Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
MINICURSO DE
GEOMETRIA TÁXI
Sulamita Maria Comini César
Orientadora: Dra. Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2010
SUMÁRIO
1. Objetivo
3
2. Introdução
3
3. A Geometria Táxi
4
4. Atividades
7
4.1 A distância Táxi
7
4.2 Cálculo do número de caminhos táxi
9
4.3 A circunferência Táxi
10
4.4 A mediatriz na Geometria Táxi
12
4.5 Triângulos na Geometria Táxi
13
4.6 Os quadrados na Geometria Táxi
14
4.7 Atividade Multidisciplinar
15
5. Referências
17
2
1. OBJETIVO
O objetivo deste Minicurso é introduzir Geometria Táxi, fazendo um paralelo
com a Geometria Euclidiana para, em seguida, aplicar as duas Geometrias em
situações cotidianas. Em um primeiro momento, será feita uma abordagem
conceitual da Geometria Táxi, mostrando que ela é um desdobramento da
Geometria Euclidiana, com a mudança apenas da métrica. Em seguida, serão
estudadas algumas questões geométricas que culminarão em algumas aplicações
práticas. Durante todo o trabalho, serão apresentadas perspectivas de aplicação da
Geometria-Táxi em sala de aula.
2. INTRODUÇÃO
Ao longo de nossa prática pedagógica em sala de aula, observamos que a
geometria é um conteúdo pouco trabalhado e, quando isso ocorre, a perspectiva é a
da Geometria Euclidiana. Para os alunos, em geral, fica a ideia de que existe apenas
uma Geometria. Isto é o que Davis Hersh(1985) chamam de “mito de Euclides”.
É a crença de que os livros de Euclides têm verdades sobre o universo,
claras e indubitáveis. Partindo de verdades evidentes, por si próprias e
procedendo por demonstrações rigorosas, Euclides chega a conhecimento
certo, objetivo e eterno. Mesmo agora parece que a maior parte das
pessoas com instrução acredita no mito de Euclides. Até o meio ou fim do
século dezenove, o mito reinava sem desafios. Todos acreditavam nele...(
DAVIS E HERSH, 1985, P.366).
O estudo de uma nova geometria contribuiria inclusive para se apreciar
melhor a geometria Euclidiana. Seria ideal, entretanto, que essa nova geometria
atendesse a três critérios, segundo Krause(1975).
“a geometria não-euclidiana escolhida deveria (1) estar próxima da
geometria
euclidiana
na
estrutura
axiomática,
(2)
ter
aplicações
significativas e (3) ser compreendida por qualquer pessoa que tenha uma
3
pequena base na geometria euclidiana” (KRAUSE, P V , “TO THE
TEACHER”)
1
As Geometrias de Lobatchewski-Bolyai e a de Riemann não atendem aos três
critérios propostos por Krause. Elas se mostram inacessíveis para alunos que não
tenham estudo aprofundado da Geometria Euclidiana, não se limitando apenas a
esse conhecimento.
A Geometria Táxi é a Geometria do pedestre que caminha pelas ruas de uma
cidade. A distância entre dois pontos não é dada mais pelo comprimento da linha
reta que liga esses pontos e sim pela distância percorrida por um pedestre no trajeto
feito por ele para ir de um ponto a outro, andando pelas ruas. Um aprofundamento
no estudo da Geometria-Táxi nos mostra que ela atende aos três critérios propostos
por Krause.
Além disso, acreditamos que qualquer conteúdo novo que possa ser inserido
na prática pedagógica de sala de aula deve tentar criar nos alunos uma atitude
investigativa. Acreditamos que a Geometria Táxi poderá cumprir bem esse papel.
3. A GEOMETRIA TÁXI
A Geometria Táxi, também chamada de Geometria do Taxista, Geometria de
Manhattan, entre outros nomes, tem como base a Geometria Euclidiana, mudando
apenas a métrica. Essa geometria foi introduzida por Hermann Minkowski (1864 –
1909), um matemático russo, que foi professor de Einstein. Nessa geometria, cada
ponto do plano corresponde ao cruzamento de duas retas perpendiculares – as ruas
de uma cidade ideal2.
