CE-003: Estatı́stica II, turma L 1a Prova - 2o semestre 2006 (29 Setembro de 2006) 1. (10 pontos) O volume de vendas, no ramo de vestuário, tem se mantido estável de ano para ano, mas acedita-se que sofra mudança de um quadrimestre para outro, dentro de um mesmo ano. Através de uma metodologia adequada, foi criado um ı́ndice que reflete a quantidade vendida. Em cada um dos quadrimestres do ano, foram escolhidas aleatóriamente algumas empresas de mesmo porte e seus ı́ndices de venda foram calculados conforme tabela abaixo. Faça os gráficos box-plot para os dados de cada um dos três quadrimestres e compare o comportamento do ı́ndice nos quadrimestres. Quad. 1 Quad. 2 Quad. 3 114,7 144,7 153,1 144,7 173,4 192,5 119,1 154,2 145,5 113,7 154,7 168,8 108,9 125,9 141,5 96,7 119,5 141,2 87,6 155,7 189,6 132,4 213,9 178,4 > q1 <- c(114.7, 144.7, 119.1, 113.7, 108.9, 96.7, 87.6, 132.4) > q2 <- c(144.7, 173.4, 154.2, 154.7, 125.9, 119.5, 155.7, 213.9, + 156.2, 159) > q3 <- c(153.1, 192.5, 145.5, 168.8, 141.5, 141.2, 189.6, 178.4, + 208.6) > boxplot(q1, q2, q3, xlab = "qudrimestre", ylab = "ı́ndice") 156,2 208,6 159,0 200 180 160 100 120 140 índice qudrimestre Comentários feitos sobre os box-plot a serem analisados. 2. (05 pontos) Com os dados do problema anterior calcule a média, desvio padrão e coeficiente de variação dos dados de cada quadrimestre e compare os ı́ndices dos quadrimestres usando estas medidas. > > > > + > q1.m <- c(mean(q1), sd(q1), 100 * sd(q1)/mean(q1)) q2.m <- c(mean(q2), sd(q2), 100 * sd(q2)/mean(q2)) q3.m <- c(mean(q3), sd(q3), 100 * sd(q3)/mean(q3)) names(q1.m) <- names(q2.m) <- names(q3.m) <- c("média", "desvio padr~ ao", "CV") q1.m média desvio padr~ ao 114.72500 18.22751 CV 15.88800 > q2.m média desvio padr~ ao 155.72000 25.89379 CV 16.62843 > q3.m média desvio padr~ ao 168.80000 24.91726 CV 14.76141 Comentários feitos sobre as medidas a serem analisados. 3. (05 pontos) Ainda com os dados do primeiro problema, faça um histograma e um gráfico ramo-e-folhas dos ı́ndices anuais (isto é, para todos os dados juntos). > stem(c(q1, q2, q3)) The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 8 10 12 14 16 18 20 | | | | | | | 87 9459 062 12556345669 938 03 94 6 0 2 4 frequência 8 10 > hist(c(q1, q2, q3), main = "", xlab = "ı́ndice", ylab = "frequ^ encia") 80 100 120 140 160 180 200 220 índice 4. (10 pontos) O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contı́nuo e severo, pode ser considerado com uma variável aleatória contı́nua, medida em anos. Suponha que a função de densidade é dada pela seguinte expressão: f (x) = 1 4 x, 1 8, 0, 0≤x≤2 2<x≤6 caso contrário (a) verifique qua a função acima é, de fato, uma densidade (b) qual é a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca de amortecedores antes de 1 ano de uso? E entre 1 e 3 anos? (c) supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso? (d) qual é o tempo médio adequado para a troca de amortecedor desses automóveis? X : tempo de troca > fx <- function(x) ifelse((x >= 0 & x <= 2), x/4, ifelse((x > 2 & + x <= 6), 1/8, 0)) > plot(fx, from = -1, to = 7) (a) > integrate(fx, 0, 6) 1 with absolute error < 1.1e-15 (b) > integrate(fx, 0, 1) 0.125 with absolute error < 1.4e-15 > integrate(fx, 1, 3) 0.5 with absolute error < 5.6e-15 (c) P [X < 4|x > 3] = P [3 < X < 4]/P [X > 3] > integrate(fx, 3, 4)$val/integrate(fx, 3, 6)$val [1] 0.3333333 (d) > EX <- function(x) x * fx(x) > integrate(EX, 0, 6) 2.666667 with absolute error < 0.00016 5. (10 pontos) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm uma duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em 10 válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas; caso contrário o lote todo é rejeitado. (a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade do lote ser rejeitado? (b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima? X : número de vávulas com duração inferior a 20 horas ; X ∼ Bin(n = 10, p = 0.05) (a) P [X > 1] = 1 − P [X ≤ 1] > 1 - pbinom(1, size = 10, p = 0.05) [1] 0.08613836 (b) X ∼ Bin(n = 10, p = 0.10) ; P [X ≤ 1] > pbinom(1, size = 10, p = 0.1) [1] 0.736099 6. (10 pontos) A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória com distribuição normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km. (a) se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a proporção de pneus que deverá ser trocada pela garantia? (b) o que aconteceria com a proporção do item anterior se a garantia fosse dada para os primeiros 45.00 km? (c) qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus? (d) se voce comprar 4 pneus Rodabem qual será a probabilidade de que voce utilizará a garantia (de 45.000 km) para trocar um ou mais destes pneus? X : durabilidade X ∼ N (60.000, 8.3002 ) (a) 100 ∗ P [X < 48.000] > round(100 * pnorm(48000, mean = 60000, sd = 8300), dig = 4) [1] 7.4119 (b) 100 ∗ P [X < 45.000] > round(100 * pnorm(45000, mean = 60000, sd = 8300), dig = 4) [1] 3.5363 (c) P [X < k] = 0.02 > qnorm(0.02, mean = 60000, sd = 8300) [1] 42953.88 (d) Y : número de pneus ; Y ∼ Bin(n = 4, p) P [Y ≥ 1] = 1 − P [Y = 0] > p <- pnorm(45000, mean = 60000, sd = 8300) > 1 - pbinom(0, size = 4, prob = p) [1] 0.1341251