PRÓ-LETRAMENTO EM
MATEMÁTICA
II SEMINÁRIO DE REVEZAMENTO
ULBRA/CANOAS-RS
Abril
2010
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
UMA METODOLOGIA DE
ENSINO
PROF. MOYSÉS GONÇALVES SIQUEIRA FILHO
DECH/CEUNES/UFES
[email protected]
RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS: um breve
panorama

ATÉ O FINAL DA DÉCADA DE 60, AS PESQUISAS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ERAM DEMASIADAMENTE
INFLUENCIADAS PELAS TEORIAS DE APRENDIZAGEM
CONEXIONISTAS, AS QUAIS PRIVILEGIAVAM PRÁTICAS
REPETITIVAS, DIGA-SE, A IMITAÇÃO E A MEMORIZAÇÃO,
SEM LEVAR O ALUNO A FAZER CONJECTURAS OU
ANALOGIAS.

A PARTIR DA DÉCADA DE 70, NO ENTANTO, O
PANORAMA
SE
ALTERA.
OS
EDUCADORES
MATEMÁTICOS QUE EM SUAS INVESTIGAÇÕES
FOCALIZARAM A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MUDAM
SUA DIREÇÃO, OU SEJA, AS ATENÇÕES SE VOLTAM
PARA OS MÉTODOS, PROCEDIMENTOS, ESTRATÉGIAS
UTILIZADAS PELOS ALUNOS NA SOLUÇÃO DE UM
PROBLEMA.

A DÉCADA DE 80 FOI O PERÍODO EM QUE A
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SE TORNOU UMA DAS
PRINCIPAIS METAS DO ENSINO DA MATEMÁTICA, POIS,
HAVIA UM CONTINGENTE DE EDUCADORES QUE SE
INTERESSAVAM PELO RACIOCÍNIO DESENVOLVIDO E
NÃO PELA RESPOSTA DADA E, PORTANTO, CONCEBIAM
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO UM PROCESSO.

NOS ANOS 90 PERCEBE-SE UM INTERESSE MAIOR
PELO PARADIGMA ALTERNATIVO DO PAPEL DO AFETO
NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
questões pertinemtes







O que é um problema?
O que é uma atividade de resolução de problemas?
Que tipos de problemas podemos utilizar?
Como um professor pode conduzir uma aula de
resolução de problemas?
Como fazer perguntas que ajudem o aluno a raciocinar e
a resolver problemas com mais confiança?
Como elaborar e/ou selecionar em livros boas atividades
de resolução de problemas?
Como avaliar as atividades de resolução de problemas?
O QUE É UM PROBLEMA?
[PARA POLYA]
[…]
significa
procurar
conscientemente alguma ação
apropriada para atingir um
objetivo claramente definido mas
não
imediatamente
atingível
(1997, p. 1-2).
PROBLEMA OU
EXERCÍCIO?

O preço de um novilho é 25 dólares e o de uma vaca
26 dólares. Um fazendeiro tem 1000 dólares para
gastar em gado. Quantas vacas e quantos novilhos
poderá comprar?

O preço de um novilho é 25 dólares e o de uma vaca
26 dólares. Um fazendeiro comprou 14 novilhos e 25
vacas. Quanto gastou ao todo?

A soma de três números inteiros consecutivos é 279.
Calcule os números inteiros.

Usando apenas 6 palitos de fósforos, formar quatro
triângulos equiláteros geometricamente iguais.
OUTROS EXEMPLOS
Exemplo O (um exercício)
Calcular o valor de x – 3 para x = 5.

Exemplo 1. (um problema de “palavras”)
Um cliente comprou num dia 2,3 metros de
fazenda. No dia seguinte, comprou mais 1,5 metros
da mesma fazenda. Quantos metros de fazenda
comprou no total?

Exemplo 2. (um problema para equacionar)
O João tem a metade da idade do pai. Sabendo-se
que a soma das duas idades é 72, quantos anos
tem o João?

Exemplo 3. (um problema “para demonstrar”)
Mostre que a soma de dois números ímpares é sempre
um número par

Exemplo 4. (um problema de vida real)
Construir a planta de um campo de futebol e uma pista
de atletismo.

Exemplo 5. (uma situação problemática)
O produto de três números consecutivos é sempre um
número par múltiplo de 3. Comentar a situação se
substituirmos produto por soma.

Um Professor propõe a seguinte
questão:
Rita comprou seis quilos de
laranja ao preço de cento e
cincoenta escudos o quilo. Que
idade tem a Rita?
Resolve o problema
Considera
resolver
que
não
454 80%
se
pode 102 18%
Diz que não sabe ou que não 11
percebe
2%
Uma das soluções apresentadas
6 X 150 = 900. É muito grande,
ninguém tem esta idade!
 150 + 6 = 156. Ainda é muito grande
para a idade de uma pessoa.
 150 – 6 = 144. É igualmente grande.
 150: 6 = 25. Achei! A Rita tem 25
anos!

