Professor Ivan Zecchin
DPE/RS – Raciocínio Lógico – Prof. Ivan Zecchin
Princípio da casa dos pombos
O princípio do pombal ou princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser
postos em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo.
Matematicamente falando, isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do
que o número de elementos de um outro conjunto B. É também conhecido como teorema de
Dirichlet ou princípio das gavetas de Dirichlet, pois supõe-se que o primeiro relato deste principio foi feito
por Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip ("princípio das gavetas").
O princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos
problemas formais, incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito.
Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, o princípio é útil para resolver problemas que,
pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem
faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas.
Exemplo 1
Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo
aniversário no mesmo mês?
Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12)
é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.
Exemplo 2
Todos os pontos de um plano são pintados de amarelo ou verde. prove que podemos encontrar dois
pontos de mesma cor que distam exatamente um metro:
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Solução: Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a um metro. Como são duas cores
(casas) e três pontos (pombos),pelo PCP (princípio da casa dos pombos) teremos dois de mesma cor.
Embora este princípio seja uma observação trivial, pode ser usado para demonstrar resultados
possivelmente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milhão de
habitantes) existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo. Demonstração: Tipicamente uma
pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo. É razoável supor que ninguém tem mais de 1.000.000 de fios de
cabelo em sua cabeça. Se há mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, necessariamente
pelo menos duas pessoas terão precisamente o mesmo número de fios de cabelo.
QUESTÕES DE PROVAS
1) Leia a manchete a seguir.
Cada uma das 32 seleções que participarão da Copa do Mundo de 2014 terá de escolher uma única dentre
as 12 cidades sedes para se concentrar ao longo de todo o torneio. Considerando o conteúdo da manchete,
conclui-se que, necessariamente,
(A) algumas cidades serão escolhidas por duas e outras por três seleções.
(B) todas as cidades sedes terão de receber pelo menos uma seleção.
(C) alguma cidade sede não será escolhida por nenhuma das 32 seleções.
(D) pelo menos uma cidade sede será escolhida por mais de duas seleções.
(E) nenhuma cidade sede poderá receber mais do que três seleções.
2) Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados.
Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta "estado civil" são "casado" ou "solteiro", qual
o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com
certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados?
a) 3
b) 9
c) 21
d) 26
e) 2
3) Qual o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos afirmar que nele há,
pelo menos, 4 pessoas nascidas no mesmo mês?
a)
b)
c)
d)
e)
4
40
36
37
38
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4) Em um quarto escuro há 100 pares de meias brancas e 100 pares de meias pretas. Quantas meias, no
mínimo, devo pegar para ter certeza de que tenha escolhido uma meia preta?
a) 1
b) 2
c) 100
d) 101
e) 201
5) Na mesma situação acima descrita, quantas meias devo pegar, no mínimo, para ter certeza de que peguei
uma de cada cor ?
a) 2
b) 3
c) 101
d) 201
e) 202
6) Considerando a mesma situação descrita na questão 2, quantas meias devo pegar, no mínimo, para ter
certeza de que peguei duas meias da mesma cor ?
a) 2
b) 3
c) 101
d) 201
e) 202
7) (BB-2012) Um grupo de 40 pessoas, homens e mulheres, está reunido em uma sala. Todos têm mais de
30 e menos de 50 anos. Alguns homens têm menos de 40 anos, e algumas mulheres, mais de 35 anos.
Considere que a idade de cada pessoa seja representada por um número inteiro (anos completados até a
presente data). Desse modo, afirma-se que, nesse grupo, há
(A) 19 pessoas, no mínimo, de idades diferentes.
(B) um homem, pelo menos, de 45 anos.
(C) alguma mulher de 39 anos.
(D) pessoas com a mesma idade.
(E) um homem e uma mulher, necessariamente, cujas idades são iguais.
8) (FGV) Em um laboratório de pesquisas há 36 camundongos, sendo que o mais leve pesa 30 gramas e o
mais pesado, 46 gramas. Considerando que cada camundongo deste laboratório pesa uma quantidade
inteira de gramas, pode-se concluir que;
a)Pelo menos um camundongo pesa 38 gramas
b)A média de pesos de todos os camundongos é 38 gramas
c) A soma dos pesos de todos os camundongos é superior a 1.100 gramas.
d) Pelo menos três camundongos têm o mesmo peso
e) Nenhum camundongo pesa 38 gramas.
