LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
3 de Dezembro de 2005, às 16:05
Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı́sica Teórica
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Matéria para a PRIMEIRA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’
Conteúdo
23 Carga Elétrica
23.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
2
2
3
23.2.1
23.2.2
23.2.3
23.2.4
Lei de Coulomb . . . . .
A Carga é Quantizada . .
A Carga é Conservada . .
As Constantes da Fı́sica:
Aparte . . . . . . . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
. . .
. . .
. . .
Um
. . .
3
8
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10
jgallas @ if.ufrgs.br
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23 Carga Elétrica
Q 23-3
23.1 Questões
Q 23-1
Uma barra carregada atrai fragmentos de cortiça que, assim que a tocam, são violentamente repelidos. Explique
a causa disto.
Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzimos que eles possuem quantidades de cargas com sinais
diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor
é equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga
que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a
repelir-se por possuirem, então, cargas de mesmo sinal.
Sendo dadas duas esferas de metal montadas em suporte portátil de material isolante, invente um modo de carregá-las com quantidades de cargas iguais e de sinais
opostos. Você pode usar uma barra de vidro ativada com
seda, mas ela não pode tocar as esferas. É necessário
Note que afirmar existir repulsão após os corpos
que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o método tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantidafuncionar?
de de cargas existente inicialmente em cada corpo.
Um método simples é usar indução elétrostática: ao
aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4
feras quando ambas estiverem em contato iremos induzir (i) na esfera mais próxima, uma mesma carga igual As experiências descritas na Secção 23-2 poderiam ser
e oposta à carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada, explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,
uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do plástico e a da pele do animal.
separarmos então as duas esferas, cada uma delas irá fi- Qual é o argumento contra isto?
car com cargas de mesma magnitude porém com sinais
É fácil verificar experimentalmente que os quatro tiopostos. Este processo não depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga não poderiam ser diferentes umas
ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque é possı́vel separar-se os quatro
a superfı́cie de cada esfera após a separação obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que são independe do raio das esferas.
distinguı́veis um do outro, experimentalmente.
Q 23-2
Na questão anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6
esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passandonal. Novamente, é necessário que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quê?
mesmo tamanho para o método a ser usado?
É que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,
O enunciado do problema anterior não permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.
toquemos com o bastão nas esferas. Portanto, repetimos a indução eletrostática descrita no exercı́cio anterior. Porém, mantendo sempre a barra próxima de uma Q 23-9
das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiências em eletrostática não funcionam
a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias úmidos?
tarmos o bastão da esfera e a colocarmos novamente em
Em dias úmidos existe um excesso de vapor de
contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos
permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- água no ar. Conforme será estudado no Capı́tulo 24, a
mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos molécula de água,
, pertence à classe de moléculas
que o sinal das cargas em ambas esferas é o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo
ra que a magnitude das cargas seja também idêntica é elétrico’, isto é, nestas moléculas o centro das cargas
necessário que as esferas tenham o mesmo raio. É que a positivas não coincide com o centro das cargas negadensidade superficial comum às duas esferas quando em tivas. Este desequilı́brio faz com que tais moléculas
contato irá sofrer alterações diferentes em cada esfera, sejam elétricamente ativas, podendo ser atraidas por
após elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superfı́cies carregadas, tanto positiva quanto negativates.
mente. Ao colidirem com superfı́cies carregadas, as
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moléculas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como você poderia testar este fato no
ga na superfı́cie, provocando deste modo efeitos inde- laboratório?
sejáveis para os experimentos de eletrostática. Isto porEstudando de que modo varia a força necessária para
que não se tem mais certeza sobre qual a quantidade de
levar-se
cargas de distintos valores até uma distância ,
carga que realmente se encontra sobre a superfı́cie.
constante, de uma outra carga fixa no espaço.
Q 23-13
Q 23-18
Uma pessoa em pé sobre um banco isolado toca um con) gira ao redor de um núcleo
dutor também isolado, mas carregado. Haverá descarga Um elétron (carga
(carga
)
de
um
átomo de hélio. Qual das
completa do condutor?
partı́culas exerce maior força sobre a outra?
Não. Haverá apenas uma redistribuição da carga entre
o condutor e a pessoa.
Se realmente você não souber a resposta correta, ou
faz e entende o Exercı́cio E 23-2 ou tranca o curso bem
Q 23-14
rápido!
