (FATEC – SP) – Na figura, ABCD é um retângulo. Qual é a medida do
segmento EF?
29) (CESGRANRIO – RJ) – No quadrado ABCD da figura, tem-se AB = 4, AH =
CI = 1 e AG = 2. Quanto mede HI?
30) (UFMG) – Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b,
qual é a medida, em metros, do raio do círculo inscrito nesse losango?
31) Um avião levanta voo em linha reta, segundo um ângulo de 30o com a pista
horizontal. Se ele voa a uma velocidade constante de 120 km/h em linha reta, durante
5 horas, a que altura estará, em relação à direção horizontal da pista, quando
completar 5 horas de voo?
32) Um triângulo ABC é isósceles com AB =AC , BC = 8 cm e BÂC = 120o. Calcule
o perímetro do triângulo e sua altura relativa ao lado BC.
33) Num retângulo, a diagonal forma com o maior lado um ângulo de 30o. Se o
perímetro do retângulo é de 78 dm, qual é a sua área?
34) Num losango, dois lados consecutivos formam um ângulo reto. Se a diagonal
mede 4 2 cm, qual é o perímetro do losango?
13
35) Qual é a altura relativa ao maior lado de um paralelogramo em que o menor lado
mede 10 cm e o menor ângulo formado por dois lados consecutivos mede 60o?
36) Num quadrado, a soma das medidas do lado e da diagonal é 3(2 + 2 ) cm. Qual
é a área do quadrado?
37) A projeção de um segmento sobre uma reta r é de 3,83 cm. Calcule a medida do
segmento, sabendo que a sua reta suporte forma com a reta r um ângulo de 40o.
(dado: cos 40o = 0,766)
38) Determine o ângulo sob o qual é vista uma torre de 18 m de altura, sabendo que
a distância do observador ao ponto mais alto da torre é 36 m.
39) Calcule a área do triângulo AOE, dados AO = 30 m, OE = 16 m e AÔE = 60o.
40) Do Polo Sul, um astrônomo observa que a Lua está colocada sob um ângulo de
89o em relação ao diâmetro da Terra. No mesmo instante, do Polo Norte, outro
astrônomo faz a mesma observação, obtendo um ângulo de mesmo valor. Se o
diâmetro da Terra é de 12.000 km, calcule a distância da Terra à Lua. (A distância
pedida é entre os seus centros. Dado: tg 89o = 57,2)
41) Um observador vê o topo de um prédio, construído em terreno plano, sob um
ângulo de 60o. Afastando-se mais 30 m do prédio, o observador passa a ver o topo
sob um ângulo de 45o. Qual é a altura do prédio?
42) (E.E. Mauá – SP) – Para obter a altura H de uma chaminé, com um aparelho
especial, um engenheiro estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos α e β,
tendo, a seguir, medido BC = h. Determinar a altura da chaminé.
43) (MACKENZIE- SP) – Na figura, calcule a medida AB.
14
44) (PUC – SP) – Os ângulos internos de um triângulo medem x, 2x e 3x. Se o
menor dos lados mede 5, quanto mede o maior lado?
45) (CESGRANRIO – RJ) – Para traçar uma circunferência de 40π cm de
comprimento, usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. Qual deve ser o
ângulo de abertura das pernas do compasso?
46) (ITA – SP) – Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos
7
. Calcule a área do triângulo.
25
adjacentes são iguais ao arc cos
47) (PUC – SP) – Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si
um ângulo de 120o. Quanto mede o terceiro lado?
48) (UFRS) – Na figura, α =
π
6
rad , β =
π
12
rad e AC = 15 2 . Calcule a distância
BC.
49) (CESGRANRIO – RJ) – Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e o ângulo de
vértice B mede 60o. Quanto mede o lado AC?
50) (PUC – RS) – Qual é o valor de x no triângulo abaixo?
51) (UEBA) – Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120o, quanto mede
o lado BC?
52) (UFRS) – A figura representa a trajetória de um helicóptero que percorreu 12 km
na direção AB, 14 km na direção BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km
de A. Qual é o cosseno da inclinação α?
15
53) (FUVEST – SP) – Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC
= 2, AP =3 e PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM.
.......................................................................................................................................
SÉRIE C
1) (UFRS) – O lampião mostrado na figura está suspenso por duas cordas
perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem
1
6
e
, qual é a
2
5
distância do lampião ao teto?
(Resp :
6
)
13
16
2) (UFMG) – Na figura, E é o ponto médio do lado AB no paralelogramo ABCD.
Calcule a medida AM, sabendo que a diagonal AC mede 6 cm.
(Resp: 2 cm)
3) (UEBA) – Na figura abaixo são dados
AE 1
= , BE = 8 cm e ED = 6 cm. Calcule o
EC 3
comprimento do segmento AC.
(Resp: 16 cm)
4) (U.C. Salvador - BA) – Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma
estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível.
Quantos quilômetros medirá essa estrada?
