Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN) Campo Magnético, Lei Biot-Savart 7ª Semana Probl. 1) (Revisão) Determine a energia potencial dum conjunto de oito cargas negativas -e colocadas nos vértices de um cubo de lado b, centrado numa carga positiva +8 e. Justifique a resposta. Resposta R. 1-a) Up = -κc 4.6 × 1011 e2 b (J) A energia potencial de cada par de cargas q1 , q2 , separadas de uma distância d, é U12 = κc κc a constante de Coulomb. As distâncias d entre cada par de cargas são: 3 2 q1 q2 d , com b para a distância entre as dos vértices e a do centro do cubo (8 pares); 3 b para a distância entre cargas em vértices opostos do cubo (4 pares) ; 2 b para a distância entre cargas em vértices opostos duma face do cubo (12 pares); b para a distância entre cargas em vértices adjacentes (12 pares) U = κc 8 -8 e2 3 2 b + 12 e2 2 b + 12 e2 b + 4 e2 3 b = -κc 4.59955 × 1011 e2 b Probl. 2) (Revisão) Um diodo semicondutor pn é constituído por um segmento de semicondutor-n, sílicio (Si ) dopado com iões de fósforo P+ que fornecem um electrão de condução cada, ligado a um segmento semicondutor-p, silício dopado com iões de boro (B- ) que rouba um eletrão a um átomo de silício vizinho e forma assim um buraco Si + . Na região de contacto vai haver difusão de eletrões do semicondutor-n para o semicondutor- p, e de forma análoga alguns buracos na estrutura eletrónica de iões Si + podem transferir-se para a região do semicondutor-n. Este processo termina quando o campo gerado pela acumulação de cargas negativas e positivas de cada lado da junção entre os semicondutores (designada ‘zona de depleção’) é suficientemente forte para parar o processo de difusão. Em geral a densidade ρ- de cargas negativas na zona de depleção do semicondutor-p é muito maior que a de cargas positivas ρ+ na zona de depleção do semicondutor-n. Em consequência, as espessuras da zona de depleção em cada semicondutor verificam dn ≫ dp . x=0 ex p - + + + + + + dp dn + + + n a) Assumindo que podemos considerar a zona de cargas negativas no semicondutor- p como um plano uniformemente carregado, determine a sua densidade de carga superficial σ- e o campo elétrico que produz. (A permitividade relativa do silício é εr = 11) b) Considerando que as cargas positivas estão uniformemente distribuídas em volume na zona de depleção do semicondutor-n até à espessura xp , determine o campo elétrico gerado dentro e fora dessa região pelas cargas positivas. c) Determine o campo total gerado pelas duas distribuições de cargas em função de x. Resposta 1º Semestre 2014-2015 -1- ARS R. 2-a) E- (x) = 2d pε ρε- sgn(x) ex r o A carga total para a zona de carga negativa é δQ- = S dp ρ- onde S é a secção do semicondutor, pelo δQ σ que σ- = S - = dp ρ- e o campo de um plano de cargas é E = ± 2 ε onde ε = εr εo . R. 2-b) ρ+ x - d2n ex εr εo dn ρ+ sgn(x - dn ) ex 2 εr εo E+ (x) = (x ∈ [0, dn ]) (x ∉ [0, dn ]) Na região x ∈ [0, dn ] o campo das cargas positivas pode igualmente ser visto com uma sobreposição de campos de planos de espessura ⅆ x e densidade superficial σ+ = ρ+ ⅆ x, gerando campos ⅆ E = ± ρ 2+ ⅆx pelo que ε E (x) = ⅆ E = x ρ+ 0 ⅆx - 2ε dn x ρ+ 2ε ⅆx = ρ+ x- ε dn 2 Na região x ∉ [0, dn ] as contribuições são sempre no mesmo sentido pelo que E (x) = ⅆ E = ± R. 2-c) E(x) = dn 0 ρ+ 2ε ρ+ εr εo ⅆx = ± dn ρ+ 2ε (x - dn ) (x ∈ [0, dn ]) 0 (x ∉ [0, dn ]) Somando os campos das duas regiões obtém-se o campo total tendo em conta que dp ρ- = -dn ρ+ . Probl. 