UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Mestrado Profissional - PROFMAT/CCT/UFCG
ANÁLISE DA AXIOMATIZAÇÃO DA GEOMETRIA
ESPACIAL NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO
Juanbélia Wanderlei de Azevêdo Ferreira
Trabalho de Conclusão de Curso
Orientador: Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho
Campina Grande - PB
Agosto/2015
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UFCG
F383a
Ferreira, Juanbélia Wanderlei de Azevêdo.
Análise da axiomatização da geometria espacial nos livros
didáticos do ensino médio / Juanbélia Wanderlei de Azevêdo
Ferreira. – Campina Grande, 2015.
86 f. : il. color.
Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) –
Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Ciências e
Tecnologia, 2015.
"Orientação: Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho".
Referências.
1. Geometria. 2. Livro Didático. 3. Método Axiomático.
I. Morais Filho, Daniel Cordeiro de. II. Título.
CDU 514(043)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Mestrado Profissional - PROFMAT/CCT/UFCG
ANÁLISE DA AXIOMATIZAÇÃO DA GEOMETRIA
ESPACIAL NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO
por
Juanbélia Wanderlei de Azevêdo Ferreira †
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Corpo
Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática CCT - UFCG, na modalidade Mestrado Profissional, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre.
† Bolsista
CAPES
ANÁLISE DA AXIOMATIZAÇÃO DA GEOMETRIA
ESPACIAL NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO
por
Juanbélia Wanderlei de Azevêdo Ferreira
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Corpo Docente do Programa de PósGraduação em Matemática - CCT - UFCG, modalidade Mestrado Profissional, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre.
Aprovado por:
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Matemática
Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
Agosto/2015
iv
Dedicatória
Lêdo, Davi e Gabriel, dedico essa
conquista a vocês. Pois, nossa família é a maior de todas as minhas
vitórias.
v
Agradecimentos
Agradeço em primeiro lugar a Deus que iluminou o meu caminho. Sem ele eu não
teria forças para essa longa jornada.
Aos meus pais, Antônio e Maria José, a presença deles sempre significou segurança e
certeza de que não estava sozinha nessa caminhada.
Agradeço ao meu esposo, Lêdo César, sempre me deu força e coragem.
Meus filhos, Davi e Gabriel, muito obrigada pela compreensão nos momentos que me
ausentei fisicamente de vocês.
As minhas fiéis companheiras, minhas irmãs, Adriana Mércia e Regina Lígia, mesmo
distante, sempre acreditaram no meu potencial.
A minha secretária do lar, Lúcia de Fátima, meus sinceros agradecimentos. Sua ajuda
foi indispensável e essencial na realização desse sonho.
A UFCG e a todos os professores do PROFMAT por terem colaborado com meu crescimento profissional.
Agradeço ao professor doutor Daniel Cordeiro, por me orientar com tamanha sabedoria
e dedicação.
A Banca Examinadora formada pelos professores doutores Luciana Roze de Freitas
(UEPB) e Braúlio Maia Júnior (UFCG) pela disponibilidade e por todas as orientações sugeridas.
Ao coordenador professor Aparecido Jesuino pelo zelo e dedicação ao programa.
Aos colegas de turma, Poliana Ribeiro, Wesyllis Salvador, Beethoven Rotterdam e Rivaldo Bezerra, obrigada pelo apoio e companheirismo. Nossa união nos tornou vencedores.
À secretária Andreza, agradeço pelo carinho e atenção que sempre me recebestes.
Agradeço a minha amiga professora Carolina Costa que com tamanha competência fez
toda a revisão textual do nosso trabalho.
Por fim, agradeço à Sociedade Brasileira da Matemática - SBM pelo oferecimento
deste Curso em Rede Nacional e à CAPES pela concessão da bolsa.
vi
Resumo
Este trabalho tem como objetivo principal contribuir com o processo de ensino aprendizagem da Matemática, em especial com o da Geometria Espacial. Faremos a análise de dois
livros didáticos, verificando se a metodologia utilizada na apresentação da Geometria Espacial favorece a motivação e aprendizagem do aluno. Teremos como foco, analisar a forma
como o método axiomático é apresentado nos capítulos que introduzem o estudo da Geometria Espacial e, se estes livros podem ajudar ao professor a desenvolver um raciocínio lógico
dedutivo nos seus alunos. Incluímos, também, um capítulo onde apresentamos os conceitos
básicos do sistema dedutivo para professores que atuam no ensino médio, proporcionandolhes informações que venham complementar seus conhecimentos, enriquecendo suas metodologias no ensino da Geometria. Esperamos que este trabalho tenha utilidade aos que
ensinam e, principalmente, aos que aprendem.
Palavras Chaves: Geometria. Livro Didático. Método Axiomático.
vii
Abstract
This work aims to contribute to the Math teaching-learning process, focusing on Geometry. Two textbooks will be analyzed, verifying if the methodology applied in teaching
Spacial Geometry favors pupil?s learning and motivate them. Our focus is to analyze the
way in which the axiomatic method is introduced in the chapters that present the Spacial
Geometry and how these books can help the teacher to develop a logical-deductive reasoning in their pupils. There is also a chapter in which basic concepts about the deductive
system is presided to the on teachers who teach in High Schools, giving them information
that can complete their knowledge, enriching their methodologies in Geometry teaching. It
is expected that this work has utility to the ones who teach and, mostly, to the ones that learn.
Keywords: Geometry. Textbook. Axiomatic Method.
viii
Lista de Figuras
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Definição de Retas Concorrentes . .
Definição de Retas Perpendiculares .
Axioma P4 . . . . . . . . . . . . .
Axioma P5 . . . . . . . . . . . . .
Axioma P6 . . . . . . . . . . . . .
Axioma P7 . . . . . . . . . . . . .
Axioma P8 . . . . . . . . . . . . .
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18
18
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
Introdução do capítulo . . . . . .
Introdução do capítulo . . . . . .
Noções primitivas . . . . . . . . .
Exemplos de figuras . . . . . . . .
Sistema dedutivo . . . . . . . . .
Postulados . . . . . . . . . . . . .
Teorema 1 . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Resolvidos 1 . . . . . .
Exercícios Propostos 1 . . . . . .
Retas paralelas . . . . . . . . . .
Teorema 2 . . . . . . . . . . . . .
Planos paralelos . . . . . . . . . .
Reta e plano paralelos . . . . . .
Retas reversas . . . . . . . . . . .
Propriedades do paralelismo . . .
Exercícios Resolvido e Propostos .
Perpendicularismo . . . . . . . .
Retas concorrentes . . . . . . . .
Retas Perpendiculares . . . . . . .
Retas Ortogonais . . . . . . . . .
Reta e plano perpendiculares . . .
Planos concorrentes . . . . . . . .
Planos perpendiculares . . . . . .
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ix
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
5.31
Teorema 3 . . . . . . . . . . . . . .
Teorema 4 . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades do perpendicularismo .
Exercícios resolvidos . . . . . . . .
Exercícios propostos . . . . . . . .
Exercícios Complementares . . . .
Resumo do capítulo . . . . . . . . .
Autoavaliação . . . . . . . . . . . .
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6.2
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6.5
6.6
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6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
Apresentação do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apresentação do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometria de posição no plano . . . . . . . . . . . . . .
Posições relativas entre pontos, retas e planos no espaço .
Conceitos primitivos, axiomas e teoremas . . . . . . . .
Posições Relativas de pontos no espaço . . . . . . . . .
Posições Relativas de duas retas no espaço . . . . . . . .
Determinação de um plano . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contra-Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades do paralelismo . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades do paralelismo . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades de perpendicularismo entre reta e plano . .
Propriedades de perpendicularismo entre reta e plano . .
Método dedutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método dedutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Atividades Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Atividades Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sumário
1
Introdução
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
4
2
Fundamentação Teórica I
2.1 O papel do livro didático no processo ensino-aprendizagem . . . . . . . . .
2.2 Princípios Gerais de Avaliação do livro didático . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Princípios da componente curricular Matemática . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
7
3
Fundamentação Teórica II
3.1 Como analisar um livro didático? . . . . . . . . . .
3.1.1 Conceituação . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Manipulação . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Roteiro Geral para uma Análise de livro didático .
3.3 Como será feita nossa Análise de Livros Didáticos
4
5
Método Axiomático para Professor
4.1 Definição Matemática . . . . . .
4.2 Conceitos Primitivos . . . . . .
4.3 Axiomas . . . . . . . . . . . . .
4.4 Teorema . . . . . . . . . . . . .
4.5 Demonstração . . . . . . . . . .
4.6 Método Axiomático . . . . . . .
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Análise do capítulo 5 do Livro 1 - Conexões com a Matemática
5.1 Análise da seção Ideias Gerais apresentada no livro 1 . . . . . . . . . .
5.1.1 Análise da subseção Noções Primitivas apresentada no livro 1 .
5.1.2 Análise da maneira como o livro 1 apresenta o Sistema Dedutivo
5.1.3 Postulados apresentados no livro 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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25
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28
31
31
5.1.4 Análise dos execícios resolvidos e propostos da seção Ideias Gerais
Análise da seção Posições Relativas apresentada no livro 1 . . . . . .
5.2.1 Análise da subseção Paralelismo exposta no livro 1 . . . . . . . . .
5.2.2 Análise das Propriedades do Paralelismo apresentadas no livro 1 .
5.2.3 Análise dos execícios resolvidos e propostos sobre paralelismo . . .
5.2.4 Análise da subseção Perpendicularismo exposta no livro 1 . . . . .
5.2.5 Propriedades do Perpendicularismo apresentadas no livro 1 . . . .
5.2.6 Análise dos execícios resolvidos e propostos sobre perpendicularismo
Análise das seções Projeção Ortogonal e Distâncias e, Ângulos e Diedros
apresentadas no livro 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análise da seção Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . .
Análise da seção Resumo do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análise da seção Autoavaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
36
36
38
40
41
45
47
Análise do capítulo 10 do Livro 2 - Matemática Contextos e Aplicações
6.1 Análise da forma como o capítulo (Geometria Espacial de Posição - Uma
Introdução Intuitiva) é apresentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Análise da seção Introdução do livro 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Análise da forma como o método axiomático é apresentado no livro 2
6.3 Análise da maneira como as posições relativas são apresentadas no livro 2 .
6.3.1 Análise da subseção Posições Relativas de Pontos no Espaço apresentada no livro 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Análise da subseção Posições Relativas de Duas Retas no Espaço
apresentada no livro 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Análise da subseção Determinação de um Plano exposta no livro 2
6.3.4 Análise de um dos Exercícios Propostos no livro 2 . . . . . . . . .
6.3.5 Análise da subseção Paralelismo no espaço apresentada no livro 2 .
6.3.6 Análise da subseção Perpendicularismo no Espaço apresentada no
livro 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Análise da seção O Método Dedutivo: Algumas Demonstrações do livro 2 .
6.5 Análise da seção Atividades Adicionais apresentada no livro 2 . . . . . . .
54
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
6
7
Conclusões
7.1 Considerações feitas sobre os critérios sugeridos pelo PNLD . . . . . . . .
7.2 Considerações feitas sobre as componentes básicas: Conceituação, manipulação e aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Nossas considerações sobre a apresentação do método axiomático . . . . .
Referências Bibliográficas
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2
Capítulo 1
Introdução
O ensino da Geometria nas escolas é algo que vem sendo ponto de preocupação para
o professor. Muitas vezes, é quase que excluída do conteúdo a ser visto e, em outras instâncias ela é ensinada de uma forma muito complicada despertando, assim, o desinteresse
dos alunos, os quais não compreendem a aplicação da Geometria no dia a dia, tampouco sua
natureza lógico dedutiva.
Durante a vida acadêmica do aluno, muitas inquietações surgem, dentre elas, o porquê
de estudar demonstrações em Geometria. Essas dificuldades talvez possam ser explicadas
pelo fato de "demonstrar" estar centrado tanto na forma como é apresentado pelos livros didáticos como também, pela maneira, que as demonstrações são repassadas pelos professores
a seus alunos.
Nessa perspectiva, nesse trabalho, serão analisados dois livros didáticos e, essa análise
será voltada a forma como o método axiomático é apresentado para o aluno do ensino médio.
Em relação a estrutura, nosso trabalho está dividido em sete capítulos, donde este é o
capítulo 1 e, os demais são:
• Capítulo 2 - Tratamos da importância do livro didático no processo ensino-aprendizagem
e, apresentamos alguns critérios que o ensino da Matemática deve atender a fim de capacitar o estudante.
• Capítulo 3 - Apresentamos alguns pontos que devem ser observados durante a análise
de livros didático, sobretudo disponibilizamos um modelo de roteiro que servirá como
guia geral nessas análises e, pode ser utilizado posteriormente pelos interessados.
• Capítulo 4 - Como nosso objetivo principal está voltado ao método axiomático, nesse
capítulo apresentamos toda a estrutura teórica, que um professor de matemática precisa
saber sobre o que vem a ser o sistema dedutivo.
• Capítulo 5 - Analisamos a maneira como o método axiomático é apresentado no livro
1. Chamamos livro 1 ao primeiro livro a ser analisado.
3
• Capítulo 6 - Analisamos a maneira como o método axiomático é apresentado no livro
2. Chamamos livro 2 ao segundo livro a ser analisado.
• Capítulo 7 - Tecemos nossas considerações finais, baseadas nas nossas análises.
• Por fim são apresentadas as referências bibliográficas.
1.1
1.1.1
Objetivos
Objetivo Geral
Nosso trabalho tem como objetivo geral contribuir com processo de ensino-aprendizagem,
fazendo uma análise sobre a maneira como o método axiomático é apresentado nos capítulos
introdutórios à Geometria Espacial nos livros didáticos.
1.1.2
Objetivos Específicos
• Analisar como os autores dos livros didáticos apresentam o método axiomático para o
aluno;
• Enriquecer o leque de conhecimento do professor, contribuindo com a sua prática no
que diz respeito ao método axiomático;
• Despertar no aluno um prazer mais acentuado de aprender, justificando o porquê de
muitos de seus questionamentos;
• Colaborar com o processo ensino-aprendizagem da Matemática, em especial da Geometria Espacial.
4
Capítulo 2
Fundamentação Teórica I
2.1
O papel do livro didático no processo ensino-aprendizagem
Para planejar suas atividades em sala de aula e enriquecer seu conhecimento, o recurso
didático mais utilizado (na maioria das vezes o único) pelo professor é o livro didático. Para
os alunos, é um instrumento importante onde se adquire informações valiosas que auxiliam,
ou não, no interesse pela leitura e no progresso dos seus conhecimentos, contribuindo com a
formação social e cultural dos educandos.
Uma das funções do livro didático é contribuir no processo ensino-aprendizagem, por
isso sua organização é de suma importância tanto para o professor como para o aluno pois,
se a distribuição dos conteúdos, as ilustrações, o colorido, os exercícios, etc, não estiverem
bem organizados, o livro terá uma péssima influência no aprendizado do discente e, no fazer
didático do professor.
Para (Oliveira [9], p.11), o livro didático é. . .
"um material impresso, estruturado, destinado ou adequado a ser
utilizado num processo de aprendizagem e de formação".
(Lajolo [6], p.4) afirma que para um livro ser didático . . .
"precisa ser usado de forma sistemática no ensino-aprendizagem
de um determinado objeto ou conhecimento, já consolidado
como disciplina".
Com efeito, o livro didático é um recurso pedagógico que "dialoga" tanto com o professor quanto com o aluno, por essa razão é um apoio pedagógico indispensável nessa busca
de conhecimentos e deve apresentar algumas atribuições importantes não só em relação ao
aluno, mas também ao professor. Essas atribuições serão citadas a seguir.
5
De acordo com o Plano Nacional de Livros Didáticos (PNLD - 2012 [11], p.13):
Com relação ao aluno, as funções mais importantes do livro didático são:
a) O favorecimento da aquisição de conhecimento socialmente
relevante;
b) O desenvolvimento das competências cognitivas, que contribuem para a autonomia dos alunos;
c) A consolidação, ampliação, aprofundamento e integração dos
conhecimentos adquiridos;
d) O auxílio na avaliação da aprendizagem;
e) A formação social e cultural dos alunos, além de desenvolver
a capacidade de convivência e exercício da cidadania.
Com relação aos professores, as funções mais importantes do livro didático são:
a) O auxílio no preparo e planejamento de suas aulas;
b) O favorecimento da aquisição dos conhecimentos;
c) O favorecimento na formação didático - pedagógica;
d) O auxílio na avaliação da aprendizagem dos alunos.
Podemos perceber que, para essas atribuições serem bem desempenhadas é necessário
que se leve em consideração não só o que traz o livro do aluno, como também todo material
de apoio pedagógico que é fornecido no manual do professor pois, esse material o orientará
na preparação de suas aulas. Sendo assim, indagamos:
De que maneira essas atribuições podem ser inseridas ao estudo da Geometria?
No decorrer do nosso trabalho, analisaremos a forma como o método axiomático é
apresentado aos alunos em dois livros didáticos e, buscaremos fazer uma associação dessas
atribuições nos capítulos analisados.
Mediante o exposto, observamos que a valorização do livro didático é indispensável,
isso não implica que o mesmo seja o único objeto dominante no bom andamento do processo
ensino-aprendizagem. Sobretudo, a atuação do professor é de suma importância, pois conduz
as atividades diárias da sala de aula e, sempre que é necessário, enriquece suas metodologias
profissionais.
6
2.2
Princípios Gerais de Avaliação do livro didático
O PNLD é um programa federal, administrado pelo Fundo Nacional do Desenvolvimento da Educação do Ministério de Educação e Cultura (FNDE/MEC) e, tem como principal objetivo subsidiar o trabalho pedagógico dos professores por meio da distribuição de
coleções de livros didáticos (Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, História, Geografia,
Biologia, Química, Física e dicionários), aos alunos da educação básica e, aos alunos que
são público-alvo da educação especial.
O PNLD surgiu no ano de 1995 com duas atribuições: Melhorar a qualidade da educação e suprir a necessidade de distribuição gratuita de livros escolares. O programa é executado em ciclos trienais alternados. Assim, a cada ano, o FNDE adquire e distribui livros para
todos os alunos de determinada etapa de ensino, repõe e complementa os livros reutilizáveis
para outras etapas.
A Secretaria de Educação Básica (SEB/MEC) e o FNDE/MEC, em convênio com
instituições públicas de ensino superior, executam uma etapa chave de todo PNLD, que é a
avaliação das obras inscritas nesse programa.
Após a avaliação das obras, o MEC publica o Guia de Livros Didáticos com resenhas
das coleções consideradas aprovadas. Esse guia é encaminhado às escolas onde os professores escolhem entre os títulos disponíveis, aqueles que melhor atendem ao projeto político
pedagógico em vigência.
Muitos dos docentes sequer conhecem os critérios usados para avaliar os livros que vão
ser usados e alguns, não sabem nem da existência do guia de livros didáticos. Na maioria das
vezes, somos informados da escolha dos livros no momento em que serão feitas as "análises",
momento esse que as editoras parecem buscar apenas seus benefícios.
Salientando ainda que, no ato da escolha do livro didático, é disposto ao professor
um tempo insuficiente e um ambiente desapropriado para que possa dedicar uma atenção
necessária e criteriosa na escolha do material que será utilizado por um período de três anos.
Enfim, em nossa opinião e experiência pessoal, a escolha dos livros didáticos é feita de
forma incorreta e aleatória, muitas vezes alguns aspectos indispensáveis passam despercebidos e, só serão notados quando se está fazendo uso do livro escolhido.