(Resp: 24 km)
5) (UFMG) - Nos triângulos isósceles T1 e T2 , as bases medem, respectivamente, 30
cm e 40 cm, e os demais lados medem 25 cm. Sejam A1 a área do triângulo T1 e A2 a
área do triângulo T2 . Determine A1 em função de A2.
(Resp: A1 = A2)
17
6) (UFMG) - Na figura seguinte, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN,
cujos lados AM e NA medem, respectivamente m e n. Calcule a medida do lado do
quadrado.
(Resp:
mn
)
m+n
7) ( UFMG) - Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos
AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z . Nessa situação, determine a altura
do triângulo ADE em relação ao lado AE.
(Resp:
x z2 − y2
)
z
8) (UFMG) – Observe a figura a seguir. Nessa figura, os segmentos AB e BC são
perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB , BQ = QC e a
medida do ângulo PÔQ é θ. Calcule a medida do ângulo AÔC, interno do
quadrilátero AOCB.
(Resp: 2θ)
18
9) (UFMG) - Esta figura representa o quadrilátero ABCD:
Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm , o ângulo ABC mede 120o e o segmento CD é
perpendicular aos segmentos AD e BC. Então, calcule o comprimento do segmento
BD.
(Resp: 3 cm)
10) (UFMG) – Uma folha de papel quadrada ABCD, que mede 12 cm de lado, é
dobrada na reta r, como mostrado na figura:
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N e o ponto A, ao ponto médio M,
do lado BC. Calcule a medida do segmento CE.
(Resp: 8 cm)
11) (CEFET-MG) -Na figura seguinte, o triângulo ABC é equilátero. Sabendo-se
que AM = MB = CD = = 6 e FB paralelo a AC, determine o valor de FB.
(Resp: 9 )
19
12) (CEFET – MG) - Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m
de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de
10 m, formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando
com a linha esticada, conforme a figura. Desprezando-se a altura da criança, calcule a
distância final entre ela e a pipa, em metros.
(Resp: 50 3 m)
13) (CEFET – MG) - No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo a BC, divide o
triângulo em duas regiões de mesma área, conforme representado na figura. Calcule a
razão
AM
.
AB
(Resp:
2
)
2
14) (CEFET – MG) - Na figura, os segmentos AB e DE são paralelos. Se BC = 2,
CD = 6 e a área do triângulo ABC é n, então, calcule a área do triângulo CDE.
(Resp : 4n)
20
15) (CEFET – MG) - Refere-se ao trecho de duas ruas paralelas, onde João e Pedro
decidem apostar uma corrida, desenvolvendo a mesma velocidade. As dimensões, na
figura, estão representadas em metros. João partirá do ponto médio M do quarteirão
AB, fazendo o trajeto MBCDP, enquanto Pedro percorrerá MADCP.
Nessas condições, descreva como será o resultado final dessa corrida.
(Resp : Pedro ganha com 120 m de vantagem)
16) (CEFET – MG) - Na figura, os ângulos ABC (de vértice C) e CQP (de vértice
Q) são retos, BP = 4x, PC = 5x e AB = 12x. Nessas condições, calcule a área do
quadrilátero ABPQ.
(Resp : 48x2 )
17) (CEFET – MG) - No triângulo ABC, BC = a, AH = h, AC = b e o ângulo ABC
(de vértice B) mede 45º. Para a + h = 4, qual é o valor mínimo de b2 ?
(Resp :
16
)
5
21
18) (CEFET – MG) - ABCD é um trapézio isósceles com lados paralelos AB e CD,
medindo, respectivamente, 42 cm e 30 cm, e lados não paralelos, BC e AD, medindo
10 cm. Sabendo-se que as diagonais AC e BD se cruzam em um ponto P, calcule a
área do triângulo ABP em centímetros quadrados.
(Resp : 98 cm2 )
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RESPOSTAS
SÉRIE A
1) 38 2) 5 3) mais do que 1 dm e menos do que 7 dm 4) a) 90o b) 71o c) 66o30’
d) 60o e) 120o f) 30o 5) 26o40’ 6) 48o , 115o e 17o 7) 30o , 60o e 90o 8) a = 40o e
b = 25o 9) 60o 10) 65o 11) x = 3y 12) x =
m-n
2
13) 12o 14) 60o , 78o e 42o
15) 70o e 20o resp. 16) 25o 17) 80o 18) 120o 19) 360o 20) 20o e 20o
21) x = γ - α - β 22) 70o 23)
d)
( n − 3)( n − 6)
2
3π
7
26) pentágono
24)
π
2
rad 25) a) 20 b) 54
c)
9( n − 3)
2
27) heptágono e dodecágono 28) 163o 20’
29) 150o 30) dodecágono regular 31) 126o 32) 6 e 10 33) 14 34) polígono de
18 lados 35) dodecágono regular 36) octógono regular 37) 48o 38) 107o 39) α = β
40) 45o
SÉRIE B
22
23