O elevador de um edifício de 10 andares parte
do térreo com 4 pessoas: 2 mulheres, 1
homem e 1 criança. Pára no 4º andar e aí sai
1 mulher e entram 3 homens. No 7º andar,
saem 2 pessoas. Sabendo-se que houve
apenas mais uma parada no 9º andar onde
não desceu nenhuma criança e que o elevador
chegou ao 10º andar com 11 pessoas,
pergunta-se:
QUAL É A IDADE DO ASCENSORISTA?
Resolveram o problema
Os dados apresentados não
relacionavam com a pergunta
O ascensorista era a criança
10
se 04
03
Não faz a mínima idéia
02
Não responderam
02
Em busca de uma formalização que
expresse a idade do ascensorista:
(4 x 10) - 11 = 40 - 11= 29
(nº de pessoas que partiram do térreo x nº de andares) –
nº de pessoas que chegaram ao 10º andar

Por que os alunos agiram desse modo,
como se o ensino da Matemática os
tivesse transformado em autômatos,
respondendo de modo absurdo a
questões absurdas?

Qual a origem do grande respeito que
eles demonstraram por regras não
compreendidas?
CHEVALLARD [1988]

Sempre há uma resposta correta a uma
questão matemática, e o professor a
conhece. Deve-se sempre dar uma
resposta que eventualmente será corrigida;

Para resolver um problema é preciso
encontrar os dados no enunciado. Nele
devem constar todos os dados necessários
e não deve haver nada de supérfluo

Em Matemática resolve-se um problema
efetuando-se operações. A tarefa é
encontrar a boa operação e efetuá-la
corretamente.
Certas
palavras-chave
contidas no enunciado permitem que se
adivinhe qual é ela;

Os números são simples e as soluções
também devem ser simples.
A forma como vemos e entendemos a
Matemática tem fortes implicações no
modo como entendemos e praticamos o
seu ensino e vice-versa.
 É possível se aprender a ensinar?
 Se ensina como se aprende?
 Quando se aprende “errado” então se
ensina “errado”?
COMO RESOLVER UM
PROBLEMA?

COMPREENSÃO DO PROBLEMA

ESTABELECIMENTO DE UM PLANO DE
AÇÃO

EXECUÇÃO DO PLANO

REAVALIAÇÃO DOS RESULTADOS
O QUE É UMA ATIVIDADE DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS?
[] deve ser um processo que envolva ativamente os
alunos na formulação de conjecturas, na investigação
e exploração de idéias, que os leve a discutir e pôr
em questão sua própria maneira de pensar e também
a dos outros, a validar resultados e a construir
argumentos convincentes. Por isso mesmo, a
resolução de problemas não acontece quando os
alunos fazem uma página de cálculos, quando os
alunos seguem o exemplo do cimo da página ou
quando todos os problemas se destinam à prática do
algoritmo apresentado nas páginas precedentes
(NTCM, 1997).
TIPOS DE PROBLEMAS
Problemas Rotineiros: geralmente são aqueles
que aparecem após a exposição de um conteúdo e
caracterizam-se por fornecer aos alunos a prática
em usar algoritmos e exigir deles a memorização de
um conteúdo específico, uma definição, uma
propriedade ou teorema, ou, então, ainda destreza
de cálculo pela repetição. São encontrados
facilmente em livros didáticos do ensino
fundamental e médio. Podem, às vezes, envolver
só um tipo de cálculo; outras, dois ou mais.

Problemas Recreativos: caracterizam-se por
possuir em seu texto aspectos históricos curiosos,
lendários, e também do tipo quebra-cabeça.
Algumas preocupações giram em torno destes tipos
de problemas: [a] não há uma definição de qual
tópico da Matemática poderia ser considerado
universalmente como matemática recreativa; [b] a
má
utilização
destes
problemas,
que
transformariam a sala de aula num local de
diversão e brincadeira. Por outro lado, são
problemas que motivam o aluno, dando chances ao
professor de mostrar o quanto a Matemática pode
ser agradável, além de possibilitar uma
aprendizagem mais significativa.

Problemas Não-Rotineiros: caracterizam-se por
não apresentar estratégias de solução contida no
enunciado. Este tipo de problema dá possibilidades
ao aluno de desenvolver estratégias gerais de
entendimento; planejar seus comandos de ataques,
executá-los; avaliar as suas tentativas de solução,
além de lhe permitir perceber a Matemática como
uma ciência em constante movimento. Conduz o
aluno a refletir e monitorar seu próprio pensamento.

Problemas Reais: são aqueles que apresentam
uma situação-problema real, isto é, problemas
relacionados ao cotidiano ou que tenham
significado pelo grupo. Esses problemas fornecem
ao aluno a oportunidade de usar uma variedade de
habilidades
matemáticas,
procedimentos
e
conceitos para resolvê-los. São excelentes para
que o aluno perceba a utilidade e a importância da
Matemática no cotidiano. Em nível superior, este
tipo de problema pode ser trabalhado por meio da
Modelagem Matemática.