Vamos imaginar uma cidade onde não há ruas e avenidas e o trânsito é livre
em todos os sentidos.
1
Tradução da autora do trabalho
Chamamos de cidade ideal à cidade que tem as ruas verticais e horizontais, equidistantes. Essa simplificação é
necessária para que o nosso modelo seja de fácil entendimento, considerando que a nossa proposta é de
introdução da Geometia Táxi. Nas aplicações do mundo real, a malha táxi pode ser aproveitada desde que se
acrescentem pesos a cada quarteirão, que individualizem suas características como declividade, sinais de
trânsito, curvas, etc.
2
4
Nessa cidade há a casa de Adriana, o colégio onde ela estuda e a escola
onde ela faz balé. Não havendo qualquer impedimento, quando Adriana vai de sua
casa para o colégio ela poderá seguir o caminho direto3 AC, ente sua casa e a
escola.
A
C
B
A distância percorrida por ela será de
37 u.c.
Esse valor é obtidos
aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo de catetos 6 e 1.
C
1
A
6
Nas mesmas condições, a distância percorrida por Adriana para ir de casa à
aula de balé será de
13 u.c..
Agora vamos imaginar a cidade de Adriana como um lugar onde há ruas
paralelas, distanciadas igualmente. Chamaremos essa cidade de cidade ideal. Na
cidade ideal, Adriana não poderá ir diretamente de casa ao colégio caminhando
pelo segmento de reta AC já que imagina-se que há construções nesse espaço. Ela
agora terá que seguir o caminho pelas ruas verticais e horizontais. Para ir de sua
casa ao colégio ela percorrerá 7u.c..
A
3
C
6
1
Definimos como caminho direto aquele caminho que tem o menor comprimento.
5
A métrica da Geometria Euclidiana já não se aplica a essa situação. A menor
distância entre dois pontos já não é dada pela medida do segmento de reta que liga
esses pontos mas pela medida da “viagem” pelas ruas da cidade, seguindo o
caminho direto.
No referencial cartesiano acima marcamos os pontos M(1,1), N(6,5) e P(6,1).
Se consideramos a distância euclidiana teremos:
dE(MP) = 5
dE(NP) = 4
dE(MN) =
41
Vamos considerar agora a métrica da Geometria Táxi. Teremos, então:
dT(MP) = 5
dT(NP) = 4
dT(MN) = 9
Podemos observar que há situações onde a distância táxi e a distância euclidiana
coincidem.
6
4. ATIVIDADES
Apresentaremos a seguir 6 atividades que compõe esse minicurso. A nossa
sugestão é que elas sejam desenvolvidas em grupos de no máximo 5 pessoas.
São atividades orientadas, com discussões nos grupos e, no final, uma
socialização do trabalho de cada grupo.
Pretendemos, com essas atividades, provocar nos alunos uma atitude
investigativa, considerando que ele vivenciará situações diferentes da sua prática
cotidiana. Dessa maneira ele terá que levantar hipóteses, discuti-las, generaliza-las,
buscando chegar às soluções das questões propostas através da aprendizagem de
um novo conceito.
4.1 A distância Táxi
Essa atividade tem por objetivo trabalhar a distância Táxi e compará-la com a
distância Euclidiana. Esse primeiro contato do aluno com a Geometria Táxi precisa
ser feito de forma a não desestimulá-lo logo no início. O uso do papel milimetrado
torna esse objetivo viável considerando que é um material de uso comum. O
professor, nessa atividade, deve trabalhar de forma intuitiva de modo que o aluno
vá, passo a passo conhecendo a Geometria Táxi.
No nosso entendimento esse primeiro contato será visto quase como uma
brincadeira: trabalhar com o papel quadriculado e “descobrir” uma nova maneira de
calcular a distância entre dois pontos. Imaginamos, também, que o aluno não terá
dificuldade com essa nova métrica. Segundo Abreu, Barroso e Miranda (2005, p.2)
ela é a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical
e
horizontalmente em um quadra ou malha urbana, que convenientemente pode ser
associada ao plano euclidiano.