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9) : FCC - 2012 - TRT - 11ª Região (AM) - Analista Judiciário - Área Judiciária
Existem no mundo 7 bilhões de pessoas, nenhuma delas com mais de 200.000 fios de cabelo em sua
cabeça. Somente com essas informações, conclui-se que existem no mundo, necessariamente,
a) mais do que 7 bilhões de fios de cabelo.
b) pessoas com nenhum fio de cabelo em suas cabeças.
c) duas pessoas com números diferentes de fios de cabelo em suas cabeças.
d) duas pessoas com o mesmo número de fios de cabelo em suas cabeças.
e) pessoas com 200.000 fios de cabelo em suas cabeças.
10)(TJ/RS – 2012 – FAURGS )
Os 20 candidatos aprovados em um concurso do Tribunal de Justiça serão colocados em 10 gabinetes de
desembargadores. Se cada gabinete receber pelo menos um dos candidatos aprovados e cada um deles só
puder ser lotado em um único gabinete, pode-se afirmar que:
a) pelo menos um dos gabinetes receberá dois dos candidatos aprovados.
b) nenhum gabinete receberá mais de dois candidatos aprovados
c) cada gabinete receberá dois dos candidatos aprovados
d) pelo menos um dos gabinetes receberá dois ou mais candidatos aprovados
e) haverá gabinetes que receberão, cada um, apenas um dos candidatos aprovados.
Gabarito:1- D 2- A 3- D 4- E 5- D 6- B 7- D 8- D 9- D 10- D
Problemas de Lógica
São situações onde devemos extrair informações a partir de outras previamente fornecidas, de forma única e
inequívoca. As situações são construídas em cima de lugares, pessoas, coisas, cores, etc. Um método de
resolução consiste em “montar” o cenário, colocando todas as informações dadas e. a partir delas, eliminar
situações impossíveis e sedimentar outras decorrentes das primeiras.
Um exemplo :
Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente.(1) Luís é paulista, como o agrônomo, é mais moço
do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. (2) O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo
bairro. (3) O economista , o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. (4) O matemático
costuma ir ao cinema com Mário e Nédio.(5) O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que
Pedro. Qual a profissão de cada um ?
Escreva uma tabela com todos os nomes e profissões inicialmente possíveis para todos (usaremos iniciais):
L
O
M
AR
ARARARAR
EC
ECECECEC
AG
AGAGAGAG
EN
ENENENEN
MA
MAMAMAMA
N
P
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Agora elimine (risque) os casos impossíveis, de acordo com as informações ( que foram numeradas no texto,
para fins de resolução do exemplo):
De(1) : Luís não é agrônomo nem engenheiro e Oscar não é engenheiro.
De(2) : Mário não é agrônomo nem economista.
De(3) : Luís não é economista nem matemático (o que já o torna arquiteto, portanto elimine AR de todos os
outros))
De(4) : Nem Mário nem Nédio são matemáticos.
De(5) : Nem Nédio nem Pedro são economistas ( o que torna Oscar economista, logo elimine AG e M de sua
coluna).
Consequências: Mário só pode ser engenheiro (risque EN de Nédio e Pedro).
Nédio só pode ser agrônomo (elimine AG de Pedro).
Pedro só pode ser .................................., e tudo isso é , no mínimo, divertido!
QUESTÕES DE PROVAS
1) Léa, Mara e Lúcia têm, cada uma, um único bicho de estimação. Uma delas tem um pônei, outra tem um
peixe e a terceira, uma tartaruga. Sabe-se que:
– Léa não é a dona do peixe;
– Lúcia não é dona do pônei;
– A tartaruga não pertence a Mara;
– O peixe não pertence a Lúcia.
Com base nas informações acima, é correto afirmar que:
(A) Léa é dona do peixe.
(B) Léa é dona da tartaruga.
(C) Mara é dona do pônei.
(D) Lúcia é dona da tartaruga.
(E) Lúcia é dona do peixe.
Le
M
Lu
PoPoPo
PePePe
TaTaTa
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2) Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foi a um local
antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que havia esquecido
um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que:
− um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria;
− André esqueceu um objeto na casa da namorada;
− Bruno não esqueceu a agenda e nem a chave de casa.
É verdade que
(A) Carlos foi a um bar.
(B) Bruno foi a uma pizzaria.
(C) Carlos esqueceu a chave de casa.
(D) Bruno esqueceu o guarda-chuva.
(E) André esqueceu a agenda.
