Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA
Disciplina: Matemática
Professor: Vinı́cius Nicolau
04 de Novembro de 2014
Sumário
1
Questões de Vestibular
1.1 UFPR 2014 . . . .
1.1.1 Questão 1 .
1.1.2 Questão 2 .
1.1.3 Questão 3 .
1.1.4 Questão 4 .
1.1.5 Questão 5 .
1.1.6 Questão 6 .
1.1.7 Questão 7 .
1.1.8 Questão 8 .
1.1.9 Questão 9 .
1.2 Respostas . . . . .
1.2.1 Questão 1 .
1.2.2 Questão 2 .
1.2.3 Questão 3 .
1.2.4 Questão 4 .
1.2.5 Questão 5 .
1.2.6 Questão 6 .
1.2.7 Questão 7 .
1.2.8 Questão 8 .
1.2.9 Questão 9 .
1
1.1
1.1.1
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1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
7
7
7
8
8
10
11
11
12
13
Questões de Vestibular
UFPR 2014
Questão 1
O motivo de uma pessoa ser destra ou canhota é um dos mistérios da ciência. Acredita-se
que 11% dos homens e 9% das mulheres são canhotos. Supondo que 48% da população brasileira é constituı́da de homens, e que essa crença seja verdadeira, que percentual da população
brasileira é constituı́do de canhotos?
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MAT A- Questões de Vestibular
p. 1
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(a) 9,60 %.
(b) 9,96 %.
(c) 10,00 %.
(d) 10,40 %.
(e) 10,56 %.
Resposta
1.1.2
Questão 2
Qual é o número mı́nimo de voltas completas que a menor das engrenagens deve realizar
para que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira novamente?
(a) 14 voltas.
(b) 21 voltas.
(c) 57 voltas.
(d) 60 voltas.
(e) 84 voltas.
Resposta
1.1.3
Questão 3
Um kit para impressão vem com oito cartuchos de tinta, de formato idêntico, para impressora. Nesse kit há dois cartuchos de cada uma das quatro cores diferentes necessárias para uma
impressora caseira (ciano, magenta, amarelo e preto). Escolhendo aleatoriamente dois cartuchos desse kit, qual a probabilidade de se obter duas cores distintas?
6
(a) .
7
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1
.
12
15
(c) .
56
1
(d) .
48
1
(e) .
64
Resposta
(b)
1.1.4
Questão 4
Um cı́rculo, com centro na origem do plano cartesiano, é tangente à reta de equação y =
2x + 2. Qual é o raio desse cı́rculo?
√
(a) 2.
(b) 2.
√
10
.
(c)
2
2
(d) .
5√
2 5
(e)
.
5
Resposta
1.1.5
Questão 5
O ângulo de visão de um motorista diminui conforme aumenta a velocidade de seu veı́culo.
Isso pode representar riscos para o trânsito e os pedestres, pois o condutor deixa de prestar
atenção a veı́culos e pessoas fora desse ângulo conforme aumenta sua velocidade. Suponha que
o ângulo de visão A relaciona-se com a velocidade v através da expressão A = kv + b, na qual
k e b são constantes. Sabendo que o ângulo de visão a 40 km/h é de 100◦ , e que a 120 km/h fica
reduzido a apenas 30◦ , qual o ângulo de visão do motorista à velocidade de 64 km/h?
(a) 86◦ .
(b) 83◦ .
(c) 79◦ .
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(d) 75◦ .
(e) 72◦ .
Resposta
1.1.6
Questão 6
Um tanque para armazenamento de produtos corrosivos possui, internamente, o formato
de um cilindro circular reto com uma semiesfera em cada uma de suas bases, como indica a
figura. Para revestir o interior do tanque, será usada uma tinta anticorrosiva. Cada lata dessa
tinta é suficiente para revestir 8 m2 de área. Qual o número mı́nimo de latas de tinta que se deve
comprar para revestir totalmente o interior desse tanque? (Use π = 3, 14).
6m
2m
(a) 3 latas.
(b) 4 latas.
(c) 5 latas.
(d) 7 latas.
(e) 10 latas.
Resposta
1.1.7
Questão 7
Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A profundidade do primeiro pistão no bloco do motor pode ser descrita, de
