Matemática
Frente III
CAPÍTULO 21 – ÁREAS DE POLÍGONOS
elementos das diagonais secundárias, como se fosse
uma matriz
.
1 - RECORDANDO
Exercício Resolvido 1:
Até agora, nós vimos como calcular pontos,
retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como
calcular a área de nenhuma figura.
pontos
Na aula de hoje nós vamos estudar a área
de polígonos: além de calcular a área dessas figuras,
nós vamos ver como o conhecimento da área de um
triângulo pode ser uma informação importante para
calcular outras grandezas.
Calcule a área do triângulo formado pelos
,
e
.
Resolução:
Seja
a matriz [
]. Então, tem-se:
2 - ÁREA DO TRIÂNGULO
|
Sejam
,
e
os vértices de um triângulo. Como nós
poderíamos calcular a área do triângulo
?
Uma estratégia possível seria calcular o
comprimento do segmento
, calcular a equação
geral da reta (onde é a reta que passa por e ),
calcular a distância entre e o ponto , e a partir da
distância
e da distância entre e , calcular a
área do triângulo
. Mas como você pode ver,
essa estratégia envolve muitos cálculos!
|
|
|
|
|
|
|
Resposta: a área do triângulo
área.
Felizmente, existe uma fórmula pronta para a
área do triângulo formado pelos pontos
,
e
:
é 5 unidades de
Exercício Resolvido 1:
pontos
Calcule a área do triângulo formado pelos
,
e
.
Resolução:
Seja M a matriz [
|
]. Então, tem-se:
|
|
|
Figura 1: área do triângulo ABC
|
|
[
Leia-se: a área do triângulo
]
do módulo do determinante da matriz [
também
|
é metade
].
Observação:
pode-se
[
], que não é uma matriz quadrada, e
|
| |
Resposta: a área do triângulo
Observação: a área do triângulo
como
fazer
calcular-se o seu “quase-determinante” da seguinte
forma: somamos os produtos dos elementos das
diagonais principais e subtraímos os produtos dos
|
|
, os pontos ,
portanto não existe o triângulo
CASD Vestibulares
é zero!
MAT III
é zero, pois
e
são colineares,
.
1
_____________________________________________________________________________________
Resposta:
ou
Exercício Resolvido 3:
Exercício Resolvido 4:
Seja
a reta de equação
.
Calcule o valor de
, sabendo que a área do
triângulo formado pela reta e pelos eixos
coordenados é .
Calcule e positivos na equação da reta
de modo que ela passe pelo ponto
e forme com os eixos coordenados um triângulo de
área igual .
Resolução:
Sejam a reta de equação
,
ponto
, o ponto onde a reta corta o eixo
o ponto onde a reta corta o eixo . Então:
Logo a equação de
o
e
é
Figura 2: figura do exercício resolvido 3
Resolução:
e
Sejam o ponto onde a reta corta o eixo
o ponto onde a reta corta o eixo . Então:
Seja
a origem do plano cartesiano. Logo
. Além disso, como a área do triângulo
é , tem-se:
|
Como
é a origem do plano cartesiano,
. Além disso, como a área do triângulo
é , tem-se:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Se
, tem-se:
|
Se
Se
|
|
|
|
|
|
, tem-se:
, tem-se:
Se
, tem-se:
__________________________________________________________________________________________________________________
2
MAT III
CASD Vestibulares
_____________________________________________________________________________________
Se
e
, e são positivos. Logo
é uma solução válida.
, tem-se:
e
Se
Figura 4: área do pentágono ABCDE
Da mesma forma, a área do pentágono
acima pode ser dada pela seguinte
expressão:
√
√
√
√
|
√
Se
√
uma solução válida.
|
√ não é
. Logo
]
[
(
Logo
|
[
√ , tem-se:
Se
|
|
| com
[
]
]
√ )
√ não é uma solução válida.
Resposta: a única solução válida é
Exercício Resolvido 5:
Sejam
,
Calcule a área do quadrilátero
e
3 - ÁREA DO POLÍGONO
e
.
Exercício Resolvido 6:
De maneira geral, para calcular a área de um
polígono qualquer, basta dividir o polígono em vários
triângulos e calcular a área de cada triângulo.
Sejam
e
as equações
de duas retas no plano. Sabe-se que corta o eixo
em , corta o eixo
em , corta em e sabese que corta o eixo
em . Determine o valor de
, sabendo que os polígonos
e
têm a
mesma área.
