Notas de Aula de Estabilidade das Construções
Rodrigo Mero Sarmento da Silva, MSc.
10 de fevereiro de 2011
Prefácio
Estas notas de aula foram escritas em 2008 para as disciplinas de Estabilidade das Construções , do Centro Federal Tecnológico de Alagoas, unidade
descentralizada de Palmeira dos Índios (CEFET-AL/UNED-PI) e Mecânica
dos Sólidos I. Essas notas de aula estão sendo revisadas continuamente tentando atender as mudanças que se faz necessário. Lembra-se ao aluno que
essas notas de aula não substituem os livros em hipótese nenhuma, sendo as
mesmas apenas um complemento de aprendizagem. Os principais livros em
que se baseiam os conteúdos a seguir são:
1. Mecânica Vetorial para Engenheiros [Beer e Johnston Jr, 1991, [1]]
2. Fundamentals of Physics [Halliday e Resnick, 2009, [3] ]
Tenta-se com o passar do tempo introduzir novos conteúdos, de autoria do
próprio autor e alguns “problemas“, estudados e discutidos pelos alunos que
passaram por essa disciplina enriquecendo assim o seu conteúdo. Com a
mudança em 2009, da nomenclatura do CEFET-AL para IF-AL (Instituto
Federal de Educação Ciência e Tecnologia), alguns conteúdos serão revistos
e atualizados.
Definição 1. Aquecimento (Aq):Questões básicas com conteúdo abordado em
sala de aula, semelhantes aos problemas desenvolvidos dentro do conteúdo da
disciplina, problemas de vestibular, com definições fı́sicas do problema e de
engenharia. Indicado para alunos dos cursos técnicos integrado.
Definição 2. Aprofundamento (Ap):Questões mais elaboradas sobre o conteúdo
abordado, encontradas em livros de graduação em Mecânica dos Sólidos e em
Referências de Fı́sica do ensino superior. Indicados para alunos dos cursos
tecnológicos e de graduação.
Definição 3. Desafio (D):Questões complexas, que necessitam de habilidade
matemática do aluno. encontradas em livros de graduação em Mecânica dos
Sólidos e em Referências de Fı́sica do ensino superior. Indicados para alunos
que gostam de viver perigosamente.
ii
iii
Definição 4. Caiu na Prova (Cp):Questões que caı́ram nas provas anteriores
de estabilidade das construções e demais disciplinas lecionadas no instituto.
Fiquem atentos.
Sobre o Autor
Rodrigo Mero Sarmento da Silva é Engenheiro Civil, formado pela Universidade Federal de Alagoas (2002), onde concluiu também o Mestrado em Engenharia
Estrutural em 2005. Concluiu especialização em Engenharia de Software e Web
pela Faculdade de Alagoas em 2007, atuamente é Doutorando em Ciências e Materiais pela Universidade Federal de Alagoas desde 2010. É professor auxiliar do
IFAL - Campus Palmeira dos Índios. Atua na área de Engenharia Civil, com ênfase
em Mecânica das Estruturas, Robótica e Materiais Compósitos Piezoelétricos. Em
suas atividades profissionais interagiu com 18 colaboradores em co-autorias de trabalhos cientı́ficos. Atualmente leciona as disciplinas de Estruturas de Concreto,
Estabilidade das Construções além de cursos avançados de programação em Java,
C/C++ e IUP.
CV-LATTES:
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4765459J5
iv
Sumário
Prefácio
ii
Sobre o Autor
iv
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3
1 Conceitos Iniciais
1.1 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Indexadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
2 Introdução à Análise Estrutural
2.1 Definição de Estrutura . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Classificação dos Elementos Estruturais
2.1.2 Conceber versus Dimensionar . . . . .
2.1.3 Ações sobre as Estruturas . . . . . . .
2.1.4 Cargas Permanentes . . . . . . . . . .
2.1.5 Cargas Acidentais . . . . . . . . . . . .
2.2 Tipos de Solicitações sobre as Estruturas . . .
3 Introdução a Estática
3.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mecânica Newtoniana . . . . . . . . . .
3.2.1 Lei do Paralelogramo para Adição
3.3 1a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . .
3.4 2a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . .
3.5 3a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . .
3.6 Princı́pio da Transmissibilidade . . . . .
3.7 Lei da Gravitação Universal . . . . . . .
3.7.1 Lei dos Cossenos . . . . . . . . .
3.7.2 Lei dos Senos . . . . . . . . . . .
1
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de Forças
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21
SUMÁRIO
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3.8 Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Exercı́cios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Estática dos Pontos Materiais
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Resultante de Forças sobre Ponto Material
4.3 Componentes de uma Força . . . . . . . .
4.4 Métodos de Análise de Forças . . . . . . .
4.5 Exercı́cios de Estática de Ponto Material .
4.5.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . .
4.5.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . .
4.5.3 Fase 3: Desafio . . . . . . . . . . .
4.5.4 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . .
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5 Estática de Corpos Rı́gidos
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 O que se Estuda na Estática de Corpos Rı́gidos?
5.3 Momento de uma Força em Relação a um Ponto
5.4 Exercı́cios de Estática de Corpo Rı́gido . . . . .
5.4.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . .
5.4.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . .
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6 Carregamentos Distribuı́dos
6.1 Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuı́dos . . . . . . . .
6.1.1 Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Exercı́cios de Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuı́dos
6.2.1 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Tipos de Estruturas de Apoio
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . .
7.2 Reações de Apoio . . . . . . . .
7.3 Exercı́cios de Reações de Apoio
7.3.1 Fase 1: Aquecimento . .
7.3.2 Fase 2: Aprofundamento
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48
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52
53
8 Esforços Internos Solicitantes
57
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Equações Diferenciais de Equilı́brio* . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Diagrama de Esforços Internos Solicitantes . . . . . . . . . . . 61
SUMÁRIO
8.4
3
Exercı́cios EIS - Esforços Internos Solicitantes . . . . . . . . . 64
8.4.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4.2 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 Treliças
68
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10 Exercı́cios Resolvidos
10.1 Estática de Ponto Material . . .
10.1.1 Fase 1: Aquecimento . .
10.1.2 Fase 2: Aprofundamento
10.1.3 Fase 3: Desafio . . . . .
10.1.4 Fase 4: Caiu na Prova .
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70
70
71
74
74
74
Lista de Figuras
1.1 Circulo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Estrutura de uma Edificação . . . . . . . . . .
Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arranjos de forças sobre elementos estruturais.
Forças Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algumas solicitações sobre as estruturas . . .
Equilı́brio natural de estruturas . . . . . . . .
Exemplos de estabilidade . . . . . . . . . . . .
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3.1 Desenho de uma viga engastada no livro de Galileu.
(Arruda, 2001, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fı́sico Alemão, Albert Einstein . . . . . . . . . . . . .
3.3 Princı́pios da Mecânica Newtoniana . . . . . . . . . .
3.4 Lei do Parelelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Princı́pio da Transmissibilidade . . . . . . . . . . . .
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13
Fonte
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17
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4.1 Resultante dos vetores de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1
5.2
5.3
5.4
Princı́pio da Transmissibilidade para Corpos Rı́gidos . . . .
Restrição do princı́pio transmissibilidade para corpos rı́gidos.
Momento de uma força em relação a um ponto. . . . . . . .
Prob. 1 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Exemplo de um Modelo de Cálculo de uma Carga Concentrada.
Exemplo de um Modelo de Cálculo de uma Carga Distribuı́da
Centro de Gravidade de um Retângulo . . . . . . . . . . . . .
Centro de Gravidade de um Quadrado . . . . . . . . . . . . .
Centro de Gravidade de um Triângulo . . . . . . . . . . . . .
35
35
36
40
41
42
43
44
44
7.1 Classificação das estruturas segundo os graus de liberdade. . . 48
7.2 Exemplo de Estrutura Hipostática. . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
LISTA DE FIGURAS
5
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
Exemplo de Estrutura Isostática. . . . .
Exemplo de Estrutura Hiperestática. . .
Nomenclatura das Estruturas de Apoio. .
Problema 03 - Fase Aquecimento . . . .
Problema 04 - Fase Aquecimento . . . .
Problema 05 - Fase Aquecimento . . . .
Problema 01 - Fase Aprofundamento . .
Problema 02 - Fase Aprofundamento . .
Problema 03 - Fase Aprofundamento . .
Problema 04 - Fase Aprofundamento . .
Problema 05 - Fase Aprofundamento . .
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50
50
53
53
53
54
54
54
55
55
8.1
Exemplo de Estrutura de Corpo Rı́gido Submetido a Carregamentos Combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forças Internas no Corpo Rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . .
Viga Submetida a Carregamentos Combinaods . . . . . . . .
Viga Seccionada, Explicitando as Força Internas . . . . . . .
Diagrama de Esforço Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de Esforço Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de Momento Fletor . . . . . . . . . . . . . . . . .
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58
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Capı́tulo 1
Conceitos Iniciais
Para que consigamos entender bem os conceitos trabalhados nessa nota de
aula, é imprescindı́vel que o aluno entenda bem alguns conceitos matemáticos.
Esse tópico inicial pretende relembrar alguns desses assuntos de forma rápida
e concisa. Fica como sugestão uma leitura aprofundada em algum livro que
contenha os assuntos mencionados nesse capı́tulo (1)
1.1
Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas
e unidades derivadas. As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg)
e segundo (s). As unidades derivadas são, entre outras, força, trabalho,
pressão etc. As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades.
Isto significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos
locais onde são feitas as medições.
1.1.1
Indexadores
Em muitos problemas de engenharia as unidades do SI são precedidas de
indexadores, que são múltiplos de ordem 10 dessas unidades. Abaixo tem-se
uma tabela de indexadores. Esses múltiplos, serão de suma importância no
decorrer do nosso estudo.
6
1.1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Nome
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Quilo
Hecto
Deca
1.1.2
Fator Mult.
1018
1015
1012
109
106
103
102
10
Sı́mbolo
E
P
T
G
M
K
H
Da
Nome
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
Fator Mult.
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
Funções Trigonométricas
Figura 1.1: Circulo Trigonométrico
EF
OE
OF
cos(α) =
OE
EF
tan(α) =
OF
2
2
OE = EF + OF 2
sin(α) =
OE 2 = (sin(α) · OE)2 + (cos(α) · OE)2
1 = sin(α)2 + cos(α)2
Equação Fundamental
7
Sı́mbolo
d
c
m
μ
n
p
f
a
Capı́tulo 2
Introdução à Análise Estrutural
2.1
Definição de Estrutura
Podemos definir estrutura como sendo: “A forma com que algo é composto“,
“É o conjunto de elementos que compõe algo“. Essa definição pode ser aplicada a todo tipo de estrutura, organizacional, polı́tica, econômica, militar e
civil dentre outras. Em se tratando de estruturas civis a estrutura é subdividida em “peças estruturais“ (elementos) como mostra a Figura 2.1 .
Figura 2.1: Estrutura de uma Edificação
Cada parte que compõe a estrutura deve resistir aos esforços internos e
retransmitir os esforços externos para as demais peças através dos vı́nculos
8
2.1. DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA
9
que as unem, finalizado com a condução do esforço para o solo que deverá
suportá-lo. A ciência responsável pelo estudo desses fenômenos referentes à
estrutura civil é a engenharia estrutural, que é o ramo da engenharia civil
dedicado primariamente ao projeto e cálculo de estruturas. De forma simplificada, é a aplicação da mecânica dos sólidos ao projeto de edifı́cios, pontes,
muros de contenção, barragens, túneis e outras estruturas. (Wikipédia).
2.1.1
Classificação dos Elementos Estruturais
Os elementos estruturais em suas variedades podem ser classificados em três
formas distintas:
Definição 5. Barras ou fios: Caracterizado pela predominância de uma
dimensão em relação às outras duas. Exemplos claros de elementos de barras
ou fios são vigas (Figura 2.2), pilares, arcos, cabos etc.
Figura 2.2: Vigas
Definição 6. Folhas: Caracterizado pela predominância de duas dimensões
em relação a uma terceira. Os principais exemplos desse tipo de estrutura
são as lajes e cascas.
Definição 7. Blocos: Em elementos classificados como blocos, não existe
predominância entre as dimensões. Esse tipo de estrutura possui dimensões
aproximadas nas três direções. Os principais exemplos são as fundações tipos
sapatas isoladas e blocos.
10
2.1.2
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL
Conceber versus Dimensionar
Podemos começar a entender a definição dessas duas palavras da seguinte
forma: é possı́vel imaginar uma forma sem uma estrutura? É possı́vel imaginar uma estrutura sem uma forma? “A estrutura e a forma, ou a estrutura
e a arquitetura são um só objeto, e assim sendo, conceber uma implica em
conceber a outra“. Na realidade tanto a estrutura e a forma depende exclusivamente da sua destinação, em geral engenheiros tem como prioridade
especificações técnicas e economia em detrimento a forma e estética, enquanto
no ponto de vista de arquitetos a forma e a estética prevalece.
2.1.3
Ações sobre as Estruturas
Como dito anteriormente a estrutura é o caminho de forças até o solo, desta
feita cabe-se perguntar: qual o melhor caminho estrutural a se seguir? A
resposta para essa pergunta é um pouco complicada, uma vez a finalidade é
importante em alguns casos estruturais. De uma forma geral as estruturas
são compostas do conjunto viga, laje, pilar como representado na Figura 2.3:
Figura 2.3: Arranjos de forças sobre elementos estruturais.
Em geral a melhor concepção tem que possuir: Funcionalidade, ser eficiente para o que foi prevista, Econômica e Bela, onde na maioria dos casos
2.1. DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA
11
economia e beleza são inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais bela
menos econômica, ou quanto mais econômico menos belo. Para começar
a entender o funcionamento e analisar as estruturas é de fundamental importância conhecer as forças que atuam sobre a mesma. Conhecer as forças
implica em conhecer (Figura 2.4):
Figura 2.4: Forças Vetoriais
Todas as ações dentro de um sistema estrutural são forças vetoriais,
em sendo sua direção, sentido e intensidade influenciam diretamente na
concepção estrutural da edificação. O capitulo seguinte estudaremos os
princı́pios básicos de manipulação de forças vetoriais. As ações sobre as
estruturas versão por dois tipos distintos, que são as cargas permanentes e
as cargas acidentais.
2.1.4
Cargas Permanentes
As cargas permanentes sobre a estruturas são carregamentos que atuam em
toda vida útil da mesma. Dentre as cargas permanentes pode-se exemplificar:
peso próprio da estrutura, peso do revestimento, peso das paredes etc. As
cargas permanentes têm uma precisão numérica grande.
2.1.5
Cargas Acidentais
As cargas acidentais como o próprio nome diz acontece esporadicamente durante certo perı́odo de tempo, destacam-se as cargas: peso de ocupação de
pessoas, peso dos móveis, peso dos veı́culos, força do vento, ação da chuva
etc. As cargas acidentais são geralmente tabeladas e normatizadas. As cargas
acidentais previstas para o uso da construção correspondem normalmente a
cargas verticais de uso da construção (prescritas na NBR 6118-2003), cargas
móveis considerando o impacto vertical, impacto lateral, força longitudinal
de frenação ou aceleração e força centrı́fuga.
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL
12
2.2
Tipos de Solicitações sobre as Estruturas
As ações sobre as estruturas são as mais diversas possı́veis, dentre as principais destacam-se: tração, torção, compressão, cisalhamento, flexão simples e
composta dentre outras.
Figura 2.5: Algumas solicitações sobre as estruturas
Abaixo encontra−se a definição dessas solicitações:
1. Tração: caracteriza-se pela tendência de alongamento do elemento na
direção da força atuante.
2. Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da
força de compressão.
3. Flexão: ocorre uma deformação na direção perpendicular à da força
atuante.
4. Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção
transversal tende a girar em relação às demais.
5. Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte,
isto é, um deslocamento linear entre seções transversais.
Além das solicitações sobre as estruturas, outro importante fator para se
conceber uma estrutura são os critérios de projeto, a saber:
• Equilı́brio: Conceber um arranjo estrutural capaz de absorver às solicitações externas e transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-se
em repouso (Figura 2.6).
2.2. TIPOS DE SOLICITAÇÕES SOBRE AS ESTRUTURAS
13
Figura 2.6: Equilı́brio natural de estruturas
Figura 2.7: Exemplos de estabilidade
• Estabilidade: A configuração de equilı́brio do arranjo não pode ser
alterada drasticamente na presença das imperfeições e das ações perturbadoras (Figura 2.7 ).
• Resistência: O material das peças estruturais deve ser capaz de absorver o nı́vel de solicitação interna gerado pelas ações externas sem
comprometer a sua integridade fı́sica.
• Rigidez: As peças estruturais devem ser capazes de absorver as ações
externas sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam sua
funcionalidade.
