Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência
c
http://www.dma.uem.br/kit
Publicação eletrônica do KIT
Superfícies Parametrizadas
Prof. Doherty Andrade
Universidade Estadual de Maringá
Departamento de Matemática - 87020-900 Maringá-PR, Brazil
Superfícies Parametrizadas
Sumário
1. Superfícies Parametrizadas
1
2. Primeira Forma Quadrática
3
3. Área de uma superfície
5
4. Superfícies de Revolução
6
5. Integral de um campo escalar sobre uma superfície
7
1.
Superfícies Parametrizadas
Uma superfície parametrizada é uma função
uma região simples
D
(do tipo I ou do tipo II).
Uma superfície é a imagem
σ:
satisfazendo:
• σ
é de classe
C1
σ de classe C 1 tendo por domínio
M
de uma superfície parametrizada
D
→ R3
(u, v) 7→ ((x(u, v), y(u, v), z(u, v))
2
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• σ é injetora no interior de D e se q1 pertence ao interior de D e q2 ∈ ∂D,
então
σ(q1 ) 6= σ(q2 ).
• Nσ = σu ∧ σv
(vetor normal a
Uma tal função
σ
Seja
σ
M)
não se anula no interior de
é chamada de uma parametrização de
D.
M.
M e p0 = σ(q0 ) tal que Nσ(q0 ) 6= 0. O plano
p0 é o plano que passa por p0 e tem Nσ(q0 )
tangente de uma superfície S no ponto p ∈ S é
uma parametrização de
tangente a
M
em um ponto
como vetor normal. O plano
denotado por
Tp (S).
• Exemplos 1 a) Seja f : D → R uma função de classe C 1 . O gráco de
f é uma superfície M . Armamos que
σ:
D
→ R3
(x, y) 7→ (x, y, f (x, y))
é uma parametrização para M .
De fato, notemos facilmente que σ é de classe C 1 e injetora sobre D; além
disso,
Nσ = σx ∧ σy = (−fx , −fy , 1) 6= 0.
b) Seja f : D → R uma função de classe C 1 dada por f (x, y) = x2 + y 2 ,
onde D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 4}. O seu gráco é uma superfície parametrizada por
p
σ:
D
→ R3
p
(x, y) 7→ (x, y, x2 + y 2 ),
como vimos em a).
Uma parametrização alternativa para M pode ser:
σ:
D 0 → R3
(r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ, r),
onde D0 = [0, 2] × [0, 2π].
Aqui vemos que
σr = (cos θ, sin θ, 1)
σθ = (−r sin θ, r cos θ, 0).
Assim, N = (−r sin θ, r cos θ, r) 6= 0.
Vamos resumir:
c
1
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Cálculo Diferencial e Integral
Coordenadas Retangulares:
onde
f
é uma função
C
1
Podemos olhar o gráco de
denida sobre um domínio
parametrizada com parâmetros
x
e
y.
x = x, y = y
2
3
Coordenadas Polares:
D,como
z = f (x, y),
uma superfície
Basta tomar
z = f (x, y).
e
Do mesmo modo podemos olhar uma superfí-
cie dada em coordenadas cilindricas como
z = g(r, θ),
como uma superfície
parametrizada. Basta denir
x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = g(r, θ).
3
Coordenadas Esféricas:
em coordendas esféricas
parâmetros
φ
e
θ.
Também podemos olhar uma superfície dada
ρ = h(φ, θ) como uma superfície parametrizada com
Basta denir
x = h(φ, θ) sin(φ) cos(θ),
y = h(φ, θ) sin(φ) sin(θ),
z = h(φ, θ) cos(φ).
4
TORO: O toro é exemplo de uma superfície de revolução.
É a superfície
obtida pela revolução de um círculo. Por exemplo, o círculo dado por
(x − b)2 + z 2 = a2
no plano
xz
girando em torno do eixo
z
tem a seguinte parametrização
x = r cos(θ) = (b + a cos(φ)) cos(θ)
y = r sin(θ) = (b + a cos(φ)) sin(θ)
z = a sin(φ).
Veja a seção Ÿ4. para mais informações sobre as superfícies de revolução.
2.