Figura 3: área do quadrilátero ABCD
Por exemplo, a área do quadrilátero
acima pode ser dada pela seguinte expressão:
|
[
]
|
|
[
Figura 5: figura do exercício resolvido 6
| onde
Resolução:
]
Para usar a informação de que os polígonos
e
têm a mesma área, primeiro devemos calcular
as coordenadas de todos os pontos (
):
__________________________________________________________________________________________________________________
CASD Vestibulares
MAT III
3
_____________________________________________________________________________________
|
|
|
|
|
|
|
Como
.
é a origem do plano cartesiano,
Agora
que
calculamos
todas
coordenadas, vamos calcular os determinantes:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Infelizmente caímos em uma equação
modular. Para resolvê-la, nós temos que saber se
e
são positivos ou negativos. Essa informação
pode ser obtida através da figura original:
as
Da figura:
|
[
Seja
|
|
|
está acima do eixo
|
|
] Então, tem-se:
Agora, a equação modular pode ser resolvida:
|
|
|
|
|
|
|
|
√
√
√ ou
√
√
Agora vamos dividir o quadrilátero
triângulos
e
:
[
Seja
|
nos
Resposta: o valor de
4 - RESUMO
] .Então, tem-se:
|
|
|
Para calcular a área do triângulo formado
pelos pontos
,
e
,
podemos usar a seguinte relação:
|
[
Seja
√
é
|
[
]
Para calcular a área de um polígono com
mais de 3 lados, basta dividir esse polígono em
vários triângulos e calcular a área de cada triângulo.
] .Então, tem-se:
Por exemplo, a área de um quadrilátero
ser dada pela seguinte expressão:
|
|
|
|
|
[
onde
Finalmente, vamos usar a informação de que os
polígonos
e
têm a mesma área
|
Como
|
tem-se:
|
|
|
]
pode
| |
[
|
]
Da mesma forma, a área de um pentágono
pode ser dada pela seguinte expressão:
|
|
|
|
|
|
|
__________________________________________________________________________________________________________________
4
MAT III
CASD Vestibulares
_____________________________________________________________________________________
com
[
]
[
x0 do ponto R é:
]e
a) 8.
[
]
De maneira análoga, podemos calcular a
área de um hexágono, um heptágono, etc.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível II
1. As retas r e s formam com os eixos ordenados
triângulos retângulos de área igual a 6 e têm
coeficientes angulares iguais a -3/4. Suas equações
são:
a) 4 x  3 y  12  0 e 4 x  3 y  12  0
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
7. (FUVEST - 99) A reta r tem equação 2x + y = 3 e
intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo
ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os
pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r,
respectivamente,
a) determine a equação de s.
b) calcule a área do triângulo ABC.
8. (UFSCAR - 08) As coordenadas dos vértices do
triângulo ABC num plano cartesiano são
,
e
. Sendo θ um arco do primeiro
quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo
9
a área do triângulo ABC maior que , o domínio de
4
validade de θ é o conjunto
b) 4 x  3 y  24  0 e 4 x  3 y  24  0
c) 3x  4 y  12  0 e 3x  4 y  12  0
d) 3x  4 y  24  0 e 3x  4 y  24  0
e) n.d.a
2. (UNIFESP - 06) Se P é o ponto de intersecção
das retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3,
a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é
a) 1/3.
b) 5/3.
c) 8/3.
d) 10/3.
e) 20/3
3. (FUVEST - 99) Uma reta r determina, no primeiro
quadrante do plano cartesiano, um triângulo
isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos
onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área
desse triângulo é 18, a equação de r é:
a) x - y = 4
d) x + y = 4
b) x - y = 16
e) x + y = 6
9. (UFRRJ - 06) Multiplicando as coordenadas dos
vértices A(0, 0), B(2, 0) e C(4, 3) de um triângulo
ABC por uma constante K > 1, obtemos um outro
triângulo de vértices A1, B1 e C1.
Encontre a área do triângulo A1 B1 C1 em função da
constante K.
10. (UFMG - 94) Observe a figura.
c) x + y = 2
4. (UNESP - 94) Seja A a intersecção das retas r,
de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B
e C são as intersecções respectivas dessas retas
com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é:
a) 1/2.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das
abscissas no ponto (
), e a área do triângulo de
5. (UFF - 00) A reta r contém o ponto P(-5, 0), tem
coeficiente angular negativo e forma, com os eixos
coordenados, um triângulo de área igual a 20.
Determine a equação de r.
vértices A, B e C é 10.
Então, a ordenada do ponto B é
6. (UNESP - 07) Um triângulo tem vértices
P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x 0, 4), com x0 > 0.
Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa
11. (FATEC - 99) No plano cartesiano, considere o
triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de
abscissas -3 e 7, representado a seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
__________________________________________________________________________________________________________________
CASD Vestibulares
MAT III
5
_____________________________________________________________________________________
(k, 5) sobre a reta s, determine
a) todos os vértices do triângulo;
b) a área do triângulo.
