MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Área de
figuras planas,
ângulos na
circunferência e
Teorema de Tales
O cálculo das áreas de figuras planas é uma
ferramenta muito utilizada na Engenharia e na Arquitetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo
de áreas para melhor compreensão do tamanho da
obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na colocação de azulejos, pois a compra é dada por uma
unidade de área.
A diagonal do retângulo o divide em duas
partes iguais.
Retângulo
Quadrado
EM_V_MAT_027
S=b.h
S=
2
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1
Paralelogramo
Trapézio
S=b.h
``
S=
Demonstração:
``
(B+b) . h
2
Demonstração:
S1 + S2 = b . h
Triângulo
(Bh + bh)
2
(B + h) . h
S=
2
(B+b) . h
2
2bh+Bh − bh
S=
2
S=
S = b . h+
S=
``
b.h
2
Losango
Demonstração:
2S1 + 2S2 = b . h
2
b.h
2
S=
d.D
2
EM_V_MAT_027
S1 + S2 =
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``
Setor circular
Demonstração:
a
S=
a
a . R2
, para α em radianos.
R 2 ou S =
360°
2
2S1 + 2S2 + 2S3 + 2S 4 = d . D
S1 + S2 + S3 + S4 =
d.D
2
Círculo
``
Exemplo:
Para α = 60° temos S =
60°
pR 2
pR 2 → S =
360°
6
Coroa circular
S = R2
S = R2 – r 2
S = (R2 – r2)
Casos particulares
Circunferência é a região externa ao círculo e
o seu comprimento é dado pela fórmula 2pR.
``
Triângulo equilátero
Demonstração:
EM_V_MAT_027
S=
S=
 3
4
2pR . R
= pR 2
2
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3
Triângulo qualquer
S=
Divisão de lados de um
triângulo em partes
proporcionais
a . c . sena
2
Dado que o perímetro (2p) é igual a a + b + c,
também temos outra relação:
2p = a + b + c
p=
SABC =
a+b+c
2
b.h
2
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
Triângulo circunscrito
SABC = SACD = SADE = SAEF
a+b+c
2
S=p.r
Triângulo inscrito
Ao girar o triângulo ABF, podemos notar que as
áreas continuam iguais.
Razão entre áreas semelhantes
1
S=
4
S1
a.b.c
4r
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EM_V_MAT_027
p=
r
G
B
O
A
E
2
F
C
S
D
Raio
S1   1 
=
S2   2 
2
Q1 e Q2 são quadrados:
1
2
Segmento que une o centro a um ponto da circunferência ( OD , AO, OB ).
Corda
Segmento que une dois pontos da circunferência
( CE e AB ).
Arco
Uma parte da circunferência ( EC ou EDC).
Diâmetro
É uma corda que corta o centro da circunferência
( AB é a maior corda).
Errado
S1  1
S
S

1
=
→ Q1 =
→ Q1 = → SQ 2 = 2 . SQ1
S2  2
SQ 2 2
SQ 2 2
Certo
2
2
S1   1 
S
S
1
 
=   → Q1 =   → Q1 = → SQ 2 = 4 . SQ1
S2   2 
SQ 2  2 
SQ 2 4
Circunferência
É o lugar geométrico dos pontos cuja distância
(raio) a um ponto fixo é constante (o centro da circunferência).
EM_V_MAT_027
Círculo
O lugar geométrico dos pontos cuja distância
a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um
número real fixo (raio).
Flecha
Segmento que o une o ponto médio da corda à
circunferência, formando um ângulo reto (FD).
Secante
Reta que passa por exatamente 2 pontos da

circunferência ( s ).
Tangente
Reta que passa por apenas 1 ponto da circun
ferência ( r ).
Arcos e ângulos
Ângulo central
É o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.
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5
A medida do ângulo central é igual à medida
do arco correspondente.
α=
ο
α
β=
A
 + CD

AB
2


AD + BC
2
B
= AB
Ângulo excêntrico exterior
Ângulo inscrito
É o ângulo que tem vértice na circunferência.
A medida do ângulo inscrito é igual à metade
do arco correspondente.
É o ângulo formado por duas secantes que se
cruzam num ponto externo à circunferência.
A medida do ângulo é igual ao módulo da semidiferença dos arcos determinados pelos seus lados.
D
A
α
B
A
V
C
α
B
=
α=

AB
2
P
 − AB

CD
2
Ângulo do segmento
É o ângulo que tem o vértice na circunferência
e cujos lados são formados por uma secante e uma
tangente.
A medida do ângulo de segmento é igual a
metade do arco correspondente.
Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos
ângulos opostos igual a 180º.
A
A
D
α
B

