3 Energia e Trabalho
As leis de Newton resolvem de forma completa os problemas da mecânica. Porém, é preciso
conhecer em detalhes a natureza das forças que estão atuando sobre um determinado
sistema para poder compreende o estado de movimento de um dado sistema. Contudo,
está não é uma tarefa muito fácil, principalmente, do ponto de vista matemático. O que
será explorado neste capı́tulo é uma maneira alternativa de estudar a dinâmica de um
sistema fı́sico conhecendo-se apenas o seu estado de movimento ou repouso.
3.1
Energia
Energia é um conceito amplo e abstrato e informa diretamente o estado do sistema fı́sico
de interesse. Trata-se de uma grandeza escalar que de certa forma quantifica a condição
de um sistema. A grande motivação para estudar a energia de um determinado sistema é
que se esta grandeza for cuidadosamente determinada, é possı́vel fazer previsões para os
resultados de vários experimentos.
A energia pode se manifestar de diversas formas, por exemplo, a energia térmica de um
sistema de muitas partı́culas, um gás por exemplo, fornece uma medida do grau de agitação
dessas partı́culas. Quando um sistema é posto em movimento, pode ser associado a ele
uma energia de movimento que é conhecida como energia cinética. Um objeto colocado
a uma determinada altitude do solo possui uma energia eminente de movimento que é
conhecida como energia potencial.
Baseado nestes exemplos enunciados acima, é possı́vel compreender porque o conceito
de energia é tão amplo. Neste curso, estaremos interessados, principalmente, na energia
associada ao movimento e ao repouso de sistemas fı́sico, isto é, a energia cinética de
movimento e energia potencial.
A energia cinética que denotaremos por K informa diretamente o estado de movimento
de um sistema, quanto mais rápido estiver se movendo um objeto, maior será a energia
cinética a ele associado. Quando o sistema estiver em repouso, a energia cinética do mesmo
será nula.
Para um sistema de massa m e velocidade v (muito menor que a velocidade da luz), a
energia cinética pode ser calculada pela seguinte expressão:
1
K = mv 2 .
2
(3.1)
Observe, na Equação 3.1, que a energia cinética é proporcional a massa do sistema e
7
proporcional ao quadrado da velocidade com que o sistema está se movendo.
Fazendo análise dimensional da Equação 3.1 pode-se encontrar a unidade da energia cinética que é a mesma unidade para qualquer tipo de energia. Ou seja:
[K] = [m] v 2 .
(3.2)
Por exemplo, no sistema internacional de unidades, tem-se:
m2
[K] = kg • 2 = J (Joule) .
s
3.1.1
(3.3)
Problema resolvido
Dois veı́culos estão separado por uma distância d. Esses veı́culos são colocados em movimento para choque-se um com o outro. Se cada veı́culo tem um peso P e imagine que
a aceleração que eles desenvolvam seja constante a. Qual é a energia cinética do sistema
imediatamente antes da colisão.
Resposta:
Lembrando que a energia cinética é dada por:
1
K = mv 2 ,
2
precisamos encontra a massa m e o quadrado da velocidade v.
Usando a equação de Torricelli, podemos encontrar v 2 , logo
v 2 = v02 + 2a∆S.
Como os veı́culos saem do repouso v0 = 0. Neste caso, como os veı́culos estão viajando em
direção opostas com a mesma aceleração, a distância de deslocamento ∆S = d/2, então:
v2 = 2 • a •
d
=a•d .
2
A massa de cada veı́culo pode ser determinada dividindo-se o peso P pela aceleração da
gravidade g. Portanto,
8
m=
P
.
g
A energia cinética total será exatamente a soma algébrica da energia de cada um dos
veı́culos. Usando os resultado acima podemos calcular:
Ktotal = 2
3.2
1 2
mv
2
=2
1P
P •a•d
•a•d =
.
2g
g
Trabalho
Quando um sistema aumenta sua velocidade devido à aplicação de uma força, este aumenta também sua energia cinética. Da mesma maneira, se a velocidade de um sistema
for reduzida devido a aplicação de uma força, a energia cinética deste sistema diminui.
Analisando essas variações pode-se dizer que a força ou transferiu energia para ou sistema
(primeiro caso) ou recebeu energia do sistema (segundo caso).
Esta transferência de energia por meio de uma força é chamada de trabalho que será
denotado por W . Quando o sistema recebe energia, o trabalho é positivo e quando a
energia é retirada do sistema, o trabalho é negativo. O trabalho é uma grandeza escalar
que tem mesma dimensão de energia, ou seja, a unidade no S.I. é o Joule (J).
