Cálculo da Função Vértice do Elétron
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Procedimento geral para o cálculo de loops:
– Desenhar os diagramas de Feynman para o processo;
– Escrever a(s) respectiva(s) Amplitude(s) Invariante(s);
– Introduzir os parâmetros de Feynman para combinar os
denominadores dos propagadores em um único termo;
– Completar o quadrado do novo denominador através de um
deslocamento (shift) do momento que corre no loop;
– Escrever o numerador em termos do novo momento;
– Descartar os termos impares no momento e reorganizar os pares;
– Fazer a rotação de Wick do espaço Minkowski para o Euclidiano;
– Resolver as integrais resultantes através do método da
Regularização Dimensional ou equivalente;
– Isolar as parte finitas e divergentes;
– Interpretar o resultado.
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
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– Desenhar os diagramas de Feynman para o processo
ν
µ
ρ
– Escrever a respectiva Amplitude Invariante
Definindo
temos:
( γ ν γ µγ ν
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= −2 γ µ
2
)
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Parâmetros de Feynman
O objetivo é transformar os 3 fatores que aparecem no denominador em
apenas um polinômio quadrático no momento k, elevado a alguma potência.
Em seguida completamos o quadrado do polinômio (função par) fazendo um
shift no momento para calcular a integral esféricamente simétrica.
Começamos com a identidade:
Que pode nos ajudar, por exemplo, no caso de 2 propagadores:
Se definirmos o shift
fazemos com que o termo linear em k
desapareça e denominador dependa apenas de l2,
A integral
d4k = d4l
fica mais fácil
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Podemos estender para o caso de 3 propagadores, diferenciando em relação a B:
Ou, em geral:
Também pode demonstrar por indução que:
Ou ainda a fórmula geral, válida inclusive para mi não inteiro:
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Cálculo dos Fatores de Forma
– Introduzir os parâmetros de Feynman para combinar os
denominadores dos propagadores em um único termo.
Aplicando o resultado anterior:
Onde (
e
):
– Completar o quadrado do novo denominador através de um
deslocamento (shift) do momento que corre no loop.
Definindo o shift:
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Podemos escrever (
):
∴
a
Usando
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, temos:
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Note que D depende apenas da magnitude de l e não de sua direção. Portanto:
– Escrever o numerador em termos do novo momento.
Lembrando que:
Podemos busca uma forma conveniente para escrever o numerator.
Os resultados anteriores para a estrutura do vértice da QED sugerem:
γ µ . A + (p ′ µ + p µ ). B + q µ .C
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Assim podemos escrever:
Exercício 6.2: Mostrar a relação acima para o numerador (pag. 192 + errata).
Note que o termo proporcional aq µ = (p ′ µ − p µ ) deve se anular, de acordo com a
identidade de Ward. Já que o denominador D é simétrico pela troca x ↔ y ,
enquanto o coeficiente de q é impar, e portanto se anula quando integrado em x
e y.
1
∫
0
(x − y )
dx dy
=
f (x .y )
1
1
∫ dy ∫
0
0
1
1
0
0
x
y
dx
− ∫ dx ∫ dy
=0
f (x .y )
f (x .y )
Podemos usar a identidade de Gordon para transformar o termo (p ′ µ + p µ )
em u termo proporcional a i σ µν qν .
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– Descartar os termos impares no momento e reorganizar os pares
A expressão completa da correção ao vértice em ordem α fica:
onde:
Devemos agora fazer a integral nos momentos e posteriormente em x, y, e z.
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Rotação de Wick
A menos do sinal negativo da métrica de Minkowski, a integral do momento
poderia ser feita em coordenadas “esféricas” em 4 dimensões.
A maneira de remover o sinal negativo é fazer
uma rotação de 900 no plano l0, evitando os polos.
