# Pirâmides / Elementos
# Pirâmide Regular
Vértice
Aresta
Lateral
Face
Lateral
Aresta
Lateral
Altura
Altura
Raio
Base
Aresta
da Base
Base
Apótema
da
Base
Aresta
da Base
Apótema
da
Pirâmide
Área da Base

Área do Polígono da Base.
Área Lateral

Soma das Áreas das Faces Laterais (Triângulos).
Área Total

Área Lateral + Área da Base.
Volume =
1
 (Área da Base)  (Altura da Pirâmide)
3
Observação: na pirâmide regular a base é um polígono regular; a projeção ortogonal do
vértice sobre o plano da base é o centro da base e as faces laterais são triângulos isósceles
congruentes.
1
 ATIVIDADES 
 PARTE A 
1) A seguir temos a representação de uma pirâmide quadrangular regular com alguns segmentos
importantes indicados.
V
C
D
M
O
A
B
Sabendo que uma aresta da base mede AB  6cm e que a altura mede VO  4cm , determine para
essa pirâmide a medida:
a) do volume;
b) de um apótema da base ( OM , por exemplo);
c) de um apótema da pirâmide ( VM , por exemplo);
d) da área de uma face lateral ( VBC , por exemplo);
e) da área lateral;
f) da área total;
g) do raio da circunferência que circunscreve a base ( OC , por exemplo);
h) de uma aresta lateral ( VC , por exemplo);


i) da tangente do ângulo formado por uma face lateral com a base ( tg VM̂O , por exemplo).
2) A seguir temos a representação de uma pirâmide hexagonal regular com a medida de alguns
segmentos importantes indicados.
l
h
l
f
R
a
r

a
Sabendo que uma aresta da base mede a  6cm e que a altura mede h  8cm , determine para essa
pirâmide a medida:
a) do raio da circunferência que circunscreve a base ( R , por exemplo);
2
b) da área da base;
c) do volume;
d) de um apótema da base ( r , por exemplo);
e) de um apótema da pirâmide ( f , por exemplo);
f) da área de uma face lateral;
g) da área lateral;
h) da área total;
i) de uma aresta lateral ( l , por exemplo);
j) da tangente do ângulo formado por uma face lateral com a base ( tg θ , por exemplo).
3) A base da pirâmide representada a seguir é um retângulo cujos lados medem DA  12cm e
AB  10cm . A projeção do vértice V no plano da base é o centro O do retângulo e a altura da pirâmide
mede VO  8cm .
V
C
B
O
D
N
M
A
Determine para essa pirâmide a medida:
a) do volume;
b) do segmento OM e do segmento ON , sabendo que M e N são pontos médios das arestas das
bases AB e AD , respectivamente;
c) do segmento VM e do segmento VN ;
d) da área da face lateral VAB ;
e) da área da face lateral VAD ;
f) da área lateral;
g) da área total;
h) de uma aresta lateral ( VB , por exemplo);
 