Matematicamente, o trabalho pode ser expresso por:
Z
F~ • d~l .
W =
(3.4)
c
É importante destacar na Equação 3.4 que o trabalho será o resultado do produto escalar
entre a força resultante que atua sobre o sistema (F~ ) e o deslocamento deste sistema.
Portanto, caso a força seja aplicada perpendicularmente ao sistema, o trabalho resultante
será nulo.
Para um caso simples de um um objeto se deslocando num movimento retilı́neo sobre
à ação de uma força uniforme F~ , o trabalho pode ser calculado como o produto escalar
desta força pelo vetor deslocamento ∆~x, ou seja:
W = F~ • ∆~x = F ∆x cos θ ,
em que θ é o ângulo entre os vetores F~ e ∆~x.
9
(3.5)
Quando diversas forças atuam sobre sobre um sistema de forma independentes, o trabalho
resultante é a soma dos trabalhos efetuados separadamente, i.e.,
Wtotal = W1 + W2 + W3 + · · · = F~1 • ∆x~1 + F~2 • ∆x~2 + F~3 • ∆x~3 + · · ·
(3.6)
Por outro lado, se várias forças estiverem atuando sobre um mesmo objeto, o deslocamento
do objeto será o mesmo para todas as forças, logo
~
Wtotal
x + F~2 • ∆~x + F~3 • ∆~x + · · · =
3 + · · · = F1 • ∆~
= W1 + W2 + W
= F~3 + F~3 + F~3 + · · · • ∆~x = F~resultante • ∆~x
3.2.1
(3.7)
Problema resolvido
A Figura 3.1 mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de massa 225 kg a partir
do repouso e, assim, produzindo um deslocamento d~ de módulo 8,5 m em direção a um
caminhão. O empurrão F~1 do espião 001 tem um módulo de 12,0 N e faz um ângulo de
30,0o para baixo com a horizontal. O puxão F~2 do espião 002 tem um módulo de 10,0 N
e faz um ângulo de 40,0o para cima com a horizontal. Os módulos e as orientações das
forças não variam quando o cofre se desloca e o atrito entre o cofre e o piso pode ser
desprezado.
Figura 3.1 -
(a) Qual é o trabalho realizado pelas forças F~1 e F~2 sobre o cofre durante o deslocamento
~
d?
10
(b) Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional e pela força normal durante o
deslocamento do cofre?
Questão extraı́da do livro do Halliday vol 1. 8a Ed. pág. 157.
Respostas
(a) O primeiro passo é montar o diagrama de forças que estão atuando sobre o cofre como
é ilustrado na Figura 3.2.
Figura 3.2 -
O trabalho total será igual ao trabalho realizado pelo espião 001 mais o trabalho realizado
pelo espião 002, ou seja,
W = W1 + W2 .
Desta maneira,
W1 = F~1 • d~ = F1 d cos θ1 = 12, 0 N • 8, 50 m • cos 30o = 88, 33 J
e
W2 = F~2 • d~ = F2 d cos θ2 = 10, 0 N • 8, 50m • cos 40o = 65, 11 J .
Portanto, o trabalho total será:
W = W1 + W2 = 88, 33 J + 65, 11 J = 153, 4 J .
11
(b) Olhando para o diagrama de blocos é possı́vel perceber que o ângulo entre o deslocamento e as forças normal e peso é de 90o em cada caso, logo,
W = F~N • d~ = FN • d cos 90o = 0
e
W = F~g • d~ = Fg • d cos 90o = 0 .
Ou seja, nem a força peso e nem a força normal realizaram trabalho sobre o cofre durante
este deslocamento.
3.3
Trabalho e Energia Cinética
Vamos considerar um caso em que uma força constante atue sobre um sistema produzindo
uma variação do seu estado de movimento. Pela segunda lei de Newton, temos que:
F~ = m~a .
(3.8)
~ o trabalho total será:
Se o sistema sofre um deslocamento d,
W = F~ • d~ = m~a • d~ .
(3.9)
Seja o movimento numa direção qualquer, neste caso, vamos adotar a direção x̂. Assim, a
Equação 3.9 fica:
Wtotal = Fx ∆x = max ∆x.
(3.10)
Se a força é constante, a aceleração é constante e podemos relacionar a distância percorrida pelo sistema com as velocidade inicial v0 e final vf pela equação de Torricelli,
matematicamente:
vf2
=
v02
vf2 − v02
+ 2ax ∆x ⇒ ax ∆x =
,
2
desta maneira o trabalho toal fica:
12
(3.11)
Wtotal = m
vf2 − v02
2
1
1
= mvf2 − mv02 .