3) (Revisão) Um circuito para medir capacidades é construído como indicado na figura abaixo, utilizando um voltímetro de alta resistência interna e uma capacidade conhecida de C o = 1 μ F. O condensador cuja capacidade C1 se pretende medir é ligado entre os pontos A e B no circuito. O interruptor em D é fechado brevemente para carregar o condensador C1 , enquanto o interruptor em E está aberto, e a voltagem V 1 é medida no voltímetro. Depois o interruptor em D é aberto e o interruptor em E é fechado e a voltagem V2 é medida no voltímetro. Mostre que a capacidade desconhecida vem dada por C1 = V2 Co em μ F. V1-V2 D E A 6V C1 Co = 1 μF B Resposta: q1 + qo = C 1 V 1 q1 = C 1 V 2 qo = C o V 2 q1 = Co V 22 V 1 -V 2 ⇒ C1 = V2 V 1 -V 2 Co Probl. 4) (Revisão) Uma carga pontual q1 é colocada à distância d do centro de uma esfera condutora de raio R < d , descarregada e isolada. a) Explique o que acontece às cargas na esfera e ao campo elétrico dentro e à superfície desta. b) Use o método das imagens para determinar o campo elétrico na vizinhança da esfera. (Lembre-se de situações em que cargas pontuais geram uma superfície equipotencial que se possa fazer coincidir com a superfície da esfera.) c) A esfera vai sentir alguma força devido à carga q1 ? Explique qualitativamente o que se passa e em caso afirmativo calcule a magnitude e direcção dessa força. d) Explique como determinaria as densidades de carga na esfera. e) Se agora se ligar a esfera condutora à Terra, como se alterariam as respostas nas alíneas anteriores? Justifique sempre as suas afirmações. ARS -2- 1º Semestre 2014-2015 Resposta R. 4-a) Indução elétrica. R. 4-b) q = - Rd q1 em a = Rd , q′ = -q em x = 0 (centro da esfera quando q1 está em x = d ). 2 A esfera condutora será uma equipotencial centrada na origem. Assumindo aí o potencial 0 : ϕ R er = 0 ⟺ 1 q1 4 π εo R er - d ex q1 q + R er - a ex =0 ⟹ q =- d2 - 2 d R cos(θ) + R 2 a2 - 2 a R cos(θ) + R 2 Resolução da equação anterior q2 d2 + R2 - 2 d R cos(θ) = a2 + R2 - 2 a R cos(θ) q21 q2 d2 + R2 - a2 + R2 q21 - 2 R cos(θ) d q2 - a q21 = 0 Para esta equação ser válida para todo o θ é preciso que q2 = (-a + d) a d - R2 q1 d a= =0 ⟹ a d q21 donde R2 d q=- R d q1 R. 4-c) Sim. R. 4-d) Calcular o campo à superfície da esfera, σ = D·n = εo E ·n . R. 4-e) A carga q′ não existe. Probl. 5) Um condutor cilíndrico de raio a e condutividade σe está ligado pela base a um outro condutor cilíndrico feito do mesmo material, mas de raio b. a) Se existe uma corrente I a percorrer o condutor, determine a razão entre as densidades de corrente em cada um, e a razão entre as perdas de Joule por unidade de comprimento de cada condutor. b) Assumindo uma permitividade ε nos condutores, qual é a densidade de carga na junção dos dois cilindros? Resposta 2 R. 5-a) J1 J2 R. 5-b) σv = σεIπ aa 2-b b2 J1 = J2 = J1 J2 = R1 = R2 = d1 d2 d = ba 2 = 1 d2 2 2 e I π a2 I π b2 = σe E1 ⟹ E1 = = σe E2 ⟹ E2 = I σ e π a2 I σ e π b2 b2 a2 ℓ σ e π a2 ℓ σ e π b2 = R1 R2 = ⟹ d1 = R 1 I 2 = ⟹ d2 = R 2 I 2 = ℓ I2 σ e π a2 ℓ I2 σ e π b2 b2 a2 σv = ε (E2 - E1 ) = εI 1 σe π b2 - 1 a2 Probl. 6) Um protão, um electrão e um neutrão com a mesma energia E = 1 keV e movimentando-se num plano, entram numa região em que existe um campo magnético de valor B = 1 T perpendicular ao plano do movimento. a) Determine a trajectória seguida pelas partículas e calcule, em existindo um valor finito, o raio de curvatura da trajectória circular descrita pelas partículas. 