j) da tangente do ângulo formado pela face lateral VAD com a base ( tg VN̂O  , por exemplo).
i) da tangente do ângulo formado pela face lateral VAB com a base ( tg VM̂O , por exemplo);
4) Considere uma pirâmide quadrangular regular com 12cm de medida da aresta da base e 8cm de
medida da altura. Em relação a essa pirâmide:
a) faça um desenho indicando corretamente as medidas.
b) calcule o volume;
c) calcule a medida de um apótema da base;
d) calcule a medida de um apótema da pirâmide;
e) calcule a medida da área de uma face lateral;
f) calcule a medida da área lateral;
g) calcule a medida da área total;
h) calcule a medida do raio da circunferência que circunscreve a base;
i) calcule a medida de uma aresta lateral;
j) calcule o valor da tangente do ângulo formado por uma face lateral com a base.
3
 PARTE B 
5) Considere uma pirâmide hexagonal regular com 4cm de medida da aresta da base e 8cm de medida
da altura. Em relação a essa pirâmide:
a) faça um desenho indicando corretamente as medidas.
b) calcule a medida do raio da circunferência que circunscreve a base;
c) calcule a medida da área da base;
d) calcule o volume;
e) calcule a medida de um apótema da base;
f) calcule a medida de um apótema da pirâmide;
g) calcule a medida da área de uma face lateral;
h) calcule a medida da área lateral;
i) calcule a medida da área total;
j) calcule a medida de uma aresta lateral;
k) calcule a tangente do ângulo formado por uma face lateral com a base.
6) Um garoto decide construir uma pirâmide quadrangular a partir da planificação feita em cartolina
conforme a figura a seguir. Calcule a altura dessa pirâmide.
5cm
5cm
6cm
5cm
5c m
6cm
6cm
5c m
5cm
6cm
5cm
5cm
7) No Egito, a pirâmide de Quéops, é conhecida como a “grande pirâmide” e tem o formato de uma
pirâmide quadrangular regular. Atualmente a medida da aresta da base é 230m e sua altura mede
137m. Qual a medida inteira aproximada de sua aresta lateral?
8) Calcular a área lateral e a área total de uma pirâmide quadrangular regular sendo 7 m a medida do
seu apótema e 8 m o perímetro da base.
9) Um silo de armazenamento de grãos, esboçado a seguir, é construído acoplando-se parte das faces
de um cubo e de uma pirâmide quadrangular regular, assim o silo possui nove faces (placas de metal)
cujas arestas medem 6m cada uma.
4
a) Calcule a quantidade, aproximada, de metal necessário para construção do silo. (considere
3  1,7 )
b) Calcule o volume, aproximado, do silo. (considere 2  1,4 )
10) Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular sabendo que a área da
base mede 64 m2 e que a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base.
 PARTE C 
11) Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular sabendo que uma diagonal da base
mede 3 2 cm, e que o apótema da pirâmide mede 5 cm.
12) Determine a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular sendo 144 cm2 a área da base da
pirâmide e 10 cm a medida da aresta lateral.
13) A seguir temos o esboço de um octaedro regular, cujas faces são oito triângulos eqüiláteros
congruentes, onde cada lado mede 4cm.
A
B
C
E
D
a) Calcule a área total desse octaedro;
F
b) Calcule as medidas dos segmentos BD e AF .
c) Calcule o volume do octaedro.
14) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo apótema mede 4 cm e
cuja aresta da base mede 2 cm.
15) Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regular sabendo que sua base é um hexágono de 6cm de
lado, sendo 10 cm a altura da pirâmide.
16) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular sabendo que sua superfície total mede
9 3 cm2.
5
 PARTE D 
17) Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões medem 10 cm e 24 cm respectivamente.
As arestas laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da pirâmide.
18) Calcule a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 82 cm e
cuja aresta da base mede 36 cm.
19) Para a pirâmide triangular regular a seguir a aresta da base mede 10cm e a aresta lateral mede
13cm.
V
C
A
O
M
B
a) Calcule a área total da pirâmide;
b) Calcule o volume da pirâmide.
20) Considere o tetraedro regular da figura com aresta medindo a .
V
C
A
a) Calcule sua área total;
b) Calcule sua altura;
c) Calcule seu volume.
O
M
B
6
 PARTE E - EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
21) (FUVEST 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto
ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE  2cm, AD  4cm e
AB  5cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a
4
do volume da pirâmide
3
SEFGH é
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm
22) (INSPER 2014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com
uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale
6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo
especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do
produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a
a) 72(3  3 ).
b) 36(6  5).
c) 108(2  5 ).
d) 27(8  7). e) 54(4  7 ).
23) (MACKENZIE 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos
afirmar que
a) a altura é igual a 3 3 m.
b) a altura é igual a 3 6 m.
c) a altura é igual a 4,5 m.
d) o volume é igual a
27 3 3
m .
2
e) o volume é igual a 18 2 m3 .
7
24) (UNIFESP 2014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são
triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.
Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da aresta VA para o ponto médio da aresta VC,
sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possíveis
ligando os dois pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2 escolheu o caminho
mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule:
a) a distância percorrida pela formiga F1.
