n número de lados (ou vértices) Número de diagonais: Soma dos ângulos externos: Se 360o Soma dos ângulos internos: Si 180o ( n 2) d n ( n 3) 2 Polígono Regular: Equilátero (lados com a mesma medida) Equiângulo (ângulos internos com a mesma medida) Se 360o e Medida de cada ângulo externo: e n n Si 180o ( n 2) i i Medida de cada ângulo interno: n n Obs 1: Um ângulo interno e seu respectivo ângulo externo são suplementares: i e 180o 1 Obs 2: Todo polígono regular tem uma circunferência circunscrita à ele (ela contém os vértices do polígono). O raio da circunferência circunscrita dá a distância do centro ao vértice. Obs 3: Todo polígono regular tem uma circunferência inscrita nele (os lados do polígono tangenciam a circunferência em seus pontos médios) O raio da circunferência inscrita dá a distância do centro ao lado. Esse raio também é conhecido como apótema do polígono. ATIVIDADES PARTE A 1) De um hexágono regular, calcule: a) O número de diagonais. b) A soma dos ângulos internos. c) A soma dos ângulos externos. d) A medida do ângulo externo. e) A medida do ângulo interno. 2) De um decágono regular, calcule: a) O número de diagonais. b) A soma dos ângulos internos. c) A soma dos ângulos externos. d) A medida do ângulo externo. e) A medida do ângulo interno. 3) Considere o quadrado ABCD inscrito na circunferência de centro O. Sendo 6 cm a medida do lado do quadrado calcule a medida a de seu apótema e a medida R do raio da circunferência circunscrita. 2 4) Considere o hexágono regular ABCDEF inscrito na circunferência de centro O. Sendo 6 cm a medida do lado do hexágono calcule a medida R do raio da circunferência circunscrita e a medida a de seu apótema. 5) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito na circunferência de centro O. Sendo 6 cm a medida do lado do triângulo calcule a medida R do raio da circunferência circunscrita e a medida a de seu apótema. PARTE B 6) (G1 - UTFPR 2010) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 360º c) 540º d) 720º e) 900º 7) (G1 - 1996) Determine x: 8) (G1 - IFSP 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de 3 a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90° 9) (PUCRJ 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80° 10) (G1 - IFCE 2012) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é correto afirmar-se que a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 cm. c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 cm. e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. 11) (UECE 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 12) (G1 - IFCE 2014) Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto A em direção a um ponto B, que distam entre si cinco metros. Ao chegar ao ponto B, gira novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco metros, repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto de origem. O percurso do robô formará um polígono regular de a) 10 lados b) 9 lados c) 8 lados d) 7 lados e) 6 lados 13) (G1 - IFBA 2012) Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 10 2 cm. O comprimento dessa circunferência é: a) 10π cm b) 5π cm c) 6π cm d) 8π cm e) 7π cm 14) (PUCRS 2012) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm. a) 1 2 b) 3 3 c) 3 d) 5 5 e) 1 4 15) (UNIFESP 2008) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede a) 3 b) 2 3 c) 4 d) 3 2 e) 3 3 PARTE C 16) (MACKENZIE 1998) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 17) (FAAP 1997) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é: a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51° 18) (PUCRJ 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80° 19) (G1) Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080°? 20) (G1) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1440°. Determine a medida do ângulo central. 