Diagramas de Feynman
Teorema de Wick permite transformar qualquer expressão da forma
em uma soma de produtos de propagadores de Feynman. Próximo passo é
desenvolver uma interpretação diagramática da expressão acima.
– Caso de quatro campos
Como vimos, no caso de quatro campos, a expressão acima fica reduzida a:
Então, representando
•
•
Cada um dos pontos x1 , ... , x4 por um ponto
:
Cada fator DF(x – y) por uma linha ligando x a y :
a equação acima pode ser representada como sendo a soma de três diagramas
(chamados diagramas de Feynman):
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1
– Diagramas de Feynman
Os diagramas de Feynman, embora não sendo quantidades mensuráveis, sugerem
uma interpretação:
X Partículas são criadas em dois pontos do espaço-tempo, cada uma
se propaga até um dos outros pontos e então são aniquiladas
•
Isso acontece de três formas, correspondentes à maneira de conectar os
pontos aos pares, como mostrado nos três diagramas acima
•
A amplitude total para o processo é a soma dos três diagramas.
Porém, a situação fica bem mais interessante quando a expressão contém mais de
um campo tomado no mesmo ponto espaço-temporal, como no caso de produtos de
campos em uma lagrangiana. Para isso, vamos retomar o resultado determinado
anteriormente para função de correlação dois pontos na teoria interagente:
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– Função de dois pontos:
O numerador, com a exponencial expandida em série de potências fica:
Vê-se que:
• 1° termo dá o resultado de campo livre:
•
2° termo na teoria λφ4, fica:
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Vamos aplicar o Teorema de Wick:
• Há 6 campos no 2° termo
• Obtém-se um termo para cada modo de contrair os 6 operadores aos pares
• Apenas termos em que todos os 6 estão contraídos, dois a dois, sobrevivem
Existem 15 maneiras de fazer as contrações:
• 3 maneiras de contrair φ(x) com φ(y), contraindo simultaneamente os
quatro campos φ(z), dois a dois (as desses últimos são idênticas):
•
12 maneiras de contrair φ(x) com um dos φ(z), φ(y), com outro dos φ(z),
e os dois φ(z) restantes:
4 escolhas para φ(x)φ(z)
3 escolhas para φ(y)φ(z)
1 escolha para φ(z)φ(z)
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O 2° termo pode, então, ser escrito como:
A expressão acima pode ser melhor entendida caso se represente cada termos como
um diagrama de Feynman:
X Contração:
PROPAGADOR
X Ponto “interno” (z):
(−iλ)∫ d 4z
VÉRTICE
Usando essas regras, a expressão acima é igual à soma de 2 diagramas:
=
linhas :
propagadores
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pontos internos : vértices
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– Fatores de Simetria
É importante estabelecer um procedimento para determinar o fator que deve
multiplicar cada diagrama de um determinado tipo (fatores de simetria). Ou seja,
obter os fatores que aparecem em ( )
3
1
= ×
4!
8
12
1
= ×
4!
2
Na prática devemos desenhar o gráfico (diagrama de Feynman) que dá origem a
uma dada expressão analítica e estabelecer o fator que deve multiplicar a expressão
através do algorítmo:
•
•
•
•
Fator de permutação dos N vértices (1/N!) ×
Fator de simetria (1/n!) para as n pernas de cada vértice ×
Modos de escolher a primeira perna ou fechar o primeiro loop ×
Modos de escolher a segunda perna ou fechar o segundo loop × ....
Vejamos alguns exemplos (ver Diagrammatica, M. Veltman, Cambridge Lectures
Notes in Physics).
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6
S =
1
3×1
1
=
4!
8
3
4!
1
1× 4× 3×1
1
S =
=
4!
2
1
4!
x
4
x
1
3
x
y
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y
7
8× 4× 3×2×1
1
S =
=
2! 4 ! 4 !
6
1
4!
1
1
3
4!
x
4
8
x
y
y
2!
2
x
y
1
S =
1
4!
1
1
4!
3!
8
12
1
12 × 3 × 8 × 4 × 3 × 2 × 1
1
=
3!4!4! 4!
12
4!