Capı́tulo 3
Introdução a Estática
3.1
Histórico
Os princı́pios da estática foram desenvolvidos por grandes cientistas que contribuı́ram para o incremento dessa parte da mecânica clássica. Aristóteles
(384 a 322 a.c) deu inicio aos estudos dos movimentos de corpos celestes,
desenvolvendo bases para formulação posterior de Newton sobre a lei fundamental da gravitação universal.
Na era Alexandrina, (século IV a.c. até 30 a.c., ano da conquista do Egito por
Roma), aparece duas figuras centrais, Euclides e Arquimedes, sendo Euclides
o responsável por uma das obras mais influentes da humanidade denominada,
os “Elementos“ (300 a.c.).
Arquimedes (287 a 212 a.c) contempla com seus trabalhos o equilı́brio de
alavancas, roldanas e polias, além da clássica lei do empuxo. Arquimedes é
tido por muitos como o pai da matemática, uma de suas obras mais importantes é o livro “Sobre o Equilı́brio dos Planos“, onde ele desenvolve as regras
da estática. Ainda sobre Arquimedes destaca-se a celebre frase: “Dê-me um
ponto de apoio e eu moverei a terra“.
Segundo (Arruda, 2001), o primeiro estudo ligado a resistência dos materiais
deve ser atribuı́do a Leonardo da Vince (1452 - 1519), com os primeiros ensaios de tração em fios metálicos, entretanto a primeira abordagem cientı́fica
desse assunto foi atribuı́da ao cientista nascido em Pisa chamado Galileu
Galilei.
Galileu Galilei (1564 a 1642) Descobriu a lei dos corpos, enunciou o princı́pio
14
3.1. HISTÓRICO
15
da inércia e o conceito de referencial inercial, idéias precursoras da Mecânica
newtoniana. Os dois primeiros capı́tulos do seu livro “Diálogos sobre Duas
Novas Ciências“ trás referencias ao estudo de barras e vigas engastadas
(Figura 3.1).
Figura 3.1: Desenho de uma viga engastada no livro de Galileu. Fonte
(Arruda, 2001, [2])
Um pouco antes da mecânica newtoniana se estabelecer como uma das
maiores contribuições do homem a ciência, surge em Robert Hooke (1635 a
1703), que estudou a resistência dos materiais e deixou como legado a conhecida Lei de Hooke publicada em 1676.
Isaac Newton (1642 a 1727) Desenvolvedor da denominada Mecânica Newtoniana, sir Isaac Newton desenvolveu os princı́pios da Dinâmica enumerando
as três leis clássicas, além da gravitação universal, cálculo diferencial e integral.
No século 18, é marco para as maiores contribuições a mecânica dos sólidos,
partindo dos princı́pios enumerados por Sir. Newton, os irmãos Bernoulli
Jaques e Johan, desenvolveram estudos de vigas em balanço, rotação de vigas,
problemas de dinâmica e o princı́pio dos deslocamentos virtuais. Seguindo os
16
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A ESTÁTICA
princı́pios de uma famı́lia de cientistas, o filho de Johan, Daniel Bernoulli, desenvolveu junto com seu então aluno Leonard Euler (1707-1783), a teoria de
flexão em vigas batizada e ainda valida até hoje de teoria de Euler-Bernoulli.
Destaca-se ainda contribuições mais recentes a resistência dos materiais,
como a teoria de Timoshenko (1878 a 1972), para vigas com cisalhamento,
denominadas vigas de Timoshenko.
Albert Einstein (1879 a 1955) descobriu as limitações da mecânica Newtoniana, entretanto em sistemas de Engenharia, a base está fundamentada
na Mecânica Clássica de Newton.
Figura 3.2: Fı́sico Alemão, Albert Einstein
3.2
Mecânica Newtoniana
A Mecânica de Newton é uma teoria que versa sobre o movimento dos corpos e suas causas. A essência da teoria foi publicada pelo inglês Isaac Newton no seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princı́pios
Matemáticos da Filosofia Natural) publicado no ano de 1687, mas notáveis
contribuições à fı́sica já tinham sido feitas, principalmente por Galileu, ao
fazer seus experimentos que contradisseram a teoria aristotélica.
No entanto, a teoria como está aqui exposta se vale de uma nova roupagem
matemática e conceitual desenvolvida nos séculos que se seguiram. Nos anos
que se seguiram a Newton, diversos fı́sicos e matemáticos aplicaram essa
3.2. MECÂNICA NEWTONIANA
17
teoria ao movimento dos corpos na terra e também ao movimento dos corpos celestes, desenvolvendo assim o grande triunfo da teoria newtoniana: a
Mecânica Celeste.
Essa teoria se aplicou com bastante sucesso aos resultados experimentais
até enfrentar problemas no final do século XIX e inı́cio do século XX. A
mecânica de Newton pode ser entendida pelos seis princı́pios fundamentais
(Figura 3.3 ).
Figura 3.3: Princı́pios da Mecânica Newtoniana
3.2.1
Lei do Paralelogramo para Adição de Forças
Estabelece que duas forças atuando numa partı́cula possam ser substituı́das
por uma única força, chamada resultante, obtida traçando a diagonal do
paralelogramo que tem por lados as duas forças dadas (Figura 3.4).
Figura 3.4: Lei do Parelelogramo
18
3.3
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A ESTÁTICA
1a Lei de Newton
Se a resultante das forças que atuam numa partı́cula é nula, esta permanecerá
em repouso (se estava inicialmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade
constante segundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).
3.4
2a Lei de Newton
Se a resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma
aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com
o mesmo sentido, sendo sua equação descrita na forma simplificada pela
Equação 3.1 .
F = ma
3.5
(3.1)
3a Lei de Newton
As forças de ação e reação entre corpos interagindo têm as mesmas intensidades, mesmas linhas de ação e sentidos opostos.
3.6
Princı́pio da Transmissibilidade
Teorema 3.1 (Princı́pio da Transmissibilidade). Estabelece que as condições
de equilı́brio ou de movimento de um corpo rı́gido não se alteram se substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por outra força com a
mesma intensidade, direção e sentido, mas atuando em um outro ponto do
corpo, desde que ambas as forças possuam a mesma linha de ação (Figura
3.5).
3.7
Lei da Gravitação Universal
Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente
atraı́das com forças iguais e opostas F e −F de intensidade F dada por (Eq.
3.2):
F =
Mm
G
r2
(3.2)
3.7. LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
19
Figura 3.5: Princı́pio da Transmissibilidade
onde r é a distância que separa os corpos e G é a constante da gravitação
universal. O Exemplo abaixo ilustra como funcionam alguns a aplicação dos
princı́pios da mecânica newtoniana.
Exemplo 3.1. Dado o pórtico abaixo identificar os princı́pios da mecânica
de newton.
Se as forças T = 2kN e a força P = 1, 5kN, qual será a resultante? No
caso numérico acima o método gráfico ilustra claramente a direção da força
resultante, entretanto para se achar a intensidade da mesma deve-se recorrer
às equações clássicas da matemática vetorial: a lei dos senos e dos cossenos.
3.7.1
Lei dos Cossenos
Dados dois vetores como indicado na Figura abaixo, a lei dos cossenos retornará a resultante desses vetores (Eq. 3.3).
r = a2 + b2 + 2ab · cos(θ)
(3.3)
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A ESTÁTICA
20
Para vetores com a posição ponta−cauda como mostrado na Figura abaixo,
a lei dos cossenos se resume a Equação (3.5)
r=
a2 + b2 − 2ab · cos(θ)
(3.4)
3.7. LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
3.7.2
21
Lei dos Senos
Uma segunda lei muito importante para o estudo da estabilidade das construções está na chamada lei dos senos. A lei dos senos leva em consideração
o lado de um vetor fechado em forma de triângulo e seu respectivo ângulo
oposto.
b
c
a
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(δ)
(3.5)
Exemplo 3.2. Encontrar a resultante dos vetores mostrados na figura abaixo
e o ângulo que a resultante faz com o eixo horizontal.
r =
a2 + b2 + 2ab · cos(θ)
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A ESTÁTICA
22
22 + 1, 52 + 2 · 2 · 1, 5 · cos(120o)
3, 25 = 1, 803kN
=
=
b
c
a
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(δ)
R
P
=
o
sin(60 )
sin(x)
P
sin(x) =
R · sin(60o )
1, 5
sin(x) =
1, 803 · sin(60o )
sin(x) = 0, 7206
x = 46, 10o
= 46, 10 − 30 = 16, 10o
3.8. ESTÁTICA
23
Exemplo 3.3. Calcule o a tração nos cabos da figura abaixo
Fx = 0
Tab · cos(30o ) − Tac · cos(50o) = 0
Fy = 0
Tab · sin(30 ) + Tac · sin(50 ) = 750
o
o
0, 866 · Tab − 0, 643 · Tac = 0
0, 5 · Tab + 0, 766 · Tac = 750
Tab = 486, 84N
Tac = 657, 89N
3.8
Estática
A estática é a parte da fı́sica que estuda sistemas sob a ação de forças que
se equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes
sistemas é nula.