21) (FUVEST) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo á é: a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° 22) (UFSCAR 2000) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem a) 6 lados b) 9 lados c) 10 lados d) 12 lados 23) (UNESP 2001) e) 40° e) 20 lados O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por 2 N ( x) a) 10 x 3x . Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é 2 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 5 24) (UNITAU 1995) O polígono regular convexo em que o n0. de lados é igual ao n0. de diagonais é o: a) dodecágono b) pentágono c) decágono d) hexágono e) heptágono 25) (MACKENZIE 1998) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 26) (UFES) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 e) 170 27) (USF) O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é o: a) pentágono b) hexágono c) octógono d) decágono e) dodecágono 28) (UFT 2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede: a) 90º b) 105º c) 115º d) 118º e) 120º 29) (MACKENZIE) As medidas dos ângulos assinalados na figura a seguir formam uma progressão aritmética. Então, necessariamente, um deles sempre mede: a) 108° b) 104° c) 100° d) 86° e) 72° 30) (UNIFESP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo è mede a) 108° b) 72° c) 54° d) 36° e) 18° 6 31) (UFSCAR) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes. Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15°. b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°. c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°. d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles. e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos. 32) (CFTCE) A medida do ângulo central de um polígono regular é 24°. De acordo com esta informação, determine as seguintes medidas: a) do ângulo interno. b) do ângulo externo. 33) (CFTCE) Um polígono regular tem 4 lados mais que outro, e o seu ângulo interno excede de 15° do outro. Quais são esses polígonos? 34) (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77 PARTE D 35) (G1 1996) Determine o perímetro: a) de um decágono regular de lado igual a 12 cm b) de um triângulo equilátero de lado igual a 1,87 dm. Dê a resposta em metros. 36) (G1) Determine o perímetro dos seguintes polígonos. (Dê a resposta em m). a) Um triângulo equilátero de lado igual a 15 cm. 7 37) (G1 - CFTRJ 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado BC? a) 118 cm b) 126 cm c) 130 cm d) 142 cm 38) (G1 - IFSC 2011) Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do lado do quadrado é 90 cm. Nessas condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de: a) 90 cm b) 180 cm c) 120 cm d) 100 cm e) 150 cm 39) (EEWB 2011) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu? a) 9 b) 90 c) 900 d) 9000 40) (UFRGS 2008) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30 41) (G1 - CPS 2008) Considere um quadrado com 3 2 cm de lado, inscrito em um círculo como mostra a figura. O raio desse círculo mede, em centímetros a) 2 b) 3 c) 3 3 2 d) 3 e) 2 3 42) (UFLA 2007) As aranhas são notáveis geômetras, já que suas teias revelam variadas relações geométricas. No desenho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por hexágonos regulares igualmente espaçados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para alcançar o infeliz inseto? 8 a) 8 cm c) 8 2 cm b) 10 cm d) 10 3 cm 43) (UFU) Sabendo-se que um polígono regular de n lados está inscrito num círculo de raio 1 e que o polígono possui 9 diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado. 44) (PUCRJ) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? a) 2 b) 3 c) 2 d) 3a e) 3a 2 45) (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) 20 3 b) 18 3 c) 15 2 d) 12 3 e) 9 2 46) (G1) O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 8 2 cm. Determine o apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência. 47) (G1) O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do triângulo. 