2.3
Princípios da componente curricular Matemática
A Matemática se faz presente nas mais diversas áreas do conhecimento e das práticas
sociais. Por isso, como professores de Matemática, devemos voltar nossos olhares a um
ensino que propicie condições para que o aluno associe, sempre que possível, os conteúdos
estudados às suas necessidades cotidianas.
Devemos sempre enfatizar que não é por acaso que se estuda matemática nas escolas.
O que se aprende em Matemática deve ser aplicado no dia a dia do aluno, propiciando assim,
7
um progresso no pensamento e uma maturidade em resolver problemas reais.
A Matemática também se relaciona com outras áreas do conhecimento tais como: Química, Física, Biologia, etc. Deste modo, asseguramos que as outras ciências não se desenvolveriam se a matemática não existisse e não fosse estudada pois, é uma das mais significativas
conquistas do conhecimento humano.
Nesse contexto, o (PNLD - 2012 [11], p.16) assegura que o ensino da Matemática deve
capacitar os estudantes para:
1. Planejar ações e projetar soluções para problemas novos, que
exijam iniciativa e criatividade;
2. Compreender e transmitir ideias matemáticas, por escrito ou
oralmente, desenvolvendo a capacidade de argumentação;
3. Interpretar matematicamente situações do dia a dia ou do
mundo tecnológico e científico e saber utilizar a Matemática para resolver situações -problema nesses contextos;
4. Avaliar os resultados obtidos na solução de situaçõesproblema;
5. Fazer estimativas mentais de resultados ou cálculos aproximados;
6. Saber usar os sistemas numéricos, incluindo a aplicação de
técnicas básicas de cálculo, regularidade das operações
etc.;
7. Saber empregar os conceitos e procedimentos algébricos, incluindo o uso do conceito de função e de suas várias representações (gráficos, tabelas, fórmulas etc.) e a utilização
das equações;
8. Reconhecer regularidades e conhecer as propriedades das figuras geométricas planas e sólidas, relacionando-as com
os objetos de uso comum e com as representações gráficas e algébricas dessas figuras, desenvolvendo progressivamente o pensamento geométrico;
9. Compreender os conceitos fundamentais de grandezas e medidas e saber utilizá-los em situações-problema;
8
10. Utilizar os conceitos e procedimentos estatísticos e probabilísticos, valendo-se, entre outros recursos, da combinatória;
11. Estabelecer relações entre os conhecimentos nos campos de
números, funções, equações algébricas, geometria analítica, geometria, estatística e probabilidade, para resolver
problemas, passando de um desses quadros para outro, a
fim de enriquecer a interpretação do problema, encarandoo sob vários pontos de vista.
Sabemos que a matemática é dividida em diversos ramos, tais como: Aritmética, Álgebra, Geometria, Análise, etc. Alguns desses ramos, são voltados a educação básica e
outros ao ensino superior, dessa forma, iremos nos concentrar apenas nos ramos abordados
na educação básica, em especial a Geometria.
Fundamentando-se nos itens 8 e 11 citados acima, podemos destacar a importância do
estudo da Geometria na educação básica. Assim, analisaremos os capítulos introdutórios
ao estudo da Geometria Espacial em dois livros didáticos e levaremos em consideração a
importância dos ítens citados.
9
Capítulo 3
Fundamentação Teórica II
3.1
Como analisar um livro didático?
Segundo a base teórica que adotamos nesse trabalho, o ensino da Matemática deve
adequar-se à três componentes básicas: A conceituação, a manipulação e a aplicação. Na
análise do livro didático, essas componentes devem ser consideradas e bem observadas,
tendo em vista que o professor e o aluno usam o livro para repassar e adquirir os conhecimentos envolvidos no processo ensino-aprendizagem.
3.1.1
Conceituação
Para (Elon [7], p.1), a conceituação . . .
"compreende a formulação de definições, o enunciado de proposições, e o elo de conexões com diversos conteúdos, bem como
a interpretação e a reformulação dos mesmos sob diferentes aspectos".
A formulação correta e objetiva das definições matemáticas permite a simplificação da
linguagem para uma melhor compreensão dos conceitos a serem trabalhados.
(Elon [7], p.2) ainda afirma que, ao examinarmos um livro didático, no quesito conceituação, devemos observar os seguintes aspectos:
1. Erros
(a) De desatenção - São erros de cálculo e de impressão;
(b) De raciocínio - Afirmar que um caso geral é consequência de um caso particular;
(c) De definição - Uma definição pode ser incorreta por vários motivos. Ela pode estar
em flagrante desacordo com a prática universal, pode conduzir a contradicões,
podem ser incompletas, excessivamente abrangentes, etc.
10
(d) Resultados e conceitos mal formulados - Dão lugar a ambiguidade, das quais resultam conclusões absurdas.
2. Excesso de formalismo - Definir objetos desnecessários;
3. Linguagem inadequada - Erros gramaticais;
4. Imprecisão - Definições parciais ou ambíguas ;
5. Obscuridade - Aqui a Conceituação e a didática devem juntar-se para que se dê atenção a
trechos ambíguos, ininteligíveis ou contraditórios;
6. Confusão de conceitos - Principalmente nos argumentos demonstrativos;
7. Objetividade - Não se dá relevância aos pontos triviais;
8. Conexões - Os vários assuntos expostos no livro devem ser relacionados uns com os
outros, sempre que possível.
Em se tratando da Geometria, a conceituação é bem presente no raciocínio dedutivo.
Nesse raciocínio, o aluno compreende o porquê da veracidade(ou não) de algumas afirmações, como também suas negações e(ou) recíprocas e, essa prática baseia-se na conceituação.
No capítulo 4 do nosso trabalho, exploraremos a teoria que envolve o raciocínio dedutivo, bem como, a importância dessa teoria para o professor e a forma como deve ser
apresentado ao aluno.
3.1.2
Manipulação
De acordo com (Elon [7], p.1), a manipulação . . .
"é a habilidade no manuseio de equações, fórmulas, operações e
construções geométricas elementares, o desenvolvimento de atitudes mentais automáticas, verdadeiros reflexos condicionados,
permitem ao usuário da Matemática concentrar sua atenção consciente nos pontos realmente cruciais, sem perder tempo e energia
com detalhes".
A manipulação deve aparecer no decorrer dos textos mas, principalmente, nos exercícios. Com isso, cabe a nós, professores, sabermos selecionar os exercícios e problemas que
melhor envolvam essa manipulação.
11
3.1.3
Aplicação
As aplicações são contextualizações em forma de problemas, onde os alunos utilizam
as informações fornecidas e os conceitos aprendidos para resolvê-los.
Segundo (Elon [7], p.1), a aplicação . . .
"É a principal razão pela qual o ensino da Matemática é tão difundido e tão necessário".
A essência e o porque da Matemática ficam bem esclarecidos nas aplicações, pois
com elas se responde problemas reais que auxiliam a sociedade em sua busca constante por
desenvolvimento e qualidade de vida.
Um exercício rodeado de aplicações, é motivador, estimulante, faz com que o aluno
encontre um sentido, um porque de dedicar seu tempo e sua energia para tentar compreender
e aprender o que lhe está sendo apresentado em sala de aula.
O interesse e o comprometimento da maior parte dos alunos associa-se ao significado
que é dado aos conteúdos ministrados. Para isso, as aplicações são recursos que darão esse
significado.
3.2
Roteiro Geral para uma Análise de livro didático
No roteiro descrito abaixo, são apresentadas sugestões de alguns pontos que devem ser
observados ao se analisar um livro didático. O roteiro foi elaborado por nós e não se constitui
um trabalho finalizado, que não possa ser melhorado ou adaptado.
I) Dados sobre o Livro:
1. Dados sobre o(s) autor(es)
2. Informações da ficha catalográfica
3. Referências Bibliográficas
4. O livro oferece sugestões de leituras complementares
II) Formato e Encadernação:
1. Facilidade de manuseio
2. Durabilidade
3. Formato e tamanho do livro são adequados
4. Qualidade da capa e do papel
III) Aspectos Visuais:
12
1. Qualidade da impressão
2. Tamanho da letra
3. Espaço entre letras e linhas
4. Maneira em que estão dispostos os textos longos com uso de descanso visual
5. Qualidade das ilustrações
6. Qualidade dos desenhos
7. As ilustrações de caráter científico respeitam a proporção dos objetivos
8. Os gráficos e tabelas têm títulos e indicam fontes e datas de onde provêm
IV) Conteúdo:
1. Distribuição dos conteúdos
2. Objetividade
3. Conceitualização dos objetivos
4. Clareza das definições
5. Distinção entre definições e teoremas
6. Obscuridade em alguma parte do texto
7. Confusão de Conceitos
8. Verificar se há afirmações sem justificativas convincentes e se isso atrapalha o entendimento do texto
9. Apontar, caso haja, erros provenientes de:
a. Desatenção
b. Raciocínio
c. Definição
d. Resultantes de conceitos mal formulados ou vagos
e. Ortografia
V) Relação a outros temas:
1. Interdisciplinaridade
2. Contextualização. Se essas são reais ou artificiais? Se tem ligação com a realidade?
3. Temas transversais
4. Atualidade
5. Uso da história da Matemática como elemento que auxilie na didática e não apenas
mera descrição de fatos históricos
13
6. Conexões com o cotidiano do aluno
7. Aplicações interessantes e em números suficientes
VI) Manipulação:
1. Qualidade dos exercícios
2. Os exercícios ajudam na fixação da teoria
3. Os Exercícios despertam para pontos interessantes
4. Há exercícios que despertam a criatividade? São estimulantes
5. Há exercícios apenas manipulantes, repetitivos
6. Os exercícios mais interessantes estão separados dos demais
VII) Aspectos pedagógicos - metodológicos:
1. Linguagem adequada que facilita a comunicação com os alunos
2. Se há e, onde há excesso de formalismo
3. Há estimulo exagerado para o uso de fórmulas ou regras
4. Há imprecisões
VIII) Análise do livro do professor:
1. Presta-se como guia para o uso do livro
2. Está escrito de modo claro
3. Apenas fornece as respostas dos exercícios
4. Apresentam pontos que possam auxiliar o professor em suas aulas
Nos capítulos dos livros, que iremos analisar posteriormente, não nos deteremos na íntegra, ao roteiro apresentado acima. Porém, focaremo-nos em alguns desses tópicos associadoos ao foco principal da nosso trabalho, isto é, analisar como o método axiomático é apresentado ao aluno nos livros didáticos.