F =0
(3.6)
De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema
em equilı́brio também estão em equilı́brio. Este fato permite determinar as
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A ESTÁTICA
24
forças internas de um corpo a partir do valor das forças externas.
De uma forma simplificada, as estruturas são submetidas a diversos carregamentos combinados e para que se possa garantir que ela não se moverá,
deve-se garantir que:o.
• Primeiramente, que ela não translade, ou seja, o somatório de todas as
forças tem que ser nulo;
• Segundo, que ela não rotacione, ou seja, o somatório dos momentos
aplicados a qualquer ponto da estrutura deverá ser nulo. Mais adiante
descobriremos e falaremos mais sobre essas duas condições de equilı́brio
estátic
3.9
Exercı́cios de Fixação
1. Defina estrutura?
2. Defina estrutura?
3. Qual a função das estruturas?
4. Os elementos estruturais são classificados de acordo com as suas dimensões; Classifique os elementos estruturais e cite exemplos para cada
classificação.
5. De forma geral o que uma estrutura deve possuir?
6. Defina Cargas Permanentes e Cargas Acidentais; Dê exemplos.
7. Para execução de obras de engenharia, deve se optar por critérios de
projetos, como: Equilı́brio, Estabilidade e Rigidez. Defina-os.
8. A mecânica de Newton pode ser entendida por seis princı́pios, quais?
9. O que você entende por estática?
Capı́tulo 4
Estática dos Pontos Materiais
4.1
Introdução
Em Mecânica, ponto material é uma abstração feita para representar qualquer objeto que em virtude do fenômeno tem dimensões desprezı́veis, ou seja,
dimensões tais que não afetam o estudo do fenômeno. Por exemplo, no estudo dos movimentos planetas, dada a distância que separa esses corpos suas
dimensões são desprezı́veis e eles podem ser considerados pontos materiais.
Esse capı́tulo contempla o estudo do efeito de forças sobre pontos materiais. Um exemplo prático foi discutido e analisado no capitulo anterior sobre
a ótica da ação de apenas duas forças.
Em problemas de engenharia as ações sobre pontos materiais não são constituı́das de duas únicas forças e sim de uma combinação de forças. É fato
que os corpos rı́gidos influenciam no sistema, entretanto para inı́cio de estudo
devemos tratar os pontos materiais.
O que devemos trabalhar é a substituição de duas ou mais forças por uma
única força representativa chamada de força resultante. Os princı́pios da lei
dos senos e cossenos são válidos para mais de uma força, porém demanda
um trabalho razoável para sua utilização.
Nesse sentido busca-se a utilização da decomposição de forças como uma
alternativa rápida e de fácil entendimento para determinação da resultante
de forças.
25
CAPÍTULO 4. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS
26
4.2
Resultante de Forças sobre Ponto Material
O Vetor Resultante independe de qual seqüência de vetores será tomada
como base. Obedecendo ao sistema Ponta-a-cauda, o resultado sempre será
o mesmo (Figura 4.1).
Figura 4.1: Resultante dos vetores de forças
Qualquer que seja a seqüência tomada, a direção do vetor resultante não
se altera, esse sistema é denominado regra do polı́gono.
4.3
Componentes de uma Força
Para sistemas de mais de dois vetores, a técnica de decomposição vetorial
é importante para definição do vetor resultante. A decomposição parte do
princı́pio que qualquer força pode ser decomposta em direções principais, em
geral definidas pelo eixo cartesiano. Entretanto qualquer força pode ser decomposta em qualquer direção, para esse primeiro caso trabalharemos apenas
com as direções principais.
Uma força única pode ser substituı́da por duas ou mais forças que, juntas,
geram o mesmo efeito sobre o corpo, essas forças são chamadas de componentes da força original, e o processo de substituição da original por ela é
denominado decomposição dos componentes da força. Para cada força existe
um número infinito de possı́veis conjuntos de componentes.
Exemplo 4.1. Problema vetorial com três vetores.
decompondo o vetor v na direção ortogonal tem−se:
vx = v · cos(35o)
vy = v · sen(35o )
4.3. COMPONENTES DE UMA FORÇA
27
decompondo o vetor w na direção ortogonal tem−se:
wx = w · cos(45o )
wy = w · sen(45o )
decompondo o vetor u na direção ortogonal tem−se:
ux = w · cos(20o )
uy = w · sen(20o )
procedendo o somatório das forças nas duas direções principais. tem−se:
Fx = vx − wx + ux
Fx = v · cos(35o ) − w · cos(45o) + u · cos(20o )
Fx = 3, 5 · 0, 8192 − 4, 0 · 0, 7071 + 2, 0 · 0, 9397
Fx = 2, 8670 − 2, 8284 + 1, 8794 = 1,9180
na direção vertical
Fy
Fy
Fy
Fy
temos:
= vy + wy − uy
= v · sin(35o ) + w · sin(45o ) − u · sin(20o )
= 3, 5 · 0, 5736 + 4, 0 · 0, 7071 − 2, 0 · 0, 3420
= 2, 0076 + 2, 8284 − 0, 6840 = 4,1520
Aplicando o teorema de Pitágoras para os vetores ortogoanis encontrados
tem−se:
R = Fx2 + Fy2
28
CAPÍTULO 4. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS
R
R
R
R
=
=
=
=
1, 91802 + 4, 15202
3, 6787 + 17, 2391
20, 9178
4,5736 kN
Para achar o ângulo da resultaante com a hrizontal:
sin(α) =
sin(α) =
sin(α) =
α =
4.4
Fy2
R
4, 1520
4, 5736
0, 9078
65, 20o
Métodos de Análise de Forças
Como vimos existem dois métodos básicos para análise da composição de
forças, o primeiro é o método gráfico utilizando o processo vetor-ponta-cauda,
onde pode-se encontrar a resultante de um sistema de várias forças. Procedimento semelhante pode ser observado com a aplicação da regra do paralelogramo, sendo um método com pouca precisão.
O segundo método consiste na interpretação numérica das forças utilizando
duas vertentes, a lei dos cossenos e senos ou decomposição de forças.
4.5
Exercı́cios de Estática de Ponto Material
Problemas retirados do (Beer e Johnston Jr, 1991), com algumas adaptações.
4.5. EXERCÍCIOS DE ESTÁTICA DE PONTO MATERIAL
4.5.1
29
Fase 1: Aquecimento
1. As forças P e Q agem sobre um
parafuso. Determinar sua resultante e o ângulo de inclinação
da resultante com a horizontal.
4. Dada a estrutura de sustentação
abaixo, sabendo que a tração no
cabo AC é de 370N. Determine
a componente horizontal e vertical da força exercida em C.
2. Dada a chapa parafusada abaixo,
pede-se, a resultante das forças
que agem na chapa e o ângulo
de inclinação da mesma com a
horizontal.
5. Uma estaca é arrancada do solo
com o auxilio de duas cordas,
como mostrado na figura ao lado.
Com θ = 30o e determine o módulo
da força P necessário para que
a resultante na estaca seja vertical.
3. Quatro forças atuam no parafuso da figura abaixo. Determine a resultante das forças que
agem no parafuso.
6. Calcule a resultante das forças
mostrado no sistema abaixo.
7. Dado o parafuso da figura abaixo
submetido a diversas forças, pergunta-
30
CAPÍTULO 4. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS
horizontais e verticais e a resultante da força exercida pela corda.
se: Qual a resultante das forças
e o ângulo que a resultante faz
com o eixo Y.
9. A figura representa uma barra
homogênea de peso igual a 200N,
articulada em P e mantida em
equilı́brio por meio do fio ideal
AB.O corpo pendurado na extremidade A da barra tem peso
de 100N. Determine a intensidade da força de tensão no fio
AB.
4.5.2
8. Um homem puxa com a força
de 300N uma corda amarrada
a um edifı́cio, como mostra a
figura. Quais são as componentes
Fase 2: Aprofundamento
1. Determine a tração nos fios ideais
AB e BC, sabendo-se que o sistema está e equilı́brio na posição
4.5. EXERCÍCIOS DE ESTÁTICA DE PONTO MATERIAL
31
indicada. Dados: sen(θ) = 0, 6; cos(θ) =
0, 8; P = 90N
de comprimento “L“, quando o
equilibrista chega a um terço do
percurso, o mesmo causa um deslo2. Para o sistema da figura, em equilı́brio, camento vertical na corda “y“.
