
n  número de lados (ou vértices)
 Número de diagonais:
 Soma dos ângulos externos:
Se  360o
 Soma dos ângulos internos:
Si  180o  ( n  2)
d
n ( n  3)
2
Polígono Regular:
 Equilátero (lados com a mesma medida)
 Equiângulo (ângulos internos com a mesma medida)
Se
360o
 e
 Medida de cada ângulo externo: e 
n
n
Si
180o  ( n  2)
i


i

 Medida de cada ângulo interno:
n
n
 Obs 1: Um ângulo interno e seu respectivo ângulo externo são suplementares:
i  e  180o
1
 Obs 2: Todo polígono regular tem uma circunferência circunscrita à ele (ela contém os
vértices do polígono). O raio da circunferência circunscrita dá a distância do centro ao vértice.
 Obs 3: Todo polígono regular tem uma circunferência inscrita nele (os lados do polígono
tangenciam a circunferência em seus pontos médios) O raio da circunferência inscrita dá a
distância do centro ao lado. Esse raio também é conhecido como apótema do polígono.
 ATIVIDADES 
 PARTE A 
1) De um hexágono regular, calcule:
a) O número de diagonais.
b) A soma dos ângulos internos.
c) A soma dos ângulos externos.
d) A medida do ângulo externo.
e) A medida do ângulo interno.
2) De um decágono regular, calcule:
a) O número de diagonais.
b) A soma dos ângulos internos.
c) A soma dos ângulos externos.
d) A medida do ângulo externo.
e) A medida do ângulo interno.
3) Considere o quadrado ABCD inscrito na circunferência de centro O. Sendo 6 cm a medida do lado do
quadrado calcule a medida a de seu apótema e a medida R do raio da circunferência circunscrita.
2
4) Considere o hexágono regular ABCDEF inscrito na circunferência de centro O. Sendo 6 cm a medida
do lado do hexágono calcule a medida R do raio da circunferência circunscrita e a medida a de seu
apótema.
5) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito na circunferência de centro O. Sendo 6 cm a medida do
lado do triângulo calcule a medida R do raio da circunferência circunscrita e a medida a de seu
apótema.
 PARTE B 
6) (G1 - UTFPR 2010) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das
medidas dos ângulos internos de um hexágono é:
a) 180º
b) 360º
c) 540º
d) 720º
e) 900º
7) (G1 - 1996) Determine x:
8) (G1 - IFSP 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por
quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é
90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e
pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno,
na parte rasgada do mapa, é de
3
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
e) 90°
9) (PUCRJ 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20
graus. O menor ângulo mede:
a) 90°
b) 65°
c) 45°
d) 105°
e) 80°
10) (G1 - IFCE 2012) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é
correto afirmar-se que
a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm.
b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 cm.
c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm.
d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 cm.
e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm.
11) (UECE 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de
diagonais, então o valor de n é
a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
12) (G1 - IFCE 2014) Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto A em direção a um ponto
B, que distam entre si cinco metros. Ao chegar ao ponto B, gira novamente 60° à esquerda e caminha
mais cinco metros, repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto de origem. O percurso do robô
formará um polígono regular de
a) 10 lados
b) 9 lados
c) 8 lados
d) 7 lados
e) 6 lados
13) (G1 - IFBA 2012) Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 10 2 cm. O
comprimento dessa circunferência é:
a) 10π cm
b) 5π cm
c) 6π cm
d) 8π cm
e) 7π cm
14) (PUCRS 2012) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal
regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo.
O lado desse hexágono mede ______ cm.
a)
1
2
b)
3
3
c)
3
d)
5
5
e) 1
4
15) (UNIFESP 2008) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo
circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede
a) 3
b) 2 3
c) 4
d) 3 2
e) 3 3
 PARTE C 
16) (MACKENZIE 1998) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de
diagonais desse polígono é:
a) 90
b) 104
c) 119
d) 135
e) 152
17) (FAAP 1997) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de
R$ 0,25 é:
a) 60°
b) 45°
c) 36°
d) 83°
e) 51°
18) (PUCRJ 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20
graus. O menor ângulo mede:
a) 90°
b) 65°
c) 45°
d) 105°
e) 80°
19) (G1) Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080°?
20) (G1) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1440°. Determine a medida do ângulo
central.
21) (FUVEST) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo á é:
a) 32°
b) 34°
c) 36°
d) 38°
22) (UFSCAR 2000) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem
a) 6 lados
b) 9 lados
c) 10 lados
d) 12 lados
23) (UNESP 2001)
e) 40°
e) 20 lados
O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por
2
N ( x) 
a) 10
x  3x
. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é
2
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
5
24) (UNITAU 1995) O polígono regular convexo em que o n0. de lados é igual ao n0. de diagonais é o:
a) dodecágono
b) pentágono
c) decágono
d) hexágono
e) heptágono
25) (MACKENZIE 1998) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de
diagonais desse polígono é:
