FUNÇÕES
As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu
livro-texto (Stewart, vol1); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser
encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções
importantes.
Definição: Dizemos que y é uma função de x se para cada valor atribuído a x existe em único
valor correspondente para y. Neste caso, denotamos y = f ( x ) . O conjunto de valores que
podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O
conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor x é chamado
de imagem da função e é denotado por Im f ou If.
a : coeficient e angular
b : coeficient e linear
y = ax+b 
FUNÇÃO AFIM:
a<0
a=0
a>0
b<0
b=0
b>0
FUNÇÃO QUADRÁTICA
y = ax 2 + bx + c
a ≠ 0

a, b, c ∈ R
a>0
a<0
∆>0
Observações:
∆ = Discriminante de f
∆ > 0 : 2 raízes reais diferentes
∆ = 0 : 2 raízes reais iguais
∆ < 0 : raízes complexas não reais
∆=0
∆ = b 2 − 4 ac
∆<0
FUNÇÃO MODULAR
A função modular f : IR → IR é definida por f (x) = |x|, se:
 x, se x ≥ 0
f (x ) = x = 
− x, se x < 0
f(x) = |x|
f(x) = |x – 2|
Exemplos:
1) Resolver |3x – 2| = 2:
•
3x - 1 = 2 ⇒ x = 1 ou
| 3x - 1 | = 2 ⇒  3x - 1 = − 2 ⇒ x = - 1

3
Resposta: S = {1, -1/3}
2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3|
•
2x - 1 = x + 3 ⇒ x = 4 ou
-2
| 2x - 1 | = | x + 3 | ⇒ 
2x - 1 = - (x + 3) ⇒ x =