(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um
objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto está Q 23-15 extra A força elétrica que uma carga exerce
carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras carpositivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas?
cluir que o objeto está positivamente carregado?
A força entre duas cargas quaisquer depende única
e
exclusivamente
das grandezas que aparecem na ex(a) Não. Poderı́amos estar lidando com um objeto
pressão
matemática
da lei de Coulomb. Portanto, é fácil
neutro porém metálico, sobre o qual seria possı́vel inconcluir-se
que
a
força
pre-existente entre um par de carduzir uma carga, que passaria então a ser atraido pela
gas
jamais
poderá
depender
da aproximação de uma ou
barra. (b) Sim, pois não se pode induzir carga de mesmais
cargas.
Observe,
entretanto,
que a ‘novidade’ que
mo sinal.
resulta da aproximação de cargas extras é que a força
Q 23-16
resultante sobre cada carga pre-existente poderá alterarTeria feito alguma diferença significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada
Franklin tivesse chamado os elétrons de positivos e os com o princı́pio de superposição.
prótons de negativos?
Não. Tais nomes são apenas uma questão de
convenção.
Na terceira edição do livro, afirmava-se que Franklin, além de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introduzido também as denominações ‘bateria’ e ‘carga’. Na
quarta edição a coisa já mudou de figura... Eu tenho a
impressão que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser anteriores a Franklin mas não consegui localizar referências
adequadas. O quı́mico francês Charles François de Cisternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existência de
dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa
(da resina).
Porém, a quem será que devemos os nomes de cargas
“positivas” e “negativas”? Ofereço uma garrafa de boa
champanha a quem por primeiro me mostrar a solução
deste puzzle!
23.2 Problemas e Exercı́cios
23.2.1 Lei de Coulomb
E 23-1
Qual seria a força eletrostática entre duas cargas de
Coulomb separadas por uma distância de (a)
m e (b)
km se tal configuração pudesse ser estabelecida?
!"$#&%!'% *
+,-" N.
./ !"$#02 %4%-36'158%)% 7 ( ( *9 ,-: N.
(a)
(b)
E 23-2
<;9 =>-9?A@
!
BDCEF-G?H@
Uma carga puntiforme de
C dista
cm
de uma segunda carga puntiforme de
C.
A Lei de Coulomb prevê que a força exercida por uma Calcular o módulo da força eletrostática que atua sobre
carga puntiforme sobre outra é proporcional ao produto cada carga.
Q 23-17
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J ,- ?Hf kg cI !i JKHj 3 N #kFg % h % segue que
NBm JKHj g
3 %h%
W
U
;9D+ ! ?A: Q9 ;,,- -?H " f #X #
U n ! ? %o% C De acordo com a terceira Lei de Newton, a força que
uma carga
exerce sobre outra carga
é igual em
módulo e de sentido contrário à força que a carga
(b) Como temos
exerce sobre a carga . O valor desta força é dado pela
Eq. 23-4. Conforme a convenção do livro, usamos aqui
os módulos das cargas. Portanto
I%
I$
I%
Il
JKM L I N % I 3
O9 ,- " # ;,-89!?A@$,#$)- DC? ,# -G?H@$#
9 N I$
E 23-7
Duas esferas condutoras idênticas e isoladas, e , possuem quantidades iguais de carga e estão separadas por
Qual deve ser a distância entre duas cargas puntiformes uma distância grande comparada com seus diâmetros
Ce
C para que o módulo da força (Fig. 23-13a). A força eletrostática que atua sobre a eseletrostática entre elas seja de
N?
fera devida a esfera é . Suponha agora que uma
terceira esfera idêntica , dotada de um suporte isolante e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera
(Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em
seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de ,
qual é a força
que atua agora sobre a esfera ?
metros
Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e
. Após ser tocada pela esfera , a esfera retém uma
E 23-4
carga igual a
. Após ser tocada pela esfera , a esfera
Na descarga de um relâmpago tı́pico, uma corrente de
irá ficar com uma carga igual a
.
Ampères flui durante
s. Que quantidade
Portanto, teremos em módulo
de carga é transferida pelo relâmpago? [Note: Ampère é
a unidade de corrente no SI; está definida na Secção 282 do livro; mas o capı́tulo 23 fornece meios de resolver
o problema proposto.]
onde é uma constante (que envolve
bem como a
Usamos a Eq. (23-3):
distância fixa entre as esferas e , mas que não vem ao
caso aqui) e
representa o módulo de .