2
2
(3.12)
Usando a Equação 3.1, a Equação 3.12 fica:
Wtotal = Kf − K0 = ∆K ,
(3.13)
em palavras, o trabalho total de um sistema é igual à variação da energia cinética deste
sistema. Este resultado é conhecido como teorema do trabalho e energia cinética. Embora,
a demostração foi feita para o caso de uma força constante, veremos que este resultado
também é válido quando a força que atua sobre o sistema é variável.
Este teorema é valido para trabalhos tanto positivo quanto negativos. Se o trabalho resultante for positivo, a energia cinética do sistema aumenta por uma quantidade igual
ao trabalho realizado sobre o sistema. Se o trabalho for negativo, a energia cinética do
sistema diminui por uma quantidade igual ao trabalho realizado pelo sistema.
De uma maneira mais geral, o teorema do trabalho e energia cinética é uma forma de
enunciar a conservação de energia do sistema pois, a energia cinética do sistema depois
que o trabalho foi realizado é igual a energia cinética antes do trabalho ser realizado mais
o trabalho que foi realizado.
3.3.1
Problema resolvido
Utilizando os dados do problema anterior, calcule a velocidade final do cofre sabendo que
o mesmo partiu do repouso.
Resposta
Utilizando o teorema do trabalho e energia cinética, podemos escrever:
1
1
Wtotal = Kf − K0 = mvf2 − mv02
2
2
Como a velocidade inicial do cofre é nula, pode-se extrair a velocidade final da seguinte
forma:
r
vf =
2Wtotal
=
m
s
2 • 153, 4 J
= 1, 17 m/s .
225 kg
13
3.4
Trabalho realizado por uma força gravitacional
Considere um objeto movendo-se conforme ilustra a Figura 3.3. A força gravitacional F~g
aponta sempre para baixo como pode ser visto na figura. Sabendo que a força gravitacional
é dada por:
F~g = m~g ,
(3.14)
em que ~g é o vetor aceleração da gravidade, pode-se calcular o trabalho da força gravitacional sobre um sistema qualquer pela seguinte expressão:
Wg = mgd cos θ .
(3.15)
Figura 3.3 - Um objeto de massa m movendo no campo gravitacional ~g
Quando o sistema estiver se movendo verticalmente para cima (sentido oposto ao da força
gravitacional), o trabalho será
Wg = mgd cos 180o = −mgd
(3.16)
e quando o sistema estiver se movendo verticalmente para baixo (no mesma sentido da
força gravitacional), o trabalho será
14
Wg = mgd cos 0 = mgd .
(3.17)
Isto que dizer que quando um sistema move-se na mesma direção que a força gravitacional,
sua energia cinética aumenta e, consequentemente, quando o movimento for antiparalelo à
força gravitacional, ocorrerá uma diminuição da energia cinética que tenderá a se anular.
A energia gasta para elevar e abaixar um sistema pode ser calculada da mesma forma.
Utilizando o teorema do trabalho-energia cinética (Equação 3.13) pode-se escrever que a
variação de energia cinética é dada por
∆K = Kf − K0 = Wa + Wg ,
(3.18)
neste caso, Wa é o trabalho devido à força aplicada para elevar ou abaixar o sistema.
Neste processo, o sistema parte de um estado de repouso para um estado final de repouso,
logo
0 = Wa + Wg ⇒ Wa = −Wg ,
(3.19)
observe que este resultado é também válido para casos em que a energia cinética final e
inicial sejam iguais. Desta forma, o trabalho realizado para elevar ou abaixar um sistema
na vertical pode ser escrito por
Wa = −mgd cos θ ,
(3.20)
que é justamente o simétrico do trabalho realizado pela força gravitacional.
3.4.1
Problema resolvido
Um caixote de queijo de 15 km, inicialmente em repouso, percorre uma distância d=5,70
m, puxado por um cado em uma rampa sem atrito até uma altura h de 2,50 m, parando
em seguida.
(a) Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional F~g sobre o caixote durante a
subida?
(b) Qual o trabalho realizado sobre o caixote pela força exercida pelo cabo durante a
subida?
15
Questão extraı́da do livro do Halliday vol 1. 8a Ed. pág. 160-161.
Respostas
(a) O primeiro passo é desenhar o diagrama de forças para o caixote como pode ser visto
na Figura 3.4.
Figura 3.4 - Na esquerda, o esquema do caixote sobre o plano inclinado e na direita o diagrama de forças
para este sistema.
Sabemos que o trabalho realizado pela força gravitacional pode ser escrito por
Wg = mgd cos φ.