14
3.3
Como será feita nossa Análise de Livros Didáticos
A Matemática é uma das componentes curriculares que não apresenta uma boa aceitação por parte dos alunos. Como a Geometria, particularmente, é um ramo da Matemática,
essa insatisfação também é perceptível e preocupante. Assim, nos perguntamos:
O que causa essa rejeição?
São vários os motivos que podem justificar essa dificuldade dos alunos com a geometria e, essa insatisfação parece está centrada, principalmente, na metodologia utilizada pelo
professor ao repassar os conteúdos, do que nas próprias teorias envolvidas.
Em nosso ponto de vista, entre as possíveis causas de alguns problemas ligado ao
ensino da Geometria estão:
1. O tratamento da Geometria como assunto isolado, isto é, não é interligada com os
demais conteúdos;
2. Geralmente a Geometria é trabalhada no final do ano letivo. Com isso, é vista de forma
rápida, sem ser dado sua real ênfase e importância;
3. Os conteúdos são repassados apenas de forma mecânica e, esse mecanismo também é
observado na resolução dos exercícios;
4. A falta de preparo por parte dos docentes;
5. A falta de uma abordagem lógico dedutiva satisfatória do assunto.
Os livros apresentam um leque de conteúdos e, na maioria das vezes os professores
apenas o reproduzem, o aluno apenas tem que aprender e também reproduzir o que é feito
pelo professor, tornando um processo de aprendizagem mecânico. Nesse percurso, muitas
vezes, se perdem definições que deveriam ser citadas em conceitos e demonstrações e, alguns
resultados são apresentados sem suas respectivas demonstrações.
Nos capítulos 5 e 6 do nosso trabalho, serão analisados os capítulos que introduzem a
Geometria Espacial em dois livros didáticos do ensino médio, são eles:
Livro 1 - Conexões com a Matemática[1].
Livro 2 - Contextos e Aplicações[3].
Nossa análise será norteada, observando-se os seguintes aspectos:
a) Em relação aos conteúdos, focaremo-nos aos capítulos que introduzem a Geometria
Espacial, em especial a forma como o método axiomático é apresentado para o aluno.
b) Se os itens 8 e 11, atribuídos pelo (PNLD - 2012 [11], p.16) e citados no capítulo 2 do
nosso trabalho, são bem aplicados no desenvolvimento dos conteúdos;
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c) Se a forma como o conteúdo é repassada é adequada às três componentes básicas
no ensino da Matemática, vistas na seção 3.1 do nosso trabalho: A conceituação, a
manipulação e a aplicação;
d) O roteiro sugerido na seção 3.2 do nosso trabalho. Porém, serão considerados apenas
alguns aspectos;
No capítulo seguinte, faremos uma apresentação formal de tudo que, nós professores,
precisamos conhecer sobre método axiomático como também, a necessidade (ou não) desse
formalismo ser repassado para o aluno.
16
Capítulo 4
Método Axiomático para Professor
Para que a Matemática seja melhor aceita e compreendida é necessário que o pensamento seja bem formulado e apresentado. Para isso, é necessário que o professor tenha
conhecimento dos conceitos matemáticos envolvidos na transmissão de determinados conteúdos.
No campo da Geometria, particularmente, o processo de aprendizagem é desafiador.
A formação geométrica do professor, pode deixar a desejar, pode ser que durante a
graduação se teve pouca preparação para atuar nessa área de conhecimento. Isso, faz com
que o professor crie uma expectativa negativa da Geometria e, a tenha sempre como um
desafio constante.
Considerando a importância do professor estudar a Geometria de uma forma que sinta
segurança no seu fazer didático, abordaremos alguns conhecimentos que o auxiliará na transmissão de conteúdos geométricos. Até certo ponto, esses conhecimentos podem não ser repassados de maneira formal aos alunos, mas, o professor deve está inteirado e familiarizado
com esse formalismo e esses conhecimentos.
Nesta perspectiva, propomos um estudo da Geometria sob o ponto de vista do método
axiomático, proporcionando ao professor uma reflexão sobre sua prática pedagógica acerca
do papel da geometria no ensino médio.
O que é um método axiomático? Para que serve? Quais os seus objetivos? Como o
método axiomático aparece nos livros didáticos?
Antes de responder a essas questões, abordaremos alguns termos utilizados nessa
teoria. Nossa abordagem será propositadamente informal e rápida, tal como propomos ser
apresentada aos alunos.
4.1
Definição Matemática
Definir em Matemática significa nomear. É atribuir a um objeto uma convenção baseada nas propriedades designadas ao mesmo.
17
Nas definições, pode-se observar que o nome do objeto definido, está diretamente ligado às propriedades que o caracteriza. Em contrapartida, essas propriedades são atribuídas
apenas a esse objeto; garantindo assim a sua unicidade.
De acordo com (Daniel Cordeiro [5], p.144) definir. . .
". . . é dar nomes a objetos matemáticos, mediante determinadas
propriedades interessantes que possuam e que os caracterizem."
Exemplo 1 : Duas retas r e s são concorrentes quando possuem um único ponto P em
comum.
Figura 4.1: Definição de Retas Concorrentes
Exemplo 2 : Duas retas r e s são perpendiculares quando são concorrentes e determinam
quatro ângulos retos.
Figura 4.2: Definição de Retas Perpendiculares
É importante um professor saber que ao considerarmos uma definição, sua recíproca
também é verdadeira.
Dessa forma, podemos assegurar:
No exemplo 1, se duas retas possuem um único ponto em comum, elas são concorrentes.
No exemplo 2, se duas retas são concorrentes e determinam quatro ângulos retos, essas
retas são perpendiculares.
4.2
Conceitos Primitivos
No exemplo 2, citado na seção anterior, definimos retas perpendiculares. Note que, na
definição usamos mais quatro novos conceitos: retas, retas concorrentes, ângulos e ângulos
retos.
18
Para definirmos um objeto, tivemos que recorrer a outras palavras e definições que
também foram nomeadas usando outras palavras e definições também já existentes.
Assim, podemos questionar:
Em Geometria, quais foram os primeiros conceitos criados, dos quais, a partir deles,
podemos definir outros objetos?
Para responder esses questionamentos, partimos de algumas noções que chamamos de
conceitos primitivos.
Conceitos Primitivos: São conceitos considerados primeiros. São assumidos como
verdades, imediatamente compreensíveis e, por essa razão não são definidos. São suficientes
para que se possa definir a partir deles, todos os conceitos derivados.
Na Geometria espacial, por exemplo, são considerados conceitos primitivos: Ponto,
reta, e plano que são objetos que possuem representações visuais, porém são abstratos. Uma
representação (não uma definição) desses conceitos primitivos podem ser obtidos como segue:
Ponto: Ao tocarmos o lápis no papel, num simples contato, encontramos um ponto.
Utilizamos letras maiúscula do nosso alfabeto para identificá-lo.
Reta: O encontro de duas paredes nos fornece a ideia de reta. A reta é ilimitada e, para
identificá-la utilizamos letras minúscula do nosso alfabeto.
Plano: Um chão de uma sala pode ser associado a um plano. Assim como a reta, o
plano é ilimitado e, para indicar planos utilizamos letras minúsculas do alfabeto grego.
4.3
Axiomas
Os axiomas, ou postulados, assim também conhecidos, são afirmações matemáticas
sobre os conceitos primitivos, suas propriedades ou características. São evidentemente aceitas e não precisam ser demonstradas. Têm a "cara" de um teorema mas, não são teoremas.
Na Geometria plana, os axiomas podem ser exemplificados, citando os postulados de
Euclides, onde são considerados os conceitos primitivos: ponto e reta.
Exemplo 3 :
A1: Pode-se traçar uma única reta passando por quaisquer dois pontos distintos.
A2: Pode-se prolongar um segmento de reta continuamente em uma reta.
A3: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.
A4: Todos os ângulos retos são iguais.
A5: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a reta
dada.
Os axiomas apresentados a seguir, foram extraídos do livro didático (Conexões com
a Matemática), Juliane [1], o qual iremos analisar posteriormente a forma como a autora
apresenta, utiliza e aplica esses axiomas.
19
Os exemplos fazem referência a Geometria espacial onde são considerados como conceitos primitivos: ponto, reta e o plano.
Exemplo 4 :
P1: O espaço tem infinitos pontos.
P2: Toda reta e todo plano são conjuntos de infinitos pontos.
P3: Fora de uma reta, bem como fora de um plano, há infinitos pontos.
P4: Dois pontos distintos A e B determinam uma única reta.
Figura 4.3: Axioma P4
P5: Por um ponto P fora de uma reta r, passa somente uma reta s paralela a r.
Figura 4.4: Axioma P5
P6: Três pontos não colineares determinam um único plano.
Figura 4.5: Axioma P6
P7: Se dois pontos distintos estão em um plano, a reta que passa por eles está contida
nesse plano.
20
Figura 4.6: Axioma P7
P8: Se dois planos distintos, α e β , interceptam-se, a intersecção é uma reta.
Figura 4.7: Axioma P8
4.4
Teorema
Teorema é uma afirmação Matemática que precisa ser demonstrada. Para demonstrar
um teorema, utilizamos outras afirmações previamente aceitas, que são os axiomas; ou outros
teoremas anteriormente demonstrados em um processo lógico dedutivo.