3
Resposta: S = {4, -2/3}
FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA
y (x) = n x
ou
n par
Dom f=[0;+∞)
Im f=[0;+∞)
n ímpar
Dom f= R
Im f=R
y(x ) = x
1
n
GRÁFICOS DE y = x n
DOMÍNIO D,
FUNÇÃO f
f ( x) =
x
GRÁFICO
SIMETRIA
não há
IMAGEM I
D = [0,∞)
I = [0,∞)
f ( x) = x
2
f ( x) = x 3
f ( x ) = x 2/ 3
f ( x) = x 1/ 3
f ( x) = x
f (x)=
1
x
eixo y
(função par)
origem
(função ímpar)
eixo y
(função par)
origem
(função ímpar)
eixo y
(função par)
origem
(função ímpar)
D = IR
I = [0,∞)
D = IR
I = IR
D = IR
I = [0,∞)
D = IR
I = IR
D = IR
I = [0,∞)
D = IR – {0}
I = IR – {0}
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a ≠ 1, chamamos função exponencial de
base “a” a função f de IR → IR que associa a cada x real o número ax .
Podemos escrever, também:
f: IR → IR
x → ax
Exemplos de funções exponenciais em IR:
a) f(x) = 2x
1 
b) f(x) =  
2
x
 1
e
x
d) f ( x ) = e − x =  
e) f(x) = 10x
c) f(x) = ex
O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:
1) Se a > 1
2) Se 0 < a < 1
função crescente
função decrescente
Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.
Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax , corta o eixo y no ponto (0, 1).
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para cada número real positivo b ≠ 1 , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo
a função f : ( 0, ∞ ) → IR , que a cada número real positivo x associa o número real f (x ) = log b X .
A função logaritmo de x na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:
b>1
0<b<1
Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se
0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua
imagem é o conjunto de todos os números reais.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos
gráficos estão abaixo.
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
Tipos importantes de funções:
Função par: Se f ( x ) = f ( −x ) , para todo x ∈ Domf então dizemos que a função f(x) é uma
função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eixo y).
Exemplos:
f(X) = x2 é uma função par, já que f ( −x ) = ( −x ) 2 = x 2 = f ( x ) .
g(x) = cos(x) é uma função par, já que f ( −x ) = cos( −x ) = cos( x ) = f ( x) .
Função ímpar: Se f ( x ) = −f ( −x ) , para todo x ∈ Domf então dizemos que a função f(x) é uma
função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem).
Exemplos:
f(X) = x3 é uma função par, já que f ( −x ) = ( − x )3 = −x 3 = − f ( x ) .
g(x) = sen(x) é uma função ímpar, já que f ( −x ) = sen( − x) = −sen( x) = − f ( x ) .
Função injetora: Se para quaisquer x1 e x 2 no domínio de f(x), x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos:
f(x) = x3 é uma função injetora, já que se x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) = x13 ≠ x 32 = f ( x 2 ) .
f(x) = x2 não é injetora, já que se x1 = 2 e x 2 = −2 temos x1 ≠ x 2 , mas
f ( x 1 ) = f ( 2) = 22 = 4 = ( −2) 2 = f ( −2) = f ( x 2 ) .
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio.
Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam g : A → B e f : Im g → C . A função f o g : A → C dada por
f o g( x) = f (g( x ) ) é a função composta de f com g.
Exemplos:
Se f ( x ) = x 2 + 3 e g( x) = sen( x ) então f o g( x ) = f (g( x )) = f (sen( x ) ) = (sen( x ) ) + 3 .
2
Se h( x ) = e x e u( x ) = tg( x ) então h o u( x ) = h(u( x ) ) = h(tg( x )) = e tg( x ) .
Observação: Em geral, f o g( x ) ≠ g o f ( x ) .
g( x) = sen( x )
(
)
(
g o f ( x ) = g(f ( x )) = g x 2 + 3 = sen x 2 + 3
então
(
No exemplo anterior, se f ( x ) = x 2 + 3 e
)
e
)
f o g( x ) = (sen( x )) + 3 ≠ sen x 2 + 3 = g o f ( x ) .
2
Função inversa: Se
y = f ( x ) é uma função bijetora então a função g(y) tal que
g( y ) = x ⇔ y = f ( x ) é a função inversa de f(x). Muitas vezes denotamos a função inversa de f
por f-1.
Exemplos:
Se f ( x ) = x 3 então y = x 3 ⇔ x = 3 y e a função inversa de f(x) é g( y ) = f −1 ( y ) = 3 y
ou transformando para x, f −1( x) = 3 x .
Observação: As funções f(x) e g(y) são inversas se e somente se f ( g( y )) = y e g( f ( x )) = x . Ou
seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as
compostas dão as funções identidades.
Exemplos: Se f ( x ) = x + 1
e
(
)
f −1( x) = x − 1 então f f −1 ( x ) = f ( x − 1) = ( x − 1) + 1 = x
(
)
e
f −1 (f ( x) ) = f −1 (x + 1) = ( x + 1) − 1 = x . Assim, como f f −1 ( x ) = f −1 (f ( x ) ) = x então f(x) e f-1(x) são
inversas.
Resultado útil: Se c é um número real positivo então:
•
O gráfico de f(x) + c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima.
•
O gráfico de f(x) - c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo.
•
O gráfico de f(x + c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda.
•
O gráfico de f(x - c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita.
Ou seja,
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.1. Atual editora. São Paulo, 2000.
3) Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo – vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2001.
4) Stewart J. Cálculo – vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 2001.
EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES
1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:
a) y = x + 2
d) d) y =
b) y = - x + 1
c) y = 2x
4 − 3x
2
e) y = -2x +3
2) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:
a) y = 2x2
c) y = 4x – x2
b) y= - x2 +3x
d) y = 2x2 - 10x + 7
3) Determine os valores de x que satisfazem a cada uma das expressões abaixo:
a) 5 x − 3 = 12
x −3 <
e)
− 2x − 7 ≥ 3
b) 2 x − 3 = 7 x − 5
3x + 8
=4
2x − 3
c)
1
2
d)
4) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) y = | x | +2
c) y = x2 - 4
b) y = | x +2|
d) y = |x2 – 4|
5) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) y =
x
c) y =
x +3
b) y =
x +3
d) y = 4 x
6) Complete com verdadeiro ou falso, com x e y pertencentes aos reais.
a) (
) (x + y ) = x 2 + y 2
e) (
) log 3 (x + y ) = log 3 x + log 3 y,
b) (
) (x.y ) = x 2 .y 2
f) (
)
c) (
)
g) (
)
d) (
2
2
)
x 2 + y2 = x + y
(x + y )2
x y x+y
+ =
,
y x y+x
x.y ≠ 0
x2 = x
=x+y
7) Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 2x
1 
2
x
x
b) g(x) =  
c) h(x) = 2x + 2
1 
d) f(x) =   - 3
2
e) g(x) = 3.2x
f) h(x) = 2
x
x.y > 0
8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
c) f (x ) = ln( x + 1)
a) f (x ) = log 1 x
4
e) f (x ) = log 1 (− x )
2
d) f (x ) = ln( x − 2)
b) f (x ) = log 2 x
f) f (x ) = − log 1 x
3
9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a)
y = 3 sen x
c)
y = sen  x −