1º Semestre 2014-2015 -3- ARS b) Determine a frequência f do movimento circular para cada partícula. Carga do electrão: qe = -1.602 10-19 C . Carga do protão: qp = -qe . Carga do neutrão: qn = 0 C . Massa do electrão: m e = 9.1 × 10-31 Kg. Massa do protão: m p = 1.67 × 10-27 Kg ≈ massa do neutrão m n Resposta: R. 6-a) Re = 1.06 × 10-4 m Rp = 4.56 × 10-3 m Rn = ∞ m R. 6-b) fe = 2.8 × 1010 Hz fp = 1.5 × 107 Hz fn = 0 Hz 2E com 1 eV = 1.6 m Movimento uniforme circular com vo = ⅆv F m = q v ×B = m ⅆt m ⅆv2 ⟹ 2 q ⅆt × 10-19 J = v ·v ×B = 0 ⟹ v = cte Movimento no plano perpendicular a B ⅆv ·B = B· ⅆv = ⅆt ⅆt q m B·v ×B = 0 ⟹ v ·B = vo ·B = 0 A aceleração tem magnitude constante ⅆv 2 ⅆt = q 2 q 2 q 2 2 q 2 2 2 v ×B·v ×B = v ·B×v ×B = v ·B v - v ·B B = B v = cte m m m m Um movimento plano com aceleração constante em magnitude e perpendicular à velocidade em todos os pontos é um movimento circular e uniforme. r - rc ·v = 0 ⟹ ⅆr - rc ⅆv q ·v + r - rc · = v2 v B r - rc = 0 ⅆt ⅆt m ⟹ m v r - rc = R = qB A força de Laplace deve ser igual à força centrípeta m v2o R = q vo B ⟹ R = m vo q B ; f= ω 2π = vo 2πR = qB 2πm Probl. 7) Mostre que um segmento retilíneo de corrente I, de comprimento ℓ, ao longo do eixo ez gera um campo μo I magnético B(P) = 4 π r (sin(α2 ) - sin(α1 )) eθ num ponto P à distância r do eixo ez , onde α1 e α2 são ângulos com a horizontal das linhas que unem P com as extremidades do segmento de corrente. a) Use o resultado anterior para determinar no ponto P o campo magnético gerado por uma corrente I dum condutor filiforme que vem do infinito até à origem na direção x e volta para o infinito na direção y, como indicado na figura b). ARS -4- 1º Semestre 2014-2015 e z e y I ℓ 3 I P 1 e x α2 α1 P r I a) b) Resposta Se r P = r er + z ez e l = s ez então a lei de Biot-Savart é: s2 ⅆ s ez × r er + (z - s) ez s2 μo I ⅆ l × r - l μo μo 1 I I r = = ⅆ s eθ = 3 3/2 s1 s1 r2 + (z - s)2 3/2 4π 4π 4π r2 + (z - s)2 r - l B (P) = μo 4π R. 7-a) (z - s1 ) Ir r2 (z - s2 ) - r2 + (z - s1 )2 r2 eθ = r2 + (z - s2 )2 μo I 4π r (sin (α2 ) - sin (α1 )) eθ Para o fio horizontal α2 = tan-1 3 = 60 ° e α1 = -90 ° . O campo é B1 (P) = 4μoπ ISin60° + 1 -ez = - 4μoπ I B2 (P) = 4μoπ B (P) = - μo 4π I I 3 3 2 (1 + sin(30 °)) -ez = - 4μoπ I + 1 ez . Para o fio vertical α2 = 90 ° e α1 = -30 ° pelo que 3 2 e z . Assim 3 + 1 ez Probl. 8) Um condutor filiforme percorrido por uma corrente I na direção ez ocupa todo o semi-eixo z < 0. Na origem o condutor está ligado a um plano de cobre que preenche todo o quadrante x > 0, y > 0 do plano horizontal. a) Assumindo que a densidade de corrente no cobre não depende da direção, use a lei de Biot-Savart para determinar o campo magnético B em pontos do eixo ez , para z > 0 . (Sugestão: Escreva e (θ) = -sin(θ) e + cos(θ) e θ x y para o cálculo do integral.) b) Se o plano de cobre ocupasse todo o plano horizontal, como mudaria o campo nos mesmos pontos? Resposta: R. 8-a) B(z) = 2μπo2 Iz ex - ey A corrente I distribui-se pelo plano com uma densidade superficial J = Jr (r) er = I π 2 r e r . A contribuição de um elemento de corrente superficial J ⅆS em l = r er para o campo em r = z ez é: 2I z eθ J×r - l π/2 ∞ μo μo πr B (z) = ⅆS = r ⅆr ⅆθ = 3 0 z2 + r2 3/2 4π 4π 0 r - l μo I z 2 π2 R. 8-b) r z2 z2 + r2 ∞ 0 π/2 0 sin (θ) ex - cos(θ) ey ⅆ θ = μo I 2 π2 z ex - ey B(z) = 0 1º Semestre 2014-2015 -5- ARS Probl. 9) Um disco de raio R, uniformemente eletrizado com carga Q, roda em torno do eixo ez perpendicular ao seu plano, passando pelo centro, à razão de f rotações por minuto. Determine o campo magnético B(0) no centro do disco. Resposta R. 9-a) o Qf B(0) = μ60 e R z J (r) = σ v = σ r ω eθ = B (0) = ARS 2π 0 R 0 Q π R2 r 2π f 60 μo J × -r er (θ) 4π r3 eθ r ⅆr ⅆθ = 2π 0 R 0 Q μ o π R2 r 4π -6- 2π f 60 r3 r ez r ⅆr ⅆθ = f Q μo 60 R 1º Semestre 2014-2015
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