AB
2
Retas paralelas compreendem arcos de medidas iguais.
Ângulo excêntrico interior
São ângulos formados pelo cruzamento de duas
secantes no interior da circunferência, não necessariamente no centro.
A medida desses ângulos é igual a semissoma
dos arcos determinados pelos seus lados.
A
D
α
B
6
β
^
A +^
C =^
B +^
D = 180º
C
s
r
D
A
C
B
r//s
AB = CD
O raio é perpendicular à tangente no ponto
de tangência.
Q
O
r = tangente
OQ = raio
OQ = ⊥ r
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EM_V_MAT_027
=
B
C
Duas tangentes traçadas do mesmo ponto
possuem medidas iguais.
Concêntrica
d=0
A
P
B
O ≡ O’
PA = PB
Lei Linear de Tales
Posições relativas de duas
circunferências
d = distância entre os centros.
Exteriores
As linhas proporcionais foram muito utilizadas
por Tales para realizar a medição de algumas distâncias de pontos localizados em lugares muito altos,
de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao
cais, assim criando o seu teorema.
Um feixe de retas paralelas cortadas por retas
secantes determina sobre as secantes segmentos
proporcionais.
d
O
O’
Tangentes exteriores
r
b1 1
r
b2 2
r
b3 3
r4
a1
a2
a3
d>R+r
an
bn
rn+1
Para, r1 // r2 // r3 // r4 //... // rn + 1 temos:
d=R+r
O
a1 a 2 a 3
a + a 2 + a 3 + ...
=
=
= ... = K = 1
b1 b2 b3
b1 + b2 + b3 + ...
d
O’
K = constante de proporcionalidade.
Secantes
R–r<d<R+r
d
O
O’
Ao traçarmos uma reta paralela a um dos lados
de um triângulo, ela divide os outros dois lados em
segmentos proporcionais.
Tangentes interiores
A
C
B
O
d
O’
AE
AD
Interiores
EM_V_MAT_027
D
E
d=R–r
=
EB
DC
=
AB
AC
=K
d<R–r
O
O’
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7
Teorema das Bissetrizes
Bissetriz interna
A bissetriz de um ângulo interno do triângulo
divide o lado oposto em segmentos que são proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido.
``
Demonstração:
Temos: AB = AC
BM CM
α
b c α
m
n
b
c
=
m+n n
Traçando PC tal que:
P
B
Potência de pontos
α
A
αα
O estudo da potência de um ponto está diretamente relacionado com a posição do ponto no interior
ou exterior de uma circunferência dada. Também é
muito utilizado em construções trigonométricas.
Ponto P no interior da circunferência:
α
C
M
AM // PC
AB
=
BM
AP
MC
, como AP = AC
temos:
AB
=
BM
A
AP
CM
b θ θ c
m
n
B
M
C
1.° Caso
Cordas: AA’, BB’, CC’
b c
=
m n
Ponto P no exterior da circunferência:
Bissetriz externa
A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo divide externamente o lado oposto em segmentos
proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido.
``
Demonstração:
Traçando CP, tal que:
P α
α
B
α
α
C
M
AM // PC
AB
8
BM
=
AP
CM
, como AP // AC
2.° Caso
Secantes: PB’, PC’, PD’
Tangentes: PA, PE
Observando a posição do ponto P, reparamos
que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas,
enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção
de secantes e tangentes.
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EM_V_MAT_027
A
Ao destacarmos duas cordas com interseção em
P, podemos obter a seguinte relação:
O produto das partes de uma corda é igual ao
produto das partes da outra corda.
PC = PA
PA
PC’
(PA 2= PC.PC’)
Podemos observar que, se duas tangentes
concorrem de um mesmo ponto P, elas terão medidas iguais.
∆PAB’ ~ ΔPA’B
PA = PB’
PB
PA’
(PA.PA’ = PB.PB’)
Ao destacarmos duas secantes com interseção
em P, podemos obter a seguinte relação:
O produto da secante por sua parte exterior
é igual ao produto da outra secante por sua parte
exterior.
PA = PC
Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a
uma circunferência, a soma de dois lados opostos é
igual à soma dos outros dois lados opostos.
∆PB’D ~ ΔPBD’
PD = PB’
PB
PD’
(PB.PB’ = PD.PD’)
EM_V_MAT_027
Ao destacarmos uma secante e uma tangente
com interseção em P, obtemos a seguinte relação:
O quadrado da tangente é igual ao produto da
secante por sua parte exterior.
AB + CD = AD + BC
∆PAC ~ ΔPAC’
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9
``
Demonstração:
Sc
− S ∆ACD
4
pR 2 2
−
S1 =
4
2
2
p.4
4.4
−
S1 =
4
2
S1 =
S1 = 4 p − 8
S1 = 4( p − 2 )cm 2
Logo SF = 2S1 → SF = 8( p − 2 )cm 2
2. Ache a razão entre a área do retângulo ABCD e do
retângulo BDEF, na figura.
AB = x + y
CD = z + w
AB + CD = x + y + z + w
AD = x + w
BC = y + z
AD + BC = x + w + y + z
``
Solução:
1. O quadrado ABC da figura tem 4cm de lado, calcule a
área da região hachurada.
S ABCD = 2S1 + 2S 2
SBDEF = 2S1 + 2S 2
S
2S + 2S 2
Logo ABCD = 1
=1
SBDEF 2S1 + 2S 2
Solução:
3. Calcule a área da região hachurada na figura, sendo os
círculos concêntricos, com a corda AB do círculo maior
tangente ao menor, valendo 10cm.
M = Ponto médio de AB
10
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EM_V_MAT_027
``
``
Solução:
R =r +5
0
2
6. A área do quadrilátero ABCD da figura vale 32cm2.
Calcule a área da região hachurada, se M e N são
pontos médios.
2
R2 – r 2 = 25
Como S F = π (R2 – r 2)
S F = 25πcm2
4. João pretende escolher entre dois muros para pintar
ganhando a mesma quantia em ambos. O muro A tem
base 20% maior que a base do muro B e altura 20%
menor do que a altura do muro B. Qual a melhor escolha,
entre os muros, que João pode fazer? Justifique.
``
Solução:
Muro B: altura = h e base = b
Muro A: altura = 0,8 h e base = 1,2b
``
Solução:
Área B = b . h
Área A = 1,2 b . 0,8 h = 0,96b . h
Área de A < Área de B. Logo o muro A é o mais vantajoso para o João.
5. A área do triângulo ABC vale S, calcule a área da região
hachurada, se CD = DE = EA e BF = FD.
2S1 + 2S2 = 32
S1 + S2 = 16m2
7.
``
A área do triângulo ABC da figura vale k, calcule a área
do trapézio BCDE em função de k.
Solução:
S ABC S
=
3
3
S
SBDE
S
=
= 3 =
2
2 6
SBDE =
EM_V_MAT_027
SBDF
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11
``
Como ABCE é um quadrilátero inscrito na circunferência,
^
A +^
C = 180º, assim ^
C = 80º. Logo:
Solução:
S AED  2 x 
= 
S ABC  3 x 
SBCDE = S ABC − S AED
2
SBCDE = k −
S AED 4
=
k
9
4k
S AED =
9
4k
9
5k
9
SBCDE =
α + 30º + 80º = 180º
α= 70º
11. Na figura, O é o centro da circunferência e SR é igual
ao raio desta. Calcule α em função de β.
8. Um aluno pegou uma figura geométrica de área igual a k,
em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma
cópia com redução da figura e a nova diagonal passou a
valer d/3. Calcule a nova área em função de k.
``
``
Solução:
S1 1
=
S2  2
k  d 
=