a) 90
b) 104
c) 119
d) 135
e) 152
26) (UFES) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas
são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus:
a) 140
b) 150
c) 155
d) 160
e) 170
27) (USF) O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é o:
a) pentágono
b) hexágono
c) octógono
d) decágono
e) dodecágono
28) (UFT 2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando
uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo
mede:
a) 90º
b) 105º
c) 115º
d) 118º
e) 120º
29) (MACKENZIE) As medidas dos ângulos assinalados na figura a seguir formam uma progressão
aritmética. Então, necessariamente, um deles sempre mede:
a) 108°
b) 104°
c) 100°
d) 86°
e) 72°
30) (UNIFESP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura.
Nestas condições, o ângulo è mede
a) 108°
b) 72°
c) 54°
d) 36°
e) 18°
6
31) (UFSCAR) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais
regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado
na figura 2, é correto dizer que
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da
base medindo 30°.
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos.
32) (CFTCE) A medida do ângulo central de um polígono regular é 24°. De acordo com esta
informação, determine as seguintes medidas:
a) do ângulo interno.
b) do ângulo externo.
33) (CFTCE) Um polígono regular tem 4 lados mais que outro, e o seu ângulo interno excede de 15° do
outro. Quais são esses polígonos?
34) (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a
soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:
a) 63
b) 65
c) 66
d) 70
e) 77
 PARTE D 
35) (G1 1996) Determine o perímetro:
a) de um decágono regular de lado igual a 12 cm
b) de um triângulo equilátero de lado igual a 1,87 dm. Dê a resposta em metros.
36) (G1) Determine o perímetro dos seguintes polígonos. (Dê a resposta em m).
a) Um triângulo equilátero de lado igual a 15 cm.
7
37) (G1 - CFTRJ 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero.
Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado
BC?
a) 118 cm
b) 126 cm
c) 130 cm
d) 142 cm
38) (G1 - IFSC 2011) Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do
lado do quadrado é 90 cm. Nessas condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de:
a) 90 cm
b) 180 cm
c) 120 cm
d) 100 cm
e) 150 cm
39) (EEWB 2011) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular.
Cada lado do hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu?
a) 9
b) 90
c) 900
d) 9000
40) (UFRGS 2008) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas
as suas diagonais é
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30
41) (G1 - CPS 2008) Considere um quadrado com 3 2 cm de lado, inscrito em um círculo como mostra
a figura.
O raio desse círculo mede, em centímetros
a) 2
b)
3
c)
3 3 
2
d) 3
e) 2 3
42) (UFLA 2007) As aranhas são notáveis geômetras, já que suas teias revelam variadas relações
geométricas. No desenho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por hexágonos
regulares igualmente espaçados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da
teia para alcançar o infeliz inseto?
8
a) 8 cm
c) 8 2 cm
b) 10 cm
d) 10 3 cm
43) (UFU) Sabendo-se que um polígono regular de n lados está inscrito num círculo de raio 1 e que o
polígono possui 9 diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado.
44) (PUCRJ) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero
de lado a?
a) 2
b)
3
c)
2
d) 3a
e)
3a 2
45) (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do
hexágono, em centímetros, é igual a
a) 20 3
b) 18 3
c) 15 2
d) 12 3
e) 9 2
46) (G1) O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 8 2 cm. Determine o
apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência.
47) (G1) O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do triângulo.
48) (ESPM 2011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20
diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a:
a) 2
b) 1  2
c) 2 2  1
d) 2 2  1
e) 2 2
49) (G1 - CP2 2010) Juliana recortou de uma tira de cartolina retangular seis triângulos retângulos
idênticos, em que um dos catetos mede 3 cm (figura 1). Com esses triângulos, fez uma composição que
tem dois hexágonos regulares (figura 2).
9
a) Qual é a medida do ângulo interno do hexágono menor?
b) Quais são as medidas x e y dos ângulos dos triângulos retângulos?
c) Qual é a medida do perímetro do hexágono menor?
50) (PUCRS 2005) Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das
arestas de um cubo conforme a figura a seguir.
Se a aresta do cubo é dada por a, a área do hexágono é
a)
(3a2 2)
2
b)
3a2
2
c)
(3a2 2)
4
d)
(3a2 3)
4
e)
(3a2 3)
2
 RESPOSTAS / SOLUÇÕES 
 PARTES B, C e D 
6) Alternativa D.
Solução: O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo
vértice. Logo, a soma de seus ângulos internos será:
S = 4.180o = 720o
°
7) x = 110
8) Alternativa B
Solução:
No quadrilátero formado pelas ruas, temos:
90° + 110° + 100° + x = 360°
x = 360° – 300°
x = 60°
10
9) Alternativa B
10) Alternativa C.
Solução:
Número de diagonais: d =
6.(6  3)
 9.
2
Medida das diagonais maiores: 1 + 1 = 2 cm.
Medida das diagonais menores: x.
Na figura: x2 + 12 = 22  x =
3
são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm.
11) Alternativa A.
Solução: Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos:
n  (n  3)
 1
n     d  d  3 n 
 3n  n2  3  n  6n  n2  9  n  0 
3
2
 
