Teoria dos Jogos e Direito
Notas de Aula
Prof. Giácomo Balbinotto Neto
PPGE/UFRGS
Maio/2006
A teoria dos jogos
“A teoria dos jogos é matéria nova que despertou grande interesse em razão de
suas propriedades matemáticas inéditas e suas múltiplas aplicações a
problemas sociais, econômicos e políticos. A teoria atravessa fase de ativo
desenvolvimento. Seus efeitos sobre as ciências sociais já começaram a
manifestar-se ao longo de um largo espectro. Suas aplicações se vêm
tornando cada vez mais numerosas e dizendo respeito a questões altamente
significativas enfrentadas pelos cientistas sociais, mercê do fato de que a
estrutura matemática da teoria difere profundamente de anteriores tentativas
de propiciar fundamento matemático aos fenômenos sociais. Primeiros
esforços em tal sentido foram feitos com base nas ciências físicas e se
inspiraram no impressionante êxito por elas alcançado ao longo dos séculos.
Ocorre, porém, que os fenômenos sociais são diferentes: os homens algumas
vezes lutam uns contra os outros e algumas vezes cooperam entre si; dispõem
de diferentes graus de informação acerca do próximo, e suas aspirações os
conduzem ao conflito ou à colaboração. A natureza inanimada não exibe
qualquer desses traços. Átomos, moléculas, estrelas podem aglomerar-se,
colidir, explodir, mas nunca se hostilizam, nem colaboram uns com os outros.
Consequentemente, era de duvidar que os métodos e conceitos desenvolvidos
pelas ciências físicas pudessem lograr êxito quando aplicados a problemas
sociais”
(MORGENSTERN, O. “Prefácio”, in DAVIS, M. D. Teoria dos Jogos).
2
Teoria dos Jogos
A Teoria dos Jogos constitui-se num
conjunto de instrumentos e em uma
linguagem para descrever e prever o
comportamento estratégico.
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Decisões Estratégicas
Situações estratégicas são situações nas quais
um agente leva em conta como outros agentes
iriam se comportar numa tomada de decisão e
os outros agentes iriam fazer o mesmo.
Assim, decisões estratégicas envolvem dois ou
mais tomadores de decisão e a possibilidade
de ligar uma decisão a outra e vice versa.
4
Teoria dos Jogos
A teoria dos jogos modela e estrutura o
comportamento estratégico pelos
agentes que compreendem que suas
ações afetam as ações de outros
agentes.
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Jogos e Decisões
Estratégicas
Jogo é uma situação em que os jogadores
(participantes) tomam decisões estratégicas, ou
seja, decisões que levam em consideração as
atitudes e respostas dos outros.
As decisões estratégicas resultam em payoffs para
os jogadores: resultados que acarretam
recompensas ou benefícios.
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O objetivo da teoria dos jogos
Um objetivo crucial da teoria dos jogos é determinar
a estratégia ótima para cada jogador.
A estratégia é uma regra ou um plano de ação para
o jogo. A estratégia ótima para um jogador é aquela
que maximiza seu payoff esperado.
Os payoffs referem-se a todas as coisa que
importam para o jogador, positiva ou negativamente,
a qualquer período durante o jogo.
7
O objetivo da teoria dos jogos
A teoria dos jogos estuda o comportamento e a
interação entre os indivíduos quanto à
expectativa que um têm em relação ao outro.
No entanto, nesse processo de interação, um
desconhece o que o outro está fazendo: não tem
idéia dos recursos de que dispõe, nem muito
menos qual é a expectativa de resultado.
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Teoria dos Jogos Aplicada à
Law and Economics
The law frequently confronts situations in which there are few
decisions makers na in which the optimal action for one person to
take depends on what another actor choose. These situations
are like games in that people must decide upon a strategy. A
strategy is a plan for action that responds to the reactions of
others. Game theory deals with any situation in which strategy is
important. Game theory will, consequently, enhance our
understanding of some legal rules and institutions.