S2  d / 3 
R
S
R
α
A
C
D
o
E
``
α
A
o
20º
10. Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência.
Determine o valor de α na figura.
30º
2β α
β
O
P
Entre 5 e 10
salários mínimos
Acima de 20
salários mínimos
``
De 10 a 20
salários mínimos
Solução:
Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e
7, temos:
α + 3αα + 4αα + 7αα = 360º
E
5αα = 360º
α = 24º
α
C
Q
D
Como BC // AD, os arcos AB e CD são côngruos,
assim α = 40º.
B
β
T
Abaixo de 5
salários mínimos
E
A
100º
P
12. O diagrama abaixo representa a distribuição da população de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos
centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4
e 7. As maiores rendas são destinadas ao menor número
de pessoas. Determine o percentual de pessoas com
renda acima de 20 salários mínimos.
C
α
α
αα = 3ββ
Solução:
40º B
O
αα = β β+ 2ββ
9. No círculo da figura a corda BC é paralela ao diâmetro
AD. Se A^
E B vale 20°, calcule o ângulo B^
CO.
B
T
Solução:
k
=9
S2
k
S2 =
9
2
β
S
Q
D
Assim, temos:
360º _________ 100%
Solução:
24º_________ x
A
100º
B
30º
80º
12
C
α
E
360 x = 24 . 100
x=
α
D
24.100
360
x = 6.66%
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EM_V_MAT_027
``
13. Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas:
``
Solução:
v
u
r
8
s
12
x
t
A
α
4 α
B
6
6
x M
y
C
x + y + 4 + 6 = 25
``
x + y = 15
Solução:
4 6
=
x y
4y = 6 x
3x
y =
2
A figura acima é equivalente a:
v
r
u
s 12
8
t x
6
3x
= 15
2
5 x = 30 → x = 6 e y = 9
x+
12 x
=
8 6
8 x = 72
x =9
16. Na figura, O é o centro da circunferência com AB CD .
Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE =
2cm.
14. No triângulo ABC da figura, AB // EF //DG e os segmentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, 2 e 3. Se BC
vale 12cm, calcule FG.
``
Solução:
B
F
D
G
A
C
D
E
y
3x
B
2x
``
Solução:
12
x
EM_V_MAT_027
12
y
=
→ 6 x . y = 12 . 2 x
6x 2x
24x
y =
=4
6x
15. O perímetro de um triângulo ABC é 25cm. Sabendo que
AB = 4cm e AC = 6cm, calcular os segmentos determinados pela bissetriz interna de A no lado oposto.
x–2
Raio = x
(x + 2) (x – 2) = 4 . 4
x2 – 4 = 16,
x2 = 20
x = 2 5 cm
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13
17. Na figura, PT é tangente da circunferência de raio r.
Sabendo-se que PT = 2r, calcule o valor de PB .
2PPRS = 15 – x + 15 – y + x + y
2PPRS = 30cm
19. João tem uma horta em formato circular e a cercou
com arame tangenciando, construindo um triângulo
conforme a figura.
Calcule a quantidade de metros usados por João para
cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas.
``
Solução:
v
``
Solução:
x (x + 2r) = (2r)2
x2 + 2rx = 4r2
x2 + 2rx – 4r2 = 0
ou seja: 8 + 10 + 12 = 30m
x – r – r 5 → não pode, por ser menor que zero.
–r+r 5
x = r ( 5– 1 )
18. Na figura, PA = 15cm. Calcule o perímetro do triângulo
PRS, se PA , PB e RS são tangentes.
B
``
Solução:
PA = PB = 15
1. (UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M,
representado na figura a seguir.
A área, em cm2, do triângulo obtido, unindo-se os pontos
médios de PM , MN e NP , é:
a) 4
b) 6
c) 12
d) 20
14
B
2. (UERJ) O decágono da figura a seguir foi dividido em 9
partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2
triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes
ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.
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EM_V_MAT_027
e) 24
6. (Unicamp) Quantos ladrilhos de 20cm por 20cm são
necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m?
7.
(Unirio) A área da região hachurada, na figura a seguir,
onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunferência mede 5cm, é igual a:
Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área
do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono
é equivalente a:
a) 14T + 3Q
b) 14T + 2Q
c) 18T + 3Q
d) 18T + 2Q
3. (UFF) Determine a área da coroa circular da figura abaixo, sabendo-se que o segmento PQ , medindo 8cm, é
tangente à circunferência menor no ponto T.
a)
25(4 − p ) cm 2
2
b) 25(p – 2) cm2
c) 25(4 – p) cm2
2
d) 25(π − 2) cm
e)
2
5( 4 − π ) cm 2
4
8. Se o lado de um quadrado aumenta de 20%, sua área
aumentará de:
a) 10%
b) 20%
a) 8pcm2
c) 40%
b) 16pcm2
d) 44%
c) 24pcm2
e) 50%
d) 32pcm2
4. (PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência:
a) a área é multiplicada por 9p.
b) o comprimento é multiplicado por 3p.
c) a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3.
9. (Cesgranrio) A base de um retângulo de área S é aumentada de 20% e sua altura diminuída de 20%. A área
do novo retângulo formado é:
a) 1,04S
b) 1,02S
c) S
d) a área e o comprimento são ambos multiplicados
por 3.
d) 0,96S
e) a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.
e) 0,98S
5. (Unirio) A figura representa um hexágono regular.
10. (UFF) Duas circunferências de raios iguais a 2cm e uma
reta tangenciam-se em três pontos distintos.
O valor da área delimitada pelas circunferências e pela
reta é igual a:
a) 2(4 – p)cm2
EM_V_MAT_027
b) 2(5 – p)cm2
c) 2(6 – p)cm2
Calcule a área da região sombreada.
d) 2(7 – p)cm2
e) 2(8 – p)cm2
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15
11. Na figura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais
e 2cm e tangenciam-se externamente nos pontos A,
B e C.
15. (PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área
desse triângulo é de:
a) 11cm2
b) 15cm2
c) 20cm2
d) 25cm2
e) 30cm2
Calcule a área hachurada delimitada pelos menores
arcos.
12. (Unirio) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo.
16. (UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua
diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais,
respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}.
A área do triângulo FBG é uma fração da área do
paralelogramo (ABCD). Calcule essa fração.
17. (UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a figura:
a) Qual a medida do segmento EF ?
b) Qual a área do triângulo AED?
13. (PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um quadrado Q circunscrito a C. A área interior a Q e exterior
a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma
valendo:
a) (4–p) r2
S
segmento AD , então a razão 1 é igual a:
S2
a) 1
p
b)  1−  r 2
 4
b) 4
1
c)
4
d) 2
1
e)
2
c)  3 − p  r 2