b) a distância percorrida pela formiga F2.
25) (UEPG 2013) Uma pirâmide quadrangular regular tem 36 cm2 de área da base. Sabendo que a
altura da pirâmide tem 3 3 cm, assinale o que for correto.
01) A área lateral da pirâmide é o dobro da área da base.
02) A área total da pirâmide é o triplo da área da base.
04) A área de uma face lateral da pirâmide é a sexta parte de sua área total.
08) A razão das áreas total e lateral dessa pirâmide é um número fracionário.
16) O volume dessa pirâmide é 108 3 cm3 .
26) (ITA 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando
um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O volume, em cm3, do sólido
VABC é
a) 2.
b) 4.
c) 17.
d) 6.
e) 5 10.
27) (UEPB 2013) A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente
iguais, é:
a) 2 6
b) 36
c) 6
d) 6 2
e) 12
28) (UPE 2013) Para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial, um
designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 20 cm que
será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina, nas faces
laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da platina é de 30 reais por centímetro
8
quadrado, e o da prata é de 50 reais por centímetro quadrado, assinale a alternativa que apresenta o
valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. Considere 3  1,7
a) 24 000
b) 18 000
c) 16 000
d) 14 000
e) 12 000
29) (FUVEST 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB  2, AD  3 e
AE  4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?
30) (UFRGS 2012) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular
e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide
a) será reduzido à quarta parte.
b) será reduzido à metade.
c) permanecerá inalterado.
d) será duplicado.
e) aumentará quatro vezes.
31) (FGV 2012) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto
anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de uma aresta
e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo
caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a
a) 10 3
b) 15
c) 10 2
d) 10
e) 5 3
32) (ENEM PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais
visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de
1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma
pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na
pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B.
deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois
9
pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta
que contém esses dois pontos.
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por
a)
b)
c)
d)
e)
33) (EPCAR – AFA 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal
regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de
forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda,
conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede
5 cm, então, o volume do sólido obtido, em cm3 , é igual a
a) 15 3
b) 20 3
c) 25 3
d) 30 3
10
34) (UFPE 2012) Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm e os
três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é o volume do
tetraedro, em cm3 , assinale V/100.
35) (FUVEST 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas
arestas não adjacentes é igual a
a) a 3
b) a 2
c)
a 3
2
d)
a 2
2
e)
a 2
4
36) (INSPER 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base.
Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 75°.
37) (UFSJ 2012) Se o volume de um tetraedro regular é (2 2)/3 cm3 , a medida de sua aresta é, em
centímetros:
a) 3
b) 2/3
c) 6
d) 2
38) (UPF 2012) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH e o
octaedro MNOPQR.
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo.
Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem, respectivamente:
a) 72 3 cm2 e 54 cm3
b) 36 3 cm2 e 18 cm3
c) 36 3 cm2 e 36 cm3
d) 18 2 cm2 e 36 cm3
e) 36 2 cm2 e 18 cm3
39) (UFBA 2011) Considere-se uma barraca de camping que tem a forma de uma pirâmide retangular
com arestas laterais congruentes e altura igual a um metro.
Assim sendo, é correto afirmar:
01) A projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre o plano da base coincide com o centro da base.
02) Se a altura e as medidas dos lados da base da pirâmide forem aumentadas em 10%, então o
volume aumentará 33,1%.
11
04) Se o piso da barraca tem área máxima entre as áreas de todos os retângulos com perímetro igual a
8 metros, então o piso tem a forma de um quadrado.
08) Se a base da pirâmide tem a forma de um quadrado com lados medindo 2 metros, então o volume é
igual a
4
metros cúbicos.
3
16) Suponha-se que a barraca está montada sobre um terreno horizontal, e sua base é um quadrado
com lados medindo 2 metros. Se, em determinado instante, os raios solares formam um ângulo de
45º com o solo, então algum ponto da barraca será projetado pelos raios solares num ponto do solo
situado fora da região coberta pelo piso da barraca.
40) (G1 - CFTMG 2011) João possuía 15 palitos de fósforos de mesmo tamanho. Usou nove deles e
construiu a figura 1 de área S1 . Depois, usando os seis palitos restantes, construiu a figura 2 de área S2 .
Com base nesses dados, e correto afirmar que a área S1 é igual a
1
1
2
a) S 2
b) S 2
c) S2
d) S2
4
2
3
41) (UFPE 2011) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da
área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide,
em cm3 . Dado: use a aproximação: 3  1,73 .
42) (ESPECEX – AMAN 2011) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de 9 faces,
obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida l ,
então as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD ) e da superfície total desse sólido são,
respectivamente,
12
 2 2
2
 e l ( 3  4)
2