Vale salientar, que no ensino básico, fundamental e médio, existem teoremas que suas
demonstrações não devem ser repassadas para o aluno, pelo simples fato de envolver argumentos e técnicas muito elaboradas e fora do seu entendimento.
Por outro lado, existem fatos matemáticos que podem e devem ser facilmente demonstrados. A exemplo, podemos citar o Teorema de Pitágoras visto no 9o ano do ensino fundamental II.
Atualmente, a palavra teorema geralmente é utilizada para resultados de grande importância Matemática. Geralmente, os livros didáticos utilizam o termo, proposição, para
identificar um teorema de pouca importância.
Segundo (Daniel Cordeiro [5], p.137), proposição. . .
". . . é um teorema que não é central no contexto e tem importância limitada"."
21
Exemplo 5 :
Teorema 4.1 : Duas retas paralelas distintas, determinam um único plano.
Proposição 4.2 : Duas retas distintas ou não se intersectam ou se interceptam em um único
ponto.
4.5
Demonstração
Demonstração é uma sequência de argumentações lógicas, onde se usam definições
aceitas, conceitos primitivos, axiomas e(ou) resultados previamente provados para provar a
validez de um teorema.
De acordo com os (PCNEM [10], p.124). . .
. . . "a Geometria é uma excelente oportunidade para a construção
de argumentos e resolução de problemas que incentivam o aluno
a conhecer como são validadas as afirmações em Matemática,
usando de demonstrações a partir dos axiomas".
Para demonstrar um teorema é necessário observar sua(s) hipótese(s) e sua tese.
• Hipótese(s) - São afirmação(ões) considerada(s) verdadeira(s), que aparecem no enunciado do teorema e, são indispensáveis na sua demonstração.
• Tese - Também aparece no enunciado do teorema e, é o que se pretende concluir na
demonstração.
Podemos enunciar os teoremas do seguinte modo:
Se H, então T
Onde, H é a hipótese e T a tese.
Assim, demonstrar um teorema é provar a veracidade desta implicação, é convencer o
leitor que ao assumirmos a(s) hipótese(s) conseguimos concluir a tese do teorema.
A nós professores, é primordial percebermos que o aluno deve conhecer os objetos
envolvidos na afirmação do teorema a ser demonstrado, identificando sua(s) hipótese(s) e
sua tese.
De acordo com os (PCNEM [10], p.125). . .
". . . ao final do ensino médio o aluno deve compreender que a
matemática é uma ciência com características próprias, que se
organiza via teoremas e demonstrações."
22
Podemos demonstrar um teorema de diferentes maneiras, utilizando técnicas de demonstrações distintas. Para conhecermos e(ou) aprofundarmos nossos conhecimentos, sugerimos a leitura do livro "Um convite a Matemática", Daniel Cordeiro [5].
Observemos no teorema 4.1 e na proposição 4.2 quais são suas hipóteses e suas teses
e, posteriormente suas demonstrações.
No Teorema 4.1, temos:
• Hipótese(s) - Duas retas são paralelas e distintas.
• Tese - Essas retas determinam um único plano.
Demonstração do Teorema 4.1
Consideremos, por hipótese, as retas r e s paralelas e não coincidentes.
Sabemos, por definição, que duas retas são paralelas e não coincidentes se estiverem
num mesmo plano e, não possuírem nenhum ponto em comum. Logo, existe pelo menos um
plano β que contém as retas r e s. Mostraremos a unicidade do plano β .
Pelo axioma P2, consideremos os pontos P, Q e R, distintos, tais que P ∈ r, Q ∈ r e
C ∈ s.
Note que, os pontos P, Q e R são não colineares e, pelo postulado 6, determinam um
único plano. Logo, o plano β é o único plano determinado pelas retas paralelas r e s. Na Proposição 4.2, temos:
• Hipótese(s) - Duas retas são distintas.
• Tese - Essas retas não se intersectam ou se intersectam em um único ponto.
Demonstração da Proposição 4.2
Sejam r e s duas retas distintas. Se essas retas não se intersectam, a demonstração
acaba.
Suponha que elas se intersectam em dois pontos distintos. Pelo axioma P4 existe
apenas uma reta contendo esses pontos, logo seriam coincidentes, o que é uma contradição
pois, consideramos as retas r e s distintas. Portanto, a interseção dessas retas ou é vazia ou
só contém um ponto. Nas demonstrações acima, é fácil ver, que foram utilizados alguns conceitos primitivos,
ponto, reta e plano, os axiomas P2, P3, P4, P6 e P7 para desenvolver um raciocínio lógico
dedutivo onde partimos da hipótese e chegamos na tese, demonstrando, assim, os teoremas.
23
4.6
Método Axiomático
Método Axiomático é um conjunto finito de definições, conceitos primitivos e axiomas
utilizados para definir objetos e demonstrar teoremas.
Inicialmente, para organizar esse conjunto de verdades, é necessário que se tenha alguns conceitos básicos, chamados Conceitos primitivos e algumas definições. Esses conceitos são articulados por meio de afirmações, chamadas axiomas. Por fim, os teoremas,
são afirmações sobre propriedades ou características de objetos do modelo axiomático e
demonstrados utilizando as definições, os conceitos primitivos, os axiomas ou até mesmo
outros teoremas já demonstrados. Por isso, podemos dizer que o método axiomático possui
característica demonstrativa.
O método axiomático tem como objetivos:
* Listar os conceitos primitivos;
* Enunciar os axiomas necessários;
* Demonstrar afirmações e resultados.
Alguns livros didáticos utilizam o termo, sistema dedutivo, quando se refere a método
axiomático porém, ambos possuem o mesmo significado. A exemplo, o livro que analisaremos posteriormente, Conexões com a Matemática [1], usa essa denominação.
Segundo (Braz [2], p.23) um modelo axiomático também deve satisfazer as três condições seguintes:
1. Completude: tudo que será usado na teoria está apropriadamente contido nos axiomas,
de maneira que não hajam hipóteses implícitas;
2. Consistência: é impossível deduzir dois teoremas contraditórios dos axiomas;
3. Independência: nenhum axioma é consequência de alguma combinação dos demais.
Utilizando o método axiomático, o estudo da Geometria é um exercício que gratifica
àqueles que sentem prazer em explorar raciocínios abstratos. Subentende-se que o professor
de Matemática goze desse prazer e o possa repassar a seus alunos.
As informações aqui fornecidas são destinadas aos professores de Matemática, por ser
um contexto indispensável ao nosso leque de conhecimentos. Mas, é notório que o formalismo dessa prática não deve ser repassada para o aluno pois, em alguns casos, o mesmo
pode não está apto para perceber as sutilezas do método axiomático na Geometria, o que não
significa que deve ser abolido do ensino da Geometria.
Com isso, não podemos deixar de enfatizar que nós professores, devemos colaborar na
formação de uma base sólida que possa servir de estímulo para que os alunos desenvolvam
uma percepção do processo lógico - dedutivo. Para isso, devemos dispor de uma bagagem
de conteúdo superior a do aluno e, tenhamos o conhecimento de toda teoria envolvida no
estudo do método axiomático.
24
Capítulo 5
Análise do capítulo 5 do Livro 1 Conexões com a Matemática
A primeira obra que iremos analisar é intitulada, Conexões com a Matemática [1], 1a
edição, São Paulo, 2010. É uma obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela
Editora Moderna, sob a responsabilidade de Juliane Matsubara Barroso. A coleção possui
três volumes destinados aos 1o , 2o e 3o anos do ensino médio e, nosso objeto de estudo será
o volume 2, pois, nossa análise será voltada ao capítulo que introduz a Geometria Espacial,
especialmente, a forma como o método axiomático é apresentado ao aluno.
Essa coleção foi aprovada em 2011 pelo ministério da educação e, sua resenha encontrase no guia de livros didáticos de matemática, PNLD 2012, do ensino médio.
Em uma visão geral, o guia (PNLD [11], p.53) afirma que . . .
". . . Na abertura das unidades, encontram-se questões que buscam valorizar os conhecimentos prévios ou extraescolares dos
alunos.
Em seguida, são apresentados textos e imagens que relacionam,
adequadamente, a Matemática a outras áreas do conhecimento ou
a situações do dia a dia. Em geral, a explanação dos conteúdos é
feita de maneira satisfatória. Além disso, várias atividades propiciam reflexões e aprofundamento dos conceitos. No entanto, a
partir do capítulo 3, do volume 2, passa-se a enfatizar o emprego
de fórmulas e procedimentos.
Entre as diversas seções incluídas na obra, destaca-se a chamada
Autoavaliação, com indicações úteis para o aluno localizar no
livro e revisar conteúdos já estudados."
O livro é composto por 740 páginas, sendo 440 destinadas ao aluno e, 304 reservadas
ao guia do professor. Em termos de estrutura, o volume 2 está dividido em unidades, as
25
quais são subdivididas em capítulos que são entremeados por exercícios resolvidos e propostos, exercícios complementares e por fim, são apresentados um resumo do capítulo e algumas
questões de autoavaliação. Essa estrutura poderá ser observada a medida que formos apresentando nossa análise.
Observaremos abaixo a tabela 5.1 que apresenta a estrutura do volume 2, porém, mais
uma vez, lembramos que nos deteremos na introdução da Geometria espacial que encontrase no capítulo 5 da unidade 2. Durante nossa análise, quando citarmos o livro 1, a referência
está sendo feita justamente a esse capítulo do livro.