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4
3
2
1
3
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– Resumo das regras de Feynman
Para o numerador da expressão
tem-se que:
soma sobre todos os possíveis
diagramas com 2 pontos externos
Cada diagrama é construído com propagadores, vértices e pontos externos.
As regras de Feynman associam expressões analíticas a pedaços de diagramas.
– Regras de Feynman (espaço das coordenadas) para a teoria λφ4:
•
Para cada propagador:
•
Para cada vértice:
•
Para cada ponto externo:
•
Multiplicar (dividir no método do livro) pelo fator de simetria
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Muitas vezes é mais simples expressar as regras de Feynman em termos de
momenta, introduzindo a transformada de Fourier do propagador:
•
O propagador é representado no diagrama assumindo um 4-momento p para
cada propagador, indicando a direção com uma flecha. No caso da teoria
escalar esta direção não importa. No entanto, para férmions esta direção do
momento é essencial e deve acompanhar a direção de fluxo de partículas.
•
Quando quatro linhas se encontram em um vértice, os fatores dependentes
de z do diagrama são:
O que reflete o faro do momento ser conservado em cada vértice. As funções delta
podem ser usadas para realizar integrais de momento vindas dos propagadores.
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– Regras de Feynman (espaço dos momentos)
•
Para cada propagador:
•
Para cada vértice:
•
Para cada ponto externo:
•
Impor a conservação de momento em cada vértice
•
Integrar sobre cada momento indeterminado (arbitrário):
•
Multiplicar (dividir no método do livro) pelo fator de simetria
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– O Limite
T Æ ∞ ( 1– iε )
Note que ele está presente na integral que resultou na função delta, i.e.,
•
A exponencial explode quando z0 Æ ± ∞, a menos que seu argumento
seja imaginário puro
•
Para isso toma-se cada p0 com uma pequena parte imaginária p0 ∝ (1+iε ).
Esta é exatamente a hipótese feita ao introduzir a prescrição de Feynman
para o propagador DF
•
Integra-se ao longo de contorno que é ligeiramente rodado afastando-se do
eixo real, tal que p0 ∝ (1+iε )
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A dependência explícita em T na equação anterior parece desaparecer no limite
T Æ ∞. Porém, a estória não é tão simples. Para ilustrar considera-se o diagrama
(2π)4 δ4(p3−p3−p1−p2)
= (2π)4 δ4(p1+p2)
(2π)4 δ4(p1+p2+p4−p4) = (2π)4 δ4(0)
Depara-se (novamente!) com o íncômodo fator δ4(0) que é mais facilmente
compreendido voltando ao espaço das posições: ela é simplesmente a integral de
uma constante sobre d4ω:
espacial
O resultado estimado para a integral informa que o processo acima pode ocorrer em
qualquer ponto do espaço a em qualquer instante entre –T e T
X Todo pedaço desconexo, i.e., que não é conectado com um ponto
externo, de um diagrama terá um fator (2π)4 δ4(0) = 2T×V
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– Diagramas Desconexos e a Função de Correlação
A contribuição à função de correlação de diagramas como os anteriores é melhor
entendida através da exponencial de diagramas desconexos.
Tomando um diagrama típico da forma :
contendo um pedaço conectando x e y e vários pedaços desconexos.
Denominam-se Vi os vários pedaços desconexos:
Os elementos Vi são conectados internamente mas não aos pontos externos x e y .
Suponhamos que, além do pedaço conectada a x e y, que o diagrama
tenha ni
pedaços da forma Vi para cada i, (em geral, em qualquer diagrama, apenas um
número finito dos ni será não-nulo).
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Denotamos também por Vi o valor do pedaço Vi , o valor do diagrama será então:
valor do pedaço conexo
fator de simetria devido a troca das ni cópias de Vi
A soma sobre todos os diagramas, representando o numerador da fórmula para a
função de correlação de dois ponto, é dada por:
valor do
pedaço conexo
todos os
todos
possíveis
pedaços conexos
onde todos {ni } refere-se a todos os conjuntos ordenados {n1, n2, ... } de
inteiros não-negativos.
