Alguns tipos de força:
atrito, centrı́peta, “centrı́fuga”
Força de Atrito
A força de atrito é uma força empı́rica no sentido de que as leis de Kepler
são empı́ricas. A teoria microscópica da força de atrito é excessivamente
complicada e não é relevante para entender a dinâmica dos corpos. O assunto
desta aula é o atrito. Ele será estudado qualitativa e quantitativamente a
seguir.
Atrito
As superfı́cies dos corpos, por mais polidas que pareçam do ponto de vista macroscópico, apresentam rugosidades quando analisadas microscopicamente.
Em consequência, se duas superfı́cies em contato, que se comprimem, apresentarem tendência a moverem-se uma em relação à outra, surge a força de
atrito (F~at ).
1
Exagerando-se as dimensões, é como se duas superfı́cies de lixas fossem
postas em contato. As rugosidades de cada uma das superfı́cies criam dificuldades para que deslizem uma na outra.
Enquanto as superfı́cies não entram em movimento relativo, o atrito é
estático. Quando deixam o estado de repouso relativo, o atrito passa a ser
dinâmico (ou cinético).
Atrito Dinâmico de Escorregamento
As leis que regem as forças de atrito são empı́ricas, isto é, obtidas experimentalmente. Já no século XV, Leonardo da Vinci (1452-1519) havia descoberto
tais leis, que seriam reformuladas aproximadamente dois séculos depois.
As principais leis empı́ricas do atrito são:
1a ) “A intensidade da força de atrito (Fat ) é proporcional à intensidade
da força normal (N) entre as superfı́cies (secas) em contato.”
Fat = µ.N
(1)
onde µ, coeficiente de atrito, é uma grandeza adimensional, não
possuindo unidade de medida.
2a ) “A força de atrito é independente da área de contato das superfı́cies,
dentro de amplos limites.”
No caso especı́fico do atrito dinâmico, ressalta-se que a velocidade relativa entre as superfı́cies em contato, dentro de certos limites, não influi na
intensidade da força de atrito.
Com relação ao coeficiente de atrito (µ), deve-se conhecer que o seu valor
depende da natureza e do estado de polimento das superfı́cies em contato.
Exemplos de valores médios de coeficientes de atrito dinâmico (µd ) de
escorregamento:
Materiais
gelo e aço
teflon e aço
madeira e madeira
cobre e aço
vidro e vidro
aço e aço
Coef. de atr. dinâmico (µd )
0,01
0,04
0,30
0,36
0,53
0,57
2
Atenção: A força de atrito é uma força tangencial à trajetória e tem
sempre o sentido oposto ao do movimento (ou à tendência de movimento).
Atrito Estático
Quando há tendência ao movimento relativo entre duas superfı́cies, mas com
o repouso mantido, existe a ação da força de atrito estático. Essa força
tem intensidade variável, de acordo com a força solicitadora F~ aplicada num
corpo, conforme a sequência esquematizada:
3
Transpondo a sequência anterior num diagrama Fat × F :
Constata-se empiricamente que:
Fat ≤ Fatmax
(2)
Define-se então, o coeficiente de atrito estático (µe ), tomando-se o
Fatmax
Fatmax = µe .N ⇒ µe =
Fatmax
N
(3)
Potanto, sendo Fat ≤ Fatmax , vem:
µd .N ≤ µe .N ⇒ µd ≤ µe
(4)
para um mesmo par de materiais.
Resistência do Ar
Os lı́quidos e os gases opõem forças contra os corpos em movimento em seu
interior. São forças que têm papel análogo ao do atrito entre sólidos.
~ ar oferecida
Analisando-se especificamente a força de resistência do ar (R
contra os corpos em movimento, conclui-se experimentalmente que sua intensidade é proporcional, na maioria dos casos, ao quadrado da velocidade
do corpo:
Rar = C.v 2
(5)
onde C = constante de proporcionalidade, que depende do formato e do
tamanho do corpo. Sua unidade de medida, no SI, é N.s2 /m2 ou kg/m.
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Força Centrı́peta e “Força Centrı́fuga”
Intuitivamente, sabe-se que para um móvel alterar sua direção de movimento
é preciso que atue sobre ele uma força perpendicular ao movimento.
Em outras palavras, quando um móvel descreve uma curva, há necessariamente uma força responsável pela mudança de direção.
A propósito, é interessante que se reforcem os significados das seguintes
palavras:
CENTRÍPETO: indica algo que se dirige para o centro; que procura
aproximar-se do centro.
CENTRÍFUGO: indica algo se afastando ou se procurando afastar-se
do centro.