n  0 (não convém) ou
n  9.
Logo, o valor de n é 9.
12) Alternativa E.
Solução:
O trajeto do robô será um polígono regular de lado 5m e ângulo externo 60°. Como 360° : 6 = 60°,
concluímos que o polígono pedido possui 6 lados.
13) Alternativa A.
Solução:
11
a 2  10 2
a  10
r  10 2  5
Portanto, o comprimento da circunferência será dado por: C  2  π  r  2  π  5  10 πcm.
14) Alternativa B.
15) Alternativa B.
16) Alternativa D.
17) Alternativa E.
18) Alternativa B.
19) Resposta: Octógono
20) Resposta: 36°
21) Alternativa C.
22) Alternativa C.
23) Alternativa E.
24) Alternativa B.
25) Alternativa D.
26) Alternativa B.
27) Alternativa C.
28) Alternativa B.
Solução: Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 – 2) . 180° = 720°
x + x +6° + x + 12° + x + 18°+ x + 24° + x + 30° = 720°
6x + 90° = 720°
6x = 630°
x = 105°
29) Alternativa A.
32) Respostas: a) 156°
30) Alternativa D.
31) Alternativa D.
b) 24°
33) Resposta: octógono e dodecágono
b) 0,561 m
36) Respostas: a)0,45 m
34) Alternativa B.
35) Respostas: a) 120 cm
b) 31,40 m
37) Alternativa B.
Solução:
AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo,
2x + 68 + 68 + 68 = 252
2x = 252
12
x = 126
, ou seja, BC = 126 cm.
38) Alternativa C.
Solução:
Seja a medida do lado do triângulo equilátero, portanto
3.a = 4.90
A = 120 cm
39) Alternativa A.
Solução: Perímetro do hexágono = 6.15 = 90m.
Distância percorrida em 100 voltas na pista = 100. 90 = 9000m = 9km.
40) Alternativa E.
Solução: O número de diagonais do hexágono é dado por:
d 
n(n  3)
 6  3  9.
2
2
Destas, três medem 2 e seis medem  3 . Logo,
3  42  6  32  302  30  12  30.
42) Alternativa D.
Solução:
Sejam  o lado do quadrado e r o raio do círculo circunscrito.
42) Alternativa B.
44) Alternativa A.
2r   2  r  3 2  2  3 cm.
2
43) Resposta: ℓ = 1
45) Alternativa A.
46) Resposta: a = 4 6
47) Resposta: 6 3
48) Alternativa B.
Solução: Sabendo que o número de diagonais (d) de um polígono regular em função do número de
lados (n) é dado por d 
n  (n  3)
n  (n  3)
, temos que 20 
 n2  3n  40  0  n  8.
2
2
Logo, A, B, C e D são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede
180  (n  2) 180  (8  2)

 135.
n
8
De posse desses dados, considere a figura abaixo.
13
Como os triângulos AB'B e CC'D são congruentes, basta calcularmos AB', pois BB 'C 'C é retângulo.
Assim, AB ' 
AB
1
2


.
2
2
2
Por conseguinte,
AD  2  AB'  B'C'
 2
2
1
2
 2  1.
49) Respostas:
a) e 
360
º
º
º
 60 o logo i = 180 – 60 = 120
6
b) x = 60º (ângulo externo do hexágono menor) e y = 30º (complemento de x)
c) x = lado do hexágono menor = AB – 3
cos 60 o 
3
 AB  6
AB
Logo, x = 6 – 3 = 3
P = 6.x = 6.3 = 18
50) Alternativa D.
14