Primeira Forma Quadrática
R3 ⊃ S induz em cada plano tangente Tp (S) de uma
superfície parametrizada S um produto interno, denotado por h., .ip . Se w1 e
w2 pertencem a Tp (S), então hw1 , w2 ip é igual a hw1 , w2 i no R3 . A primeira
forma fundamental Ip é a aplicação que a cada vetor w do plano tangente
Tp (S) da superfície S associa o número real hw, wip . Se σ é uma parametrização para S , então podemos escrever Ip em termos dos vetores tangentes σu
e σv : os coecientes são dados por
O produto interno do
E = σu · σu
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G = σv · σv
F = σu · σv
Calcule os coecientes da primeira forma fundamental nos casos anteriores:
Clique aqui para ver o caso da superfície dada em coordenadas retangulares,
Clique aqui para ver a superfície em coordenadas polares, e
Clique aqui para ver a superfície em coordenadas esféricas,
e também nos seguintes casos:
a
Parametrização do Plano:
Sejam
w1
e
w2
vetores ortonormais,
então
X(u, v) = p0 + uw1 + vw2 ,
onde
b
(u, v) ∈ R × R,
é uma parametrização do plano.
Parametrização do Cilindro:
O cilindro
x2 +y 2 = 1, é parametrizado
por
X(u, v) = (cos u, sin u, v)
onde
c
(u, v) ∈ [0, 2π] × R.
Parametrização da Hélicóide:
A hélicóide é uma escada em es-
piral", tem a seguinte parametrização
X(u, v) = (v cos u, v sin u, au)
onde
d
(u, v) ∈ [0, 2π] × R.
Parametrização do Elipsóide:
O elipsóide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
tem a seguinte parametrização
X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u).
e
Parametrização do Parabolóide:
O parabolóide
x2 y 2
z= 2+ 2
a
b
tem a seguinte parametrização
X(u, v) = (au cos v, bu sin v, u2 )
c
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3.
Cálculo Diferencial e Integral
5
Área de uma superfície
R ⊂ S
Seja
uma região limitada de uma superfície regular contida num
X : U ⊂ R2 → S . O
sistema de vizinhanças coordenadas da parametrização
número positivo
ZZ
Q = X −1 (R),
kXu ∧ Xv kdu dv = A(R),
Q
chamamos de área de
R.
Note que
kXu ∧ Xv k2 + |hXu , Xv i|2 = kXu k2 · kXv k2 ,
de modo que
kXu ∧ Xv k =
√
EG − F 2 .
Assim podemos reescrever
ZZ
kXu ∧ Xv kdu dv =
A(R) =
ZZ √
Q
1
Q
Calcule a área da esfera de centro
Seja
σ
EG − F 2 du dv.
O
e raio
a > 0.
a parametrização da esfera
σ(u, v) = (a sin v cos u, a sin v cos u, a cos v),
onde
0≤u≤π
e
0 ≤ θ ≤ 2π.
É fácil obter que
σu = (−a sin v sin u, a sin v cos u, 0)
σv = (a cos v cos u, a cos v sin u, −a sin v),
segue que
E = a2 sin2 v, F = 0, G = a2 .
Logo,
kN k =
√
EG − F 2 = a2 sin v.
Portanto
ZZ
kN k =
A(M ) =
D
ZZ √
ZZ
EG − F 2 =
D
2
Calcule a área da superfície M
p
2
x + y 2 com x2 + y 2 ≤ 4.
a2 sin vdudv = 4πa2 .
D
que é o gráco da função
f (x, y) =
6
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Uma parametrização para
M
é dada por
σ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r),
onde
0≤r≤2
e
0 ≤ θ ≤ 2π.
E = 2, G = r2 e F = 0. Segue que
Z Z √
√
A(M ) =
2r2 drdθ = 4π 2.
É fácil obter que
D
3
2
x
Calcule a área da superfície limitada pelo plano 2x+y+z = 4 e o cilindro
+ y 2 = 1.
2
2
3
Sejam D o disco x + y ≤ 1 e σ : D → R a parametrização dada por
σ(x, y) = (x, y, 4 − 2x − y).
Pode-se determinar que
A(M ) =
ZZ √
E = 5, F = 2
EG − F 2 dA =
G = 2.
ZZ √
D
4
e
Logo,
6dA =
√
6
área de
√
D = π 6.