2
d)  p − 1 r 2
3

p
e)  − 1 r 2
2 
14. (PUC) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem em seis partes
iguais o círculo de raio R.
16
18. (UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado
duas vezes de forma que dois lados adjacentes se
sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao
desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assinalados na figura.
Determine a área hachurada.
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EM_V_MAT_027

Se S1 representa a área do triângulo ABC, S2 representa
a área do paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do
d) 35
e) 40
21. (UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular
10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II,
através de um segmento de reta passando pelo ponto
B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme
mostra a figura:
� �b, �c e d .
a) Determine as medidas dos ângulos a,
b) Calcule a razão entre a área sombreada e a área do
quadrado.
19. (Cesgranrio) No paralelogramo ABCD de área 24cm2,
os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em 4 partes
iguais.
A área do ambiente I é a sétima parte da área do
ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.
22. (UFRJ) Observe a figura a seguir (ABCD), que sugere
um quadrado de lado a, onde M e N são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F
a interseção dos segmentos AM e BN.
A área do triângulo AQR é:
a) 2cm2
b) 3cm2
c) 4cm2
d) 5cm2
e) 6cm2
20. (UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e
R são os pontos médios dos lados.
Utilizando esses dados, resolva os itens a e b.
ˆ é reto.
a) Demonstre que o ângulo AFN
b) Calcule a área do triângulo AFN em função de a.
23. (UFRJ) A figura abaixo mostra dois arcos de circunferência de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais.
Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a
medida da área do triângulo ABC é:
a) 20
EM_V_MAT_027
b) 25
Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada
e não-hachurada.
c) 30
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17
24. (UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de
semicircunferências e AC = CD = DE = EB.
Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então
o raio do circulo intermediário é:
a) 12m
b) 10m
Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas.
25. (Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma montagem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico
de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura
a seguir.
c) 11m
d)
65 m
e) 5 3 m
28. Na figura a seguir, calcule a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo hachurado.
A
3
O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado
anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de
acrílico é R$6,40, o custo total do material será de:
a) R$34,00
1
B
b) R$48,00
C
1
3
c) R$68,00
29. A1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n lados,
inscrito em um círculo. Se o vértice A15 é diametralmente
oposto ao vértice A46, o valor de n é:
d) R$96,00
e) R$102,00
26. Dois círculos se cortam de tal forma que determinam
três regiões, como mostra o esquema abaixo:
a) 62
b) 60
c) 58
d) 56
e) 54
30. Na figura a seguir, os pontos M, N e P são de um triângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices
de um quadrado.
18
EM_V_MAT_027
Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que
a região S1 equivale ao dobro de S2 e que a região
S3 equivale ao triplo de S2. Calcule o raio do maior
círculo.
27. Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas
das regiões hachuradas são iguais.
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QN corresponde ao lado do:
a) hexágono regular.
b) octógono regular.
c) eneágono regular.
d) decágono regular.
e) dodecágono regular.
31. (Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em
um círculo.
O ângulo ΜM PN vale:
a) 76°
b) 80°
c) 90°
d) 108°
e) 120°
34. (UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada
na figura abaixo.
A soma, em radianos, dos ângulos
figura é:
a)
4
b)
2
c)
e mostrados na
o
d)
2
e) 2
32. (Cesgranrio) Na figura abaixo, AB = 20°, BC= 124°, CD
= 36° e DE = 90°.
A medida , do ângulo assinalado, é:
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
e) 70°
35. Calcule
Calcule o ângulo
a) 56º
nas questões de 35 a 39.
.
b) 48º
c) 46º
d) 39º
e) 37º
a) 10°
EM_V_MAT_027
33. As semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da
figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do
arco MFN.
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
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19
36. (Unisantos-SP)
39. (UFES)
a) 31°
b) 38°
a) 50º
c) 48°
b) 52º
d) 50°
c) 54º
e) 56º
d) 56º
37. (Cesgranrio)
e) 58º
40. O valor de x, na figura abaixo, é:
a) 20º
b) 30º
a) 30º
c) 40º
b) 35º
d) 50º
c) 55º
e) 60º
d) 75º
38. (UCBA)
e) 90º
41. (UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um
pentágono regular.
a) 10º
c) 20º
20
d) 25º
A soma + + +
a) 360º
e) 30º
b) 330º
+ é:
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EM_V_MAT_027
b) 15º
c) 270º
d) 8
d) 240º
e) 6
45. O valor de x na figura, é:
e) 180º
42. (UFRJ) Na figura dada a seguir:
a) 7
b) 6
c) 5
•• ΑΒAB é lado de um octógono regular inscrito;
d) 4
•• t é uma tangente.
e) 3
Qual a medida de ?
46. O valor de x na figura, é:
43. Na figura, as retas s e t são paralelas.
O valor de x + y é:
a) 6
a) 10
b) 7
c) 12
c) 8