Olhando para a Figura 3.4 podemos perceber que
cos φ = cos
π
π
+ θ = cos cos θ − sin sin θ = − sin θ .
2
2
2
π
Por análise geométrica, pode-se escrever que
sin θ =
h
.
d
Desta maneira, o trabalho realizado pela força gravitacional pode ser escrita por
Wg = −mgd sin θ ,
16
usando o resultado acima, pode-se ainda escrever que:
Wg = −mgh = −(15 kg)(9, 8 m/s)(2, 5 m) = −368 J .
(b) Usando o teorema do trabalho e energia cinética, pode-se escrever que
∆K = WT + Wg + WN .
O trabalho devido à força normal é nulo e a variação de energia cinética também porque
o sistema permanecerá em repouso depois do deslocamento. Assim,
0 = WT + Wg + 0 ⇒ WT = −Wg = 368 J .
3.5
Trabalho realizado por uma força variável
Para simplificar a análise matemática, será considerado inicialmente um caso de um sistema movendo-se em uma direção apenas. O gráfico da Figura 3.5 ilustra o comportamento
da força F (x) em função do deslocamento no eixo x. Note que trata-se de uma força variável.
Figura 3.5 -
Se dividirmos em pequenas fatias a área em baixo da figura, nestes pequenos intervalos, a força não varia muito rapidamente, então podemos escolher uma força média para
representar esta pequena parte do deslocamento. A Figura 3.6 ilustra este processo.
17
Figura 3.6 -
Desta forma, o trabalho ∆Wj associado a uma força Fj,md que atua no sistema quando o
mesmo está se deslocando no intervalo ∆x será
∆W j = Fj,md ∆x .
(3.21)
Agora se quisermos um valor aproximado do trabalho realizado pela força variável F para
mover o sistema de xi até xf somamos as contribuições de todos os incrementos, ou seja,
W = Σ∆Wj = ΣFj,md ∆x .
(3.22)
Agora podemos diminuir a espessura de cada incremente de modo a fazer com que a área
resultante da soma das pequenas áreas de todos os incrementos desenhado entre xi e xf
se aproxime da área real abaixo da curva como pode ser visto na Figura 3.7.
Figura 3.7 -
18
Podemos diminuir ainda mais o incremento ∆x de modo que o mesmo tenda a zero, i.e.,
W = lim ΣFj,md ∆x ,
(3.23)
∆x→0
este é exatamente a definição de integral e o resultado será exatamente a área procurada
abaixo da curva da força F (x) como é ilustrado na Figura 3.8.
Figura 3.8 -
De uma forma mais geral, o trabalho pode ser calculado por:
Z
xf
F (x)dx .
W =
(3.24)
xi
Se conhecermos com precisão a função F (x), podemos então calcular o trabalho realizado
por esta força. Porém, do ponto de vista prático, conhecer com exatidão a forma matemática da força não é trivial. Além disso, dependendo da natureza da força, o cálculo da
integral 3.24 também não é complicado. Quando isto acontece, a melhor alternativa para
resolver os problemas é utilizar métodos numéricos para estimar a trabalho do sistema.
Seja um sistema sujeito à ação de uma força tridimensional F~ = Fx x̂ + Fy ŷ + Fz ẑ. Fazendo
este sistema se mover de um deslocamento incremental de d~r = dxx̂+dy ŷ+dz ẑ. O trabalho
realizado para este sistema sair do ponto ri = (xi , yi , zi ) para o ponto rf = (xf , yf , zf )
pode ser calculado por
Z
rf
W =
ri
F~ • ~r =
Z
xf
Z
yf
Fx dx +
xi
zf
Fy dy +
yi
19
Z
Fz dz .
zi
(3.25)
Caso a força F~ tenha apenas uma componente, a Equação 3.25 resume-se a Equação 3.24.
3.5.1
Problema resolvido
A força F~ = 3x2 x̂ + 4ŷ age sobre uma partı́cula movimentando-a da posição ri = (2, 3)
para a posição rf = (3, 0). Quando trabalho é realizado sobre a partı́cula? O que acontece
com sua energia cinética? (Todas as unidades estão no S.I.)
Respostas
O trabalho pode ser calculado por
Z
rf
F~ • ~r =
W =
ri
xf
Z
yf
Z
Z
Fz dz .
zi
yi
xi
zf
Fy dy +
Fx dx +
Neste caso, F~ tem componentes apenas nas direções x̂ e ŷ, sendo assim, a equação se
reduz a
Z
xf
W =
Z
yf
Fx dx +
xi
Fy dy.
yi
Resolvendo a integral acima tem-se
Z
3
2
Z
3x dx +
W =
2
3
0
3
4dy = x3 2 + [4y]03 = 7 J .