Qual a tensão na corda nesse
qual a relação entre o peso PA
ponto.
e PB dos corpos A e B? Os fios
e a polia são ideais.
4.5.4
Fase 4: Caiu na Prova
1. [2008] As três forças da figura
abaixo agem na cabeça de um
parafuso. Determinar sua resultante e o ângulo de inclinação
da resultante com a horizontal.
Para das duas configurações ao
lado.
3. Dado um corpo arbitrário com
massa 12kg concentrada em um
ponto P ligado a outro de massa
10kg concentrada em um ponto
Q ligado por um fio ideal que
atravessa uma polia ideal, assim
como na figura abaixo. Qual
deve ser o coeficiente de atrito
para que este sistema esteja em
equilı́brio?
Fase 3: Desafio
2. [2008] Dado o sistema abaixo sob
ação de duas forças pede-se, encontrar a resultante das forças e
o ângulo de inclinação da mesma
com a horizontal.
1. Um equilibrista de peso “P“, está
andando sobre uma corda bamba
3. [2010] Qual o ângulo theta para
que a resultante das duas forças
4.5.3
CAPÍTULO 4. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS
32
Respostas, Fase 2: Aprofundamento
1. R =
2. R = tg(60o )
3. R = 0, 83
Respostas, Fase 3: Desafio
tenha intensidade de 1500N? Nes- 1. 2P L
9y
sas condições qual o ângulo que
a resultante faz com a horizonRespostas, Fase 4: Caiu na Prova
tal?
1. R =
2. R =
3. R =
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. R = 98N, θ = 35o
2. R = 5, 84kN
3. R = 199, 6N, = 4, 11o
4. 261Ne − 168N
5. 101N
6. 1, 28N
7. 65, 23kN
8. Rx : 240N, Ry : 180N
9. T : 424, 26N
Capı́tulo 5
Estática de Corpos Rı́gidos
5.1
Introdução
O corpo rı́gido é um corpo ideal, resultante da combinação de um número finitos de partı́culas ocupando posições fixas no espaço. Como dito no capı́tulo
anterior a estática de pontos materiais considera o corpo como sendo apenas
um ponto, desprezando sua massa e a relação de atuação da força no mesmo.
Na estática de ponto material, todas as forças atuam em um mesmo ponto,
fato que não acontece comumente na prática da engenharia. Em contrapartida tem-se como válvula de escape o estudo da estática de corpos rı́gidos,
onde se considera cada corpo como uma composição de pontos materiais,
sendo assim, deve-se a partir desse momento levar em consideração o tamanho,
o peso, a geometria, dentre outros fatores.
Os corpos rı́gidos são tratados dentro da mecânica clássica como sendo corpos indeformáveis, entretanto sabemos que todos os corpos quando sujeitos
a carregamentos deformam.
Os problemas de deformação de corpos rı́gidos são estudados pela ciência
denominada Resistência dos Materiais, e não será alvo de estudo dentro do
curso técnico em edificações.
33
CAPÍTULO 5. ESTÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
34
5.2
O que se Estuda na Estática de Corpos
Rı́gidos?
Da mesma forma que no capı́tulo anterior, a estática de uma forma geral
estuda a ação de força sobre os corpos, sendo que na estática de corpo rı́gido
não se tem a restrição de um ponto de aplicação de força e sim a força pode
atuar em qualquer ponto da geometria do corpo.
Os efeitos das forças não pontuais em um corpo pode ser entendido a analisado por 3 parâmetros:
• Sistema equivalente de força−binários
• Momento de uma força em relação a um ponto
• Forças externas e forças internas.
Tomemos como exemplo o caminhão nas condições de carregamento abaixo:
Exemplo 5.1. Aplicação das leis de Newton na estática de corpos rı́gidos.
No problema acima tem um caminhão sendo rebocado por uma corda,
sendo assim podemos destacar as forças atuantes no sistema como sendo:
Destacando o peso próprio por “P“, as reações do solo nas rodas como sendo
“R1“ e “R2“ e a força que reboca o caminhão por “F“.
O Princı́pio da transmissibilidade pode ser usado livremente para o cálculo
de forças externas e determinação da condição de equilı́brio ou movimento
de um corpo rı́gido, entretanto deve ser evitado para o cálculo das forças
internas (Fig. 5.1).
Quando se fala de forças externas não existem problemas quanto ao uso
5.3. MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO
35
Figura 5.1: Princı́pio da Transmissibilidade para Corpos Rı́gidos
Figura 5.2: Restrição do princı́pio transmissibilidade para corpos rı́gidos.
do princı́pio enunciado por Newton, entretanto, analisando a aplicação do
princı́pio da transmissibilidade na Figura (5.2), abaixo.
No sistema descrito na Figura (5.2), em ambas as situações a resultante
externa será sempre nula, ou seja, o deslocamento da força “P1“, não influenciou no sistema de equações externas, entretanto para forças internas os
dois sistemas estudados são completamente diferentes
No primeiro o corpo está tracionado e no segundo o corpo está comprimido. O estudo de forças internas se dará nos próximos capı́tulos.
5.3
Momento de uma Força em Relação a um
Ponto
Definição 8. Momento é a tendência que uma força, atuando sobre um corpo
que tenha a possibilidade de girá-lo em torno de um ponto fixo. O momento
depende somente da intensidade da força e do seu braço de alavanca.
No caso de ponto material, basta garantir que o corpo não translade,
estará garantido que o corpo estará em equilı́brio. No caso de uma barra
36
CAPÍTULO 5. ESTÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
ou uma ponte (corpos extensos) teremos que garantir que o corpo não rotacione também. A grandeza fı́sica que relaciona força e rotação num ponto é
chamada de momento ou torque.
Obtém-se o momento de uma força em relação a um ponto multiplicando-se
a intensidade da força pela distância do ponto à linha de ação da força (Fig.
5.3). O momento depende somente da intensidade da força e do seu braço
Figura 5.3: Momento de uma força em relação a um ponto.
de alavanca (Eq. 5.1).
M =F ·r
(5.1)
Retomando o exemplo 4, anterior: Qual o momento das forças em relação ao
ponto A:
Tem-se que definir a convenção do sinal do momento. Em geral utiliza-se a
regra da mão direita. Como mostrado abaixo, os momento são calculados
multiplicando as forças pelo seu respectivo braço de alavanca até o ponto
escolhido, lembrando que forças verticais o braço de alavanca será horizontal
e forças horizontais terão braço de alavanca vertical.
Mf = F · h
5.4. EXERCÍCIOS DE ESTÁTICA DE CORPO RÍGIDO
37
Mp = P · L
Mr 2 = R2 · x
MR 1 = R1 · 0
Exemplo 5.2. Problema numérico: estática de corpos rı́gidos.
Suponha que o corpo estejam em equilibrio, sob a ação das forças ilustradas
na figura acima: Qual será o valor das resultantes H1, R1 e R2?
Nessa situação pode-se aplicar o princı́pio da estáticas onde diz que para o
corpo em equilı́brio todas as forças que agem nas direções principais, bem
como as rotações devem ser nula, sendo assim tem-se:
Fx = 0
−F + H1 = 0
H1 = 5kN
Fy = 0
R1 + R2 − P = 0
R1 + R2 = 10
M =0
F · 0, 2 − P · 2 + R2 · 3 − H1 · 0, 5 = 0
5 · 0, 2 − 10 · 2 + R2 · 3 − 5 · 0, 5 = 0
R2 = 7, 16kN
R1 + R2 = 10kN
R1 + 7, 16 = 10kN
R1 = 2, 84kN
5.4
Exercı́cios de Estática de Corpo Rı́gido
Problemas retirados do (Beer e Johnston Jr, 1991), com algumas adaptações.
CAPÍTULO 5. ESTÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
38
5.4.1
Fase 1: Aquecimento
1. Calcular o momento no ponto
A.
2. Calcular o momento no ponto
A.
5. A força inclinada atua em um
pórtico, como mostrado na figura
ao lado. Calcular o momento no
ponto A.
3. Dada à viga sujeita a ação de
forças abaixo, pede-se. Calcular o momento no ponto A.
5.4.2
Fase 2: Aprofundamento
1. Dada a figura de uma retro escavadeira abaixo, pede-se calcular o momento das forças atuantes na retro-escavadeira no ponto
A (Figura 5.4).
4. Calcular o momento no ponto
A, do pórtico abaixo.
2. Encontrar o momento no ponto
A da figura abaixo.