ESTRATÉGIAS DE
RESOLUÇÃO






Procurar palavras e frases-chave
Escrever informação relevante
Fazer uma lista, tabela ou quadro
organizados
Fazer desenhos, gráficos
Experimentar dados ou dramatizar a
situação
Usar números simples







Procurar um padrão de regularidade
Generalizar
Usar dedução ou indução
Trabalhar de trás para a frente
Adivinhar (dar palpites) e testar
Resolver um problema semelhante mais
simples
Escrever uma fórmula
OFICINA DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Problemas em tiras
Você verá um emaranhado de frases. Essa técnica é
conhecida como problema em tiras e tem por
finalidades: elaborar um texto matemático coeso e
coerente; desenvolver o raciocínio matemático, assim
como, aplicar, em sua solução, as estratégias
adequadas. Você deverá:
 1. organizá-las formulando, dessa forma, um
enunciado, sobretudo claro, de um problema;
 2. resolvê-lo.










Na foto tirada por um dos cavalos
quantas galinhas
fazer fotos deles todos juntos.
viam-se 13 cabeças.
cavalos e galinhas resolveram
havia no Sítio?
podia-se contar 34 patas.
Quantos cavalos e
No Sítio “La Fontaine”,
Na foto tirada por uma das galinhas,

Os 4 textos a seguir são muito
semelhantes mas correspondem a
ideias
matemáticas
distintas.
Espera-se que os alunos justifiquem
as escolhas das operações para
resolver os problemas com as ideias
básicas das operações [5º ano].

Josué trabalha em uma livraria e precisou
organizar alguns livros em 12 prateleiras,
colocando em cada uma 108 livros. Quantos
livros Josué organizou?

Josué trabalha em uma livraria e precisou
organizar 108 livros em 12 prateleiras, colocando
a mesma quantidade em cada uma. Quantos
livros Josué organizou em cada prateleira?

Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes
com 5 figurinhas em cada um. Ao abrir os envelopes,
ele descobriu que 27 das figurinhas eram repetidas.
Quantas figurinhas ele pode colar em seu álbum?

Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes
com 5 figurinhas em cada um. Ao abrir os envelopes,
ele descobriu que nenhuma delas era repetida e colou
as figurinhas em seu álbum colocando o mesmo
número de figurinhas em cada uma das 15 páginas.
Quantas figurinhas ele pode colar em cada página do
álbum?
Comparar duas formas diferentes
de resolver o mesmo problema

Além de mostrar que um problema pode ser
resolvido de diferentes maneiras, o objetivo
desta atividade é fazer com que o aluno reflita
sobre as duas formas de resolver um
problema e compará-las. Não se trata de
priorizar as contas em detrimento dos
procedimentos pessoais de cálculo, mas sim
de destacar a rapidez ou simplicidade de uma
forma de resolver em relação a outra [2º ano].
Eu preciso comprar uma calça que custa
35 reais, mas só consigo guardar 5 reais
por semana. Durante quantas semanas
eu preciso economizar para conseguir
comprar essa calça?
 Qual das duas formas de resolução você
considera melhor? Por que? [respostas
pessoais]

Resolver problemas sem números podem
auxiliar para desmistificar que Matemática
só envolve cálculos. Organizar as
informações em um tabela colaboram para
o encadeamento do raciocínio lógico [3º
ano].
Lalá, Lili e Lola têm um animal de
estimação. Cada uma das meninas viajou
com seu bichinho para um lugar diferente.
Siga as pistas:
 Lalá foi para Maceió, mas o gato não.
 O gato foi para Gramado.
 O passarinho é de Lola. Agora responda:
1. Para onde Lili viajou?
2. Quem viajou para salvador?
3. Que é a dona do cachorro?

FORMAÇÃO E DESENVOLVIMENTO
PROFISSIONAL DO PROFESSOR
O processo de formação do professor
acontece em um movimento evolutivo
contínuo no qual suas ações e reflexões
configuram seu próprio fazer.
O desenvolvimento profissional do
professor
acontece
pelas
trocas
intersubjetivas com outros sujeitos da prática
educativa [colegas, formadores e alunos] e
pela busca de sentido sobre o que somos e
o que fazemos.
A perspectiva inovadora da prática
pedagógica não reside na aplicação pura e
simples de uma nova técnica de ensino, mas
sim na postura diferenciada que o professor
e os alunos apresentam em relação ao
conhecimento. Postura essa, interrogativa,
questionadora, investigativa, exploratória e
de produção e de negociação de sentidos
perante o saber.
Assim sendo, professores e alunos se
constituem em sujeitos críticos e autônomos
do aprender e do conhecer. É sob esta
relação modificada do sujeito [professor ou
aluno] com o saber [docente ou escolar] que
o professor pode, concomitantemente,
mudar-se [saber-ser] e mudar sua prática
pedagógica [saber-fazer]
Quando este encontro ou simbiose ocorre,
temos aquilo que Larrosa (1996) chama de
experiência autêntica, isto é, uma relação
interior que o sujeito estabelece com o
saber, transformando-se ou convertendo-se
em um sujeito modificado.