π

2
b)
y = 2 - sen x
d)
y = 2 sen
x
4
10) Calcule f o g( x ) , g o f ( x ) , f o f ( x ) e g o g ( x) para as seguintes funções:
a) f ( x ) =
x + 10 e g ( x) = sen ( x )
b) f ( x ) = x 2 + 3x e g ( x ) = 2 x − 7
11) Simplifique a expressão
a) f ( x ) = x 2 − 3x
b) f ( x ) =
1
x
c) f ( x ) = ( x + 2) 2
f (x + h ) − f (x )
onde
h
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES
1)
4.0
y = X+2
4.0
y = 2x
3.0
3.0
3.0
2.0
2.0
2.0
1.0
1.0
1.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0
1.0
−1.0
−1.0
−1.0
−2.0
−2.0
−2.0
−3.0
−3.0
−3.0
−4.0
−4.0
−4.0
3.0
3.0
2.0
2.0
1.0
1.0
−2.0 −1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
2.0
3.0
4.0
y = -2x+3
4.0
y = (4-3x)/2
−4.0 −3.0
4.0
y = -x+1
−4.0 −3.0 −2.0
−1.0
1.0
−1.0
−1.0
−2.0
−2.0
−3.0
−3.0
−4.0
−4.0
2.0
3.0
4.0
5.0
2)
y = 2*x^2
y = -x^2+3x
4.0
y = 4x-x^2
4.0
y = 2x^2-10x+7
4.0
3.0
3.0
3.0
2.0
2.0
2.0
1.0
1.0
1.0
6.0
5.0
4.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0
−1.0
−1.0
−1.0
−2.0
−2.0
−2.0
−3.0
−3.0
−3.0
−4.0
−4.0
−4.0
3)
 9 
a) S=  − ,3
 5 
2 8 
b) S=  , 
5 9 
3.0
2.0
1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
−6.0−5.0 −4.0−3.0−2.0−1.0
−1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−6.0
−7.0
4 
c) S=  ,4
 11 
5
7

d) S =  x ∈ R | < x < 
2
2

e) S = {x ∈ R | x ≥ −2 ou x ≤ −5}
4)
a) y = | x | +2
c) y = x2 - 4
b) y = | x +2|
d) y = |x 2 – 4|
5)
a) y =
x
c) y =
x +3
b) y =
x +3
d) y = 4 x
6)
a) F
exemplo: (5 + 3) 2 ≠ 5 2 + 3 2
b) V
e) F
log 3 (x ⋅ y ) = log 3 x + log3 y,
c) F
exemplo:
32 + 42 ≠ 3 + 4
f) F
d) F
exemplo:
(− 2 + 1)2
g) V
≠ −2 + 1
O correto é
exemplo:
x.y > 0
2 1 2 +1
+ ≠
1 2 1+ 2
7)
a) f(x) = 2x
c) h(x) = 2x + 2
e) g(x) = 3.2x Observação:
3.2x ≠ 6x
 1
b) g( x) =  
 2
x
x
1 
d) f(x) =   - 3
2
f) h(x) = 2
8)
a) Dom f = {x ∈ R / x > 0}
b) Dom f = {x ∈ R / x > 0}
x
c) Dom f = {x ∈ R / x > −1}
e) Dom f = {x ∈ R / x < 0 }
d) Dom f = {x ∈ R / x > 2}
f) Dom f = {x ∈ R / x > 0}
9)
a)
c)
b)
d)
10) a) f o g( x ) =
sen ( x) + 10
g o f ( x ) = sen ( x + 10 )
f o f (x ) =
x + 10 + 10
g o g ( x ) = sen( sen ( x))
b) f o g( x ) = ( 2 x − 7) 2 + 3( 2 x − 7)
g o f ( x ) = 2( x 2 + 3x ) − 7
f o f ( x) = ( x 2 + 3x ) 2 + 3( x 2 + 3 x)
g o g ( x ) = 2( 2x − 7) − 7
11) a) 2x-3+h
b)
−1
x ( x + h)
c) 2x+4+h