7
1) Em uma malha quadriculada marque os pontos A(-4,0); B(0,5); C(3,2);
D(3,8); E( 6,5); F(3,-3); G(3,5).
2) Calcule as distâncias táxi e as distâncias euclidiana entre:
a) A e C
b) C e F
c) B e D
d) B e E
e) B e C
Há alguma situação onde dE e dT são iguais? Quais são elas?
3) Calcule as distâncias táxi entre os pontos B e G, G e D, G e C. O que
podemos dizer delas?
4) Luciana e Roberto moram em uma cidade ideal. Em uma malha
quadriculada vamos representar as casas de Luciana (L) e de Roberto (R),
a escola de Música (M), o supermercado(S) e o clube da cidade ( C).
L (-3,1 )
R ( 0,4 )
C ( 1,2 )
M ( 4,1)
S ( 5,3 )





Casa de Luciana
Casa de Roberto
Clube da cidade
Escola de Música
Supermercado
Calcule as seguintes distâncias táxi:
a) Entre a casa de Luciana e a de Roberto.
b) Entre a casa de Luciana e a escola de música
c) Entre o clube da cidade e o supermercado
d) Entre a escola de música e o clube da cidade
8
4.2 Cálculo do número de caminhos táxi
O objetivo dessa atividade é calcular a quantidade de caminhos que podemos
trilhar entre dois pontos, considerando a menor distância Táxi.
Esse cálculo, inicialmente, deverá ser feito de forma intuitiva, contando
mesmo os caminhos que existem entre dois pontos. Para isso a distância entre os
pontos deve ser muito pequena para que a contagem não se torne muito difícil e
demorada, causando desânimo aos alunos. Fica evidente que, a partir do momento
que consideramos pontos que sejam mais distantes, essa forma de “calcular” a
distância ficará quase impossível. Nesse momento poderemos apresentar aos
alunos a fórmula do cálculo da quantidade de caminhos.
Para alunos do Ensino Médio que já conheçam Análise Combinatória
poderemos apresentar a fórmula seguinte:
N  C np 
n!
p !( n  p ) !
Sendo:
N número total de caminhos
n soma da distância horizontal com a distância vertical
p menor das duas distâncias
Já para alunos que ainda não conhecem a Análise Combinatória poderemos
usar a fórmula abaixo. Ela também requer que o aluno conheça o conceito de
fatorial, que poderá ser apresentado já com uma aplicação.
N
(v  h ) !
v !h !
Sendo:
v  distância vertical entre os dois pontos
h  distância horizontal entre os dois pontos
Ao elaborarmos essa atividade imaginamos que os alunos poderão ter
alguma dificuldade no cálculo enquanto a fórmula não for apresentada. Acreditamos
que um trabalho inicial mais demorado com a contagem manual poderá facilitar o
9
uso da fórmula já que ela virá como um elemento salvador do trabalho braçal. Desse
modo o primeiro exercício da atividade deverá ser explorado exaustivamente para,
em seguida, tentarmos que o próprio aluno descubra a fórmula para o cálculo da
distância. É necessário que o professor apresente o conceito de fatorial.
1) Desenhe um referencial cartesiano e, nesse referencial cartesiano marque os
pontos A(1,1) e B(2,2). Quantos caminhos diferentes existem para irmos de A
a B, sempre percorrendo a menor distância táxi?
2) Agora os pontos são A (1,1) e C (3,3).
3) Tente, agora, com os pontos A (1,1) e D (3,2).
4) Calcule a quantidade de caminhos que há entre a casa de Luciana e a de
Roberto. (atividade anterior)
4.3 A circunferência Táxi
Os objetivos dessa atividade são:
a) Construir uma circunferência Táxi.
b) Calcular o valor de  para a Geometria Táxi.