Cooter e Ullen (2004, p.38)
9
O Comportammento
Estratégico no Direito
Quando dois (ou mais) indivíduos interagem e
suas respectivas ações se baseiam naquilo
que os outros esperam ou desejam, existe o
que se denominou, há muito, "comportamento
estratégico".
Os juristas de "Law & Economics" procuraram
entender como normas legais interferem nesse
comportamento estratégico, valendo-se de um
instrumental econômico conhecido como
"teoria dos jogos".
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Teoria dos Jogos Aplicada à
Law and Economics
Laws often matter in situations in which the
behaviour of one person turns on what that
person expects other to do. Because strategic
behaviour is common, the formal tools that can
help us understand it are important.
Baird, Gertner & Picker (1995,p. xi)
11
Teoria dos Jogos Aplicada à
Law and Economics
Game theory, like all economics modelling,
works by simplifying a given social situation
and stepping back from many details that are
irrelevant to the problem in hand. The test of a
model is whether it can hone our intuiton by
iluminating the basic forces that are at work
but not plainly visible when we llok at na actual
case in all its detail. The spirit of the
enterprise is to write down the game with
fewest elements that captures the essence of
the problem.
Baird, Gertner & Picker (1995, p. 7)
12
Teoria dos Jogos Aplicada à
Law and Economics
Strategic behaviour arises when two or more
individuals interact and each individual’s
decision turns on what that individual expects
the others to do. Legal scholars have
recognized the need to take account of strategic
behaviour.
Baird, Gertner & Picker (1995,p. xi)
13
Teoria dos Jogos Aplicada à
Law and Economics
Principais autores:
Cooter & Ulen (2003)
Avery Katz (1990)
Ian Ayres (1989)
Charles Goetz & Robert Scott (1985)
14
Teoria dos Jogos Aplicada à
Law and Economics
Principais proposições:
- comportamento estratégico;
- informação completa e incompleta;
- informação simétrica e assimétrica;
- sinalização;
- equilíbrio de Nash;
- estratégia dominante;
- teoria da barganha [jogos cooperativos]
15
Law and Economics
Aplicações [cf. Cooter & Ulen (2003)]:
- teoria dos contratos;
- teoria da agência;
- processo jurídico;
- lei de danos;
- negligência
16
Game Theory Applied to
Law and Economics
- Ayres (1990) - provê uma discussão geral da teoria dos jogos
aplicada a problemas legais;
- Jackson (1982) – aplica o problema do dilema dos prisioneiros
a lei de falências;
- Brown (1973) – aplicação da teoria dos jogos aos danos (torts)
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Pressuposto Fundamental
Os jogos envolvem jogadores racionais, ou seja, jogadores que
racional levando em conta a seguinte questão: se cremos que
nosso concorrentes são racionais e atuam visando à
maximização de seus payoffs, de que modo devemos levar o
comportamento deles em consideração ao tomar nossas
próprias decisões?
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Algumas Aplicações da
Teoria dos Jogos
Estudo de oligopólios;
Estudo de carteis (OPEP);
Estudo de estratégias militares;
Empresas.
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O Que é um Jogo?
Um jogo [situação na qual os agentes econômicos tomam decisões estratégicos
que levam em conta as atitudes e as respostas dos outros) consiste de:
- um conjunto de jogadores (são os agentes que tomam decisões visando
maximizar suas utilidades);
- um conjunto de estratégias (plano de ação ou regra para participar de um jogo)
para cada jogador;
- uma ação ou movimento realizado por um jogador é uma escolha que ele faz.
Cada jogador possui um conjunto de ações disponíveis.
- um payoff (o valor associado a um resultado possível) para cada jogador para
cada possível lista de escolha de estratégias escolhidas pelos jogadores.
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O Que é um Jogo?
A estratégia de um jogador é uma
regra que lhe diz qual a ação que ele
deve escolher a cada instante do
jogo, dado o conjunto de informações
que ele possui.