5.4. EXERCÍCIOS DE ESTÁTICA DE CORPO RÍGIDO
3. Uma barra homogenia AB de
peso P=10N e comprimento L=50
cm esta apoiada num corpo de
peso Q1=50N. A que distância
x de B deve ser colocada um
corpo de peso Q2=10N para que
a barra fique em equilı́brio na
horizontal? O peso Q1 está distante de O, 5cm.
39
CAPÍTULO 5. ESTÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
40
Figura 5.4: Prob. 1 - Fase Aprofundamento
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. R =
2. MA = 31, 25kNm
3. MA = 9, 75kNm
4. R =
5. R =
6. R =
Respostas, Fase 2: Aprofundamento
1. R =
2. R =
3. R =
Respostas, Fase 3: Desafio
Respostas, Fase 4: Caiu na Prova
Capı́tulo 6
Carregamentos Distribuı́dos
6.1
Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuı́dos
As cargas atuantes nas estruturas são definidas em dois tipos, concentrada,
ou seja, aplicada em um único ponto, esse tipo de carga pode ser uma força
ou uma rotação (carga momento) ou distribuı́da, composta por um número
infinito de forças concentradas ou rotações.
Suponha a viga mostrada na Figura (6.1), onde tem-se uma segunda viga
apoiada na mesma. Ao lado encontra-se o modelo de cálculo desse estrutura,
onde substitui-se o peso da viga apoiada por uma carga concentrada no eixo
de apoio da viga. Lembra-se que nesse modelo não se contabilizou o peso da
viga principal bi-apoiada.
Figura 6.1: Exemplo de um Modelo de Cálculo de uma Carga Concentrada.
41
42
CAPÍTULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS
Suponha agora a estrutura mostrada na Figura (6.2), onde além de uma
viga apoiada, a estrutura serve de suporte para uma parede. Nesse caso, uma
carga apoiada não se adéqua para o modelo de cálculo do sistema, e sim uma
série de cargas representativas.
Figura 6.2: Exemplo de um Modelo de Cálculo de uma Carga Distribuı́da
Sabemos manipular vetores, as operações básicas e decomposição vetorial, a pergunta é: como trabalharemos com um número infinito de vetores,
como mostrado na Figura (6.2)? É muito simples, iremos converter essas
cargas distribuı́das em um único vetor representativo aplicado no centro de
gravidade do carregamento.
Definição 9. Centro de Gravidade: é um ponto em torno do qual o
peso do corpo está igualmente distribuı́do em todas as direções. O centro de
gravidade de um corpo coincide com seu centro de massa quando a aceleração
da gravidade tiver o mesmo valor em toda extensão do corpo. Isso significa
que corpos com dimensão pequena comparada à Terra, como têm o mesmo
valor de aceleração da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seu
centro de gravidade coincide com seu centro de massa.
Definição 10. Centro de Massa: um corpo extenso ou de um sistema de
partı́culas é uma idealização utilizada em Fı́sica para reduzir o problema da
ação de forças externas sobre este corpo ou sistema de partı́culas. A idéia
é tentar reduzi-los a uma partı́cula de massa igual à massa total do corpo
6.1. CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS
43
extenso ou do sistema de partı́culas, posicionada justamente no centro de
massa.
Abaixo encontram-se com os principais centros de gravidades a serem
utilizados no nosso curso.
6.1.1
Retângulo
Um retângulo é um paralelogramo cujos lados formam ângulos retos entre
si e que, por isso, possui dois pares de lados de mesma medida. Para figura
Figura 6.3: Centro de Gravidade de um Retângulo
geométrica retângulo Figura (6.3) o centro de gravidade, onde o corpo se
equilibrará estará nas coordenadas xg e yg :
b
h
xg = , yg =
2
2
6.1.2
(6.1)
Quadrado
Um quadrado é um quadrilátero (polı́gono de 4 lados)com tamanhos iguais.
Para figura geométrica quadrado Figura (6.4) o centro de gravidade, onde o
corpo se equilibrará estará nas coordenadas xg e yg :
xg =
6.1.3
L
L
, yg =
2
2
(6.2)
Triângulo
Um triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado
por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes
44
CAPÍTULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS
Figura 6.4: Centro de Gravidade de um Quadrado
Figura 6.5: Centro de Gravidade de um Triângulo
formando três lados e três ângulos internos que somam 180◦ . Para figura
geométrica triângulo Figura (6.5) o centro de gravidade, onde o corpo se
equilibrará estará nas coordenadas xg e yg :
b
2h
xg = , yg =
3
3
(6.3)
Exemplo 6.1. Problema de Conversão de Carga Distribuı́da em Concentrada.
Como o carregamento é um retângulo de base 5m e altura 15N/m, podemos calcular o centro de gravidade da figura. Nota-se que só precisa calcular
o eixo X.
5
b
xg = = = 2, 5m
2
2
Convertendo em força
6.1. CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS
45
F = 15N/m · 5m = 75N
Exemplo 6.2. Problema de Conversão de Carga Distribuı́da em Concentrada.
No caso abaixo tem-se dois problemas distintos, onde pode-se dividir a
figura em duas, sendo um retângulo e um triângulo, e a partir dai começar a
trabalhar
1o passo: Achar o centro de gravidade para o retângulo de base 9m e altura
10N/m
9
b
xg = = = 4, 5m
2
2
Convertendo em força
v2 = 10N/m · 9m = 90N
2o passo: Achar o centro de gravidade para o triângulo de base 9m e altura 15N/m, (25N/m - 10N/m)
46
CAPÍTULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS
xg =
Convertendo em força
v1 =
1·9
1b
=
= 3, 0m
3
3
15N/m · 9m
= 67, 5N
2
Por fim tem-se os carregamentos distribuı́dos convertidos em cargas pon-
tuais, como mostrado na figura abaixo.
Sempre que houver figuras não conhecidas, as mesmas podem ser subdivididas em figuras conhecidas como, retângulos, triângulos, quadrados etc.
Quando não é possı́vel utilizar essa técnica, a mecânica disponibiliza outros métodos para encontrar o centro de gravidade de figuras complexas, o
que não é o objetivo principal dessa apostila.
6.2
Exercı́cios de Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuı́dos
6.2. EXERCÍCIOS DE CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS47
6.2.1
Fase 2: Aprofundamento
1. Dado o pórtico engastado abaixo,
submetido a carregamentos distribuı́dos como mostrado na figura,
pede-se: mostre que o momento
no ponto A (Engaste) é dado
pela equação (Considerando rotação
horária positiva):
MA =
L2
· [4Q − 3q]
8
Capı́tulo 7
Tipos de Estruturas de Apoio
7.1
Introdução
As estruturas de engenharia podem ser classificadas em relação aos graus
de liberdade em que ela está executada. Quanto mais rı́gida for a estrutura
maior será o impedimento ao movimento. Em engenharia existem seis graus
Figura 7.1: Classificação das estruturas segundo os graus de liberdade.
de liberdade, sendo três translações, nas direções X, Y e Z, e três rotações,
nas direções RX, RY e RZ. A Figura (7.1) mostra os tipos de estruturas
segundo os graus de liberdade impedidos, são elas:
48
7.1. INTRODUÇÃO
49
Definição 11. Hipostática: onde as equações da estática, são superiores
aos números de incógnita do problema, as caracterı́sticas desse tipo de estrutura é a instabilidade constante: ex, balanço, gangorra etc.
Figura 7.2: Exemplo de Estrutura Hipostática.
Definição 12. Isostática: as estruturas isostáticas, o número de equações
é exatamente igual ao número de incógnitas. Esse tipo de estrutura é bastante
utilizado na engenharia, e será bastante utilizada no nosso curso.
Figura 7.3: Exemplo de Estrutura Isostática.
Definição 13. Hiperestática: as estruturas hiperestáticas, o número de
equações é menor que o número de incógnitas, nesse caso não se consegue
resolver o problema apenas com as equações clássicas da estática, necessitando do uso de outras equações.
No curso técnico, não trabalharemos com estruturas hiperestáticas, apenas com estruturas isostáticas.
50
CAPÍTULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
Figura 7.4: Exemplo de Estrutura Hiperestática.
7.2
Reações de Apoio
As reações de apoio, são os graus de liberdade travados do sistema, como
dito anteriormente uma estrutura isostática possuı́, 3 reações de apoio, uma
estrutura hiperestática mais de 3 e uma estrutura hipostática menos de 3.
A Figura (7.5), mostra a simbologia, o tipo e as reações a serem travadas.
Em relação ao tipo, as reações podem ser classificadas como do primeiro,
segundo e terceiro gêneros.
Figura 7.5: Nomenclatura das Estruturas de Apoio.