d) 14
d) 9
e) 16
e) 10
EM_V_MAT_027
44. O valor de x na figura, é:
b) 11
47. (Cesgranrio) As retas r1, r2, r3 são paralelas e os comprimentos dos segmentos de transversais são indicados
na figura.
a) 16
Então x é igual a:
1
a) 4
5
15
b)
2
b) 14
c) 5
c) 12
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21
d)
50. (MAPFEI) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para
a rua “B”, como na figura.
8
5
e) 6
48. (Vunesp) Na figura, o triângulo ABD é reto em B, e AC
é a bissetriz de BÂD.
As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a
medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo-se
que a frente total para essa rua é 180m.
a) 80m, 60m, 40m
b) 90m, 70m, 40m
c) 80m, 50m, 30m
d) 60m, 40m, 30m
Se AB = 2 BC , fazendo BC = b e CD = d, então:
a) d = b
e) 80m, 50m, 20m
51. Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.
5
b
2
5
c) d = b
3
6
d) d = b
5
5
e) d = b
4
b) d =
49. (UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes
para a rua “A” dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a
rua “B” mede 40m a mais que a frente do quarteirão II
para a mesma rua.
52. Na figura, os pontos A, B, C e D situam-se na circunferência de centro O e raio r.
Ponto P é tal que OP < r . Então:
Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros,
da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:
a) 160
c) 200
d) 220
e) 240
22
BD CP
=
AC BP
BD
AP
b) AC = DP
c)
AP CP
=
DP BP
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EM_V_MAT_027
b) 180
a)
d)
DP CP
=
AP BP
c) AB.
e)
BD AP
=
AC PC
e) 1 de AB.
d) a metade de AB.
3
53. O valor de X na figura é:
56. (UFRJ) Na figura a seguir, vale a relação:
O
a) a2 = xy
20
a)
3
b) a = x (x + y)
3
b)
5
c) 1
c) a2 = x (x + y)
d) a2 = y (x + y)
e) a = x (x – y)
d) 4
e) 5
BDsãoAP
54. Na figura,
dados AE = 1 BE = 8cm e ED = 6cm.
=
EC 3
Calcule AC : PC
57. (Cesgranrio) Na figura abaixo, AB = 8cm, BC = 10cm,
AD = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência.
O
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:
a) 26
a) 10
b) 45
b) 12
c) 48
c) 16
d) 50
d) 18
e) 54
e) 20
55. Na figura, ABC representa um trecho reto de uma estrada que cruza o pátio circular de centro O e raio r.
58. Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois
diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC, como
mostra a figura.
O
EM_V_MAT_027
O
Se AC = 2r = AO, então BC vale:
a) o dobro de AB.
b)
2
de AB.
3
Se AC = 16, o segmento AD mede:
a) 8 2
b) 12,0
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23
c) 12,5
d) 13,0
e) 6 3
59. Nesta figura AT é tangente à circunferência do raio r.
1. (UFRJ) Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem lados
6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região
hachurada tem área 16.
Sabendo-se que AT = 2r , então o valor de AC é:
a) ( 5 + 1) r
b) 1 + 2 r
Determine x.
2. (UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao
lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.
c) r2
d) 5 r
e) ( 5 − 1) r
60. (RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P,
distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento da tangente entre P e o ponto de contato, é:
Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida
de AR e q a medida de AS.
a) 4m
b) 6m
c) 8m
d) 10m
e) 12m
61. Na figura, AB = 8, AC = 10 e BC = 6.
Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS
e ABC vale
pq
.
bc
3. (UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo
que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM
e DEPN sejam quadrados.
A medida do segmento BT é:
a) 0,5
b) 1,0
c) 1,5
d) 2,0
A área do hexágono ABCDEF é igual a ( 3 + 3 ) cm 2 .
Determine o comprimento, em centímetros, do lado do
triângulo MNP.
24
EM_V_MAT_027
e) 2,5
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4. (UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero ABC foram
prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’, de modo
que a medida do segmento AA’ corresponde a 20%
da medida do lado AC, conforme indicado na figura a
seguir.
Determine o valor da razão das áreas hachuradas,
1
2
1
b)
2
a
.
b
a)
c) π
4
d) 1
e)
7.
Determine o percentual de aumento que a área do
triângulo A’B’C’ apresenta em relação à área do triângulo
original ABC.
5. (UFF) Considere uma folha de papel em forma do
retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de
modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo
M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT,
de acordo com a figura 2. A segunda é feita de modo
que o ponto P também caia sobre o segmento MN,
conforme a figura 3.
π
3
Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos
lados de um triângulo retângulo ABC, como mostra a
figura.
O semicírculo de hipotenusa AB sobrepõe-se, em parte,
aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas,
tracejadas na figura. Que relação existe entre a área total
das duas lúnulas e a área do triângulo?
8. (Associado) Um espiral, começando na origem dos eixos
coordenados, é construído traçando-se semicírculos de
diâmetros OM , MS e SP .
A área do triângulo MPQ é:
a) 18 2 cm2
b) 36 2 cm2
c) 30cm2
d) 45 3 cm2
6. (Unificado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual
foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ.
A área da região hachurada vale:
a)
b)
c)
d)
EM_V_MAT_027
e)
π
2
3π
4
4π − 3 3
6
7π − 3 3
6
11π − 6 3
12
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25