Tendo em mente os significados dessas palavras, a compreensão dos conceitos estudados nesta aula ficará mais fácil.
De resto, basta concentrar-se na identificação de forças que fazem surgir
a força componente centrı́peta nos movimentos curvilı́neos.
Força Centrı́peta (F~cp )
Já foi visto que a aceleração centrı́peta (~acp ) é a grandeza fı́sica que indica
a variação de direção da velocidade vetorial (~v ). Sua intensidade é determinada por:
v2
ou acp = ω 2 .R
(6)
R
A força centrı́peta (Fcp ) é aquela que altera a direção de ~v . A expressão
algébrica que permite o cálculo de sua intensidade é:
acp =
Fcp = m.acp
(7)
Lembre-se de que, num movimento circular, a aceleração centrı́peta (~acp )
tem direção que passa pelo centro C, sendo perpendicular à do vetor-velocidade
(~v ), e tem sentido orientado para C, como mostra a figura abaixo. Portanto,
a força centrı́peta (F~cp ) também é perpendicular a ~v e orientada para C, pois
vetorialmente: F~cp = m.~acp .
Quando um corpo descreve uma trajetória curvilı́nea, deve sempre existir uma força centrı́peta.No caso de existirem duas ou mais forças, a força
resultante(F~r ) deve possuir a força componente centrı́peta (ou normal à trajetória).
5
6
Lembrete: A força tangencial (F~t ) é a componente de F~r que acelera ou
retarda o movimento, variando a intensidade da velocidade (~v ).
A força centrı́peta não é uma força especı́fica que atua sobre um corpo.
Ela é um componente da força resultante ou, então, é a própria resultante
caso a força tangencial seja nula.
“Força Centrı́fuga” (F~cf )
Os ocupantes de um automóvel, ao contornarem uma curva, em MU, têm a
impressão de que estão sendo atirados para o lado oposto ao do centro da
curvatura, em relação ao veı́culo.
Um observador fixo na Terra (referencial inercial) diria que aqueles ocipantes estão sujeitos a uma resultante centrı́peta, pois constata a mudança
de direção do movimento.
Mas os ocupantes do automóvel, num referencial não-inercial (pois o automóvel possui aceleração em relação à Terra), acabam considerando uma
força inercial ou fictı́cia denominada força centrı́fuga (F~cf ).
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A razão do nome “Força Centrı́fuga” e das aspas deve-se ao fato de que
essa “força” NÃO é uma força no sentido da 2a lei de Newton, que se refere
apenas a referenciais inerciais. Essa denominação, portanto, é muito infeliz.
A “Força Centrı́fuga” resulta como vimos de movimentos de um referencial
NÃO INERCIAL.
Atenção: (a) num referêncial inercial, não existe força centrı́fuga. (b) a
força centrı́fuga não é a reação da força centrı́peta.
Pêndulo Cônico
Um pêndulo simples, quando posto em movimento circular uniforme num
plano horizontal, constitui um pêndulo cônico, como mostra a figura abaixo.
L = comprimento do fio ideal;
θ = ângulo entre as direções vertical e do fio;
m = massa do corpo suspenso;
R = raio da circunferência horizontal;
g = aceleração da gravidade.
O ângulo varia de acordo com a velocidade escalar (v) do corpo e o raio
(R) da trajetória:
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Desprezando os efeitos do ar, atuam no corpo suspenso apenas duas
forças: T~ e P~ .
Fr = Fcp (Ft = 0)
(8)
Do triângulo retângulo formado:
2
m. vR
Fr
tg(θ) =
=
P
m.g
∴ tg(θ) =
v2
R.g
(9)
(10)
Como o movimento, em estudo, é circular e uniforme, ele é periódico.
A seguir, está a dedução da expressão do perı́odo (T) de movimento de
pêndulo cônico, válida para ângulos (θ) pequenos, cujo cosseno tende ao
valor 1 (cosθ ∼
= 1):
9
Do triângulo retângulo: senθ =
tgθ =
R
L
ou R = L.senθ e
senθ
v2
(ω.R)2
ω 2 .R
ω.L.senθ
=
=
=
=
cosθ
R.g
R.g
g
g
Logo:
senθ
ω 2 .L.senθ
=
,
cosθ
g
(11)
(12)
com cosθ ∼
=1, tem-se:
ω 2 .L
g
∼
1=
ou ω 2 ∼
=
g
L
p
g
g
∼
Como ω = 2π
: ( 2π
)2 = L ou 2π
T
T
T =
L
Finalmente
r
T ∼
= 2π
g
.
L
O perı́odo é independente da massa (m) do corpo suspenso.
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(13)
(14)