C
E 23-3
I % PQR
Y
I$ST
VJ U R
CG U
W
! " #$OQ,U- ?A@ #X JGU ! ?H@ #
CG
J
Ii
<R
I
;
p
;
ISsI i # i ;I i J
q ctvu IMw u ; J I w ; txI ; v y
JKHj
t
3
.z{tI p
\IP]^_`TO9 C,- [ #Xa,- ?A@ #bc9DC prq
GDCZ![
p
;
Tal carga é grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8
gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro.
Três partı́culas carregadas, localizadas sobre uma linha
reta,
estão separadas pela distância (como mostra a
E 23-5
Fig. 23-14). As cargas
e
são mantidas fixas. A
Duas partı́culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que está livre para mover-se, encontra-se em
distância
m uma da outra, são largadas a equilı́brio (nenhuma força eletrostática lı́quida atua sopartir do repouso. O módulo da aceleração inicial da bre ela). Determine em termos de .
m/s e o da segunda é de
primeira partı́cula é de
Chame de
a força sobre devida a carga . Obm/s . Sabendo-se que a massa da primeira partı́cula vaestá em
le
Kg, quais são: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como
equilı́brio devemos ter
. As forças
e
têm
partı́cula? (b) o módulo da carga comum?
módulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem
(a) Usando a terceira lei de Newton temos
sinais opostos. Abreviando-se
, temos
, de modo que
então
; dP!G?A:
9Q ;e*-9?Af
U I:
9 g h
geSPg % hG% h
Q9 ; ! ?Hf U
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}
J KM L I u r m w
3 h
9 J Q N Substituindo estes valores na equação
, obtemos
. Como as cargas devem ter sinais
opostos, podemos escrever
, que é a resposta
procurada.
P 23-12
Observe que o sinal da carga
permanece totalmente
Duas esferas condutoras idênticas, mantidas fixas,
arbitrário.
atraem-se com uma força eletrostática de módulo igual
a
N quando separadas por uma distância de
P 23-10
cm. As esferas são então ligadas por um fio condutor
Na Fig. 23-15, quais são as componentes horizontal e
fino. Quando o fio é removido, as esferas se repelem
vertical da força eletrostática resultante que atua sobre
N.
com uma força eletrostática de módulo igual a
a carga do vértice esquerdo inferior do quadrado, sendo
Quais eram as cargas iniciais das esferas?
Ce
cm?
Sejam e as cargas originais que desejamos calPrimeiro, escolhemos um sistema de coordenadas
cular, separadas duma distância . Escolhamos um siscom a origem coincidente com a carga no canto esquertema de coordenadas de modo que a força sobre
é
do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de
positiva se ela for repelida por . Neste caso a magnina carga
costume. A força exercida pela carga
tude da força ‘inicial’ sobre é
é
I % J I$
I-
9n-
IB ,-9?Af
9 ;Q
h {CG 

<I
p % J KM L a<I#$a I# )
#
3
h
A força exercida por I sobre I é
pr JKM L )
mI#$ a# I# u  m   w
3 I h
JKML u m  m  w 3 h
Finalmente, a força exercida por SI sobre I
p : JKM L 8
SI#XI# )
 #
3 J h
JKM L I #  #
3 h
I% I
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JKM L I u S m J w
3 h
,-G?Hf u J
O9 ,- " # CB,
- ? m w
 U N y
N
I
I
I%
I$
| .
JKM L I N % I y
3
onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem.
Em outras palavras, o sinal negativo indica que o produto
é negativo, pois a força ,
, é força de atração.
Como as esferas são idênticas, após o fio haver sido conectado ambas terão uma mesma carga sobre elas, de
valor
. Neste caso a força de repulsão ‘final’
é dada por
I % I-
J KML 3 N |
O |b \#
é
|
I % I$!# i + JKM L I % J >N I$-# 3
Das duas expressões acima tiramos a soma e o produto
de e , ou seja
I % I$
# 9n-#
C
! "
;,- ? % C
I % I$
J KML 3 N | Portanto, a magnitude da componente horizontal da
força resultante é dada por
} C9 e
I % >I NG J JKML 3 #8  W J
 C# O 9 !; Q\" #
,- ?H@ C enquanto que a magnitude da componente vertical é da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois números,
conhecemos na verdade os coeficientes da equação do
da por
segundo grau que define estes números, ou seja,
^
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Dito de outra forma, se substituirmos
I$<.