Isso equivale definir um quadrimomento
Euclidiano através de:
A
2
≡ A20
G
G
G
2
0 2
2
2
− A = (i A E ) − AE = −(A 0E + AE2 ) = −A2E
d 4 A = id 4 A E
Podemos calcular a integral:
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– Fazer a rotação de Wick do espaço Minkowski para o Euclidiano
As coordenadas esféricas em 4 dimensões é definida como:
Enquanto a medida de integração fica:
2π
A integral angular é:
π
∫ d Ω4 ≡ ∫ dφ ∫0
π
sin θ dθ
0
∫ sin2ω dω = (2π )(2)(π / 2) = 2π 2
0
Portanto a integral fica:
E a integral com l2 no numerador, para m > 3, fica:
A2
~
NB: Para m = 3 a integral é divergente:∫ d A 2
(A − ∆)3
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∫
A2
A dA 6 ~
A
3
∫
dA
~ log A → ∞
A
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– Resolver as integrais resultantes através do método da
Regularização Dimensional ou equivalente
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Pauli-Villars
Prescrição artifical para tornar a integral finita.
Escrevemos o propagador do fóton como a diferença de um termo sem massa e
outro contendo um termo de “massa” Λ muito grande (fóton pesado fictício)
•
•
Essa prescrição não afeta o integrando para valores pequenos de k já que
Λ é muito grande e (1/ Λ2) Æ 0.
Evita a divergência de forma suave quando k > Λ já que o integrando se
comporta como:
1
1
k 2 − Λ2 + k 2 Λ2
−
= 2 2
~
k 2 k 2 − Λ2
k ( k − Λ2 ) k 4
•
•
Não há significado físico algum no fóton fictício. Portanto nenhuma
grandeza física mensurável deve depender de Λ.
Esse é apenas um dos muitos métodos existentes para tratar integrais
divergentes.
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Nos termos envolvendo o “fóton pesado” o numerador não se altera (efeito
apenas no propagador) e o denominador fica modificado conforme:
Assim a integral
torna-se:
Lembrando que:
Podemos escrever o resultado final da correção do vértice.
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– Isolar as parte finitas e divergentes
Nesse caso o resultado possui:
• Termo finito com estrutura σµνqν
• Divergência ultravioleta, proporcional a log Λ2
• Divergência infravermelha proporcional a 1/∆
UV
IR
Finita
A divergência ultravioleta afeta o fator de forma F1(q2=0).
Como vimos anteriormente, correções radiativas não devem dar contribuição a
esse termo que a nível de árvore já possui o valor correto, isto é igual 1,
correspondente a carga do elétron igual a e.
Portanto adotamos a prescrição ad hoc, que será justicada posteriormente com
a renormalização das pernas externas:
• Subtraímos o termo em q2 = 0 para preservar a condição F1(q2=0) = 0.
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A divergência infravermelha ocorre no termo proporcional a 1/∆:
Podemos contornar essa divergência infravermelha supondo que o fóton possua
uma pequena massa µ (nada a ver com o fóton fictício).
Nesse caso o termo proporcional a 1/∆ deve ser modificado como (análogo ao
que ocorreu com o Pauli-Villars):
∆ → ∆µ = ∆ + z µ 2
Com essas modificações os fatores de forma F1 e F2:
ficam:
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F1 (q 2 ) = 1 + [ δ F1 (q 2 ) − δ F1 (0) ]
A parte logarítmica fica:
E os demais termos:
Finalmente:
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F2 não possui divergência ultravioleta ou infravermelha e fica:
Lembrando que o fator g é dado por:
É importante calcular F2(0):
Assim a correção ao fator g do elétron fica:
Exercício 6.3: Refazer os cálculos que levam a (6.59).
Esse resultado foi obtido pela primeira vez por Schwinger em 1948 e sua
comparação com a medida experimental se tornou um dos testes mais bem
sucessidos da QED e um dos melhores acordos teoria-experimento em toda a
ciência!
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Testes de Precisão da QED
Podemos encarar a comparação entre teoria e experimento para diversas
grandezas físicas como uma forma independente de determinar α. A QED é
“confirmada” na medida em que os diferentes valores concordam entre si.
?
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a
id ica
d
D : uc e f ís
E
s ias
Q
m
e teor
b
ais s as
a m oda
t
de
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