a) l 
 2 2
2
 e l ( 3  5)
2


b) l 
 3  2

2 3
 5
 e l 

 2 
 4

c) l 
 2
d) l   e l 2 ( 3  5)
 2 
 3
 3

e) l   e l 2 
 4

 2 
 4

43) (UFPE 2011) Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície
36 3 cm2 . Indique o volume do octaedro, em cm3 .
44) (UNESP 2011) Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide
regular que seria usada como seu túmulo.
As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são:
1.ª) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;
2.ª) Sua altura é de 140 metros.
Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 × 104 m3, o número médio de
operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,2 2 × 1,4 ≅ 6,78 e 2,26 ÷
1,88 ≅ 1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido
em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente,
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
e) 60.
45) (UFMG 2010) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado
mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada,
a
cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, .
2
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas
uma dessas caixas, enche-se um total de
a) 6 moldes.
b) 8 moldes.
c) 24 moldes.
d) 32 moldes.
13
 RESPOSTAS 
1)
a) 48cm3
b) OM  3cm
c) VM  5cm
d) 15cm2
f) 96cm2
g) OC  3 2 cm
h) VC  34 cm
i) tg VM̂O 
2) a) R  6cm
b) 54 3cm2
c) 144 3cm3
f) 3 91 cm2
g) 18 91 cm2
h) 18 3 3  91 cm2
3) a) 320cm3 b) OM  6cm e ON  5cm



f) 4 25  3 89 cm 2

4) a) Desenho
b) 384cm3
c) 6cm
d) 10cm
g) 384cm2
h) 6 2 cm
i) 2 34 cm
j)
8 3
9
e) 6 89 cm 2
4
3
e) 60cm2
f) 240cm2


j) tg VN̂O 
8
5
4
3
c) 24 3cm2
b) 4cm
d) 50cm2

4
3
j) tg θ 
i) tg VM̂O 



e) f  91 cm
i) l  10cm
c) VM  10cm e VN  89 cm
g) 4 55  3 89 cm2 h) VB  5 5 cm
5) a) Desenho

d) r  3 3cm

e) 60cm2
d) 64 3cm3
e) 2 3cm
f) 2 19 cm
g) 4 19 cm2
6)
7 cm

i) 24 3  19 cm 2
7) 213 m
8) Área lateral = 28m 2 e Área total = 32m 2 .
9) a) 241,2m 2 de metal
13) a) 32 3cm2

h) 24 19 cm2
b) 266,4m3
10) 192m 2
b) BD  4 2cm e AF  4 2cm


14) Área Lateral = 24cm 2 e Área Total = 6 4  3 cm2


17) 2 120  5 651  24 133 cm 2


19) a) 5 36  5 3 cm 2
b)
j) 4 5 cm
c)
k)
11) 30cm 2
4 3
3
12) 192cm2
64 2
cm3
3
15) 2 34 cm
16) 3cm