&;,- ? % # i I %
a#
na equação da soma acima temos duas possibilidades:
I % ; ,I -9? % {
,+
%
ou
I % ; ,I -9? % ¡+
%
Considerando-se a Eq. , temos
I % Z,- ?H@ I % ; ! ?
! ?H@ y
O \#
! ?H@ \ \#
% P9y
carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve
ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas
e
não poderiam ficar em equilı́brio, pois as forças
sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a
terceira carga por
, sendo maior que zero. Seja
a distância entre
e
. Para que a carga
esteja
em equilı́brio, o módulo da força que
exerce sobre
deve ser igual ao módulo da força que
exerce
sobre
. Portanto,
<I
JI
S¤
<I S¤
S¤
S¤
ou seja
¤
JKM L I  ¤ J KM L
3
3
O£
H# S¤
< I J
I

J I#8¤
O£
H# J
As soluções da equação do segundo grau são £ e
J
£ i ; , sendo que apenas esta última solução é fisicamente
a
!
#
O
;
!
#
S
,
9
A
?
b
@
c

¢
A
?
@
?
%
I% aceitável.
Para determinar o módulo de ¤ , use a condição de
O sinal fornece-nos
equilı́brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para
que a carga <I esteja em equilı́brio, o módulo da força
I % B,- ?A@ C e I$<.
;,- ?H@ C y
que S¤ exerce sobre <I deve igualar a módulo da força
J
de I sobre <I :
enquanto que o sinal fornece-nos
J
JKM L I ¤ JKM L £ I #)I I % ;,- ?A@ C e I TB,- ?H@ C y
3 J
3
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular I a partir de
i
Dai tiramos que ¤¥
I £ que, para ¦£ i ; ,
I%.
fornece o valor procurado:
Repetindo-se a análise a partir da Eq. \ percebemos
J
que existe outro par de soluções possı́vel, uma vez que
¤
revertendo-se os sinais das cargas, as forças permane IV
de onde tiramos as duas soluções
cem as mesmas:
I % BB,- ?A@
C
e
I$Sc;,- ?H@ C y
ou
I % P;,- ?A@
P 23-15
C
e
I .
BB,- ?H@ C (b) O equilı́brio é instável; esta conclusão pode ser provada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser
verificada acompanhando-se o seguinte raciocı́nio. Um
de sua posição de
pequeno deslocamento da carga
equilı́brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma
força resultante orientada para esquerda ou para a direita.
<I J I
S¤
P 23-16
Duas cargas puntiformes livres
e
estão a uma
distância uma da outra. Uma terceira carga é, então,
colocada de tal modo que todo o sistema fica em
equilı́brio. (a) Determine a posição, o módulo e o sinal
da terceira carga. (b) Mostre que o equilı́brio é instável.
£
(a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas
na Terra e na Lua para neutralizar a atração gravitacional entre elas? É necessário conhecer a distância entre a
Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b)
Quantos quilogramas de hidrogênio seriam necessários
(a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?
com a carga
. Somente quanque une a carga
(a) A igualdade das forças envolvidas fornece a sedo a terceira carga estiver situada nesta posição, será guinte expressão:
possı́vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer
outra situação, as forças serão de atração (caso a terceira carga seja negativa) ou de repulsão (caso a terceira
<I
JI
§0¨Z©}¨Zª
N
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3
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¨Z©
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¨Zª
onde
é a massa da Terra e
a massa da Lua. Portanto, usando-se as constantes fornecidas no Apêndice
C, temos
§
JKML
¨©^¨Zª
P 23-19
cC9 U ,- % : C g
Duas pequenas esferas condutoras de massa
estão
suspensas por um fio de seda de comprimento e possuem a mesma carga , conforme é mostrado na figura
Como foi possı́vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o ângulo é tão pequeno que
equação inicial, vemos claramente não ser necessário
possa ser substituida por sen : (a) mostre que
conhecer-se o valor de .
para esta aproximação no equilı́brio teremos:
(b) Um átomo de hidrogênio contribui com uma carga
positiva de
C. Portanto, o número
de
átomos de hidrogênio necessários para se igualar a carga do item (a) é dado por
onde é a distância entre as esferas. (b) Sendo
cm,
ge
cm, quanto vale ?