A força transfere 7 J de energia para a partı́cula fazendo com que a energia cinética da
mesma aumente.
3.6
Teorema do trabalho-energia cinética com uma força variável
Seja uma partı́cula movendo-se na direção x̂ sob à ação de uma força variável F (x) qualquer. O trabalho realizado para mover esta partı́cula de uma posição xi até uma posição
xf pode ser expresso por
Z
xf
W =
F (x)dx .
xi
Pela segunda lei de Newton podemos reescrever o seguinte termo por:
20
(3.26)
F (x)dx = madx = m
dv
dx .
dt
(3.27)
Pela regra da cadeia podemos escrever que
dv
dv dx
dv
=
=
v.
dt
dx dt
dx
(3.28)
Substituindo a Equação 3.28 na Equação 3.27, temos
F (x)dx = madx = m
dv
vdx = mvdv .
dx
(3.29)
Substituindo agora a Equação 3.29 na Equação 3.27, temos
Z
W =
1
1
vi vf mvdv = mvf2 − mvi2 ,
2
2
(3.30)
que é justamente a variação da energia cinética, ou seja
W = Kf − Ki = ∆K ,
(3.31)
é o teorema do trabalho-energia cinética deduzindo para uma caso de uma força arbitrária
qualquer e variável atuando sobre o sistema.
3.7
Trabalho realizado por uma força de mola
Um sistema constituı́do por uma massa que sofre à ação de uma força através de uma mola
pode ser utilizado como modelo para vários problemas da fı́sica que envolvem situações de
equilı́brio estável. Portanto, a compreensão deste sistema é muito importante para estudos
de sistemas mais complexos.
Além disso este tipo de sistema envolve uma força que não é constante. A força que atua
sobre este sistema obedece a chamada lei de Hooke. Esta lei diz que a força que atua
sobre o sistema é proporcional ao deslocamento sofrido pela massa que está presa a mola.
Quando mais esticada estiver a mola, maior será a força e quanto mais comprimida estiver
a mola, maior será a força. De uma maneira geral, a lei de Hooke pode ser expressa por:
F~ = −k d~ ,
21
(3.32)
note que a força atua sempre no sentido oposto do deslocamento. A constante k é conhecida
como constante de mola e é uma medida da rigidez da mola.
Para calcular o trabalho realizado por uma força de mola, basta substituir a lei de Hooke
(Equação 3.37) na Equação 3.26, isto nos dá
Z
xf
W =
xi
1
1
−kxdx = kx2i − kx2f .
2
2
(3.33)
Chamando xi = 0 e xf = x, a Equação 3.39 fica simplesmente
1
W = − kx2 .
2
(3.34)
Note que o trabalho realizado pela força de mola pode ser positivo ou negativo dependendo
da posição final da mola.
Para calcularmos o trabalho realizado por uma força aplicada ao sistema, utilizamos o
teorema do trabalho-energia cinética. Se ao aplicar uma forma sobre um sistema de uma
massa presa a uma mola, houver um deslocamento desse sistema e de tal maneira que a
posição inicial seja de repouso e a posição final também seja de repouso, o teorema do
trabalho-energia cinética nos diz que
∆K = kf − Ki = Wa + Ws ,
(3.35)
Wa = −Ws .
(3.36)
logo,
Se um bloco que está preso a uma mola estiver em repouso antes e depois de uma força
ser aplicada deslocando-o, o trabalho realizado pela força aplicada Wa será igual a menos
o trabalho realizado sobre ele pela força de mola Ws .
3.8
Potência
Potência é definida como sendo a taxa de realização de um determinado trabalho. Em
outras palavras, a potência dá informação sobre o tempo gasta para desenvolver um determinado trabalho. A potência P média de um sistema pode ser calculada matematicamente
por:
22
P =
W
.
∆t
(3.37)
A potência instantânea pode ser obtida tomando-se o limite em que ∆t → 0 que pode ser
expresso por:
P =
a unidade de potência no S.I. é
J
s
dW
,
dt
(3.38)
= W (Watt).
A partir da eq3.33 podemos encontrar uma expressão para a potência que é:
P =
3.9
F cos θdx
dx
dW
=
= F cos θ
= F v cos φ = F~ • ~v .
dt
dt
dt
(3.39)
Lista de exercı́cios
A lista de exercı́cios foi retirada do Haliday vol. 8a edição. Os problemas são os seguintes:
Capı́tulo 07: Problemas 3; 5; 12; 13; 14; 15; 19; 20; 21; 22; 29; 33; 36; 37; 42; 47; 48; 49;
55.
23