D
Calcule a área do toro, clique aqui para ver a parametrização do toro.
Uma parametrização para o toro é dada por
σ(φ, θ) = ((b + a cos φ) cos θ, (b + a cos φ) sin θ, a sin φ) ,
onde
φ, θ ∈ [0, 2π].
Vemos que (tomando
b=3
a = 1),
e
σφ = (− sin φ cos θ, − sin φ cos θ, cos φ)
σθ = ((b + a cos φ) sin θ, (b + a cos φ) cos θ, 0) ,
onde temos que
E = 1, F = 0, G = (3 + cos φ)2 .
Logo, a área de
M
é dada por
Z
2π
Z
A(M ) =
0
4.
2π
p
(3 + cos φ)2 = 12π 2 .
0
Superfícies de Revolução
Uma maneira de obter uma superfície é girar um curva plana
uma reta
L
C
em torno de
no seu plano. Isto dá uma superfície de revolução com eixo
L.
c
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Cálculo Diferencial e Integral
7
Denição 2 (Superfície de Revolução) Seja C uma curva plana e L uma
reta no mesmo plano da curva. A superfície obtida pela revolução da curva C
em torno da reta L é chamada superfície de revolução. A reta L é chamada
eixo e a curva C de geratriz.
A esfera pode ser gerada pela revolução de uma semi-circunferência.
O cilindro circular reto é obtido pela revolução de uma reta
de uma reta paralela
C
em torno
L.
Teorema 3 Seja f : [a, b] → R uma função positiva com f 0 contínua em
[a, b]. Se A é a área da superfície de revolução obtida girando-se a curva
y = f (x) com a ≤ x ≤ b, em torno do eixo x, então temos
Z b
q
A = 2π
|f (x)| [f 0 (x)]2 + 1dx.
(∗)
a
Se o gráco da curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, é girado em torno do eixo y ,
temos
Z b q
|x| [f 0 (x)]2 + 1dx.
A = 2π
a
Para deduzir (*) devemos dar uma parametrização de
S.
Dena a para-
metrização por
x = u, y = f (u) cos v, z = f (u) sin v
onde
a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2π.
Agora usando a expressão para a área de uma superfície parametrizada
obtemos que
Z Z q
[f (u)]2 sin2 v + [f (u)]2 cos2 v + [f (u)]2 [f 0 (u)]2 dv du
Z ZD
q
=
|f (u)| 1 + [f 0 (u)]2 dv du
D
Z b Z 2π
q
=
|f (u)| 1 + [f 0 (u)]2 dv du
a
0
Z b
q
= 2π
|f (u)| 1 + [f 0 (u)]2 du.
A(S) =
a
5.
Integral de um campo escalar sobre uma superfície
M uma superfície confeccionada com material de
f (x, y, z). Seja σ : D → R3 ⊃ M uma parametrização
Seja
densidade dada por
para
M.
Queremos
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achar a massa de
A área de
σ(Di )
M.
Para isto dividimos o domínio
D
em subretângulos
Di .
é aproximadamente
σ(Di ) ≈ kN (qi )kA(Di ),
onde
qi
Di .
é um ponto de
Segue que a massa de
σ(Di )
é aproximadamente
σ(Di ) ≈ f (σ(qi )kN (qi )kA(Di ).
Somando obtemos uma aproximação para a massa de
n
X
M:
f (σ(qi ))kN (qi )kA(Di ),
i=1
que é uma soma de Riemann que converge para
Z Z
f (σ(q))kN (q)kdA.
D
Logo, podemos denir:
Denição 4 Se f é um campo escalar contínuo, cujo domínio contém a
superfície M , a integral de f sobre M , indicada por
Z Z
f (p)dS ou
Z Z
f dS,
M
M
é denida por
Z Z
Z Z
f dS =
M
Se
f (x, y, z) ≡ 1,
Z Z
f (σ(q))kN (q)kdA =
D
√
f (σ(q)) EG − F 2 dA.
D
então o que se obtém na integral acima coincide com a
área da superfície.
Referências
[1]
J. Stewart, Cálculo vol 2,Pioneira,1999.
[2]
Z. Abud and P. Boulos, Cálculo vol 2.