C
(a) Chamando de a tensão em cada um dos fios e
I& ¢
3
N
QdP-9? % "
´
´
= u KMI L £ gE¸ w % ¹ : y
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U ,- % :
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C
«¬ Q ! ? % " P
;9DC ! : ¨
I
µ6¶· ´
N
£

gº-
E{CG »
£>.!
I
de o módulo da força eletrostática que atua sobre cada
Portanto, a massa de hidrogênio necessária é simples- uma das bolas temos, para que haja equilı́brio:
mente
, onde
é a massa de um átomo
de hidrogênio (em kilogramas) [veja o valor da unidade
de massa unificada no Apêndice B, pág. 321]
sen
¨
¦«ge®
;9DC,- : #$) U X# ) QQ\CB,- ? f #
CG !¯ Kg P 23-18
ge®
¤
»
´ »º¼X½¾9´ g ¸A
E
Dividindo membro a membro as duas relações anteriores, encontramos:
I ¤.
I
¤
µ6¶· ´ gE¸
Uma carga é dividida em duas partes e
, que
são, a seguir, afastadas por uma certa distância entre si. Como
é um ângulo pequeno, podemos usar a
Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximação
do que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja
máxima?
sen
A magnitude da repulsão entre e
é
Por outro lado, a força eletrostática de repulsão entre as
cargas é dada por
I
´
I ¤{
,I
JKM L O¤{N , I#8I 3
A condição para que seja máxima em relação a I
é que
sejam satisfeitas simultaneamente as equações
°
°I P
y
e
° ° I {± JKM L I 3
Igualando-se as duas expressões para
para , encontramos que

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e resolvendo
£ % ¹ :
E¿u KM L I E
3 g ¸ w
A primeira condição produz
°
°
° I J KM L N ° I}² ¤BIS
,I ³ J¤cKML
ZN I P9y
3
3
i
cuja solução é I&P¤ .
Como a segunda derivada é sempre menor que zero,
i
a solução encontrada, I¬l¤ , produzirá a força
máxima.
Observe que a resposta do problema é IBc¤ i e não
¤cI .
i
´  £ µ6¶· ´ Y
g ¸ 
(b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto,
da expressão acima para , obtemos
IBÀ
W

M
K
L
: 3 
g ¸
£
G J ! ?HÁ
 JJ ,- ?A" C
 nC Página 7 de 11
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P 23-20
No problema anterior, cujas esferas são condutoras (a)
O que acontecerá após uma delas ser descarregada? Explique sua resposta. (b) Calcule a nova separação de
equilı́brio das bolas.
e
£ i sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma força
para baixo de magnitude , a uma distância
a partir do mancal. Pela convenção acima, seu torque
também é positivo. A carga
à direita exerce uma
força para cima de magnitude
,a
uma distância
do mancal. Seu torque é negativo.
Para que não haja rotação, os torque sacima devem
anular-se, ou seja
Ë
¤ Gi Í JKHj
i )
3 Î #XOI¤ Ì #
£ i
(a) Quando uma das bolas for descarregada não poderá mais haver repulsão Coulombiana entre as bolas e,
consequentemente, as bolas cairão sob ação do campo
gravitacional até se tocarem. Ao entrarem em contato, a
carga que estava originalmente numa das bolas irá se
repartir igualmente entre ambas bolas que, então, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos
tarem novamente ambas carregadas, passarão a repelirse até atingir uma nova separação de equilı́brio, digamos
.
(b) A nova separação de equilı́brio pode ser calculada
(b) A força lı́quida na barra anula-se. Denotando-se por
usando-se
:
a magnitude da força para cima exercida pelo mancal,
cm
então
JKH j I Ì ¤ £ ËÏu-
£ w J KH j Ì I¤ £ c9
3
3

E £ uÐ JKH j ËI¤ Ì w 3
I
1q
Aq
IÂqA*I i £ %8¹ :
 q Ãu MK IÂL qÄ# 
3g ¸ w
u J w 8% ¹ :
u J w %8¹ :
;9n<,-
;9n cm Ç - Æ È¯É
Ê
I
£
Å
u KML gE¸ w %¹ :
3
e9 C m
? m
É possı́vel determinar o valor da tensão no fio de seda?