48) (ESPM 2011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a: a) 2 b) 1 2 c) 2 2 1 d) 2 2 1 e) 2 2 49) (G1 - CP2 2010) Juliana recortou de uma tira de cartolina retangular seis triângulos retângulos idênticos, em que um dos catetos mede 3 cm (figura 1). Com esses triângulos, fez uma composição que tem dois hexágonos regulares (figura 2). 9 a) Qual é a medida do ângulo interno do hexágono menor? b) Quais são as medidas x e y dos ângulos dos triângulos retângulos? c) Qual é a medida do perímetro do hexágono menor? 50) (PUCRS 2005) Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas de um cubo conforme a figura a seguir. Se a aresta do cubo é dada por a, a área do hexágono é a) (3a2 2) 2 b) 3a2 2 c) (3a2 2) 4 d) (3a2 3) 4 e) (3a2 3) 2 RESPOSTAS / SOLUÇÕES PARTES B, C e D 6) Alternativa D. Solução: O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo vértice. Logo, a soma de seus ângulos internos será: S = 4.180o = 720o ° 7) x = 110 8) Alternativa B Solução: No quadrilátero formado pelas ruas, temos: 90° + 110° + 100° + x = 360° x = 360° – 300° x = 60° 10 9) Alternativa B 10) Alternativa C. Solução: Número de diagonais: d = 6.(6 3) 9. 2 Medida das diagonais maiores: 1 + 1 = 2 cm. Medida das diagonais menores: x. Na figura: x2 + 12 = 22 x = 3 são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. 11) Alternativa A. Solução: Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos: n (n 3) 1 n d d 3 n 3n n2 3 n 6n n2 9 n 0 3 2 n 0 (não convém) ou n 9. Logo, o valor de n é 9. 12) Alternativa E. Solução: O trajeto do robô será um polígono regular de lado 5m e ângulo externo 60°. Como 360° : 6 = 60°, concluímos que o polígono pedido possui 6 lados. 13) Alternativa A. Solução: 11 a 2 10 2 a 10 r 10 2 5 Portanto, o comprimento da circunferência será dado por: C 2 π r 2 π 5 10 πcm. 14) Alternativa B. 15) Alternativa B. 16) Alternativa D. 17) Alternativa E. 18) Alternativa B. 19) Resposta: Octógono 20) Resposta: 36° 21) Alternativa C. 22) Alternativa C. 23) Alternativa E. 24) Alternativa B. 25) Alternativa D. 26) Alternativa B. 27) Alternativa C. 28) Alternativa B. Solução: Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 – 2) . 180° = 720° x + x +6° + x + 12° + x + 18°+ x + 24° + x + 30° = 720° 6x + 90° = 720° 6x = 630° x = 105° 29) Alternativa A. 32) Respostas: a) 156° 30) Alternativa D. 31) Alternativa D. b) 24° 33) Resposta: octógono e dodecágono b) 0,561 m 36) Respostas: a)0,45 m 34) Alternativa B. 35) Respostas: a) 120 cm b) 31,40 m 37) Alternativa B. Solução: AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo, 2x + 68 + 68 + 68 = 252 2x = 252 12 x = 126 , ou seja, BC = 126 cm. 38) Alternativa C. Solução: Seja a medida do lado do triângulo equilátero, portanto 3.a = 4.90 A = 120 cm 39) Alternativa A. Solução: Perímetro do hexágono = 6.15 = 90m. Distância percorrida em 100 voltas na pista = 100. 90 = 9000m = 9km. 40) Alternativa E. Solução: O número de diagonais do hexágono é dado por: d n(n 3) 6 3 9. 2 2 Destas, três medem 2 e seis medem 3 . Logo, 3 42 6 32 302 30 12 30. 42) Alternativa D. Solução: Sejam o lado do quadrado e r o raio do círculo circunscrito. 42) Alternativa B. 44) Alternativa A. 2r 2 r 3 2 2 3 cm. 2 43) Resposta: ℓ = 1 45) Alternativa A. 46) Resposta: a = 4 6 47) Resposta: 6 3 48) Alternativa B. Solução: Sabendo que o número de diagonais (d) de um polígono regular em função do número de lados (n) é dado por d n (n 3) n (n 3) , temos que 20 n2 3n 40 0 n 8. 2 2 Logo, A, B, C e D são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede 180 (n 2) 180 (8 2) 135. n 8 De posse desses dados, considere a figura abaixo. 13 Como os triângulos AB'B e CC'D são congruentes, basta calcularmos AB', pois BB 'C 'C é retângulo. Assim, AB ' AB 1 2 . 2 2 2 Por conseguinte, AD 2 AB' B'C' 2 2 1 2 2 1. 49) Respostas: a) e 360 º º º 60 o logo i = 180 – 60 = 120 6 b) x = 60º (ângulo externo do hexágono menor) e y = 30º (complemento de x) c) x = lado do hexágono menor = AB – 3 cos 60 o 3 AB 6 AB Logo, x = 6 – 3 = 3 P = 6.x = 6.3 = 18 50) Alternativa D. 14