Volume 2 - Conexões com a Matemática
Capítulo 1
Ciclo Trigonométrico
Unidade 1 - Trigonometria
Capítulo 2
Principais funções trigonométricas
Capítulo 3
Complementos e Aprofundamentos
Capítulo 4 Superfícies poligonais, círculo e áreas
Unidade 2 - Geometria
Capítulo 5
Introdução a Geometria Espacial
Capítulo 6
Poliedros
Capítulo 7
Corpos Redondos
Unidade 3 - Matrizes
Capítulo 8
Matrizes e determinantes
e Sistemas Lineares
Capítulo 9
Sistemas Lineares
Unidade 4 - Análise Combinatória Capítulo 10
Análise Combinatória
e Probabilidade
Capítulo 11
Probabilidade
Tabela 5.1: Conexões com a Matemática - Volume 2
Na maioria dos livros didáticos, a Geometria aparece nos capítulos finais, com isso
não é dada a importância necessária ao seu estudo pois, o conteúdo é visto de forma apressada e desmotivadora. No entanto, essa realidade está sendo modificada, alguns livros já
introduzem a Geometria nos capítulos iniciais, como é o caso do livro ora analisado, onde a
Geometria é apresentada logo na 2a unidade.
Os autores subdividem o capítulo, Introdução a Geometria Espacial, em seções nas
quais iremos focar nossa análise observando a forma como o método axiomático é apresentado ao aluno.
5.1
Análise da seção Ideias Gerais apresentada no livro 1
Visualmente, o capítulo ora analisado é introduzido de forma motivadora, pois apresenta um colorido atrativo que estimula ao aluno um interesse em conhecer de que realmente
se trata a Geometria espacial, conforme podemos observar nas figuras 5.1 e 5.2.
26
Figura 5.1: Introdução do capítulo
27
Figura 5.2: Introdução do capítulo
Podemos perceber na figura 5.1 que o texto exposto na subseção Ideias Gerais privilegia àqueles alunos em que a situação descrita seja do seu conhecimento. Desse modo, o
aluno que não encontrar vínculo entre sua realidade cotidiana e a citação apresentada, se
sentirá desmotivado e poderá não manifestar interesse no conteúdo ora apresentado.
Observando a caixa de texto intitulada "Objetivos do Capítulo", exposta na figura 5.1,
percebemos que os autores se preocupam em citar quais são os objetivos a serem alcançados
no decorrer do estudo. Apresentar esses objetivos é considerado um aspecto vantajoso tanto
para o professor como para o aluno, pois com isso, o professor pode nortear seu trabalho a
fim de obter sucesso na tarefa de ensinar, enquanto o aluno cria expectativas sobre o conteúdo
ora iniciado sempre observando se esses objetivos serão realmente atingidos.
5.1.1
Análise da subseção Noções Primitivas apresentada no livro 1
A ideia de noções primitivas é bem apresentada, pois os autores utilizam uma linguagem clara e de fácil compreensão para o aluno. Afirmam que noções primitivas são noções
aceitas sem definições e, a ideia de ponto, reta e plano é bem utilizada para exemplificar
essas noções primitivas na Geometria espacial, como podemos observar na figura 5.3. Com
essa postura, percebemos que os autores já começam organizando a apresentação do método
axiomático.
Ainda na figura 5.3, são expostas algumas características do ponto, da reta e do plano.
Porém, a maneira como essas características são apresentadas, destacando os objetos em ne28
grito, pode transparecer ao leitor que os autores estão definindo o ponto, a reta e o plano
pois, percebemos que essa forma de destaque foi utilizada ao definirem noções primitivas e
espaço. Na nossa opinião, o destaque dado aos objetos, deveria ser evitado para não confundir o entendimento do aluno, levando-o a pensar que as noções primitivas são definidas.
Os autores afirmam que o livro representará os pontos, as retas e os planos por letras
maiúsculas, minúsculas e gregas respectivamente. Essa atitude leva o aluno a se familiarizar com a linguagem simbólica que será utilizada, facilitando a redação das demonstrações
tornando-as mais precisas.
Figura 5.3: Noções primitivas
Observando, a seguir na figura 5.4 , percebemos que é bem conveniente e compreensível a maneira como os autores definem figura. A definição é destacada em uma caixa de
texto e o objeto a ser definido aparece grafado em negrito. Já adiantamos que essa conduta
de destaque, dada às definições de objetos, é utilizada na maioria das definições apresentadas
pelos autores no decorrer do capítulo em análise. Assim, não daremos ênfase a essa forma
de destaque, salvo se fugir da conduta apresentada.
Podemos perceber, ainda na definição de figura, que as noções primitivas anteriormente
apresentadas já são utilizadas de forma que favorece a construção do sistema dedutivo, viabilizando ao aluno uma melhor percepção na maneira de como definir objetos. Gradativamente
os autores vão oferecendo informações necessárias e, de forma sutil já estão construindo o
método axiomático.
Na figura 5.4, percebemos que antes de exemplificar figuras, os autores revisam a
29
definição de pontos coplanares, favorecendo a aprendizagem e privilegiando àquele aluno
que, por algum motivo, não conhece tal definição. Posteriormente verificamos que os autores
utilizam essa definição em algumas de suas demonstrações.
Na descrição dos exemplos vistos na figura 5.4, observamos que as definições de figuras planas e não planas são claramente apresentadas. Os autores mais uma vez, destacam
em negrito os objetos definidos, como por exemplo figuras planas e não planas. No entanto,
mais adiante, utilizam essa forma de destaque às palavras linha, superfície e sólido sem
emitir suas respectivas definições, fugindo assim do procedimento adotado anteriormente ao
definir objetos.
Figura 5.4: Exemplos de figuras
30
5.1.2
Análise da maneira como o livro 1 apresenta o Sistema Dedutivo
Os autores dão uma boa definição para os postulados, convencem o leitor que os postulados são verdades aceitas e que não precisam ser demonstradas. Além disso, citam a
relação que há entre as noções primitivas e os postulados (Ver figura 5.5). No entanto, a
definição de teorema poderia ser melhor apresentada, pois os autores apenas afirmam que
"são outros fatos ou propriedades que serão demonstradas com base nos postulados". Na
nossa concepção, faltou mencionar que os teoremas são afirmações aceitas apenas mediante
uma demonstração.
Ao apresentarem o sistema dedutivo, os autores utilizam uma linguagem que favorece
o entendimento do aluno (Ver figura 5.5). Porém, faltou informar ao leitor que, no sistema
dedutivo, serão utilizadas as definições, as noções primitivas, os postulados ou até mesmo
outras propriedades previamente já demonstradas, para demonstrar os teoremas.
Figura 5.5: Sistema dedutivo
5.1.3 Postulados apresentados no livro 1
Na figura 5.6, são enunciados 8 postulados ou axiomas. Esses postulados são enumerados P1, P2, P3,. . . , P8, facilitando o uso quando for necessário referenciá-los nas demonstrações dos teoremas e(ou) na resolução de exercícios futuros. No decorrer de nossa análise,
observaremos se todos os postulados foram utilizados nas demonstrações e(ou) exercícios.
A maneira como os postulados estão redigidos e visualmente apresentados é muito
vantajosa, pois favorecem a compreensão do aluno que, nesse momento, já terá a ideia de
como é aplicado o método axiomático ou sistema dedutivo e já pode observar as noções
primitivas sendo utilizadas nos postulados.
31
Figura 5.6: Postulados
32
De acordo com o que é mostrado no lado esquerdo da figura 5.7, percebemos que é
apresentada uma caixa de texto denominada "Observação". Nela, os autores definem pontos
colineares. Apesar de, supostamente, já ser uma definição conhecida é importante revê-la,
pelo fato de utilizarem essa definição na demonstração do teorema 1. Ainda nessa observação, podemos perceber que existe, mais uma vez, a preocupação em apresentar a linguagem
simbólica favorecendo ao aluno uma maior familiarização com os símbolos.
O teorema 1, apresentado na figura 5.7, é ilustrado e bem demonstrado de forma propícia ao entendimento do aluno. Para demonstrá-lo, os autores enfatizam o uso dos postulados
P2, P3, P6 e P7 e utilizam a definição de pontos colineares, formalizando assim a utilização
do método axiomático. A linguagem simbólica mais uma vez aparece e, a ilustração por
meio de desenho, auxilia o aluno na visualização da demonstração. No entanto, os autores
deveriam ter enfatizado o que é(são) a(s) hipótese(s) e a tese, isto é, o que dispomos e o que
pretendemos demonstrar. Se adotassem esse procedimento tornariam a demonstração ainda
mais completa e didática, possibilitando ao leitor uma melhor compreensão do desenvolvimento de uma demostração matemática.
• Hipótese - Uma reta e um ponto são dados, de forma que o ponto não pertença a reta
• Tese - Existe um único plano que contém o ponto e a reta.
Figura 5.7: Teorema 1
5.1.4
Análise dos execícios resolvidos e propostos da seção Ideias Gerais
Na figura 5.8, os autores apresentam dois exercícios resolvidos e, em suas resoluções
utilizam os postulados P1 e P3 e o teorema 1 apresentados anteriormente, fortalecendo assim
33
a ideia de sistema dedutivo previamente exposta. Ao observar a resolução desses exercícios
resolvidos, o aluno se sentirá, cada vez mais, convencido de como se dá a aplicação do
método axiomático.
Sempre que possível, é interessante que nós professores, apliquemos essa prática de
apresentar exercícios resolvidos pois, auxiliam na fixação e na compreensão do conteúdo
apresentado e servirão de suporte nas resoluções dos exercícios propostos.
Os exercícios resolvidos R1 e R2, expostos na figura 5.8, são bem ilustrados, auxiliando
os alunos a ter uma melhor visualização de suas resoluções.
Figura 5.8: Exercícios Resolvidos 1
34
A figura 5.9 nos mostra uma lista de exercícios propostos, composta por 5 questões,
todas envolvendo a teoria trabalhada na seção Ideias Gerais e, suas resoluções são todas
acessíveis ao aluno.
