Teoria Quântica de Campos I
Sandra S. Padula
Sérgio F. Novaes
Programa
Parte II
‰
Processos Elementares da Eletrodinâmica Quântica
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–
‰
Introdução às Correções Radiativas
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–
‰
Bremsstrahlung
Estrutura da Função de Vértice do Elétron
Cálculo da Função de Vértice do Elétron
Momento Magnético Anômalo
Divergência Infravermelha e o Vértice do Elétron
Desenvolvimentos Formais da Renormalização
–
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–
‰
Tecnologia dos Traços e Processos Não-Polarizados
Estrutura de Helicidade
Simetria de “Crossing”
Espalhamento Compton
Renormalização do Campo
Auto-energia do elétron
Redução LSZ e Diagramas de Feynman
Teorema Óptico
Identidade de Ward-Takahashi
Renormalização da Carga do Elétron
Sistemática da Renormalização
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Contagem das Divergências Ultravioleta
Teoria de Perturbação Renormalizada
Renormalização da Eletrodinâmica Quântica
Além da “Leading Order”: um Exemplo de Dois Loops
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Introdução às Correções Radiativas
Introdução
– Aprendemos a calcular diagramas a nível de árvore (tree-level)
– O próximo termo da expansão perturbativa em αem envolve
diagramas que contém loops
Esses diagramas possuem em geral divergências: devemos integrar sobre todos
os possíveis valores do momento da partícula (não-observável) que corre no loop.
Algumas dessas integrais divergem no ultra-violeta (kÆ∞).
Essas divergências devem ser:
• Identificadas e isoladas (reguralização)
• Tratadas de forma sistemática e consistente para que os cálculos levem a
grandezas físicas (finitas) mensuráveis (renormalização)
– Na QED existem 3 tipos distintos de diagramas de 1-loop:
X Correção do Propagador do Férmion (Auto-Energia):
dá origem à renormalização da massa do férmion.
X Correção do Propagador do Fóton (Polarização do Vácuo):
dá origem a renormalização da carga elétrica e a α(Q2).
X Correção de Vértice:
dá origem ao momento magnético anômalo do férmion.
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– Algumas das divergências dos loops são infravermelhas (kÆ0)
Essas divergências são canceladas por outro tipo de processo radiativo:
X bremsstrahlung.
Fótons com baixíssima energia podem ser radiados sem no entanto poderem
ser observados por qualquer detector físico.
Assim devem ser adicionados aos processos de espalhamento sem radiação.
•
•
•
Vamos iniciar o estudo das correções radiativas da QED pelo processo
de bremsstrahlung de baixa energia que possui divergência para kÆ 0.
Em seguida calcularemos o diagrama de correção de vértice que
também possui uma parte que diverge no infravermelho
Mostraremos como as divergências infravermelhas desses 2 processos
se cancelam
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Soft Bremsstrahlung
‰
Cálculo Quântico do Bremsstrahlung
Vamos calcular a amplitude de um fóton sendo emitido de um elétron
espalhado por uma fonte externa qualquer
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Assumindo que o fóton seja soft (baixa energia), i.e. |k|<<|p’-p|, podemos
ignorar o momento k no numerador e aproximar:
Simplificando o numerador usando a Equação de Dirac:
E o denominador:
Temos:
Amplitude Elástica
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Bremsstrahlung
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Seção de choque para o processo com bremsstrahlung fica:
Elástica
Esp. Fase
Bremsstrahlung
A probabilidade do elétron radiar um único fóton de momento k fica:
Escrevendo os momentos envolvidos como:
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Temos:
A probabilidade diferencial e total ficam:
Para garantir que a aproximação
para
G
G
Gfótons soft permaneça válida, integramos
a probabilidade apenas até | q |=| p − p ′ |
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Apesar da aproximação válida para fótons com baixa energia, a integral dk/k é
divergente no limite inferior (k=0) indicando que “a probabilidade de emitir fóton
muito soft é infinita. Aqui está a divergência infravermelha.
Uma maneira de contornar esse problema é regularizar artificialmente a integral
assumindo uma “pequena massa” fictícia µ para o fóton.
Nesse caso o limite inferior torna-se 0 Æ µ :
onde:
∴
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G
q 2 = − | q |2
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Resolvendo agora a integral
G G
k // v ′
G G
k // v
G
(kˆ.v = v cos θ ≈ 1
e
. O integrando tem picos para:
G
GG
kˆ.v ′ ≈ v .v ′)
G
(kˆ.v ′ = v ′ cos θ ≈ 1
e
k̂
k̂
G
v
G
v′
G
v
G
GG
kˆ.v ≈ v .v ′)
G
v′
O limite inferior não é crítico. Podemos por exemplo tomar
O termo dominante não vai depender da escolha de x.
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A integral fica:
Obtemos um duplo log (-q2), chamado de duplo logarítmo de Sudakov.
A dependência em µ será discutida mais tarde:
Exercício 6.1: Discuta o bremsstrahlung clássico (pag. 177 a 182 do Peskin).
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