18) Área lateral = 4.320cm 2 e Área total = 108 40  3 3 cm 2
75 407
cm3
9
20) a) a 2 3
b)
a 6
3
c)
a3 2
12
21) Alternativa E.
Solução:Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF  AB e EH  AD. Portanto, segue
que o resultado pedido é dado por
14
[SABCD]  [ABCDHEFG] 
4
1
4 1
 [SEFGH]   SA  AE   (AE  SA)
3
3
3 3
 3  SA  9  2  4  (2  SA)
 SA  10cm.
22) Alternativa E.
Solução: Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
Desse modo, como AB  6 cm, vem
OM 
AB
 OM 
2 tg30
6
3
2
3
 3 3 cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM, encontramos
2
2
2
2
VM  OV  OM  VM  62  (3 3 )2
 VM  3 7 cm.
Portanto, o resultado pedido é dado por

2
AB  VM 
2
6   AB 
  6  (6  3  3 7 )

2


 54(4  7 )cm2 .
23) Alternativa E.
Solução: A altura do tetraedro regular é igual a
6 6
63 2
 2 6 m, e seu volume é
 18 2 m3 .
3
12
24) Solução:
a)
15
12 3
6 3
2
h
AC  2h  12 3
Logo,
MN 
12 3
 6 3cm .
2
b)
AH
 AH  3cm
6
MH
cos60 
 MH  3 3
6
ME  NE  12  3  3 3  9  3 3
cos60 
Logo,
(9 + MN2  (9  3 3)2  (9  3 3)2
Portanto,
MN  (9  3 3 )  2
MN  (3  3)  3 2 m
25) Resposta: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Solução:
 66 
2
  72 cm .
 2 
[01] (Verdadeira). AL  4  
[02] (Verdadeira). A T  36  72  108cm2 108  3  36 .
16
66
 18cm2 108  6  18  .
2
A
108 3
[08] (Verdadeira). T 
 .
AL
72
2
[04] (Verdadeira). AF 
[16] (Falsa). V 
36  3 3
 36 3cm2 .
3
26) Alternativa A.
Solução:
2
 2
2
 x  y  10 ( 1 )
2
 2
2
 x  z  17 ( 2 )
 2
2
2
(3)
z  y  5

Fazendo (1) + (2) – (3), temos:
2x 2  2  x  1, y  3 e z  4
Portanto, o volume do sólido será dado por:
V
1 z.y
4.3.1

x 
 2cm3
3 2
6
27) Alternativa E.
Solução: Sejam l e h, respectivamente, a aresta e a altura do tetraedro.
Se a área total e o volume são numericamente iguais, então
1 l2 3

 h  l 2 3  h  12 u.c.
3
4
28) Alternativa A.
Solução: Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, segue que o custo pedido
é dado por
202  3
 (3  30  50)  100  1,7  140
4
 R$ 23.800.
17
29) Solução:
Logo, a área do triângulo BDE será dada por:
1
2 61
5
 61.
2
5
a) A   3  2  /2  3.
b) V  1/3   3  4  4.
c)
1
12
12 61
 61  AQ  4  AQ 

.
3
61
61
30) Alternativa D.
Solução:
VPirâmide 
Area da base  Altura
.
3
Portanto:
L2  H
V1 
3
H
2
2  2   L  H  .
 3 
3


(2L)2 
e
V2 
Logo: V2  2  V1 (O dobro do volume inicial).
31) Alternativa D.
Solução: Considere o tetraedro regular VABC abaixo, em que M é o ponto de partida do inseto e N é o
ponto de chegada.
18
Planificando o tetraedro, obtemos o losango AVCB.
Assim, como M e N são pontos médios de AB e VC, segue que MN P AV e, portanto, MN  AV  10 cm.
32) Alternativa C.
Solução: A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.
Portanto, alternativa [C] está correta.
33) Alternativa B.
2
1 6 5  3

 6  15 3 cm3
3
4
x
3
2
2
Lados da base da pirâmide retangular: sen 60 


 x  15
2
5
2 5
Solução: Volume da pirâmide hexagonal: VH 
Volume da pirâmide retangular: VR 
1
 5  15  3  5 3
3
Portanto o volume do sólido todo será V  15 3  5 3  20 3 cm3
34) Solução: O volume do tetraedro é dado por
1 302

