GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 09: POLÍGONOS REGULARES
TÓPICO 05: ÁREA DE UM SETOR CIRCULAR
Seja
um arco de uma circunferência de centro O e raio R. A interseção do
ângulo central que subtende esse arco com o disco chama-se setor circular
determinado por
.
Nosso propósito é determinar a área S desse setor.
Você não acha razoável admitimos que S é diretamente proporcional à
medida do ângulo central?
Tenho certeza que sim. Uma vez aceito esse raciocínio, teremos que S=K.X
em que x é a medida do ângulo central em radianos e k é a constante de
proporcionalidade.
Entretanto,
sendo,
para
logo,
, donde,
Assim
, ou seja,
Assim sendo,
ou seja,
.
Aí temos a fórmula da área de um setor circular em função da medida do
ângulo central associado, em radianos, e do raio do disco.
Como seria a fórmula da área do setor circular se a medida do ângulo central
fosse dada em graus? Vejamos. Seja y a medida do ângulo central em graus.
Sabemos que :
Assim, substituindo
na fórmula obtida há pouco, obteremos
.
CÁLCULO DO RAIO DE NOSSO PLANETA
NA CIDADE DE SIENE
Havia um período em que, na cidade de Siene, os raios solares incidiam, ao
meio-dia, verticalmente sobre nosso planeta. Chegou-se a essa conclusão
devido a imagem do sol ser vista refletida nos poços mais profundos.
Vamos mostrar como foi que o matemático Eratóstenes (276 - 196 a. C.), de
Alexandria, calculou o raio da Terra.
NA CIDADE DE ALEXANDRIA
Fonte
(HTTP://PT.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/ER
ATÓSTENES)
No mesmo instante, em Alexandria, os raios solares caíam formando um
ângulo y = 7, 2º com a vertical. Na figura a seguir, A representa a cidade de
Alexandria, S a cidade de Siene e R o raio da Terra.
Como os raios solares nos chegam paralelos, então o ângulo central na figura
também mede 7,2º. Calculava-se que a distância entre as duas cidades era de
925 km. Empregando-se a fórmula
que nos fornece o
comprimento de arco em função do ângulo central dado em graus e do raio,
obtém-se:
Daí, chega-se que
Hoje, é sabido que o raio da Terra no equador é de 6378 km. Portanto, o
resultado a que chegou Eratóstenes está próximo do atual.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
“...Somos tudo aquilo que adquirimos durante todo o percurso da nossa
existência”
Prof. Ms. Ailton Feitosa
O portfólio da aula 09, consiste em você resolver os seguintes exercitandos
e enviar as soluções através do seu portfólio:
83º) Num certo polígono regular, cada ângulo externo mede 40°.
(a) Quantos lados tem o polígono?
(b) Quanto mede cada ângulo interno?
(c) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono?
(d) Num polígono regular com o dobro do número de lados do anterior,
quanto medirá cada ângulo interno?
84º) Qual o polígono regular cujo ângulo interno vale 4/3 de um reto?
a)hexágono
c) decágono
b)octógono
d) dodecágono
85º) Qual é o número mínimo de lados que um polígono convexo deve ter
para que a soma dos seus ângulos internos seja superior a 2000°?
86º) Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são
n – 3, n e n + 3. Determine o número de diagonais de cada um dos
polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale
3240°.
87º) Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu
centro. Quanto mede cada ângulo interno dele?
88°)Um ângulo externo de um polígono regular tem 30°de amplitude.
Quantos lados tem o polígono? E qual é a soma dos ângulos internos?
89°) Num certo polígono regular, cada ângulo externo tem de amplitude
40°.
(a) Quantos lados tem o polígono?
(b) Quanto mede cada ângulo interno?
(c) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono?
(d) Num polígono regular com o dobro do número de lados do anterior,
quanto medirá cada ângulo interno?
90°) As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular
formam um ângulo de 24°. Determine o número de diagonais desse
polígono.
91°) Dados dois polígonos com n e n + 6 lados, respectivamente, calcule n,
sabendo que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.
92°) A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono
regular é 9. Determine o número de lados dos polígono.
FÓRUM
O fórum dessa aula será destinado a compartilhar as soluções dos
exercitandos 83,85,87,89,91.
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual