Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS
1a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA - NOTURNO
Questão 1
Sejam 3 vetores ~a, ~b e ~c dados por
~a = (2, −1, 3),
~b = (−1, 1, 0)
e
~c = (0, 2, −1).
Determine:
a) ~a + ~b + ~c;
b) ~a · ~b, ~a · ~c e ~b · ~c;
c) um vetor d~ tal que ~a · d~ = ~c · d~ = 1 e ~b · d~ = −2.
Resposta: a) (1, 2, 2), b) ~a · ~b = −3, ~a · ~c = −5 e ~b · ~c = 2 e c) (2, 0, −1).
Questão 2
Sejam 2 vetores ~a e ~b dados por
~a = (1, −1, 0),
e
~b = (−2, 2, −1).
Determine:
a) ~a + ~b;
b) 2~a − ~b;
c) ~a · ~b;
d) um vetor ~c tal que ~a · ~c = −1, ~b · ~c = 0 e ~c · ~c = 5.
Resposta: a) (−1, 1, −1), b) (4, −4, 1), c) −4 e d) (0, 1, 2) ou (−1, 0, 2).
Questão 3
Dois vetores m
~ e ~n têm módulos iguais a 4 unidades. A orientação desses vetores é apresentada
na figura abaixo.
Determine:
a) as componentes x e y dos vetores m
~ e ~n;
b) o vetor ~r = m
~ + ~n e seu módulo;
c) o ângulo θ que ~r faz com
√ o sentido√positivo do eixo x.
Resposta: a) m
~ = (2, 2 3) e ~n = (2 3, 2), b) ~r ≈ (5, 46 , 5, 46) e r ≈ 7, 7 e c) 450 .
Questão 4
Uma rua EF é reta e tem 4, 0km de comprimento. Um carro A, com velocidade constante
de módulo 20m/s, parte da extremidade E indo para a extremidade F . Outro carro B, com
velocidade constante de módulo de 25m/s, parte de F indo para E, 20s depois da partida
de A.
a) Quanto terá percorrido o carro A antes do inı́cio do movimento do carro B na rua EF ?
b) Escolha um referencial (uma origem e um sentido) e escreva as equações das posições
instantâneas dos carros A e B.
c) Em que instante, após a partida do carro B, os carros A e B se encontrarão?
d) Em que ponto na rua EF haverá esse encontro?
Resposta: a) 400m, c) 80s e d) 2000m.
Questão 5
Dois objetos A e B iniciam uma queda livre desde o repouso, de uma mesma altura, e defasados
de 1, 0s.
a) Quanto terá percorrido o primeiro objeto A antes do inı́cio do movimento do segundo
objeto B?
b) Escolha um referencial (uma origem e um sentido) e escreva as equações das posições
instâneas dos objetos A e B.
c) Quanto tempo após o inı́cio da queda do segundo objeto, os dois objetos estarão separados
por uma distância de 10m?
Resposta: a) 4, 9m e c) ≈ 0, 52s.
Questão 6
Um motorista percorre em linha reta 10km com velocidade constante de módulo 40km/h, os
10km seguintes com velocidade constante de 80km/h e mais 10km a velocidade constante de
50km/h. Qual é o valor da velocidade média ao final desse percurso?
Resposta: ≈ 52, 2km/h.
Questão 7
Um foguete para pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. O combustı́vel,
que lhe imprime uma aceleração resultante de 1, 5g (onde g = 9, 8m/s2 é a aceleração da
gravidade) durante o perı́odo de queima, esgota-se após 20s.
a) Qual a altitude atingida pelo foguete ao se esgotar o combustı́vel?
b) Qual o tempo necessário para que ele alcance a altitude máxima?
c) Qual a altitude máxima atingida por esse foguete?
d) Depois de quanto tempo, ele volta ao solo?
e) Com que velocidade ele atinge o solo?
Resposta: a) 2940m, b) 50s, c) 7350m, d) ≈ 89s e e) ≈ 382m/s.
Questão 8
A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 ao atacar uma vı́tima. Se um carro pudesse
ter essa aceleração, encontre:
a) em quanto tempo esse carro atingiria a velocidade de 90km/h partindo do repouso;
b) qual seria a distância percorrida por esse carro nesse intervalo de tempo.