Essa atividade poderá causar algum conflito nos alunos. Afinal, chegar à
conclusão que um “quadrado” é uma circunferência não é tão fácil de aceitar.
10
1) Lembre-se que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano,
equidistantes de um ponto fixo (centro). Escolha ( 0,0) como centro, um raio
r = 4 e marque, inicialmente, em uma malha quadriculada, os 4 pontos de
uma circunferência táxi, interceptos com os eixos coordenados. Para
visualizar melhor essa circunferência, marque mais 4 de seus pontos, um
em cada quadrante. Da mesma forma, marque mais 4 outros pontos, e
mais quantos pontos você quiser. Ligando esses pontos, que figura
obteremos?
2) Desenhe 4 raios, um em cada quadrante, nessa “circunferência”.
Qual é a medida do comprimento (perímetro) dessa “circunferência”?
3) Lembrando que o comprimento da circunferência é dado pela fórmula
C=2  r, qual será o valor de  na Geometria Táxi?
4) Roberto está procurando uma agência de correio. Ele foi informado que há
uma agência de correio a 3 quarteirões de sua casa. Marque, na malha, os
locais onde essa agência pode estar. Quantos são esses pontos?
5) Se Roberto morasse em uma região aberta, onde poderia estar a agência
de correios? Faça uma figura. Seria mais fácil encontrar a agência de
correios em qual situação, na proposta no item 3 ou a proposta no item 4?
Justifique com argumentos matemáticos e com argumentos físicos
11
4.4 A mediatriz na Geometria Táxi
Nessa atividade será construída a mediatriz na Geometria Táxi. O conceito de
mediatriz é o mesmo usado na Geometria Euclidiana: num plano dado, a
mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento, passando
pelo seu ponto médio.
Um dos objetivos dessa atividade é mostrar que existe uma região entre os
pontos dados que a mediatriz Táxi e a mediatriz Euclidiana coincidem. Outro
objetivo é mostrar que ela será uma reta horizontal ou uma reta vertical,
dependendo das distâncias entre esses dois pontos.
Na “cidade ideal” mora um casal de namorados: Abelardo e Heloísa.
Eles decidiram se casar e estão procurando um apartamento para
morarem. A condição para a escolha do apartamento é que fique
eqüidistante dos locais onde cada um deles trabalha. Localize, na malha
quadriculada, os locais de trabalho de Abelardo e Heloísa.
A(3,3) ► local de trabalho de Abelardo
H(10,4) ► local de trabalho de Heloísa
1) Calcule a distância entre A e H.
2) Marque, na malha quadriculada, os pontos que são equidistantes de A e H.
Ligue esses pontos.
3) Considerando os limites da cidade como os limites da malha quadriculada,
quantos são os possíveis locais para Abelardo e Heloísa morarem?
4) Em outra malha quadriculada marque os pontos A e H. Determine o lugar
geométrico dos pontos do plano, equidistantes desses dois pontos dados, tendo
como referência a geometria euclidiana. Como se chama esse lugar
geométrico?
5) Como poderíamos chamar o lugar geométrico dos pontos obtidos no item 4,
tendo como referência a geometria táxi?
12
4.5 Triângulos na Geometria Táxi
O objetivo dessa atividade é fazer um paralelo entre o caso de congruência
LLL e a desigualdade triangular na Geometria Euclidiana e na Geometria Táxi.
1) Desenhe um triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5. Como podemos classificar
esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.
2) Qualquer outro triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5 será congruente ao
primeiro triângulo desenhado? Justifique sua resposta.
3) Considere o triângulo de vértices A(2,1), B(3,3) e C(6,2). Calcule a medida de
cada lado desse triângulo. Ligue os pontos A, B e C, seguindo a malha
quadriculada, para formar o triângulo ABC. Observe que cada lado do triângulo
é um conjunto de segmentos de reta, coincidentes com as linhas da malha
quadriculada. Há apenas uma maneira de se ligar esses pontos? O triângulo
com esses vértices tem sempre a mesma forma? Justifique a sua resposta
através de figuras.