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Two-Player Games
Aqui nós iremos estudar apenas
jogos no qual há apenas dois
jogadores os quais escolhem
apenas duas estratégias.
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Conceitos Básicos: Formas de
Representação de um Jogo
Existem duas formas alternativas de representação
de um jogo:
(i) forma estratégica ou normal - é a mais
apropriada para a representação de situações que
não envolvem a passagem do tempo;
(ii) forma extensiva - é adequada para jogos que
envoilvem o tempo e são, portanto, dinâmicos.
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Forma normal e eliminação de
estratégias dominadas
A forma normal de um jogo consiste na especificação de três
elementos:
(i) uma lista de jogadores;
(ii) uma lista de estratégias disponíveis para cada jogador;
(iii) uma lista de payoffs para cada estratégia adotada por um
jogador;
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Estratégias Dominantes
Estratégia dominante é a estratégia que é
ótima não importando o que um oponente
faça.
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Estratégias Dominantes e
o Dilema do Prisioneiro
Coluna
S
S
Linha
C
-1; -1
-10; 0
C
0, - 10 -8, - 8
ESTRATÉGIA
DOMINANTE
26
Forma Normal e a Eliminação
de Estratégias Dominadas
A figura mostra um jogo na forma normal que envolve dois
jogadores (A e B) com três estratégias disponíveis para
A (x, y e z) e duas disponíveis para B (d e f).
As células no interior da tabela – que formam uma matriz de
payoffs – indicam os payoffs de cada jogador em cada
estratégia, sendo que a primeira representa o pay off de A e a
segunda de B.
Neste jogo, ambos os jogadores tomam as decisões sem
conhecer a escolha do outro, mas conhecendo os payoffs
possíveis.
27
Forma Normal e a Eliminação
de Estratégias Dominadas
Advogado A
d
Advogado B
x
y
z
f
1,0
3,1
2,1
2,0
0,4
1,2
28
Forma Normal e a Eliminação
de Estratégias Dominadas
A técnica de solução que pode ser aplicar no jogo
representado acima é a eliminação de estratégias estritamente
dominadas.
Uma estratégia estritamente dominada é definida com uma
estratégia que gera payoffs inferiores para um jogador, qualquer
que seja a estratégia adotada pelo outro.
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Forma Normal e a Eliminação
de Estratégias Dominadas
Olhando para os payoffs da figura acima, vê-se que a estratégia
z para o jogador A preenche estes requisitos.
Se B escolher d, A pode escolher x ou y, superiores a z; se B
escolher f, A também não escolherá z, pois x e y geram ,
ambos, payoffs superiores.
Como B sabe, por hipótese, que A é racional, ele descarta a
estratégia z que jamais será adotada por A. Sendo assim, o jogo
fica reduzido a uma tabela 2 x 2 pela eliminação da estratégia z.
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Forma Normal e a Eliminação
de Estratégias Dominadas
Advogado A
d
Advogado B
x
y
f
1,0
3,1
2,1
2,0
0,4
1,2
z
31
Forma Normal e a Eliminação
de Estratégias Dominadas
Agora, A verifica que se B têm uma estratégia dominada: A estratégia
d é dominada. Então A, também sabendo que N, por ser racional, não
adotará esta estratégia , a elimina de cogitação, estando para o jogo
apenas a primeira linha da figura.
Agora, B, sabendo que A é racional, que, por sua vez, também sabe
que B é racional, escolherá a estratégia f porque sabe que A não
adotará d, restando a solução do jogo: (x, e) = (3,1).
Tal técnica de solução é chamada de eliminação sucessiva (ou
reiterada) de estratégias estritamente dominadas.
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Exemplo #2:
Airbus vs. Boeing
O payoff do jogador A é mostrado primeiro.
O payoff do jogador B é mostrado em segundo lugar
Cada celula representa os payoffs em termos de lucro
das empresa.
.
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Forma Estratégica
Estratégia Dominante
Airbus
HP
LP
Boeing
LP
HP
34
Exemplo #3
‘
Os jogadores são A e B.