9. Na figura, ABCD é um quadrado e os dos semicírculos
encontram-se em P.
12. (UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R
e centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é a.
a) Calcule a área do retângulo ABCD, em função de
R e a.
Sabendo que PC = 2 2 , a área hachurada é igual a:
a) 2
b) Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima
para a = 45º.
13. (UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo
WXYZ, como mostra a figura.
b) 4
c) 2 6
d) 4 6
e)
6
10. (UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste
em formar um quadrado com as partes de um triângulo
equilátero, como mostram as figuras.
Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm,
calcule o perímetro do quadrado.
11. (UFRJ) A figura abaixo é formada por dois quadrados
ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 1cm, inscritos
numa circunferência. A diagonal AC forma com a diagonal A’C’ um ângulo de 45º.
26
Calcule a área, em termos de A, da região determinada
por esse processo.
EM_V_MAT_027
Determine a área da região sombreada da figura.
Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determine o ângulo q
para que a área de WXYZ seja a maior possível.
14. (Unicamp) Construir “fractais” no computador corresponde a um procedimento como descrito a seguir. A
partir de um triângulo equilátero de área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero
de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres
desses triângulos acrescentamos triângulos de lados
iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessivamente, construímos uma figura com uma infinidade de
triângulos (veja o desenho).
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15. (UFF) Na figura, cada lado do quadrado de lado 3cm
é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses
lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado
cujos lados também são divididos em três partes iguais
e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados
são construídos.
18. (UFF) Sendo 4cm3 a área do menor quadrado da figura,
determine a área do maior.
19. Em um triângulo ABC, M é o ponto médio de AB e N é
o ponto médio de AC . Calcule a área do triângulo ABC,
sabendo que a área do quadrilátero BMNC vale 15m2.
Determine a área total da figura que será obtida se o
processo for repetido análoga e indefinidamente.
16. (UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular,
um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas
dimensões de 20cm x 30cm. Entretanto, ele possui,
em estoque, 1 300 cerâmicas do mesmo tipo, nas
dimensões de 20cm x 20cm. Usando o seu estoque,
o construtor teria:
a) que comprar mais 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.
20. (Cesgranrio) O quadrado da figura tem diagonal CD igual
a 10cm. Os segmentos paralelos AB , CD e EF , dividem
o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o
comprimento do segmento AB .
21. Na figura abaixo, S1 é a área do quadrilátero MNBA, S2
é a área do triângulo ABC e MN é paralelo a BA .
b) que comprar mais 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.
c) o número exato de cerâmicas a serem aplicadas.
d) uma sobra de 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.
e) uma sobra de 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.
17. Na figura, ABC é um triângulo retângulo isósceles com
AC = CB . DEF é um arco de circunferência de centro A.
Calcule x, sabendo que S1 = 51% de S2.
22. Nas figuras a seguir, calcule as áreas hachuradas em
função da área S do triângulo ABC.
EM_V_MAT_027
a)
AD
Calcule a razão
, sabendo que as áreas hachuradas
CB
são iguais.
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27
b)
h)
c)
i)
d)
j)
k)
e)
l)
f)
m)
28
EM_V_MAT_027
g)
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25. Os pontos ABCDE da figura resultaram da divisão de
uma circunferência em 5 pares congruentes.
n)
E
A
B
D
o)
C
Por consequência, a soma dos ângulos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é igual a:
a) 800°
b) 700°
c) 720º
d) 760°
e) 780°
23. Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua.
Se cada lata custa R$25,00, calcule o valor gasto por
Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a
primeira, porém com o dobro da altura.
26. Na figura, os círculos são iguais. AC contém os dois
centros e AD é tangente ao círculo de centro O’.
24. (PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos
lados do triângulo ABC da figura abaixo.
Prove que CD = BD + BE
27. Determine x na figura a seguir.
Sabendo que
S
AP BQ CR 2
=
=
= , encontre , onde
AB BC BC 3
T
S é a área do triângulo ABC e T é a área do triângulo
PQR.
a) 100
b) 110
EM_V_MAT_027
c) 120
d) 130
e) 140
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29
28. (Unificado) Em relação à figura a seguir, considere:
I. AB é um diâmetro da circunferência de centro O;
Então, x + y é igual a:
a) 180º
II. a reta t, paralela à corda ΑΒAR, é tangente à circunferência no ponto T;
b) 185º
III. o ângulo BÂR mede 20°.
d) 210º
c) 190º
e) 250º
31. (U.F. Uberlândia) Em um dado triângulo retângulo
inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e circunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do
triângulo vale:
a) d + D
Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela
corda AT é:
a) 25º
b) 35º
b) 2d + D
c) d + 2D
d) 3/2(d + D)
e) 2(d + D)
c) 40º
32. O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência,
como mostra a figura abaixo.