Figura 5.9: Exercícios Propostos 1
35
5.2
Análise da seção Posições Relativas apresentada no
livro 1
5.2.1
Análise da subseção Paralelismo exposta no livro 1
Percebemos, na figura 5.10, que os autores definiram retas paralelas. Essa definição
é considerada bem elaborada pois, não omite o fato de retas coincidentes serem também
paralelas. A ilustração e a linguagem simbólica de retas paralelas também são fatores contribuintes para o entendimento do aluno.
Figura 5.10: Retas paralelas
O teorema 2, apresentado na figura 5.11, é demonstrado. Nela, os autores, utilizam a
definição de retas paralelas e os postulados P2 e P6. Ao iniciar a demonstração e no decorrer
da mesma, os autores utilizam os termos: "Por definição . . . pelo postulado . . . "reforçando
ao leitor que o sistema dedutivo está sendo usado.
Assim como observamos no teorema 1, também na demonstração do teorema 2, houve
a falta de informação do que seria(m) sua(s) hipótese(s) e sua tese, apresentar essas informações é uma atitude que se espera de um livro didático e que o professor também deve seguir.
Essa ausência de dados pode prejudicar o entendimento do aluno pois, havendo essas informações, o aluno sabe os fatos que serão disponibilizados para que ele faça suas deduções,
alcançando o seu objetivo.
Destacaremos a seguir a hipótese e a tese do teorema 2:
• Hipótese - Duas retas são paralelas e não coincidentes
• Tese - Essas retas determinam um único plano
Note que, na demonstração do teorema 2 os autores, mesmo sem informar qual seria
a hipótese do teorema, a utilizou quando afirmou: ". . . já que são paralelas e não coincidentes. . . Desse modo reforçamos nossa opinião de que a(s) hipótese(s) e a tese de qualquer
teorema devem ser extraídas do seu enunciado e explicitadas.
36
Figura 5.11: Teorema 2
Os autores definem planos paralelos, reta e plano paralelos e retas reversas, conforme
figuras 5.12, 5.13 e 5.14 respectivamente. É apresentada uma linguagem simbólica e uma
ilustração gráfica seguindo um padrão de clareza favorável ao entendimento do aluno. Assim,
essas definições estão bem elaboradas.
A nossa intenção, é apenas informar ao nosso leitor que os autores definem tais objetos,
pois se for necessário utilizar tais definições em alguma demonstração, já se sabe que foram
apresentadas.
Figura 5.12: Planos paralelos
37
Figura 5.13: Reta e plano paralelos
Figura 5.14: Retas reversas
5.2.2
Análise das Propriedades do Paralelismo apresentadas no livro 1
Podemos ver na figura 5.15 que os autores apresentam algumas propriedades envolvendo o paralelismo. Visualmente, essas propriedades são atrativas ao aluno por possuírem
um colorido e ilustrações convencedoras. No geral, essas propriedades também estão bem
apresentadas, com a exceção da propriedade 2 pois, a expressão, s de α, utilizada pelos autores para informar que a reta s está contida no plano α foge da linguagem utilizada desde o
38
início do capítulo em análise, isto é, s ⊂α. A seguir, enunciaremos a propriedade 2 da forma
que achamos conveniente.
Propriedade 2: Se a reta r 6⊂ α e é paralela à reta s, tal que s ⊂α, então r é paralela a
α.
Figura 5.15: Propriedades do paralelismo
Os autores apenas informam que todas as propriedades apresentadas na figura 5.15,
podem ser demonstradas e não apresentam nenhuma dessas demonstrações. Considerando
que todas essas propriedades podem ser demonstradas para o aluno do ensino médio, é interessante que o professor faça uso das noções primitivas, definições e postulados apresentados
anteriormente e demonstre algumas delas, deixando outras como exercício e não esquecendo
de focar que o sistema dedutivo está sendo utilizado.
Demonstraremos a seguir as propriedades 2 e 4 expostas na figura 5.15.
Propriedade 2: Se a reta r 6⊂ α e é paralela à reta s, tal que s ⊂α, então r é paralela a
α.
Demonstração da propriedade 2
Para iniciarmos essa demonstração, vamos estabelecer inicialmente quem são as hipóteses e a tese dessa propriedade.
39
• Hipóteses
1. A reta r não está contida no plano α (r 6⊂α);
2. A reta r é paralela a reta s (r k s);
3. A reta s está contida no plano α (s ⊂α).
• Tese - A reta r e o plano α são paralelos (r k α.)
Temos pela Hipótese 2 que r k s logo, pelo teorema 2 da figura 5.11, existe um plano,
que chamaremos β , que contém as retas r e s. Assim, a reta s está contida nos planos α (pela
T
hipótese 3) e β e como esses planos não coincidem tem-se, s = α β .
Vamos supor, que a reta r não seja paralela ao plano α. Pela definição exposta na
figura 5.13, há um ponto que chamaremos A, que é comum a reta r e ao plano α ou seja,
T
{A} = r α. Como A ∈ r e r ⊂ β então A ∈ β . Mas, se A ∈ β e A ∈ α temos que A ∈ s, dessa
forma A ∈ r e A ∈ s, o que é um absurdo, já que, pela hipótese 2, as retas r e s são paralelas.
Assim, a suposição é falsa e a reta r é paralela ao plano α. Propriedade 4: Se α é um plano paralelo a duas retas, r e s, contidas em um plano β ,
T
tais que r s = {P}, então α é paralelo a β .
Demonstração da propriedade 4
• Hipóteses
1. As retas r e s são paralelas ao plano α (r k α e s k α).
2. O ponto P é a interseção das retas r e s (r s = {P})
T
• Tese - Os planos α e β são paralelos (α k β ).
Inicialmente, vamos supor que os planos α e β não sejam paralelos. Assim, os planos
α e β se intersectam e, pelo postulado P8, a intersecção dos planos será uma reta, que a
T
chamaremos de reta t isto é, t = α β .
Pela hipótese 1, r k α e s k α.
T
Pela hipótese 2, r s = {P} e portanto essas retas não são paralelas. Logo elas intersectam a reta t e o plano α. Absurdo, pois r k α e s k α.
Portanto, os planos α e β são paralelos (α k β ). 5.2.3
Análise dos execícios resolvidos e propostos sobre paralelismo
Na figura 5.16, foram apresentados um bloco de exercício resolvido e outro de exercícios propostos. Para resolver as questões apresentadas as definições são utilizadas entretanto,
na nossa opinião, faltou questões que envolvessem a realidade diária do aluno. É recomendável que em nossa prática exploremos o próprio espaço físico, a sala de aula, para exemplificar
40
e exercitar visualmente as definições trabalhadas. Para isso, podemos convidar nossos alunos
a observar o ambiente, estimulando-os a perceber, por exemplo, que as paredes são planos e
que, o encontro dessas paredes (planos) são retas e, a partir daí visualizarmos os diferentes
tipos de retas.
Figura 5.16: Exercícios Resolvido e Propostos
5.2.4
Análise da subseção Perpendicularismo exposta no livro 1
Desde o início do capítulo, Introdução a Geometria espacial, que o leitor observa que
termos destacados em negrito são definidos. De acordo com a figura 5.17, observamos que os
autores ao iniciarem o estudo do perpendicularismo, destacam em negrito o termo "perpendicularismo" sem defini-lo, fugindo assim da rotina de destaque dada aos objetos definidos.
41
Figura 5.17: Perpendicularismo
No exemplo apresentado, na figura 5.17, os autores usam a expressão, fincarmos uma
vareta perpendicularmente ao solo. Ora, como se utiliza o termo perpendicularmente sem
defini-lo previamente? Essa atitude dos autores pode confundir o aluno a entender o real
significado do termo em questão e, pelo fato desse não conhecimento, o leitor pode não
despertar nenhum interesse pelo exemplo citado.
Os autores apresentam a definição de retas concorrentes, retas perpendiculares, retas
ortogonais, reta e plano perpendiculares, planos concorrentes e planos perpendiculares conforme vemos na figuras 5.18, 5.19, 5.20, 5.21, 5.22 e 5.23 respectivamente. Como nossa
análise está voltada ao método axiomático, achamos conveniente exibir as definições pois
nós, ou os autores, podemos precisar de algumas delas durante nossas demonstração.
As definições estão bem redigidas e ilustradas, podemos observar que nelas são utilizadas as noções primitivas, pontos, retas e planos, o postulado P8 (figura 5.6) na definição
de planos concorrentes e alguns objetos já definidos anteriormente, a exemplo, usam retas
paralelas (não coincidentes) ao definirem retas ortogonais. Dessa forma percebemos que os
autores apresentam a teoria obedecendo as exigências de um sistema dedutivo.
42
Figura 5.18: Retas concorrentes
Figura 5.19: Retas Perpendiculares
Figura 5.20: Retas Ortogonais
43
Figura 5.21: Reta e plano perpendiculares
Figura 5.22: Planos concorrentes
Figura 5.23: Planos perpendiculares
44
Ainda nessa seção, os teoremas 3 e 4 são apresentados e apenas o teorema 3 é demonstrado. Entretanto os autores informam que não farão a demonstração do teorema 4 conforme
podemos ver nas figuras 5.24 e 5.25.
Na demonstração do teorema 3, podemos observar que as noções primitivas foram
utilizadas como também alguns dos postulados (P2, P6 e P7) expostos na figura 5.6. Desse
modo, podemos ver que o sistema dedutivo está sendo bem apresentado pelos autores pois,
de forma notória percebemos o entrelace entre as noções primitivas, definições, postulados e
teorema, conforme foi informado pelos autores no início do capítulo ora analisado.
Figura 5.24: Teorema 3
Figura 5.25: Teorema 4
5.2.5 Propriedades do Perpendicularismo apresentadas no livro 1
Assim como foi apresentado no estudo do paralelismo, as propriedades do perpendicularismo também são expostas pelos autores, conforme figura 5.26. Os autores mais uma vez,
afirmam que as propriedades podem ser todas demonstradas mas, não demonstram nenhuma.