A têm duas estratégias: “U” e “D”.
B também têm duas estratégias: “L” e “R”.
A tabela mostra os payoffs de ambos os jogadores para
cada uma das 4 possíveis combinações de estratégias. Isto
é o que chamamos de matriz dos payoffs (payoff matrix).
35
Jogador B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
Jogador A
O payoff do jogador A é mostrado primeiro.
O payoff do jogador B é mostrado em segundo lugar.
36
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
Se A joga U e B joga R, então o payoff de A é igual
a 1 e o de B é igual a 8.
37
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
Se A joga D e B joga R, então o payoff de A
é igual a 2 e o payoff de B é igual a 1.
38
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
Qual é o resultado provável deste jogo?
39
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
É (U,R)uma jogada
provável?.
Se B joga R então a melhor resposta de A é D,
visto que isto melhora o payoff de A de 1 para 2.
Portanto (U,R) não é um resultado provável
40
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
É (D,R) um resultado provável do jogo?
41
B
L
A
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
Se B joga R então a melhor
resposta de A é D.
42
B
L
A
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
Se B joga R, então a melhor resposta de A é D.
Se A joga D então a melhor resposta de B é R.
Portanto, (D,R) é um resultado provável do jogo.
43
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
É (D,L) um resultado provável?
44
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
Se A joga D então a melhor resposta de B é R,
portanto (D,L) não é uma jogada provável
45
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
É (U,L) uma jogada
provável?
Se A joga U então a melhor
resposta de B é L.
46
Player B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
Player A
É (U,L) uma jogada
provável?
Se A joga U, então a melhor resposta de B é L.
Se B joga L então a melhor resposta de A é U.
Portanto (U,L) é uma jogada provável.
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O Equilíbrio de Nash
Equilíbrio de Nash
Um equilíbrio de Nash consiste num equilíbrio no qual
cada jogador faz a escolha ótima (aquela que maximiza
seu payoff), dada a escolha do outro. Em outras palavras,
dizemos que um par de estratégias constitui-se num
equilíbrio de Nash se a escolha de A for ótima, dada a
escolha de B, e a escolha de B for ótima dada a escolha
de A e não houver incentivos para que ambos mudam de
estratégia.
Em nosso exemplo, temos dois equilíbrios de Nash: (U,L)
and (D,R).
49
Equilíbrio de Nash
Um equilíbrio é dito ser um Equilíbrio
de Nash quando nenhuma parte num
jogo tem incentivo para se alterar.
Ou em outras palavras, cada parte
está fazendo o melhor que pude,
dada a escolha feita pelas outras
partes no jogo.
50
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
(U,L) e (D,R) são ambos equilíbrios de Nash para este jogo.
51
B
L
A
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
(U,L) e (D,R) são ambos equilíbrios de Nash do jogo.
Mas qual deles nós iremos ver?
Note que (U,L) é preferido
a (D,R) por ambos os jogadores.
52
O Dilema dos
Prisioneiros
O Dilema dos Prisioneiros
A discussão original do jogo tratava de uma situação em
que dois prisioneiros, comparsas num crime, era,
interrogados em locais separados.
Cada prisioneiro tinha uma escolha: confessar o crime e
envolver o outro, ou negar sua participação no crime.
Se apenas um dos prisioneiros confessas o crime, ele seria
libertado e as autoridades condenariam o outro prisioneiro a
seis meses de prisão.
Se ambos negassem o seu envolvimento, ambos
passariam um mês na prisão devido aos aspectos
burocráticos. Se confessassem, ambos seriam presos por
três meses.
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O Dilema dos Prisioneiros:
Aplicações
- estabelecimento de preços em
oligopólios;
- leilões de empresas privatizadas;
- esforço de vendedores;
- barganha política;
- corrida armamentista.