P 23-21
«
Ë¥
JKH j I Ì ¤ J KH j Ì I¤ P9
3
3
Ì
W
JKH j ; Ë I¤ 3
Observe que é essencial usar sempre um valor positivo para o braço de alavanca, para não se inverter o
sentido do torque. Neste problema, o braço de alavanca
, e não
!
positivo é

£ i £ i 
,
A Fig. 23-17 mostra uma longa barra não condutora, de
massa desprezı́vel e comprimento , presa por um pino no seu centro e equilibrada com um peso
a uma
distância de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga é Quantizada
dades esquerda e direita da barra são colocadas pequenas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24
pectivamente. A uma distância diretamente abaixo de
cada uma dessas cargas está fixada uma esfera com uma Qual é a carga total em Coulombs de
carga positiva . (a) Determine a distância quando a
A massa do elétron é
barra está horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de elétrons em
ria ter para que a barra não exercesse nenhuma força
sobre o mancal na situação horizontal e equilibrada?
£
Ë

I I
Ì
¤
«Ñ
Quando a barra não exerçe nenhuma força, temos
. Neste caso, a expressão acima, fornece-nos facilmente que

Ì
U C kg de elétrons?
¨
gÒ9n+-9?A: % U kg de ma C kg é
¨
U
«Ï g  C ! ?A: % P ; ! : %
elétrons
(a) Como a barra esta em equilı́brio, a força lı́quida
sobre ela é zero e o torque em relação a qualquer ponto Portanto, a carga total é
também é zero. Para resolver o problema, vamos escrever a expressão para o torque lı́quido no mancal, igualala a zero e resolver para .
A carga
à esquerda exerce uma força para cima
de magnitude
, localizada a uma
distância
do mancal. Considere seu torque como
¤

£ i
8 i9Í JKHj 3XÎ #$I¤ i Ì #
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ÕI
«ÖcQ \;,- :
Q \;+ ! :-#X8 Q,-G? % "!#
9 ;
D+ !¯
+,- ¯
J eQ=Q . ; dias A carga
correspondente a mol de elétrons nada
mais é do que
, onde
é
O módulo da força eletrostática entre dois ı́ons idênticos o número de Avogadro. Portanto
que estão separados por uma distância de
m vale
N. (a) Qual a carga de cada ı́on? (b)
Quantos elétrons estão “faltando” em cada ı́on (o que dá
ao ı́on sua carga não equilibrada)?
segundos
(a) Da Lei de Coulomb temos:
E 23-26
CG -G? %43
;9 U -G?H"
Õ+Ic«Ö,
Õ+_b « Ö ] I N ¢ J KML 3 #)T{P; +,- ? % " C (b) Cada elétron faltante produz uma carga positiva de P 23-34
C. Usando a Eq. 23-10,
, encontra- Na estrtura cristalina do composto
(cloreto de
mos o seguinte número de elétrons que faltam:
césio), os ı́ons Cs formam os vértices de um cubo e
um ı́on de Cl está no centro do cubo (Fig. 23-18). O
comprimento
das arestas do cubo é de
nm. Em caelétrons
da ı́on Cs falta um elétron (e assim cada um tem uma
carga de
), e o ı́on Cl tem um elétron em excesso
). (a) Qual é o módulo da força
(e assim uma carga
E 23-27
eletrostática lı́quida exercida sobre o ı́on Cl pelos oito
ı́ons Cs nos vértices do cubo? (b) Quando está faltanDuas pequenas gotas esféricas de água possuem cargas do um dos ı́ons Cs , dizemos que o cristal apresenta um
idênticas de
C, e estão separadas, centro defeito; neste caso, qual será a força eletrostática lı́quida
a centro, de
cm. (a) Qual é o módulo da força ele- exercida sobre o ı́on Cl pelos sete ı́ons Cs remanestrostática que atua entre elas? (b) Quantos elétrons em centes?
excesso existem em cada gota, dando a ela a sua carga
(a) A força lı́quida sobre o ı́on Cl é claramente zenão equilibrada?
ro pois as forças individuais atrativas exercidas por cada
(a) Aplicando diretamente a lei de Coulomb encon- um dos ı́ons de Cs cancelam-se aos pares, por estarem
tramos, em magnitude,
dispostas simetricamente (diametralmente opostas) em
relação ao centro do cubo.