maneira aproximada, pela expressão H1 = 12 cos(2πt/60), e a profundidade do segundo, pela
expressão H2 = 12sen (2πt/60), sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor. Quanto tempo levará para que os pistões estejam na mesma profundidade,
pela primeira vez, após o acionamento do motor?
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(a) 5 milissegundos.
(b) 7,5 milissegundos.
(c) 10 milissegundos.
(d) 22,5 milissegundos.
(e) 45 milissegundos.
Resposta
1.1.8
Questão 8
Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros
dois vértices sobre a parábola de equação y = 4 − x2 , com y > 0. Qual é o perı́metro máximo
desse retângulo?
(a) 4.
(b) 8.
(c) 10.
(d) 12.
(e) 17.
Resposta
1.1.9
Questão 9
Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica
a figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as
escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente
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(a) 1,15 m.
(b) 1,40 m.
(c) 1,80 m.
(d) 2,08 m.
(e) 2,91 m.
Resposta
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1.2
Respostas
1.2.1
Questão 1
Vamos considerar que a população brasileira total é x pessoas. Assim, a população de
homens é 0, 48 · x e a população de mulheres é 0, 52 · x.
Do enunciado, tiramos as informações de que 11% dos homens são canhotos e 9% das
mulheres são canhotos. Ou seja,
• 0, 11 · 0, 48 · x são homens e canhotos;
• 0, 09 · 0, 52 · x são mulheres e canhotos.
Logo, a quantidade total de pessoas canhotas é
0, 11 · 0, 48 · x + 0, 09 · 0, 52 · x
0, 0528 · x + 0, 0468 · x
0, 0996 · x
que representa 9,96% da população total brasileira.
Voltar para a Questão 1
1.2.2
Questão 2
Primeiro, perceba que estamos considerando sempre voltas completas da primeira engrenagem, a de 7 dentes.
Observe que, a cada volta da primeira engrenagem, as outras engrenagens “andam” 7 posições.
Para voltar ao alinhamento inicial, a segunda engrenagem precisa andar 20 · n posições e a terceira engrenagem 30 · m posições, sendo n e m números inteiros.
Assim, devemos encontrar a quantidade x de voltas para que a segunda engrenagem ande
20 · n posições e a terceira ande 30 · m.
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Ou seja,
• x = 20 · n e
• x = 30 · m.
Isso significa que x deve ser tanto um múltiplo de 20 quanto de 30. Como queremos saber
o número mı́nimo de voltas para que as engrenagens voltem ao alinhamento inicial, x deve ser
o mı́nimo múltiplo comum entre 20 e 30.
Logo, são necessárias 60 voltas completas da primeira engrenagem para conseguir novamente o alinhamento inicial.
Voltar para a Questão 2
1.2.3
Questão 3
Considere uma das quatro cores de cartuchos do kit, por exemplo a preta. A probabilidade
2
de o primeiro cartucho retirado ser dessa cor é , e a probabilidade de o segundo cartucho
8
6
retirado ser de uma cor diferente é . Ou seja, a probabilidade, de escolhendo aleatoriamente
7
2 6
dois cartuchos desse kit, obter duas cores distintas, para este caso, é · .
8 7
Como temos quatro casos, a probabilidade P de se obter duas cores distintas escolhendo
aleatoriamente dois cartuchos desse kit é
P =4·
2 6
6
· =
8 7
7
Voltar para a Questão 3
1.2.4
Questão 4
Como o cı́rculo possui centro na origem, a equação reduzida é x2 + y 2 = r2 . Visto que o
cı́rculo é tangente a reta y = 2x + 2, só há um ponto em comum. Ou seja, o sistema abaixo
possui uma única solução:
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