A área desse triângulo é
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 20
12. (UFMG - 94) Observe a figura.
17. (ITA - 02)
Num sistema de coordenadas
cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes
angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam
na origem 0. Se B r e C s são dois pontos no
primeiro quadrante tais que o segmento BC é
perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a
12×10-1, então a distância de B ao eixo das
ordenadas vale
a) 8/5.
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares,
B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da
área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de
coordenadas
a) (
) b) (
) c)
d)
13. (UFMG - 03 - adaptado)
cujas equações são
e)
Considere as retas
y = x + 4 e y = mx,
em que m é uma constante positiva, maior do que 1.
Nesse caso, a área do triângulo determinado pelas
duas retas e o eixo das abscissas é
a)
b)
c)
b) 4/5.
c) 2/5.
d) 1/5.
e) 1.
18. (UFMG 05 - adaptado) Um triângulo tem como
vértices os pontos A = (0,1), B = (0,9) e C = (4,9).
Sabe-se que a reta x = k divide o triângulo ABC em
duas regiões de mesma área.
Considerando-se essas informações, é CORRETO
afirmar que o valor de k é igual a
Nível III
19. (FUVEST - 04) Duas irmãs receberam como
herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD,
representado a seguir em um sistema de
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo
uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando
pelo ponto
. O valor de
para que se
obtenham dois lotes de mesma área é:
d)
14. (UFRRJ - 04) Esboce graficamente as retas
,
,
e
e determine
a área da região delimitada por estas retas.
15. (UNICAMP - 06) Sabe-se que a reta r(x) = mx +
2 intercepta o gráfico da função y = I x l em dois
pontos distintos, A e B.
a) Determine os possíveis valores para m
.
b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o
valor de m que faz com que a área do triângulo OAB
seja mínima.
16. (FUVEST - 01) A hipotenusa de um triângulo
retângulo está contida na reta r: y = 5x - 13, e um de
seus catetos está contido na reta s: y = x - 1. Se o
vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma
a) √
d)
√
b)
e)
√
√
c)
√
20. (UNICAMP - 08) As retas de equações
e
são ilustradas na figura a seguir.
Sabendo que o coeficiente
é igual à média
aritmética dos coeficientes e :
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em
termos dos coeficientes e ;
b) determine ,
e , sabendo que a área do
triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e
que o triângulo OPQ tem área 1.
__________________________________________________________________________________________________________________
6
MAT III
CASD Vestibulares
_____________________________________________________________________________________
21. (UNIFESP - 09)
Num sistema cartesiano
ortogonal, considerados os pontos e a reta exibidos
na figura,
A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo
ABCD em dois polígonos de mesma área terá por
equação:
a) 3x - 5y - 5 = 0.
b) 3x - 5y = 0.
c) 6x - 10y - 1 =0.
d) 9x - 15y - 2 = 0.
e) 12x - 20y - 1 = 0.
GABARITO
o valor de t para o qual a área do polígono OABC é
igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é:
a)
√
b)
√
c) √
d)
e)
√
22. (FUVEST - 06) A reta s passa pela origem O e
pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é
perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o
eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o
coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC
for o triplo da área do triângulo OAB.
23. (ITA - 98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são
retas suportes das diagonais de um paralelogramo.
Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm,
então, a área deste paralelogramo, em cm 2, vale:
a) 36/5
b) 27/4
c) 44/3
d) 48/3
e) 48/5
Dica: Em um paralelogramo, as suas diagonais se
bisseccionam (a interseção delas é o ponto médio de
cada diagonal).
24. (FUVEST - 02) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e
C = (-1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um
ponto do segmento BC . Sejam E o ponto de
intersecção de AB com a reta que passa por D e é
paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de
AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo
dos x.
a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero
AEDF.
b) Determine o valor de u para o qual a área do
quadrilátero AEDF é máxima.
1. C
2. D
3. E
4. A
5.
6. E
7. a)
8. E
9.
10. D
11. E
12. B
13. C
14. 3 u.a
15. a)
16. a)
17. b
18.
√
19. B
(
20. a)
21. E
22.
23. E
24. a)
b)
u.a
b)
b) 6 u.a.
)
(
)
√
b)
25. C
BIBLIOGRAFIA
Não há referências bibliográficas
25. (UNIFESP - 09)
Num sistema cartesiano
ortogonal, são dados os pontos A(1, 1), B(5, 1),
C(6, 3) e D(2, 3), vértices de um paralelogramo, e a
reta r, de equação
__________________________________________________________________________________________________________________
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