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O Dilema dos Prisioneiros
Clyde
S
S
C
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
56
Clyde
S
S
C
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
Se Bonnie joga S então a melhor
resposta de Clyde é C
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Clyde
S
S
C
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
Se Bonnie joga S então a melhor resposta de Clayde
é C. Se Bonnie joga C então a melhor resposta de
Clyde é C.
58
Clyde
S
S
C
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
Portanto, não importando o que Bonnie fizer, a melhor
resposta de Clyde será sempre C. Assim, C é uma
estratégia dominante para Clayde.
59
Clyde
S
S
C
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
Similarmente, não importanto qual a jogada
de Clyde, a melhor resposta de Bonnie é sempre C.
C é uma estratégia dominante (dominant strategy)
também para Bonnie.
60
Clyde
S
S
C
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
O único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), mesmo
que r(S,S) proporcione tanto a Bonnie como a Clyde
melhores payoffs. Contudo, o único equilíbrio de Nash é
ineficiente.
61
O Dilema do Prisioneiro
Se ambos pudessem ter a certeza de que o outro não
confessaria e pudessem fazer um acordo, ambos
sairiam ganhando, o que os colocaria numa posição
melhor. A estratégia (S,S) é eficiente no sentido de
Pareto – não há outra escolha capaz de melhorar a
situação de ambos os jogadores – enquanto a
estratégia (C,C) é ineficiente no sentido de Pareto.
O problema é que não há meio de os prisioneiros
coordenarem suas ações;se ambos pudessem confirar
um no outro, ambos poderiam melhorar.
62
Jogos Sequenciais
Jogos Sequenciais
Um jogo sequencial é um jogo no qual
os jogadores realizam seus
movimentos em uma ordem
predeterminada.
64
Jogos Sequenciais
Há jogos no qual um jogador joga
antes de outro. Tais jogos são
chamados de jogos sequenciais
O jogador que joga primeiro é o lider.
O jogador que joga depois é o
seguidor.
65
Um exemplo de um jogo
sequêncial
Algumas vezes um jogo têm mais do que
um equilíbrio de Nash é é dificil dizer qual
deles têm mais possibilidade de eocorrer.
Quando tal jogo é sequencial,contudo,
algumas vezes é possivel argumentar que
um dos equilíbrios de Nash seja mais
provável de ocorrer do que outro.
66
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
(U,L) e (D,R) são ambos equilíbrios de Nash
quando este jogo é jogado simultaneamente
e nós não temos um modo de decidir
quak equilíbrio é o mais provável de ocorrer.
67
B
L
R
U
(3,9) (1,8)
D
(0,0) (2,1)
A
Suponha que ao invés de que o jogo seja jogado
sequencialmente, com A jogando primeiro e após B.
Nós podemos reescrever o jogo na sua forma
extensiva (extensive form).
68
Exemplo de um jogo sequencial
A
U
D
B
L
R
L
(1,8) (0,0)
(3,9)
69
A joga primeiro
e B depois.
B
R
(2,1)
A
U
D
B
L
B
R
L
R
(1,8) (0,0)
(3,9)
(2,1)
(U,L) é um equilíbrio de Nash.
70
A
U
D
B
L
B
R
L
R
(1,8) (0,0)
(3,9)
(2,1)
(U,L) é um equilíbrio de Nash.
(D,R) é um equilíbrio de Nash.
Qual deles é o mais provável de ocorrer?
71
A
U
D
B
L
B
R
L
(1,8) (0,0)
(3,9)
R
(2,1)
Se A joga U, então B joga L; A ganha 3.
72
A
U
D
B
L
B
R
L
R
(1,8) (0,0)
(3,9)
(2,1)
Se A joga U, então B joga L; A ganha 3.
Se A jga D então B joga R; A ganha 2.
73
A
U
D
B
L
B
R
L
(1,8) (0,0)
(3,9)
R
(2,1)
Se A joga U então B joga L; A ganha 3.
Se A joga D então B joga R; A ganha 2.
Portanto (U,L) é o provável equilíbrio de Nash.
74
Fim