Formação Geral
Componente Curricular:
MATEMÁTICA E ESPAÇO
2ª Semana
Aulas 5, 6, 7 e 8
Retomaremos nosso tema, realizando em sala de aula a
leitura do texto Trançados Amazônicos. A ideia é que em
grupos de dois ou três componentes, os alunos realizem a
leitura buscando promover um debate inicial em
pequenos grupos para, em seguida, toda a turma debater
acerca do tema tratado, compartilhando impressões sobre
o texto. Sugerimos que durante o debate os alunos
explanem suas reflexões (sugeridas na aula anterior)
sobre práticas cotidianas experimentadas ou observadas
ao longo de sua vida em que conhecimentos matemáticos
se fazem presentes. Boa atividade!
Caminhando um pouco mais...
Que terno ordenado pode representar uma ‘mariposa’ em
que os anéis concêntricos consecutivos não têm a mesma
largura?
Nesta situação, é preciso usar um artifício novo de identificação,
como mostra o exemplo abaixo:
(3,4,3+1+2)
Note que, neste caso, a mudança ocorre no registro da terceira
coordenada, visando evidenciar as diferentes larguras dos anéis
concêntricos consecutivos.
Identifique, então, as ‘mariposas’ abaixo:
Agora, utilizando papel quadriculado, cada aluno deverá
construir as ‘mariposas’ abaixo identificadas:
(1,3,3)
(1,4,3+1+2)
(3,3,2)
(3,4,2+1+2)
CÁLCULO DE ÁREAS
Tendo como objeto de estudo as ‘mariposas’ do povo bora, um
interessante tema que pode ser trabalhado é o cálculo de áreas. Como
exemplo, iremos calcular a área da ‘mariposa’ que construímos em nossa
primeira semana de aula. Para isso, utilizaremos como unidade de
medida o quadradinho de referência do papel quadriculado. Ao
contarmos os quadradinhos que compõem a ‘mariposa’, notamos que sua
área é 41 .
Área = 41
Ainda utilizando o exemplo anterior, note que, o cálculo da
área da ‘mariposa’ pode ser também realizado por meio da
seguinte transformação:
=
+
=
+
Este exemplo visa mostrar que a área de um quadrado dentado é igual
à soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos, sendo a
soma desses números igual ao comprimento de uma diagonal do
referido quadrado dentado.
Isso nos faz perceber que a soma dos n primeiros números ímpares é
igual a n2, isto é, 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = n2. Este é um interessante
resultado matemático. O exemplo que acabamos de desenvolver nos
ajuda a compreender:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
25
41
1 + 3 + 5 + 7 = 42
16
O exemplo anterior nos ajuda a perceber que de modo geral se d é o
número de quadradinhos que forma a diagonal da ‘mariposa’, então a
sua área é:
𝑑−1
𝐴 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎 =
2
2
𝑑−1
+
+ 1
2
2
Continuando os cálculos, obtemos:
𝑑2 + 1
𝐴 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎 =
2
(I)
Mas, como d é igual a metade do número de fitas (nf) utilizado na
construção, podemos encontrar a área da ‘mariposa’ também em
função de nf. Ou seja:
𝑑2 + 1
𝐴 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎 =
=
2
𝑛𝑓
2
2
2
+1
Portanto:
(𝑛𝑓)2 + 4
𝐴 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎 =
8
(II)
Mas já sabemos que nf (a,b,c) = 2a + 4c.(b – 1). Então, fazendo uma
substituição na fórmula anterior, podemos encontrar a área de uma
mariposa (a,b,c) em função somente das coordenadas a, b, c:
(𝑛𝑓)2 + 4
[2𝑎 + 4𝑐 𝑏 − 1 ]2 + 4
𝐴 𝑎, 𝑏, 𝑐 =
=
8
8
Logo,
[𝑎 + 2𝑐 𝑏 − 1 ]2 + 1
𝐴 𝑎, 𝑏, 𝑐 =
2
Encontramos, portanto, três fórmulas (I, II e III) para
calcular a área de ‘mariposas’!
(III)
Tendo como foco o cálculo de áreas, cada aluno deverá retomar as
quatro ‘mariposas’ construídas em papel quadriculado. O desafio
agora é o seguinte: calcule a área de cada ‘mariposa’ utilizando uma
das fórmulas (I, II ou III) por nós encontradas. Além disso, transforme
cada ‘mariposa’ em um somatório de dois quadrados, representando
no papel quadriculado o processo por você realizado.
PADRÕES PLANARES SIMPLES
Como registrar um padrão planar como o da figura abaixo?
Ele será registrado por uma quadra ordenada do tipo (a,b,c,p x q), em
que (a, b, c) é a ‘mariposa’ que se repete no padrão planar, p é a
distância entre duas ‘mariposas’ horizontalmente vizinhas e q é a
distância entre duas ‘mariposas’ verticalmente vizinhas.
(3,3,3,5x1)
Identifique, agora, a mariposa abaixo:
Um problema a mais: quais são os eixos de simetria presentes nas
duas últimas malhas por nós apresentadas?
Quer aprofundar seu conhecimento acerca do tema?
Geometria e cestaria dos Bora na
Amazônia Peruana
Paulus Gerdes
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