Escoamento não Permanente
em Sistemas de Tubulação
Escoamento Incompressível em
Tubo Inelástico
dV
Eq. Quantidade Movimento A(p1  p 2 )  0 DL  AL
dt
V 2
Eq. Energia p2  p3  K
2
2
fV
0 
8
p1  p3  gH1  H3 
Escoamento Incompressível em
Tubo Inelástico
dV
Eq. Quantidade Movimento A(p1  p 2 )  0 DL  AL
dt
V 2
Eq. Energia p2  p3  K
2
2
fV
0 
8
p1  p3  gH1  H3 
H  H3
dV  f K  V 2
  
g 1
0
dt  D L  2
L
t  0  V  V0
Regime permanente
VRP
Escoamento Incompressível em
Tubo Inelástico
H1  H3
dV  f K  V 2
  
g
0
dt  D L  2
L
Regime permanente
dV
0
dt
VRP
t
2g(H1  H3 )

fL / D  K
V
2
VRP
L
dV
0 dt  g(H1  H3 ) V VRP2  V 2
0
( VRP  V )(VRP  V0 )
VRPL
t
ln
2g(H1  H3 ) ( VRP  V )(VRP  V0 )
t    V  VRP
Um tubo de 1000m de comprimento e um diâmetro de 500mm, e
uma velocidade de regime permanente de 0,5m/s, é subitamente
sujeito a uma nova carga piezométrica diferencial de 20m,
quando a válvula a jusante abre subitamente e seu coeficiente
muda de k=0,2. Supondo um fator de atrito de f=0,03, determine a
velocidade final de regime permanente e o tempo decorrido
quando a velocidade real chegar a 75% do valor final
Um tubo de 1000m de comprimento e um diâmetro de 500mm, e
uma velocidade de regime permanente de 0,5m/s, é subitamente
sujeito a uma nova carga piezométrica diferencial de 20m,
quando a válvula a jusante abre subitamente e seu coeficiente
muda de k=0,2. Supondo um fator de atrito de f=0,03, determine a
velocidade final de regime permanente e o tempo decorrido
quando a velocidade real chegar a 75% do valor final
VRP
2g(H1  H3 )

fL / D  K
VRP
2  9,81(20  0)

 2,55m / s
0,03  1000 / 0,5  0,2
V  0,75  VRP  0,75  2,55  1,91m / s
( VRP  V )(VRP  V0 )
VRPL
t
ln
2g(H1  H3 ) ( VRP  V )(VRP  V0 )
2,55  1000 (2,55  1,91)(2,55  0,5)
t
ln
 10,03s
2  9,81 20 (2,55  1,91)(2,55  0,5)
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
Posição instantânea da onda
Conservação de massa
0    V  V  a  V  aA
Onda de pressão se movendo para a
esquerda a uma velocidade a
Onda parece estacionária usando o
princípio de superposição
Força de pressão agindo no volume de
controle
Conservação Q. Movimento
pA  (p  p)A  (p  p)(A  A ) 
 A( V  a)[V  V  a  ( V  a)]
 Ap  A( V  a)V
Termos em 2
desprezados
e 3
AV  ( V  a)(A  A )  0
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
 Ap  A( V  a)V
V  a
p  aV
V   p 
V   p 
Equação de
Joukowsky
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
LP
Localização da onda LP
LP
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
Combinando as eqs. anteriores tem-se:
p  A


2
a

A
 p


B
e  r
A 2r

A
r
e
r
pr

e
  r / r
  (r / e)p
 (r / e)p (2r / e)p
E



r / r
A / A
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
 (r / e)p (2r / e)p
E



r / r
A / A
 p 2rp


2
a
B
eE
B/
a
1 (D / e)(B / E)
B- módulo elasticidade volumétrica do fluído;
E- módulo elástico para o material da parede do tubo;
- massa especifica do fluído;
D- diâmetro da tubulação;
e- espessura da tubulação
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
Tubulação
muito rígida
(DB / eE)  1
B/
a
1 (D / e)(B / E)
B
a

Velocidade do som
em um líquido sem
fronteiras
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
LP
Localização da onda LP
LP
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
Pressão absoluta
(metros de água)
Escoamento Compressível em Tubo
Elástico
Tempo (ms)
Exemplo
Um tubo de aço (E=207x106kPa, L =1500m, D=300mm e=10mm) conduz
água a 200C. A velocidade inicial é V0=1m/s. Uma válvula na extremidade
a jusante é fechada tão rapidamente que o movimento é considerado
instantâneo, reduzindo a velocidade a zero. Determine a velocidade da
onda do pulso de pressão na tubulação, a velocidade do som em um meio
de água sem fronteiras, o aumento de pressão na válvula, o tempo que
leva para a onda atravessar da válvula ao reservatório na extremidade a
montante e o período de oscilação. Dados =998kg/m3 B=220x107Pa.
B/
a
1 (D / e)(B / E)
220  107 / 998
a
 1290m / s
7
9
1  (0,3 / 0,01)(220  10 / 207  10 )
Velocidade do som em um meio livre
220  107
a
 1485m / s
998
15% maior do que onda de pressão
Redução da velocidade é:
 V0  1m / s
p  aV
p  998  1290  1
p  1,29  10 Pa
6
Tempo de Viagem da onda da válvula ao
reservatório é L/a
L 1500

 1,16s
a 1290
O período de oscilação é 4L/a
4L
 4  1,16s  4,65s
a
Oigawa Power Station, Japan
Chaudhry page 17
Oigawa Power Station, Japan
Chaudhry page 18
Carneiro Hidráulico
Carneiro Hidráulico
Carneiro Hidráulico
Air Chamber
Rapid valve
Entrada