4) Considere, agora, o triângulo de vértices M(2,1), N(5,1) e P(4,4).Calcule a
medida dos lados desse triângulo. O triângulo MNP tem a mesma forma dos
triângulos formados no item anterior? Seus lados têm a mesma medida? Eles
são congruentes?
5) Na geometria táxi vale o caso de congruência LLL, isto é, dois triângulos que
têm os lados respectivamente congruentes são congruentes?
6) Marque, em um referencial cartesiano, os pontos A(1,1), B(4,10) e C( 11,10).
Ligue esses pontos, seguindo a malha quadriculada, para formar o triângulo
ABC.
7) Determine a medida dos lados desse triângulo.
13
8) No triângulo que você desenhou, verifica-se a desigualdade triangular
euclidiana?
9) Crie dois triângulos táxi: no primeiro a desigualdade triangular não deve se
verificar e, no segundo ela deverá se verificar. Dê as coordenadas dos vértices
desses triângulos. Faça a figura.
4.6 Os quadrados na Geometria Táxi
Assim como na atividade com triângulos, a atividades de construção do
quadrado Táxi pode gerar muitas dúvidas. A figura “quadrado” é conhecida desde a
primeira infância. O impacto com a “nova” forma do quadrado causará, com certeza,
um grande impacto nos alunos. Da mesma forma que os triângulos.
1) Desenhe um quadrado táxi de vértices A(1,1), B(1,9), C(4,5) e D(9,1). Qual
é a medida do lado desse quadrado?
2) Com os mesmos pontos do item anterior desenhe um outro quadrado táxi.
Ao mudar a forma da figura a medida dos lados mudou? Justifique sua
resposta.
3) Calcule o número de quadrados diferentes que podemos desenhar com os
vértices nos quatro pontos do item 1.
4) Na geometria euclidiana, um quadrado cujo lado mede 8 u.c. tem a
diagonal medindo 8 2 u.c..
14
5) Determine a medida de cada diagonal dos dois quadrados que você desenhou.
Elas têm a mesma medida?
6) Crie um quadrado que tem uma diagonal medindo 8u.c.. Qual é a medida do
lado desse quadrado? Esse problema tem solução única? Comprove sua resposta
através de uma figura.
4.7 Atividade Multidisciplinar
Após o estudo da reta, da mediatriz, do triângulo e do quadrado, uma
atividade que aplique esses conteúdos a situações cotidianas proporcionará uma
motivação maior para o estudo da Geometria Táxi.
1) Uma empresa de construção deseja construir um prédio de apartamentos
que atenda às seguintes condições : esse prédio deverá ficar a, no
máximo, 6 quarteirões do supermercado S=(-3,0) e a, no máximo, 4
quarteirões do clube de tênis(2,2). Onde esse prédio poderá ser
construído?
2) Houve um acidente na ponto A(-1,4). Há duas ambulâncias na região: uma
no ponto M(2,1) e outra no ponto P(-3,-2). Se considerarmos apenas a
menor distância, como critério de escolha da ambulância a ser chamada,
qual das duas deverá ir ao local do acidente? Dê uma razão para a
ambulância mais distante ser a melhor a ser chamada, considerando que
ambas estão funcionando normalmente e têm os mesmos equipamentos.
15
3) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal
modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da
cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um
orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para
atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada.
4) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal
modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da
cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um
orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para
atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada
16
5 Referências
ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,
modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.
ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,
modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática. Portugal:
Gradiva, 1995. 401p.
DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática
elementar: volume 9: geometria plan.8.ed.São Paulo:Atual, 2005, 456p.
EVES, Howard Whitley. Introdução à história da matemática. [2. ed.] Campinas:
Editora da UNICAMP, 1997. 843 p.
KRAUSE,
Eugene
F.
Taxicab
geometry,
in
Mathematics
Teacher,
Dezembro,1973.
MIRANDA, D. F. - Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e
urbanos uma análise exploratória. Dissertação de Mestrado em Tratamento da
Informação Espacial, Belo Horizonte, PUC-MG, 1999
17