d) 45º
e) 60º
29. (FGV) A medida do ângulo ΑADC inscrito na circunferência de centro O é:
^ .
Calcule a medida do ângulo QSR
33. Seja P o centro de um quadrado construído sobre a
hipotenusa AC do triângulo ABC.
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°
30. O pentágono ABCDE, da figura, está inscrito em um
círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60°.
30
EM_V_MAT_027
Calcule o ângulo PBC .
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34. Na figura a seguir, AD e BE são duas alturas do triângulo ABC.
37. São dados da figura abaixo: AB = x, BC = 4, CD = 12.
Pede-se o valor de AB.
Sabendo que o ângulo BAC mede 64º, calcule o ângulo
ADE .
JA
, considerando a figura
38. Determine o valor da razão
JD
e as medidas abaixo.
AB = 9
AC = 6
BC = 10
35. Na figura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro
do arco XL.
Y
O
39. O perímetro de um triângulo ABC é 45cm. Sabendo que
AB = 10cm e AC = 15cm, calcular os segmentos determinados pela bissetriz interna de  no lado oposto.
X
Com esses dados, determine a medida do ângulo
LÔX.
36. Seja uma partícula A com velocidade angular wA = 2
rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em
quanto tempo ela atinge a partícula B que está com
rad/min (ambas no sentido
velocidade igual a wB =
2
horário)?
P
WA
A
40. Na figura abaixo, ABCD é um trapézio, AB = 22cm,
1
CD = 13cm, MA = e MN é paralelo a AB .
MD 2
O comprimento do segmento MN é:
a) 16cm
b) 17cm
120o
WB
d) 19cm
e) nenhuma das anteriores.
EM_V_MAT_027
B
c) 13cm
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31
41. (IME) Considere a figura abaixo, onde APOR é um
paralelogramo. AO é bissetriz interna, AB= 6cm e AC
= 3cm.
Calcule o perímetro do paralelogramo APOR e a razão
BO .
BC
42. Na figura abaixo, x e y são paralelos às bases do trapézio.
1
46. Na figura a seguir, BC = 32, BD =
DE // BC ,
4
BA
//
e
//
.
DF AC EG AB
Calcule o segmento FG .
47. O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:
Calcule y – x.
43. Num triângulo ABC, AB = 12cm, AC = 8cm e BC =
5cm. Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o incentro
IA
do triângulo, calcule a razão .
ID
44. Um triângulo ABC é tal que AC / BC = 3/4. A bissetriz
C corta AB no ponto P. Calcule a
do ângulo externo ^
razão PA /AB.
45. (Integrado) Considere um decágono regular convexo
inscrito em uma circunferência de raio R.
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S,
cada corredor deve per­correr o circuito passando,
sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, final­
mente, a S.
Assinale a opção que indica o perímetro do
circuito.
a) 4,5km
b) 19,5km
c) 20,0km
d) 22,5km
e) 24,0km
32
48. (IME) Prolonga-se o raio AO de um círculo de um
comprimento AB igual a AO; traça-se uma tangente ao
círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares
NA e BC.
^ = 126°, qual o valor do ângulo ACB
^ ?
Se OAC
EM_V_MAT_027
Sabendo que BC é bissetriz do ângulo ABO, prove que
o lado do decágono é 10 = ( 5 – 1)R .
2
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49. O valor de x, considerando que o quadrilátero ABCD
está circunscrito ao círculo, é:
52. Na figura abaixo, O é o centro do círculo.
Calcule as potências de A, B, C e O.
53. Calcule x para que a pot A + pot B+ pot C seja igual a
zero.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
O
50. Nas figuras abaixo, mostre que PA . PB = PC . PD .
a)
54. Um ponto P está no interior de uma circunferência de
13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo
ponto P traça-se uma corda AB de 25cm. Determine
os comprimentos dos segmentos que P determina sobre
a corda AB .
55. Considere as cordas AP = 13 e BD = 12 de uma circunferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C
= 13
que ABCD seja um paralelogramo.
da corda AP tal
b)
51. Na figura abaixo, mostre que PT 2 = PA . PB = d2 − R 2 ,
onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo
e R o raio.
Determinado este ponto C, calcule AC .
56. Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de
7cm de raio, traça-se a secante PBC ao círculo de modo
que PB valha a metade do PC . Calcule o comprimento
do segmento PC.
EM_V_MAT_027
57. Na figura abaixo, PA é tangente em A ao círculo.
PA = PC = CB , PD = 1 e DE = 8 .
Calcule AC .
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33
58. Considere um arco AB de um círculo. Seja N o pon- 62. (PUC-SP) A figura é uma circunferência de centro O
to médio do arco e M o ponto médio da corda AB .= 18 cm e o raio a com os segmentos de tangentes CB em T
e BA em A.
Calcule o raio do círculo sabendo que AB = 18 cm e
MN = 3 cm .
59. As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma
circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule
a altura do trapézio.
60. Um trapézio isósceles ABC tem base igual a 4cm e está
circunscrito a um círculo de 1cm de raio.
Se AB mede b, a medida de AC é igual a:
a)
2ab
b +a
b)
ab
b −a
c)
2ab 2
b2 −a2
a 2b
d) b 2 + a 2
Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo
inscrito. Calcule o segmento EF .
a 2b 2
e) b 2 − a 2
61. O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato
do trapézio da figura, e por motivos estéticos foi
cortado formando um círculo que seria inscrito no
trapézio.
A
34
EM_V_MAT_027
Calcule o raio do círculo, se AB = 12 m , AD = 6 m e
BC = 8m.
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13. B
π
3  22
14.  −
 RR
3 2 
15. B
1. B
2. A
1
18
17. C
16.
3. B
4. C
32π