Resposta: a) 0, 5s e b) 6, 25m.
Questão 9
Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35m acima do solo
plano (veja a figura abaixo). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada
de 4, 30 , o que é difı́cil de detectar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção
que evite choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300km/h.
Resposta: t ≈ 1, 3s.
Questão 10
A posição de uma partı́cula que se move em um plano xy é dada por
r = (2t3 − 5t)i + (6 − 7t4 )j,
(1)
com r em metros e t em segundos. Calcule r, v e a em t = 2s.
Resposta: r2 = (6, −106)m, v2 = (19, −224)m/s e a2 = (24, −336)m/s2 .
Questão 11
As posições instantâneas de uma partı́cula que se move no plano xy são dadas pela expressão
abaixo
~r = (b1 t + b2 t2 , b3 t + b4 t3 ),
onde b1 = 2cm/s, b2 = −1cm/s2 , b3 = −1cm/s e b4 = 2cm/s3 . Determine:
a) o vetor velocidade média dessa partı́cula entre os instantes 1s e 2s;
b) o vetor velocidade instantânea dessa partı́cula e seu valor nos instantes 1s e 2s;
c) o vetor aceleração média entre esses mesmos instantes;
d) o vetor aceleração instantânea e seu valor no instante 1s.
Resposta: a) (−1, 13)cm/s, b) ~v1 = (0, 5)cm/s e ~v2 = (−2, 23)cm/s, c) (−2, 18)cm/s2 e d)
(−2, 12)cm/s2 .
Questão 12
As posições instantâneas de uma partı́cula que se move no plano xy são dadas pela expressão
abaixo
~r = (b1 t + b2 t3 , b3 t2 + b4 t4 ),
onde b1 = 2cm/s, b2 = −1cm/s3 , b3 = −1cm/s2 e b4 = 1cm/s4 . Determine:
a) o vetor velocidade média dessa partı́cula entre os instantes 1s e 2s;
b) o vetor velocidade instantânea dessa partı́cula e seu valor nos instantes 1s e 2s;
c) o vetor aceleração média entre esses mesmos instantes;
d) o vetor aceleração instantânea e seu valor no instante 1s.
Resposta: a) (−5, 12)cm/s, b) ~v1 = (−1, 2)cm/s e ~v2 = (−10, 28)cm/s, c) (−9, 26)cm/s2 e
d) (−6, 10)cm/s2 .
Questão 13
Mostre que para um lançamento oblı́quo de um projétil com velocidade inicial de módulo v0
sob um ângulo de inclinação θ em relação ao solo (desprezando a resistência do ar)
a) a equação da trajetória desse projétil é uma equação de uma parábola dada por
g(x − x0 )2
,
y = y0 + tgθ(x − x0 ) −
2v02 cos2 θ
onde y representa uma posição vertical em relação ao solo, x uma posição horizontal em
relação ao solo, x0 e y0 são as posições iniciais desse projétil e g é a aceleração da gravidade;
b) a altura máxima (H) atingida por esse projétil em relação ao solo é dada por:
H = y0 +
v02 sen2 θ
,
2g
c) o alcance (A) desse projétil em relação ao ponto de lançamento é dado por:
A=
v02 sen(2θ)
.
g
Questão 14
Uma mangueira, com o bico a 1, 5m acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo
de 450 com o chão. O jato de água atinge um canteiro a 15m de distância.
a) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
b) Que altura máxima acima do solo o jato de água atinge?
Resposta: a) ≈ 11, 6m/s e b) 4, 9m.
]
Questão 15
Em um jogo de futebol, dois jogadores F ulano e Ciclano do mesmo time estão alinhados e
separados por uma distância de 25m. Um dos jogadores, F ulano, está com a bola e resolve
levantá-la para que o companheiro (de 1, 70m de altura) Ciclano diante do gol possa cabecear
a bola sem sair do chão. Sabendo que a bola é inicialmente levantada segundo um ângulo de
600 em relação ao chão, pergunta-se:
a) Com que velocidade inicial a bola é levantada?
b) Que altura máxima acima do solo a bola atinge?
Resposta: a) ≈ 17, 1m/s e b) ≈ 11, 3m.