 30  4500 cm3 .
3 2
19
35) Alternativa D.
Solução:
2
2
a 3
3a2 a2
a
d2     
 d2 

d

 2 
4
4
2


2.a 2
a 2
d
4
2
36) Alternativa D.
Solução: Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
µ
Queremos calcular a medida do ângulo VMO.
Sabendo que a área lateral é o dobro da área da base, vem que
2
AB  VM
 2  AB
2
 VM  AB.
A l  2  Ab  4 
Portanto, do triângulo VOM, obtemos
AB
OM
µ
µ
cos VMO 
 cos VMO  2
VM
AB
1
µ 
 cos VMO
2
µ  cos 60
 cos VMO
µ  60.
 VMO
37) Alternativa D.
Solução: Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a:
V
a3 2
12
a3 2 2 2

 a3  8  a  2
12
3
20
38) Alternativa C.
Solução: Seja J o ponto médio da aresta BG.
Como o triângulo retângulo ONJ é isósceles, segue que ON  3 2 cm.
Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros congruentes, segue que a sua
área lateral é
2
8
ON  3
 2  (3 2)2  3  36 3 cm2 .
4
O volume do octaedro é dado por
2
1
1
2   ON  JG  2   (3 2)2  3  36cm3 .
3
3
39) Solução:
01) Verdadeira, pois todas as arestas laterais são iguais.
1
1
02) Verdadeira, V = Ab.(1,1)2. h1, 1 = 1,331 .Ab.h.
3
3
04) Verdadeira, de todos os retângulos com mesmo perímetro o de área máxima é um quadrado.
1
4
08) Verdadeira, V = 22.1= .
3
3
16) Falsa, pois o ângulo entre a face lateral e a base também é de 45o.
40) Alternativa D.
Solução:
S1 = S2
A figura 2 é um tetraedro regular, sua superfície é formada por 4 triângulos equiláteros. Portanto, as
áreas da figuras 1 e 2 são iguais.
41) Solução: Sejam V o vértice da pirâmide, O o centro da base, M o ponto médio de uma das
arestas da base e l a medida da aresta da base da pirâmide.
21
1
3l 2 3
 3l  VM 
 VM  l 3.
2
2
l 3
Sabendo que VO  6cm e que o apótema da base é dado por OM 
, do Teorema de Pitágoras,
2
aplicado no triângulo VMO, encontramos:
Como a área da base é igual à metade da área lateral, segue que
l 3
2
2
2
VM  VO  OM  (l 3 )2  6 2  

 2 
2
9l 2
 36
4
 l  4.

Portanto, o volume da pirâmide é dado por
1 3l 2 3
1 3  42 3

 VO  
 6  83,04cm3 , e o inteiro pedido é
3
2
3
2
83.
42) Alternativa B.
Solução: Considere a figura abaixo, em que O é o centro da base da pirâmide.
Como VE  EF  l , segue que OE 
l 2
.
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOE, obtemos
2
2
2
VO  VE  OE  VO  l 2 
l2 l 2

.
2
2
Desse modo, a distância do ponto V à face ABCD é
 2  2
l 2
l l
.
2
 2 
A superfície total do sólido é dada por
l2 3
 5l 2
4
 l 2 ( 3  5).
4  (VEF)  5  (ABCD)  4 
43) Solução: Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por 2a2 3, em que a é a aresta
do octaedro, segue que 2a2 3  36 3  a 
6
cm.
2
3
 6 
 2
a 2  2 
Portanto, o volume do octaedro é dado por

 36 cm3 .
3
3
3
44) Alternativa A.
Solução: V 
1
(2,2)2 .1, 4.10 6 6,78.10 6
.(2,2.10 2 )2 .1,4.10 2 

 2,26.106 m3
3
3
3
22
1,88.104 ------------------------ 60 dias
2,26.106--------------------------x
X=
2,26.60.106
1,88.10
4
=1,2.60.102 = 7200 dias = 20 anos.
45) Alternativa C.
Solução: Volume do cubo = a3
2
Volume da pirâmide =
Número de moldes =
1  a  a a3
  . 
3  2  2 24
Volume do cubo
a3
 3  24
Volume da pirâmide a
24
23