QxZ!G? % "
I+.ÔM
Ô
-9? % " Ô¡ ;9D Q+,
,- ? % " P
?
Ú
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9 J ?
Ú
B xZ- ? % @
×BØ!×Ù
Ú
?
Ú
?
Ú
?
Ú
O ! "$#$)&,-9? % @$#
)B,- ? # ,- ? % " N (b)A quantidade
é
«
(b) Em vez de remover um ı́on de césio, podemos pona posição de tal ı́on.
demos superpor uma carga
Isto neutraliza o ı́on local e, para efeitos eletrostáticos,
é equivalente a remover o ı́on original. Deste modo vede elétrons em excesso em cada gota mos que a única força não balanceada passa a ser a força
exercida pela carga adicionada.
Chamando de a aresta do cubo, temos que a diagonal
do cubo é dada por
. Portanto a distância entre os
ı́ons é
e a magnitude da força
«Ï I Q ,!-G ? ? % % @ " cQCG
h
P 23-31
!
Pelo filamento de uma lâmpada de
W, operando em
um circuito de
V, passa uma corrente (suposta constante) de
A. Quanto tempo é necessário para que
mol de elétrons passe pela lâmpada?
9 ;
!
]{ÕI i Õ+_
m ;
i
m
; # h h
JKH j ; i J #
3
h
 ! " # O; 8i J Q#XO9,
J +-G ? !% "- # ?H" #
,- ?H" N De acordo com a Eq. 23-3, a corrente constante que P 23-35 Sabemos que, dentro das limitações impospassa pela lâmpada é
, onde
é a quantida- tas pelas medidas, os módulos da carga negativa do
de de carga que passa através da lâmpada num intervalo elétron e da carga positiva do próton são iguais. Su.
ponha, entretanto, que estes módulos diferissem entre
ÕI
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sı́ por
. Com que força duas pequenas moedas
As reações completas de decaimento beta aqui mende cobre, colocadas a
m uma da outra, se repeliriam? cionados são, na verdade, as seguintes:
O que podemos concluir? (Sugestão: Veja o Exemplo
23-3.)
ÞEß 
Ô  Ú àGy
Ô ßºÞ > ? >à9y
onde à representa uma partı́cula elementar chamada
Como sugerido no problema, supomos que a moeda é
a mesma do exemplo 23-3, que possui uma carga tanto
neutrino. Interessados, podem ler mais sobre Decaipositiva quanto negativa igual dada por
C. Se houvesse uma diferença (desequilı́brio) de cargas, mento Beta na Secção 47-5 do livro texto.
uma das cargas seria maior do que a outra, terı́amos para
E 23-38
tal carga um valor
I/ ; U ,- ¯
I-ÜÀFÝGI&8- ?1[ #$)! ? #X) ; U !¯$#Ð*9n-; U y
onde Ýc9 9ÂÛT{9 = T! ?H@ . Portanto
a magnitude da força entre as moedas seria igual a
JKMI L Ü N 3
!"$#$9n-; U # ) # U ! Á N Como tal força seria facilmente observável, concluimos
que uma eventual diferença entre a magnitude das cargas positiva e negativa na moeda somente poderia ocorrer com um percentual bem menor que
.
Note que sabendo-se o valor da menor força possı́vel de
se medir no laboratório é possivel estabelecer qual o limite percentual máximo de erro que temos hoje em dia
na determinação das cargas. De qualquer modo, tal limite é MUITO pequeno, ou seja, uma eventual assimetria
entre o valor das cargas parece não existir na prática,
pois teria conseqüências observáveis, devido ao grande número de cargas presente nos corpos macroscópicos
(que estão em equilı́brio).
9 Û
23.2.3 A Carga é Conservada
E 23-37
á
Usando o Apêndice D, identifique
reações nucleares:
â\#
oæ-#
oç-#
%ãs%ä ß
% ×Fs% ß
% ¯ «ã % ß
nas seguintes
áÃZÔ`å
áå
[ ¡Ðá¡
Como nenhuma das reações acima inclui decaimento beta, a quantidade de prótons, de neutrons e de
elétrons é conservada. Os números atômicos (prótons
e de elétrons) e as massas molares (prótons + nêutrons)
estão no Apêndice D.