Questão 16
Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente
deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa
exatamente por baixo dele. O veı́culo move-se a 55km/h e tem 12m de comprimento. A que
altura, acima do caminhâo, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão?
Resposta: 3, 1m.
Questão 17
Uma pedra é projetada com velocidade escalar inicial de 37m/s, inclinada de 620 acima da
horizontal, para um penhasco de altura h, como mostra a figura abaixo. A pedra atinge o
altiplano, no ponto A, 5, 5s após o lançamento. Encontre:
a) a altura h do penhasco;
b) a velocidade escalar da pedra logo antes do impacto em A;
c) a altura máxima H alcançada acima do solo.
Resposta: a) 31, 7m, b) v = −27, 4m/s e c) 54, 5m.
Questão 18
O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima e ele permanece no ar durante 2s.
a) Em que ângulo ele foi lançado?
b) Qual foi a velocidade inicial?
c) Qual é o alcance?
Resposta: a) 450 , b) 13, 9m/s e c) 19, 6m.
Questão 19
Numa rodovia de mão dupla, um carro encontra-se a 15 metros atrás de um caminhão
(distância entre os pontos médios), ambos trafegando a 25m/s. O carro pode ter uma aceleração máxima de 2m/s2 . O motorista deseja ultrapassar o caminhão e voltar para sua mão,
10 metros a frente do caminhão. No momento em que começa a ultrapassagem, avista um
carro que vem vindo em sentido contrário, também a 25m/s. A que distância mı́nima precisa
estar do outro carro para que a ultrapassagem seja segura?
Resposta: 275m.
Questão 20
Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. O barulho da queda é ouvido 2 segundos depois.
Sabendo que a velocidade de propagação do som no ar é de 330m/s, calcule a profundidade
do poço.
Resposta: ≈ 18, 5m.
Questão 21
Um jogador de futebol, a 20, 5m do gol adversário, levanta a bola com um chute a uma
velocidade inicial de 15m/s, passando-a ao centroavante do time, que está alinhado com ele e
com o gol, a 5, 5m do gol. O centroavante, que tem 1, 80m de altura, acerta uma cabeçada na
bola, imprimindo-lhe um incremento de velocidade na direção horizontal, e marca o gol. (a)
De que ângulo a bola havia sido levantada? (b) Qual foi o incremento de velocidade impresso
à bola pela cabeçada? Considere cuidadosamente todas as soluções possı́veis.
Dado: Utilize a relação sec2 (θ) = 1 + tg 2 (θ).
Resposta: a) ≈ 28, 40 e b) ≈ 3, 7m/s.
Questão 22
Numa ultracentrı́fuga girando a 50000 rpm (rotações por minuto), uma partı́cula se encontra
a 20cm do eixo de rotação. Calcule a relação entre a aceleração centrı́peta e a aceleração da
gravidade g.
Resposta: 5, 6 × 105 g.
Questão 23
Um carro de corridas percorre, em sentido anti-horário, uma pista circular de 1km de diâmetro,
passando pela extremidade sul, a 60km/h, no instante t = 0s. A partir daı́, o piloto acelera
o carro uniformemente, atingindo 240km/h em 10s.
a) Que distância o carro percorre na pista entre t = 0s e t = 10s?
b) Determine o vetor aceleração média do carro entre t = 0s e t = 10s.
Resposta: (a) 417m, (b) magnitude 5, 68m/s2 , direção e sentido: 60, 30 ao norte da direção
leste.
DICAS
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d n
(t )
dt
= ntn−1
sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± sen(b)cos(a)
cos(a ± b) =√ cos(a)cos(b) ∓√sen(a)sen(b)
2
cos(300 ) = 23 , cos(450 ) = 2√
e cos(600 ) = 0, √5
sen(300 ) = 0, 5, sen(450 ) = 22 e sen(600 ) = 23
√
√
2 ≈ 1, 41 e 3 ≈ 1, 73
M.R.U.: x = x0 + vt
M.R.U.V.: y = y0 + v0 t + a2 t2
M.C.U.: θ = θ0 + ω0 t + α2 t2 , onde θ é medido em radianos
M.C.: ~v = Rω θ̂
θ̂ − Rω 2 r̂
M.C.: ~a = R dω
dt
M.C.: 1800 equivale a π radianos