3) Aluísio, Bento e Casimiro compraram, cada um, um único terno e uma única camisa. Considere que:
− tanto os ternos quanto as camisas compradas eram nas cores branca, preta e cinza;
− apenas Aluísio comprou terno e camisa nas mesmas cores;
− nem o terno e nem a camisa comprados por Bento eram brancos;
− a camisa comprada por Casimiro era cinza.
Nessas condições, é verdade que
(A) o terno comprado por Bento era preto e a camisa era cinza.
(B) a camisa comprada por Aluísio era branca e o terno comprado por Casimiro era preto.
(C) o terno comprado por Bento era preto e a camisa comprada por Aluísio era branca.
(D) os ternos comprados por Aluísio e Casimiro eram cinza e preto, respectivamente.
(E) as camisas compradas por Aluísio e Bento eram preta e branca, respectivamente.
4) Quatro amigos foram a uma concessionária de automóveis e cada um comprou um carro. Cada carro era
de uma cor (vermelho, preto, verde e prata), os modelos também eram diferentes (compacto, luxo, SUV e
picape) e cada um ganhou um acessório diferente (encosto de cabeça com tela 7’’, bagageiro, conjunto de
tapetes e rack para bicicleta). Sobre esta situação, são dadas as informações abaixo.
I. Os quatro carros eram: o de Fábio, o vermelho, o de luxo e o de quem ganhou um bagageiro.
II. Guilherme comprou um carro compacto prata e não ganhou o conjunto de tapetes.
III. Heitor, o rapaz que comprou a picape e o que ganhou o encosto de cabeça são vizinhos.
IV. Nem Jean nem Heitor ganharam o bagageiro e nem compraram o carro verde.
V. O rapaz que comprou o carro verde ganhou um conjunto de tapetes e é vizinho de Heitor.
VI. O rapaz que ganhou um rack para bicicleta não comprou o carro vermelho e seu nome não é Jean.
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Após analisar as afirmações, é possível concluir que
(A) Guilherme ganhou o encosto de cabeça com tela de 7”.
(B) Heitor comprou a SUV.
(C) Guilherme ganhou o rack para bicicleta.
(D) Fábio comprou o carro preto.
(E) Jean comprou a SUV.
5) Em uma estante com quatro prateleiras, foi colocado um enfeite em cada uma (vaso, porta-retratos,
baleiro e relógio). Sabe-se que o baleiro fica entre o porta-retratos e o vaso, e o porta-retratos fica entre o
vaso e o relógio. Logo,
(A) o relógio fica entre o vaso e o baleiro.
(B) o porta-retratos fica entre o relógio e o baleiro.
(C) o porta-retratos fica entre o baleiro e o vaso.
(D) o baleiro fica entre o relógio e o porta-retratos.
(E) o vaso fica entre o porta-retratos e o baleiro.
6) Laura, Marta e Fernanda compraram um biquíni cada uma nas cores azul, preto e vermelho, mas não
necessariamente nesta ordem. Cada uma delas comprou também uma peça de roupa sendo que uma delas
foi uma camiseta. Marta comprou uma blusa de alças. Quem comprou o biquíni azul comprou também a
miniblusa. Laura não comprou o biquíni vermelho nem o azul. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Laura comprou a camiseta e Marta comprou a miniblusa.
Fernanda comprou o biquíni azul e Laura comprou a camiseta.
Marta comprou o biquíni vermelho e Fernanda comprou a camiseta.
Laura comprou a miniblusa e Fernanda comprou o biquíni preto.
Fernanda comprou o biquíni azul e Laura, o vermelho.
L
Biq.
Az
M
Peça
Cam
Biq.
F
Peça
Biq.
Peça
Az
Cam
Az
Cam
Ver
M.bl
Ver
M.bl
PrBluPrBluPrBlu
Ver
M.bl
7) Clara, Isabel e Luísa procuraram místicos para consultar seus problemas. A que procurava orientação
para seus negócios procurou um numerólogo. Luísa não procurou o numerólogo. Clara procurou o astrólogo,
mas não buscava resolver um caso de amor. Uma das três procurou uma cartomante. Uma delas buscava
resolver um problema familiar. Nessas condições é correto concluir que:
C
a)
b)
c)
d)
e)
I
L
Clara procurou o astrólogo para receber orientação para seus negócios.
Isabel procurou um numerólogo para resolver um caso de amor.
Luísa procurou uma cartomante para resolver um problema familiar.
Carla procurou o astrólogo para resolver um problema familiar.
Luísa procurou um astrólogo para resolver um caso de amor.