Pode-se fatorar a soma sobre os fatores conexos da expressão, na forma:
conexos
todos
soma dos valores de todos os pedaços conexos
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O termo `a direita pode ser re-escrito na forma:
todos
A demonstração é mais simples da direita para a esquerda
⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞
⎜⎜
1 V n1 ⎟⎜
1 V n2 ⎟⎜
1 V n3 ⎟
∑
∑
n2 ! 2 ⎟⎜
n3 ! 3 ⎟
⎜⎜⎝ ∑ n1 ! 1 ⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎟⎠
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
⎠⎝
n1
=
n2
( n1 !V1n
1
1
n3
)( n1 !V2n
+ n1′ !V1n1′ + n1′′!V1n1′′ +
1
2
1
= { n11 !V1n1 n12 !V2n2
{
=
1 Vn
(
∑ n ! 1
todos{n }
1
1
1
nk2
n
k2
!V2
ki
A soma sobre todos { nki
2
2
)(
)
2
2
3
3
}+
1 V n1 1 V n2′ 1 V n3′′
n1 ! 1 n2′ ! 2 n3′′! 3
k1
+ n1′ !V2n2′ + n1′′!V2n2′′ +
} + { n1′ !V1n′ n1′ !V2n′ n1′ !V3n′ } +
1 V n3
n3 ! 3
=
k1
2
1
nk3
n
k3
!V3
) = ∑ ∏ n1 !Vin
todos{n } i
ki
ki
ki
} significa soma sobre todos os conjuntos ordenados
{nk1 , nk2 , nk3 , …}
onde não há duplicação, i.e., cada combinação de { nki }só é contada uma vez.
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Usando o resultado mostrado anteriormente em ordem inversa:
conexos
conexos
conexos
conexos
A expressão acima demonstra um resultado importantíssimo:
X A soma de todos os diagramas = soma de todos os diagramas conexos
× a exponencial da soma de todos os diagramas desconexos
Pictoricamente:
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Agora voltamos ao denominador da função de dois pontos (última página da aula
passada). Como nele não há pontos externos, então, por argumentos semelhantes
ao que se acaba de demonstrar, o denominador é escrito simplesmente como:
Vê-se, então, que o termo acima cancela exatamente a exponencial originada nos
diagramas desconexos no numerador.
A função de dois pontos, reduzida à sua forma final, é escrita como:
Soma de todos os diagramas conexos com dois pontos externos
A expressão acima completa a análise aqui feita sobre a função de dois pontos.
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– Generalização para função de n pontos
A generalização para correlações de ordem mais alta é imediata:
Soma de todos os diagramas conexos
com n pontos externos
Como anterioremente, os diagramas desconexos exponenciam, fatoram e se
cancelam, pelo mesmo argumento dado na derivação da função de dois pontos.
•
Desconexo aqui significa “desconexo de todos os pontos externos” chamados
também de bolhas de vácuo ou ainda de transições vácuo-a-vácuo.
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Nas funções de correlação de ordem mais alta “desconexo” pode ter outro
significado. Considerando por exemplo a função de 4 pontos:
Muitos desses diagramas tem pontos externos desconectados uns dos outros. Tais
diagramas não fatoram e nem exponenciam: eles contribuem para a amplitude tanto
quanto os diagramas completamente conexos (i.e., em que qualquer ponto pode ser
alcançado percorrendo as linhas).
Na teoria λφ4 todas as funções de correlação de um número ímpar de campos se
anulam uma vez que é impossível desenhar um diagrama permitido (totalmente
contraído) com um número ímpar de pontos externos.
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– Interpretação dos diagramas desconexos.
Tomando a expressão (Eq. 4.30 do livro, penúltima página da seção 4.2 das notas):
Olhando apenas para as partes dependentes de T em ambos os lados:
Cada diagrama desconexo Vi contém um fator (2π)4 δ4(0) = 2T × Vol:
(2 π)4 δ(4) (0) ⎤
⎡
exp ∑Vi ∝ exp ⎢ −iE0
⎥
Vol
⎣
⎦
i
ou
∑Vi
i
∝ −iE0
(
(2 π )4 δ(4) (0)
Vol
)
A relação acima fornece uma fórmula para a densidade de energia do vácuo
(relativamente ao zeros de energia, fixado por H0 | 0 > = 0 ):
o lado direito da expressão acima independente de T e do volume.
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