(a) H tem próton, elétron e nêutrons enquanto que
o Be tem prótons, elétrons e
nêutrons.
Portanto
tem
prótons,
elétrons e
nêutrons. Um dos nêutrons é liberado na
reação. Assim sendo, deve ser o boro, B, com massa
molar igual a
g/mol.
(b) C tem prótons, elétrons e
nêutrons
enquanto que o H tem próton, elétron e nêutrons.
Portanto tem
prótons,
elétrons
e
nêutrons e, consequentemente, deve ser o
nitrogênio, N, que tem massa molar
g/mol.
(c) N tem prótons, elétrons e
nêutrons,
o H tem próton, elétron e nêutrons e o He tem
prótons, elétrons e
nêutrons. Portanto
tem
prótons, elétrons e
nêutrons, devendo ser o carbono, C, com massa molar
de
g/mol.
J
%
"
á
C<
S J
J
+ J ãJ C
J
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C
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C J P
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Q P U
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{
+ÀQ
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ÀQ
%
QS>Q&
No decaimento beta uma partı́cula fundamental se transforma em outra partı́cula, emitindo ou um elétron ou
23.2.4 As Constantes da Fı́sica: Um Aparte
um pósitron. (a) Quando um próton sofre decaimento beta transformando-se num nêutron, que partı́cula é
emitida? (b) Quando um nêutron sofre decaimento be- E 23-41
ta transformando-se num próton, qual das partı́culas é
(a) Combine as quantidades , e para formar uma
emitida?
grandeza com dimensão de comprimento. (Sugestão:
(a) Como existe conservação de carga no decaimento, combine o “tempo de Planck” com a velocidade da luz,
a partı́cula emitida precisa ser um pósitron.
conforme Exemplo 23-7.) (b) Calcule este “comprimen(b) Analogamente, a partı́cula emitida é um elétron.
to de Planck” numéricamente.
§
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Ì
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§
Ì
§
ê
(a) Usando-se o Apêndice A, fica fácil ver que as três (a) Combine as grandezas ,
e para formar uma
contantes dadas tem as seguintes dimensões:
grandeza com dimensão de massa. Não inclua nenhum
fator adimensional. (Sugestão: Considere as unidades
kg
e como é mostrado no Exemplo 23-7.) (b) Calcule esta “massa de Planck” numericamente.
A resposta pode ser encontrada fazendo-se uma
[ ]
análise dimensional das constantes dadas e de funções
kg
simples obtidas a partir delas:
Ì
Íë ¬
Î ì Kv§ í îØc«ºg¿Ø
Ø
g g=:
Ø y
g [ê ] §
Ø
Í
ë
Í
Portanto, o produto
Î § Î não contém kg:
Íë Í g ¯ Î Î Ø:
Através de divisão do produto acima por uma potência
Í
apropriada de ê § podemos obter eliminar facilmente ou
Î ou seja,
g ou Ø do produto,
Íë Í
g Ø
Í êÎ § ¯ Î Ø : ¯ g ¯ ¯ PØ y
Î
Íë Í
g Ø!:
Í êÎ : Î § Ø : ¯ g : Fg Î
ë iê:.
Portanto ï Planck /¢
ë (b) O valor numérico pedido é, uma vez que
§
iÌ O K # ,
W
ï Planck Ì K ê : . Q9,- ?A: ¯ m P 23-42
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Ìy
ê
g
W
Planck
W ë§
ê
Q9 Q;K ,- ?AU :[ e;,- Á
Q9 Q ,- ? %%
9 U ! ?AÁ kg Pode-se verificar que esta resposta está correta fazendose agora o ‘inverso’ da análise dimensional que foi usada para estabelece-la, usando-se o conveniente resumo
dado no Apêndice A:
§
Íë Íê
ÍÎ Î Î
îeØ Ü ð
ðÜ 5
( kg
g kg Ø
Ø kg
.î Ø g kg
P

«
g
g Ø kg kg g Portanto, extraindo-se a raiz quadrada deste radicando
vemos que, realmente, a combinação das constantes acima tem dimensão de massa.
Ì
ë
E se usassemos em vez de ?... Em outras palavras,
qual das duas constantes devemos tomar?
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