 x2 + y 2 = r 2

 y = 2x + 2
Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos:
x2 + (2x + 2)2 = r2
x2 + 4x2 + 8x + 4 = r2
5x2 + 8x + (4 − r2 ) = 0
Utilizando a fórmula de Bháskara para resolver a equação do 2 ◦ , temos que
x=
−8 ±
p
82 − 4(5)(4 − r2 )
2·5
Visto que só podemos encontrar um valor para x, deve ocorrer que 82 − 4(5)(4 − r2 ) = 0.
Assim,
82 − 4(5)(4 − r2 ) = 0
64 − 20(4 − r2 ) = 0
64 − 80 + 20r2 = 0
20r2 = 16
r2 =
16
20
r2 =
4
5
Como r é uma medida,
r
r=
√
4
2 5
=
5
5
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1.2.5
Questão 5
De acordo com o enunciado, quando a velocidade é 40 km/h o ângulo de visão é 100◦ e
quando a velocidade é 120 km/h o ângulo de visão é 30◦ . Assim, podemos montar o sistema


 100 = k · 40 + b

 30 = k · 120 + b
Multiplicando a primeira equação por 3 obtemos 300 = k · 120 + 3b. Subtraindo a segunda
equação pela nova equação, temos que
300 − 30 = k · 120 + 3b − (k · 120 + b)
270 = 2b
b = 135
Substituindo o valor de b na segunda equação,
30 = k · 120 + 135
−105 = k · 120
k=−
7
8
Portanto, para determinar o ângulo de visão à uma velocidade de 64 km/h, basta fazer
7
A = − · 64 + 135
8
A = 79
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1.2.6
Questão 6
Precisamos determinar a área total At da superfı́cie do sólido da figura. Essa área é a soma
das áreas das superfı́cies esféricas das duas semi-esferas, A1 , e da área lateral do cilindro circular
reto, A2 .
Lembrando que a área da superfı́cie esférica de uma esfera de raio r é 4πr, temos que a área
A1 das superfı́cies esféricas das duas semi-esferas de raio 1 é A1 = 2 · 42 · π · 1 = 4π.
Como o raio da circunferência da base do cilindro mede 1, a área A2 = 6 · 2 · π1 = 12π.
Assim,
At = A1 + A2
At = 4π + 12π
At = 16π = 16 · 3, 14
At = 50, 24
Ou seja, a área total a ser revestida é 50,24 m2 .
Como cada lata de tinta é suficiente para revestir 8 m2 , serão necessárias pelo menos 7 latas.
Voltar para a Questão 6
1.2.7
Questão 7
Os pistões estarão na mesma posição quando ocorrer
H1 = H2
2πt
= 12sen
12 cos
60
2πt
2πt
cos
= sen
60
60
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2πt
60
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π
e isso só acontece quando o ângulo é da forma + kπ. Como é pedido a primeira vez que isso
4
π
acontece, consideramos o ângulo .
4
Assim,
2πt
π
=
60
4
t=
60π
= 7, 5
2π4
Voltar para a Questão 7
1.2.8
Questão 8
Vamos nomear os pontos descritos no enunciado conforme abaixo:
y = 4 − x2
B
C
A
D
Considere que a medida de AB é c, sendo que 0 < c ≤ 4.
Observe que a reta y = c contém o lado BC, interceptando a parábola nos pontos B e C.
Assim, resolvendo o sistema abaixo, podemos determinar as abscissas de B e C:


 y = 4 − x2


y=c
c = 4 − x2
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x2 = 4 − c
x=
√
4−c
ou
√
x=− 4−c
Logo, as coordenadas dos vértices do retângulo são:
√
• A = (− 4 − c, 0)
√
• B = (− 4 − c, c)
√
• C = ( 4 − c, c)
√
• D = ( 4 − c, 0)
√
Temos que a distância de B a C é 2 4 − c e de C a D é c.
√
Logo, o perı́metro P do retângulo é P = 2c + 4 4 − c e quando c = 3 temos o perı́metro
máximo 10.
Voltar para a Questão 8
1.2.9
Questão 9
Nomeando os elementos da figura, temos:
D
C
E
h
A
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F
B
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Como os triângulos ABC e ABD são retângulos, podemos usar o Teorema de Pitágoras para
determinar as medidas de AC e de BD. Para o triângulo ABC,
32 = 2, 42 + AC2
AC = 1, 8
Para o triângulo ABD,
42 = 2, 42 + BD2
BD = 3, 2
Observe a figura abaixo:
C
E
h
A
F
B
Note que os triângulos ABC e FBE são semelhantes. Portanto,
h
1, 8
=
FB
2, 4
Agora, observe essa outra figura:
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D
E
h
A
B
F
Note que os triângulos ABD e AFE são semelhantes. Logo,
h
3, 2
=
AF
2, 4
E, também, observe que AF + FB = 2, 4.
Assim, temos o seguinte sistema:











1, 8
h
=
FB
2, 4











2, 4h
= FB
1, 8
h
3, 2
2, 4h
⇔
=
= AF




AF
2, 4
3, 2














 AF + FB = 2, 4
 AF + FB = 2, 4
Logo, somando as duas primeiras equações, temos que
2, 4h 2, 4h
+
= AF + FB
1, 8
3, 2
Substituindo pela terceira,
2, 4h 2, 4h
+
= 2, 4
1, 8
3, 2
h
h
2, 4
= 2, 4
+
1, 8 3, 2
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h
h
+
=1
1, 8 3, 2
3, 2h + 1, 8h
=1
1, 8 · 3, 2
5h = 5, 76
h = 1, 152 ≈ 1, 15
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