5.  24 3 −
3

6. 500
7.
 22
 cm

A
a) 22°30’
b)
20. E
9. D
21. 5m
10. A
)
2
11. 2 2 3 − π cm2
22.
a) Resposta pessoal.
EM_V_MAT_027
12.
14
5
216
b)
25
2 −1
19. B
8. D
(
18.
b)
a)
23.
a2
20
5
7
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35
24. 1
61. D
25. A
10 3
cm
3
27. A
26.
29. A
30. E
31. C
32. E
33. D
34. E
35. B
36. C
37. E
38. C
39. E
1. x = 1 ou x = 2
2. Demonstração.
3. 1cm
4. 72%
5. A
6. D
7.
8. E
9. B
10. 16 4 3cm
cm
(
12.
a) R2.sen2a
b) Resposta pessoal.
41. E
13. 45°
44. A
10A
7
15. 15cm2
45. E
16. B
43. B
14.
46. C
17.
48. C
18. 16cm2
49. A
19. 20m2
50. A
20. 5 2cm
51. y = 16;
21. 8,4
x = 15
52. C
22.
54. C
55. E
56. C
57. E
58. C
59. E
36
2 π
π
47. E
53. B
60. C
)
2
11. 6 − 4 2 cm
40. A
42. 157° 30’
São iguais.
a) S/2
b) 2S/3
c) S/6
d) S/3
e) S/6
f) S/12
g) S/3
h) S/4
i) S/24
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EM_V_MAT_027
28. 2
j) S/21
43. AI = 4
DI
3
44. PA =
4
PB
45.
k) S/7
l) S/6
m) 2S/15
n) S/3
o) S/70
23. R$300,00 (trezentos reais)
24. 3
25. C
26. Demonstração.
27. E
R
28. B
=
R–
l2 = R2 – Rl
29. A
l2 + Rl – R2 = 0
( 5 – 1)R
=
2
46. FG = 16
30. D
31. C
32. 45°
47. B
33.
CB = 54°
48. A^
A
49. B
50. Resposta pessoal.
B
51. Resposta pessoal.
P
P^
BC = 45°
52. 96; 0; –16; –25
53. 2 2
54. 16cm e 9cm
55. 8
C
56. 8cm
34. 26°
57. 4
35. 2 = 300
= 15°
36. 26 2 segundos
3
37. x = 8
58. 15cm
38. x = 6
61. Raio = 2,4cm
AJ = 3
2
JD
39. BD = 8cm
62. C
59. 6m
60. 1cm
DC = 12cm
40. D
EM_V_MAT_027
41. O perímetro de APOR vale 8cm.
BO = 2 OC = 2
3
BC 2 OC
42. y – x = 4
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37
EM_V_MAT_027
38
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39
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40
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