Exemplo 7.1. Calcular as reações de apoio para estrutura da figura abaixo.
7.2. REAÇÕES DE APOIO
51
Como observado na figura o lado esquerdo possui um apoio do primeiro
gênero enquanto o apoio esquerdo é um apoio do segundo gênero.
Fx = 0
Rxa = 0
Fy = 0
Rya + Ryb − 15 · 5 = 0
Rya + Ryb = 75
Ma = 0
5
= 0
2
Ryb = 37, 5N
−Ryb · 5 + 75 ·
Rya + Ryb = 75
Rya + 37, 5 = 75
Rya = 37, 5N
CAPÍTULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
52
7.3
7.3.1
Exercı́cios de Reações de Apoio
Fase 1: Aquecimento
1. Dada a treliça abaixo, sujeta a duas força concentradas, pede-se para
calcular as reações de apoio.
2. Para a viga bi-apoiada abaixo, encontrar as reações de apoio.
3. Calcular as reações de apoio para estrutura abaixo (Figura 7.6).
4. Calcular as reações de apoio para estrutura abaixo (Figura 7.7).
5. Calcular as reações de apoio do pórtico abaixo (Figura 7.8).
7.3. EXERCÍCIOS DE REAÇÕES DE APOIO
Figura 7.6: Problema 03 - Fase Aquecimento
Figura 7.7: Problema 04 - Fase Aquecimento
Figura 7.8: Problema 05 - Fase Aquecimento
7.3.2
Fase 2: Aprofundamento
Calcular as Reações de Apoio da Viga Abaixo.
53
54
CAPÍTULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
Figura 7.9: Problema 01 - Fase Aprofundamento
Figura 7.10: Problema 02 - Fase Aprofundamento
Figura 7.11: Problema 03 - Fase Aprofundamento
7.3. EXERCÍCIOS DE REAÇÕES DE APOIO
Figura 7.12: Problema 04 - Fase Aprofundamento
Figura 7.13: Problema 05 - Fase Aprofundamento
55
CAPÍTULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
56
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. Va = 78kN,
Vb = 66kN,
Ha = 18kN
Respostas, Fase 2: Aprofundamento
Prob. 1: Va = Vb = 27, 5kN,
Ha = 25, 98kN
Prob. 2: Va = −5kN,
Vb = 95kN,
Ha = 0kN
Prob. 3: Va = 0, 59kN,
Vb = 51, 05kN,
Hb = −14kN
Prob. 4: Va = 57, 4kN,
Vb = 55, 1kN,
Ha = 0kN
Prob. 5: Va = −8, 75kN,
Vb = 8, 75kN,
Ha = 0kN
Respostas, Fase 3: Desafio
Respostas, Fase 4: Caiu na Prova
Capı́tulo 8
Esforços Internos Solicitantes
8.1
Introdução
Dado um corpo rı́gido sujeito a carregamentos combinados, as forças externas são convertidas em ações a exemplos: compressão, tração, cisalhamento,
flexão dentre outras.
Figura 8.1: Exemplo de Estrutura de Corpo Rı́gido Submetido a Carregamentos Combinados
Ao tentar romper uma estrutura, existem forças contrárias, já descritas pela
3a lei de Newton, Para estrutura está em equilı́brio as forças internas também
deverão obrigatoriamente está em equilı́brio.
Os esforços internos encontrados nas estruturas, são caracterizados por ligações
internas de tensões, ao longo de uma seção transversal.
57
58
CAPÍTULO 8. ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
Figura 8.2: Forças Internas no Corpo Rı́gido
8.2
Equações Diferenciais de Equilı́brio*
O primeiro passo do estudo é determinar os esforços internos solicitantes nas
seções (S1 ) e (S2 ), da viga que encontra-se na Figura (8.3).
Figura 8.3: Viga Submetida a Carregamentos Combinaods
Figura 8.4: Viga Seccionada, Explicitando as Força Internas
8.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO*
59
para seção localizada em (S1 ), temos:
3pL
4
3qL
Q =
4
−9qL2
M =
32
N =
para seção localizada em (S2 ), temos:
1pL
2
1qL
Q =
2
−1qL2
M =
8
N =
Conclui-se que, os esforços internos solicitantes variam ao longo do elemento estrutural e que os esforços internos solicitantes são funções de parâmetros
das ações externas e de parâmetros geométricos.
Exemplo 8.1. Expressar matematicamente a lei de variação dos esforços
internos solicitantes ao longo do elemento estrutural, [Problema retirado das
notas de aula do prof. Eduardo Nobre]
Construindo o diagrama de corpo livre de um pequeno segmento de
comprimento Δs, a partir da seção referenciada pela coordenada s, e estabelecendo as equações de equilı́brio, tem-se: Procedendo o somatório das
60
CAPÍTULO 8. ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
equações de equilı́brio da estática temos:
Flongitudinal = 0
(N(s) + ΔN) − N(s) + p(s) · Δs
ΔN(s)
ΔN(s)
Δs
ΔN(s)
lim
Δs→0 Δ(s)
= 0
= −p(s) · Δs
= −p(s)
=
dN(s)
= −p(s)
ds
Utilizando o mesmo raciocı́nio para direção transversal, temos:
Ftransversal = 0
−(Q(s) + ΔQ) + Q(s) − q(s) · Δs
−ΔQ(s)
ΔQ(s)
Δs
ΔQ(s)
lim
Δs→0
Δs
= 0
= q(s) · Δs
= −q(s)
=
dQ(s)
= −q(s)
ds
por fim calculando o momento em (s + Δs), com rotação positiva antihorária, temos:
Ms+Δs = 0
Δs
+ m(s)Δs = 0
2
Δs2
+ m(s)Δs = 0
−Q(s)Δs + ΔM + q(s)
2
−Q(s)Δs − M(s) + (M(s) + ΔM) + q(s)Δs
8.3. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
61
Δs2
− m(s)Δs
2
ΔM(s)
Δs
= Q(s) − q(s)
− m(s)
Δs
2
dM(s)
ΔM(s)
=
= Q(s) − m(s)
lim
Δs→0
Δs
ds
ΔM(s) = Q(s)Δs − q(s)
Desta feita, tem-se as equações diferenciais de equilı́brio:
dN(s)
= −p(s)
ds
dQ(s)
= −q(s)
ds
dM(s)
= Q(s) − m(s)
ds
(8.1)
(8.2)
(8.3)
Das equações acima deduzidas pode-se concluir que as funções que descrevem
os esforços normal e cortante apresentam complexidades com uma ordem
a mais que as funções que descrevem as forças distribuı́das longitudinal e
transversal, respectivamente.
A função que descreve o momento fletor apresenta complexidade com duas
ordens a mais que a função que descreve a força distribuı́da transversal combinada com uma ordem a mais que a função que descreve o momento distribuı́do.
Notar que a equação diferencial de equilı́brio referente ao esforço normal
é totalmente desacoplada das duas outras equações diferenciais.
8.3
Diagrama de Esforços Internos Solicitantes
Sabemos da seção anterior que os esforços internos exitem e que na maioria
das vezes, variam de acordo com a distância onde se calcula. Disnte deste
fato tomemos como exemplo inicial uma viga de carregamento disbuı́do e
analizaremos todos os esforços nela embutida.
Exemplo 8.2. Problema de Análise de Esforços
Primeiramente procede-se um corte da estrutura em uma seção imaginária
s. A distância do apoio do primeiro gêneto para o corte denominaremos de
x.
62
CAPÍTULO 8. ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
As reações de apoio da estrutura deve ser préviamente calculada uma vez
que essas são icógnitas iniciais do problema. Assim tem-se Rax = 0, Ray =
37, 5, Rby = 37, 5 como calculado anteriormente. Se tomarmos como referência a figura 8.3, e analisarmos as forças pertinentes a uma viga com carregamento distribuı́do apenas temos como resultado do euquilı́brio na direção
x:
Fx = 0
Rax + N = 0
N = −Rax
N = 0
Na direção vertical temos:
Fy = 0
Ray − Q − 15 · x = 0
Q = 37, 5 − 15 · x
8.3. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
63
Calculando os momento considerando rotação positiva o sentido horário temos:
Ms = 0
x
−M + Ray · x − 15 · x ·
= 0
2
M = 37, 5x − 7, 5x2
De posse das equaçoes que representam os esforços internos na estrutura
podemos desenhar os respectivos diagramas. Para construção dos diagramas
toma-se cinco pontos distintos na estrutrura, verificando os esforços nas respectivas funções acima encontradas.
