Olimpíada de Matemática da Unicamp
Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
XXX OMU - 2014
Título: Brincando e explorando a matemática com o Geoplano.
Miriam Sampieri Santinho
Sandra Menezes
LEM/IMECC/UNICAMP
Resumo: O Geoplano é um recurso pedagógico criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno onde “Geo”
vem da palavra geometria e “plano” significa tábua ou superfície plana. O Geoplano consiste em uma
superfície com pontos (normalmente marcados com pregos) que formam uma malha que é acompanhada por
um conjunto de elásticos que vão permitir aos alunos construírem figuras geométricas e investigar suas
propriedades. Existem diversos tipos de Geoplano que está diretamente ligada à apresentação da malha; por
exemplo se malha for formada por quadrados o geoplano é dito quadricular; formada por triângulos
equiláteros temos o geoplano isométrico; se a malha for circunferências concêntricas será circular. O
objetivo desta oficina é trabalhar com os estudantes alguns conceitos ligados às medidas de comprimento e
área de figuras planas, bem como aplicar o Teorema de Pick. Para isso, serão desenvolvidas atividades com o
Geoplano um recurso didático bastante simples, mas muito rico, que permite aos estudantes, por meio de
manipulações, explorar diversos conceitos geométricos.
Objetivos:
 Motivar a aprendizagem da disciplina matemática.
 Proporcionar aos alunos a possibilidade de construir o seu próprio conhecimento, de maneira
autônoma e progressiva desenvolvendo assim o raciocínio matemático.
 Apresentar o Geoplano como um recurso que auxilie no estudo da Matemática de forma lúdica,
numa abordagem dinâmica e interativa.
 Explorar os conceitos ligados a medidas de comprimento e área de figuras planas, bem como aplicar
o teorema de Pick.
Tópicos a serem abordados:
 Breve abordagem sobre o que é um plano.
 Explorar o conceito de medida como a comparação com um padrão, denominado unidade.
 Propor aos alunos a criação de duas unidades convenientes para medir comprimentos e áreas de
figuras no Geoplano.
 Explorar por meio do teorema de Pick o cálculo de área de polígonos com vértices em pontos de
uma malha com o recurso do Geoplano, relacionando-a apenas ao número de pontos da malha
localizados no interior do polígono e o número de ponto da malha sobre o bordo do polígono.
Dinâmica: O trabalho será desenvolvido em duplas, sendo que os estudantes terão em mãos um Geoplano e
um conjunto de elásticos. Serão desenvolvidas atividades abordando os seguintes conteúdos: medidas de
comprimento e medidas de área de figuras planas com aplicação do teorema de Pick.
Referências bibliográficas:
[1] ANDRADE, D. A Formula de Pick, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Vol. 9 No. (1988)
119 126.
[2] GGEP. Sugestões de Atividades Educacionais usando o geoplano, entre muitas possíveis. Revista de
Educação Matemática. São Paulo: SBEM, a. 8 n.6-7, 2001/2002.
[3] KNIJNIK, G., BASSO, V. A.B, KLÜSENER, R. Aprendendo e ensinando matemática com o geoplano.
Ijui – RS: Unijui, 2004.
[4] MACHADO, R. M. Minicurso - explorando o geoplano. In: II Bienal da Sociedade Brasileira de
Matemática. Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf>. Acesso em: 30 julho de 2014.
[5] SERRAZINA L.,MATOS, J. M. O geoplano na sala de aula. Lisboa: APM, 1988.
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Atividades1
1.Desenho livre.
Perguntas:
a) Para que vocês acham que serve este material?
b) Como fazer uma figura usando um elástico?
c) Será que é possível fazer um quadrado no geoplano, usando apenas um elástico?
d) Será que é possível fazer quadrados de tamanhos diferentes usando em cada um deles um
elástico?
2. Construa em seu Geoplano cada uma das figuras abaixo.
Desafio: Use um elástico para cada uma delas.
D
A
C
B
E
Responda:
a) Quais figuras foram construídas com facilidade?
b) Quais figuras foram difíceis? Por quê?
c) Qual o nome da figura A? E o da figura C?
d) Quantos vértices tem cada figura?
3. Construir as seguintes figuras:
Desafio: Use um elástico para cada uma delas.
a)
b)
c)
d)
com 4 lados de mesma medida.
com 3 lados, sendo 2 lados de mesma medida.
com 4 lados de tamanhos diferentes.
com 5, 6 e 10 lados que podem ter alguns lados de mesmo tamanho ou não.
Figuras no geoplano com
5 lados
6 lados
10 lados
1
Número de lados de mesmo tamanho
Todas as atividades foram adaptadas ou retiradas das referências bibliográficas indicada no resumo.