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8) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que
representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e
Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual
delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse
seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio.
Disse Fátima:“Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.
Disse Beatriz:“Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.
Disse Gina:“Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.
Disse Carla:“Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.
Neste ponto, o diretor falou:“Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou
sequer um dos resultados do sorteio” !
Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para
Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,
a) rainha, bruxa, princesa, fada.
b) rainha, princesa, governanta, fada.
c) fada, bruxa, governanta, princesa.
d) rainha, princesa, bruxa, fada.
e) fada, bruxa, rainha, princesa.
9)Seis pessoas -- A, B, C, D, E, F – devem sentar-se em torno de uma mesa redonda para discutir um
contrato. Há exatamente seis cadeira em torno da mesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da
mesa e numa posição diametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição das
pessoas à mesa deve satisfazer as seguintes restrições;
I. F não pode sentar-se ao lado de C
II. E não pode sentar-se ao lado de A
III. D deve sentar-se ao lado de A
Então uma distribuição aceitável das pessoas em torno da mesa é:
a)
b)
c)
d)
e)
F, B, C, E, A, D;
A, E, D, F, C, B;
A, E, F, C, D, B;
F, D, A, C, E, B;
F, E, D, A, B, C.
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10) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os
nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que
nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia
um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram
entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de
Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga).
Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de
Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.
Laís, Mara, Olga, Nair, Paula.
Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.
Paula, Olga, Laís, Nair, Mara.
Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.
Gabarito: 1- D2- D 3- B 4- E 5- B 6- B 7- D 8- D 9- D 10- E
Sugestão de leitura:
Dilema do prisioneiro
Irão cooperar ambos os prisioneiros para minimizar a perda da liberdade, ou um dos presos, confiando na
cooperação do outro, o trairá para ganhar a liberdade?
O dilema do prisioneiro é um problema da teoria dos jogos e um exemplo claro, mas atípico, de um
problema de soma não nula. Neste problema, como em outros muitos, supõe-se que cada jogador, de modo
independente, quer aumentar ao máximo a sua própria vantagem sem lhe importar o resultado do outro
jogador.
As técnicas de análise da teoria de jogos padrão - por exemplo determinar o equilíbrio de Nash - podem levar
cada jogador a escolher trair o outro, mas curiosamente ambos os jogadores obteriam um resultado melhor
se colaborassem. Infelizmente (para os prisioneiros), cada jogador é incentivado individualmente para
defraudar o outro, mesmo após lhe ter prometido colaborar. Este é o ponto-chave do dilema.
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No dilema do prisioneiro iterado, a cooperação pode obter-se como um resultado de equilíbrio. Aqui jogase repetidamente, pelo que, quando se repete o jogo, oferece-se a cada jogador a oportunidade de castigar
ao outro jogador pela não cooperação em jogos anteriores. Assim, o incentivo para defraudar pode ser
superado pela ameaça do castigo, o que conduz a um resultado melhor, cooperativo.
O dilema do prisioneiro foi originalmente formulado por Merrill Flood e Melvin Dresher enquanto trabalhavam
na RAND em 1950. Mais tarde, Albert W. Tucker fez a sua formalização com o tema da pena de prisão e deu
ao problema geral esse nome específico. O dilema do prisioneiro (DP) dito clássico funciona da seguinte
forma:
Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os
condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos
prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o
que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se
ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se
ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão
sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A
questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?
O fato é que pode haver dois vencedores no jogo, sendo esta última solução a melhor para ambos,
quando analisada em conjunto. Entretanto, os jogadores confrontam-se com alguns problemas:
Confiam no cúmplice e permanecem negando o crime, mesmo correndo o risco de serem colocados
numa situação ainda pior, ou confessam e esperam ser libertados, apesar de que, se ele fizer o mesmo,
ambos ficarão numa situação pior do que se permanecessem calados?
Um experimento baseado no simples dilema encontrou que cerca de 40% de participantes cooperaram
(i.e., ficaram em silêncio).
Em abstrato, não importa os valores das penas, mas o cálculo das vantagens de uma decisão cujas
consequências estão atreladas às decisões de outros agentes, onde a confiança e traição fazem parte
da estratégia em jogo.
Casos como este são recorrentes na economia, na biologia e na estratégia. O estudo das táticas mais
vantajosas num cenário onde esse dilema se repita é um dos temas da teoria dos jogos.
Observação do professor: Um DILEMA é uma situação que apresenta duas saídas, onde nenhuma delas
leva a um resultado “agradável”.
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