Para o esforço normal na viaga temos:
N(x) = 0
sendo assim para qualquer valor de x tomado na função normal o resultado
será nulo. Abaixo tem-se o diagrama de esforço normal.
Figura 8.5: Diagrama de Esforço Normal
Para o esforço cortante temos:
Q(x)
Q(0)
Q(1, 25)
Q(2, 5)
Q(3, 75)
Q(5)
=
=
=
=
=
=
37, 5 − 15 · x
37, 5 − 15 · 0 = 37, 5
37, 5 − 15 · 1, 25 = 18, 7
37, 5 − 15 · 2, 5 = 0
37, 5 − 15 · 3, 75 = −18, 7
37, 5 − 15 · 5 = −37, 5
O resultado do diagrama pode ser observado na figura (8.6). Para o cálculo
do diagrama de momento fletor procede-se de forma semelhante ao anterior.
M(x)
M(0)
M(1, 25)
M(2, 5)
M(3, 75)
M(5)
=
=
=
=
=
=
37, 5 · x − 7, 5 · x2
37, 5 · 0 − 7, 5 · 02 = 0
37, 5 · 1, 25 − 7, 5 · 1, 252 = 32, 5
37, 5 · 2, 5 − 7, 5 · 2, 52 = 46, 9
37, 5 · 3, 75 − 7, 5 · 3, 752 = 32, 5
37, 5 · 5 − 7, 5 · 52 = 0
CAPÍTULO 8. ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
64
Figura 8.6: Diagrama de Esforço Cortante
Figura 8.7: Diagrama de Momento Fletor
Algumas regras deve ser respeitada quando se deseja calcular os esforços
internos de uma estrutura.
Aqui em especial o exemplo nos trouxe uma estrutura contı́nua com apenas
um carregamento distribuı́do, desta feita precisou-se fazer apenas um corte
na estrutura para analisa-la, porém existem casos em são necessários mais
de um corte para poder solucionar o problema, para as exceções destaca-se:
1. Carga Concentradas;
2. Carga Momento;
3. Mudança de geormetria da seção transversal;
8.4
8.4.1
Exercı́cios EIS - Esforços Internos Solicitantes
Fase 1: Aquecimento
1. Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforços internos
soliciatntes.
8.4. EXERCÍCIOS EIS - ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
65
2. Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforços internos
soliciatntes.
8.4.2
Fase 4: Caiu na Prova
1. [2009] Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforços
internos soliciatntes.
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. Prob.01 Diagramas - Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento
Fletor
CAPÍTULO 8. ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
66
2. Prob.02
Diagramas - Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor
8.4. EXERCÍCIOS EIS - ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
67
Capı́tulo 9
Treliças
9.1
Introdução
Treliças, são elementos estruturais contituı́dos por elementos lineares (barras) e nós (articulações), desta feita, as ações atuantes nos elementos consiste
de forças normais (tração ou compressão).
As treliças podem ser divididas em dois grupos distintos:
1. Treliças Planas: Quando todos os elementos estejam em um único
plano;
2. Treliças Espaciais: Quando existem elementos em diversos planos no
espaço.
68
Referências Bibliográficas
[1] Beer, F. P., and Johnston Jr, E. R. (1991). Mecânica Vetorial para
Engenheiros. São Paulo: Makron Books.
[2] Arruda, J. R. (2001). Introdução Histórica à Mecânica dos Sólidos.
Campinas, São Paulo, Brasil.
[3] Hallyday, D. and Resnick, J.W(2009). Fundamentals of Physics, New
York, USA.
69
Capı́tulo 10
Exercı́cios Resolvidos
10.1
Estática de Ponto Material
70
10.1. ESTÁTICA DE PONTO MATERIAL
10.1.1
Fase 1: Aquecimento
1. As forças P e Q agem sobre um
parafuso. Determinar sua resultante e o ângulo de inclinação
da resultante com a horizontal.
Primeiro passo decompor todas
71
Rx = 80, 043
Ry =
Ry
Fy
= Qy + Py
= 42, 4264 + 13, 681
= 56, 1074
R2 = Ry2 + Rx2
R2 = 80, 0432 + 56, 10742
R =
9.554, 9862
R = 97, 7496N
Achando agora o ângulo de inclinação da resultante com a horizontal:
as forças inclinadas nas direções
principais x e y
Qx
Qx
Qx
Qy
Qy
Qy
Px
Px
Px
Py
Py
Py
=
=
=
=
=
=
Q · cos(45o )
60 · cos(45o )
42, 4264
Q · sen(45o )
60 · sen(45o )
42, 426
=
=
=
=
=
=
P · cos(20 )
40 · cos(20o )
37, 587
40 · sen(20o )
40 · sen(20o )
13, 681
Rx =
o
Fx
= Qx + Px
= 42, 4264 + 37, 587
tg(θ) =
tg(θ) =
tg(θ) =
tg −1 =
θ =
Ry
Rx
56, 1074
80, 043
0, 7010
35, 03o
35, 03o
2. Dada a chapa parafusada abaixo,
pede-se, a resultante das forças
que agem na chapa e o ângulo
de inclinação da mesma com a
horizontal.
Aplicando a lei dos cossenos para
achar a resultante das forças entre os dois vetores:
R =
52 + 3, 52 + 2 · 5 · 3 · cos(95o )
25 + 12, 5 − 3, 0505
=
= 5, 848kN
CAPÍTULO 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
72
F3x = 129, 903N
F3y = F3 · sen(30o )
= 150 · sen(30o )
F3y = 75, 0N
3. Quatro forças atuam no parafuso da figura abaixo. Determine a resultante das forças que
agem no parafuso.
F4x =
=
F4x =
F4y =
=
F4y =
Rx =
Rx
Fx
= F3x + F4x − F2x
= 129, 903 + 96, 592 − 27, 361
= 199, 13N
Ry =
Ry
F4 · cos(15o)
100 · cos(15o)
96, 592N
F4 · sen(15o )
100 · sen(15o )
25, 882N
Fy
= F2y + F3y − F4y − F1y
= 75, 175 + 75 − 25, 88 − 110
= 14, 295N
R2 = Ry2 + Rx2
F1y = 110N
F2x =
=
F2x =
F2y =
=
F2y =
F2 · sen(20o )
80 · sen(20o )
27, 361N
F2 · cos(20o )
80 · cos(20o )
75, 175N
F3x = F3 · cos(30o )
= 150 · cos(30o )
R2 = 14, 2952 + 199, 132
R =
38.858, 697
R = 199, 646N
Achando agora o ângulo de inclinação da resultante com a horizontal:
Ry
Rx
14, 295
tg(θ) =
199, 13
tg(θ) = 0, 07018
tg(θ) =
10.1. ESTÁTICA DE PONTO MATERIAL
73
tg −1 = 4, 10o
θ = 4, 10o
4. Dada a estrutura de sustentação
abaixo, sabendo que a tração no
cabo AC é de 370N. Determine
a componente horizontal e vertical da força exercida em C.
7. Dado o parafuso da figura abaixo
submetido a diversas forças, perguntase: Qual a resultante das forças
e o ângulo que a resultante faz
com o eixo Y.
5. Uma estaca é arrancada do solo
com o auxilio de duas cordas,
como mostrado na figura ao lado.
Com θ = 30o e determine o módulo
da força P necessário para que
a resultante na estaca seja vertical.
8. Um homem puxa com a força
de 300N uma corda amarrada
a um edifı́cio, como mostra a
figura. Quais são as componentes
horizontais e verticais e a resultante da força exercida pela corda.
6. Calcule a resultante das forças
mostrado no sistema abaixo.
9. A figura representa uma barra
homogênea de peso igual a 200N,
articulada em P e mantida em
equilı́brio por meio do fio ideal
CAPÍTULO 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
74
10.1.4
Fase 4: Caiu na Prova
1. [2008] As três forças da figura
abaixo agem na cabeça de um
parafuso. Determinar sua resultante e o ângulo de inclinação
da resultante com a horizontal.
Para das duas configurações ao
lado.
AB.O corpo pendurado na extremidade A da barra tem peso
de 100N. Determine a intensidade da força de tensão no fio
AB.
2. [2008] Dado o sistema abaixo sob
ação de duas forças pede-se, encontrar a resultante das forças e
o ângulo de inclinação da mesma
com a horizontal.
10.1.2
Fase 2: Aprofundamento
10.1.3
Fase 3: Desafio
1. Um equilibrista de peso “P“, está
andando sobre uma corda bamba
de comprimento “L“, quando o
equilibrista chega a um terço do
percurso, o mesmo causa um deslocamento vertical na corda “y“.
Qual a tensão na corda nesse
ponto.