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4. Construa no Geoplano:
a) Copie esta figura no Geoplano:
b) Mude somente o que for necessário para transformá-la nesta figura:
c) O que foi necessário mudar para fazer essa modificação?
d) Copie esta figura no Geoplano:
e) Mude somente o que for necessário para transformá-la nesta figura:
f) O que foi necessário mudar para fazer essa modificação?
5. Observe as figuras abaixo e construa no geoplano.
a) Todas as figuras acima possuem eixo de simetria? Qual delas não possui?
b) Quais figuras possuem mais que um eixo de simetria?
c) Com um elástico, coloque os eixos de simetria nas figuras.
6. Desafio: a figura abaixo tem metade de um desenho e seu eixo de simetria. Construa a figura
inteira no geoplano.
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7. Construa no Geoplano:
a) Observe as figuras abaixo. Qual seria o próximo quadrado desta sequência?
b) Qual seria o próximo retângulo desta sequência?
c) Qual seria o próximo retângulo desta sequência?
d) Invente uma sequência e mostre a seu colega para ele continuá-la em seu geoplano.
8. Desenhar a figura A com apenas um elástico. Como ela pode ser transformada na figura B? E na
figura C?
A
B
C
9. Construir no geoplano, com os elásticos coloridos, as representações abaixo e calcular seus
comprimentos, tomando-se como unidade de comprimento a menor distância entre dois pregos.
Faça os seus registros.
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10. Construir no geoplano, com os elásticos coloridos, as representações abaixo e calcular seus
comprimentos, explorando o perímetro das figuras.
11. Construir no geoplano um retângulo cujo perímetro seja 6 unidades e cujo lado seja o dobro um
do outro.
12. Construir no geoplano um quadrado cujo perímetro seja 16 unidades.
13. Desafio: Construa um caminho que passe por todos os pregos do geoplano apenas uma vez e
que acabe no prego que começou.
Tomemos como unidade de área a área ocupada pelo menor quadrado limitado por quatro pregos.
Agora determine o que se pede:
14. Construa no Geoplano e determine a área das figuras abaixo:
15. Desafio: Construir no Geoplano uma outra figura que tenha a mesma área do apresentado
abaixo, porém diferente.
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16. Quebra-cabeça: Divida a figura em quatro triângulos e um quadrado
Método das metades:
Os triângulos indicados nas figuras têm a metade da área dos retângulos tracejados.
17. Construa no Geoplano as figuras abaixo:
Método do Enquadramento:
A figura abaixo mostra como diversas figuras podem se enquadradas por um retângulo e a sua área
calculada subtraindo da área do retângulo a área de figuras simples.
18.
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18. Construa no Geoplano as figuras abaixo e calcule a área utilizando o “enquadramento por
retângulo”
20. Construa no Geoplano as figuras abaixo e determine o que se pede:
a) Com apenas um elástico desenhe o triângulo retângulo menor. Qual é a sua área? Agora,
pegue o elástico que está no vértice superior e desloque ao longo da linha dos pinos,
perpendicular à base do triângulo. Qual é a área do novo triângulo? Faça esta transformação
sucessivamente. Encontre uma regra para o que acontece?
b) Determine as áreas da sequência de triângulo da figura abaixo. O que podemos concluir?
c) O que acontece à área de um triângulo quando se duplica a base e a altura?
21. Calcular as áreas do triângulos A1, A 2 , A3 e A4
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22. Observe a figura abaixo e responda:
a) Duplicando-se a medida de cada lado do quadrado, duplica-se o perímetro?
b) Duplicando-se a medida de cada lado do quadrado, duplica-se sua área?
c) O que acontece com o perímetro e com a área do quadrado ao triplicar as medidas dos
lados?
d) O que acontece com o perímetro e com a área do quadrado ao multiplicar por quatro as
medidas dos lados do quadrado?
23. Construir as figuras no Geoplano, calcular a área, utilizando a fórmula do teorema de Pick e
preencher a tabela dada. Numerar as figuras abaixo:
Figuras
1
2
3
4
5
6
7
8
Números nas
fronteiras
Números no interior
Área
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24. Utilizando a fórmula do teorema de Pick, calcule a área da região delimitada na malha
abaixo:
Dado: área de cada célula (unidade de área) da malha corresponde a 16.900 m2
25. Brincando com o Geoplano: Jogo da Linha
Número de jogadores: 2
Material: 1 geoplano e elásticos
Procedimento: O primeiro jogador constrói um segmento de linha no geoplano, ligando alguns
pinos a seu critério, (figura A). Do fim desde segmento, o segundo jogador constrói um segmento
ligando alguns pinos a seu critério (figura B). O primeiro jogador agora constrói um terceiro
segmento usando outro lado do segmento (figura C).
Nenhum fim de ponta pode ser usado mais que duas vezes. Os elásticos não podem se cruzar.
O jogo continua até que nenhum elástico possa ser colocado no geoplano.
O jogador que forçou o último elástico é o perdedor.
Figura referente ao jogo da Linha.