No geral, as propriedades são bem elaboradas porém, em nossa opinião, na propriedade
1, os autores deveriam se referir a um ponto pertencente a uma reta quando mencionam a
expressão "por um ponto de uma reta", conforme podemos ver na figura 5.26. Valorizando
assim a formalidade na escrita matemática.
45
Figura 5.26: Propriedades do perpendicularismo
A seguir, demonstraremos as propriedades 1 e 3 apresentadas na figura 5.26. e, a
enunciaremos a propriedade 1 com a correção de escrita citada acima.
Propriedade 1: Por um ponto pertencente a uma reta passa somente um plano perpendicular a essa reta.
Demonstração da propriedade 1
• Hipótese - Um ponto pertencente a uma reta
• Tese - Pelo ponto passa somente um plano perpendicular a essa reta.
Considere uma reta r e um ponto P tal que P ∈ r (Figura 5.6). Tomemos agora planos
T
β e γ distintos, tais que r = β γ. Nos planos β e γ consideremos, respectivamente, as retas
T
s e t perpendiculares a r no ponto P ou seja, {P} = s t. As retas s e t são concorrentes no
ponto P e determinam um único plano (Figura 5.24) que é perpendicular a reta r, conforme
figura 5.25. 46
Propriedade 3: Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. Dois
planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.
Demonstração da propriedade 3
Como a propriedade 3, a ser demonstrada, nos fornece dois resultados, a dividiremos
em duas sub-proposições, as quais chamaremos de proposição 3.1 e proposição 3.2.
Proposição 3.1: Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas.
• Hipótese - Duas retas são perpendiculares a um mesmo plano.
• Tese - As retas são paralelas.
De acordo com a hipótese, consideremos as retas distintas r e s perpendiculares a um
plano α intersectando-o nos pontos P e Q, respectivamente. Seja β o plano determinado
←
→
pelas retas r e s, os planos α e β se intersectam determinando uma reta t = PQ que é perpendicular às retas r e s. Dessa forma como t ⊥ r e t ⊥ s temos r k s. Proposição 3.2: Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.
• Hipótese - Dois planos perpendiculares a uma mesma reta.
• Tese - Os planos são paralelos.
Conforme nos fornece a hipótese, consideremos os planos distintos α e β perpendiculares a uma reta r nos pontos P e Q respectivamente.
Suponha que os planos α e β não sejam paralelos e t seja a reta de intersecção entre
T
eles, t = α β . Considere o ponto R tal que R ∈ t, então PQR seria um triângulo com
dois ângulos internos retos, o que é impossível (Pelo teorema dos ângulos internos de um
triângulo, visto no 8o ano do ensino fundamental). Logo os planos não se encontram, e
assim eles são paralelos. 5.2.6
Análise dos execícios resolvidos e propostos sobre perpendicularismo
São oferecidos ao aluno os exercícios resolvidos R5, R6 e R7, expostos na figura 5.27,
a seguir. Podemos observar a presença do método axiomático pois, para resolver as questões,
os autores usaram algumas das definições apresentadas, além de ter sido utilizadas as noções
primitivas e postulados, a exemplo o postulado P7 utilizado na resolução da questão R7.
47
Figura 5.27: Exercícios resolvidos
Os exercícios propostos para o aluno, vistos na figura 5.28, a seguir, estão bem elaborados e ao resolvê-los, o aluno consegue utilizar a teoria apresentada, até o momento, no capítulo que estamos analisando. No entanto, percebemos que mais uma vez faltaram questões
motivadoras que envolvessem a realidade diária do aluno, tornando assim a aprendizagem
mais prazerosa e significativa.
48
Figura 5.28: Exercícios propostos
Ao término dessa seção, percebemos que o método axiomático continuou sendo aplicado, mesmo tendo havido uma diminuição de sua aplicação fica evidente para o leitor que,
sempre que necessário, devemos utilizar o sistema dedutivo.
49
5.3
Análise das seções Projeção Ortogonal e Distâncias e,
Ângulos e Diedros apresentadas no livro 1
Os autores finalizam o capítulo analisado, com as seções, projeção ortogonal e distâncias e, ângulos e diedros. Ao analisá-las, concluímos que o método axiomático não é mais
utilizado. Assim, não teceremos nenhum comentário referente as seções citadas acima.
5.4
Análise da seção Exercícios Complementares
Os autores fornecem uma lista de exercícios complementares (ver figura 5.29) subdividida em questões denominadas aplicação, exercício resolvido, aprofundamento e desafio.
Podemos perceber que a maioria das questões aplicam a teoria desenvolvida no capítulo,
faltando mais uma vez, questões contextualizadas que envolvam o cotidiano do aluno.
A questão 31, do bloco desafio exposto na figura 5.29, é o tipo de exercício considerado proveitoso pois, mostra ao aluno que a Matemática está ligada a outras áreas de conhecimento, a exemplo da questão, a Física. Questões como essa desperta no aluno interessado em
ondas sonoras, a vontade de aprender o conteúdo envolvido. Assim, quanto mais pudermos
envolver situações práticas para atrairmos o aluno o prazer em aprender, mais alcançaremos
nosso objetivo como transmissor de conhecimentos.
50
Figura 5.29: Exercícios Complementares
5.5
Análise da seção Resumo do Capítulo
Um resumo e um teste de autoavaliação são disponibilizado no final do capítulo, conforme podemos observar nas figuras 5.30 e 5.31 respectivamente. O resumo do capítulo é
uma boa ferramenta para proporcionar ao aluno mais uma oportunidade de internalizar os
conceitos trabalhados. Por outro lado, pode despertar no aprendiz um comodismo de leitura
pois, a praticidade de buscar o conteúdo de forma resumida é bem mais atrativa tendo em
vista que a maioria dos alunos buscam apenas sanar suas dúvidas de momento sem interligálas ao conteúdo como um todo.
51
Figura 5.30: Resumo do capítulo
5.6
Análise da seção Autoavaliação
O teste de autoavaliação é composto por 11 questões de múltipla escolha, onde o aluno
deve resolvê-las e optar por uma das respostas, questões como essas são sempre bem vindas pelo simples fato de ser uma preparação para futuros concursos prestados pelos alunos.
Porém, o livro analisado não disponibiliza questões contextualizadas que são o tipo de questões exigidas nos processos seletivos de acesso a universidades, a exemplo o ENEM (Exame
Nacional do Ensino Médio).
52
Figura 5.31: Autoavaliação
53
Capítulo 6
Análise do capítulo 10 do Livro 2 Matemática Contextos e Aplicações
Nossa análise nesse capítulo será voltada à coleção Matemática Contextos e Aplicações [3], cujo autor é Luiz Roberto Dante, 1a edição, São Paulo 2011. Publicado pela Editora Ática, a coleção é composta por três volumes destinados ao ensino de matemática no
decorrer do ensino médio. Iremos trabalhar com o volume 2 da coleção, particularmente
com o capítulo 10, tendo em vista, mais uma vez, que nossa análise será direcionada à forma
como os autores introduzem a Geometria espacial, principalmente a maneira como o método
axiomático é apresentado e repassado para os alunos.
No ano de 2011, a coleção foi aprovada pelo Plano Nacional de Livros Didáticos
(PNLD) e sua resenha se encontra no guia de livros didáticos de matemática, PNLD 2012
[11], do ensino médio.
Segundo o Guia (PNLD [11], p. 61). . .
". . . Observa-se uma boa conexão entre os diversos campos da
Matemática e desta com outras áreas do conhecimento. Também
verifica-se a preocupação em articular os conhecimentos novos e
os já abordados.
A coleção apresenta um excesso de conteúdos e de atividades,
em particular no livro da 1a série. Também há exagero em procedimentos e no uso de terminologias, o que exigirá do docente
uma seleção cuidadosa, a fim de priorizar aqueles que considerar
indispensáveis à formação dos alunos do ensino médio.
Grande parte das atividades e situações-problema propostas nos
livros do aluno são, imediatamente, seguidas de uma abordagem
técnica ou teórica. Essa opção pode tornar o desenvolvimento
dos conteúdos desinteressante ou de difícil compreensão."
54
O livro do aluno é composto por 384 páginas e, ao professor é oferecido um manual
de apoio pedagógico composto por 200 páginas. Os conteúdos desse livro didático são distribuídos em 14 capítulos, conforme podemos ver na tabela 6.1.
Volume 2 - Matemática Contextos e Aplicações
Capítulo 1
Trigonometria: Resolução de triângulo quaisquer
Capítulo 2
Conceitos trigonométricos básicos
Capítulo 3 Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica
Capítulo 4
Relações trigonométricas
Capítulo 5
Relações trigonométricas
Capítulo 6
As funções trigonométricas
Capítulo 7
Matrizes
Capítulo 8
Determinantes
Capítulo 9
Sistemas Lineares
Capítulo 10 Geometria Espacial de posição - Uma introdução intuitiva
Capítulo 11
Poliedros: Prismas e pirâmides
Capítulo 12
Corpos redondos: cilindro, cone e esfera
Capítulo 13
Análise combinatória
Capítulo 14
Probabilidade
Tabela 6.1: Matemática Contextos e Aplicações - Volume 2
De acordo com a tabela acima, percebemos que a Geometria espacial é colocada, praticamente, no final do livro. Essa conduta não é considerada muito vantajosa pois, na maioria
das vezes, os últimos conteúdos apresentados no livro, são vistos de forma apressada, desmotivando o aluno e dificultando sua aprendizagem. Sendo assim, deixamos como sugestão
apresentar a Geometria intercalando-a com os conteúdos de álgebra, ou apresentá-la nos
capítulos iniciais.
Na análise do capítulo 10 (Geometria Espacial de posição - Uma introdução intuitiva),
buscaremos preservar a conduta seguida no capítulo 5 do nosso trabalho, analisando a forma
como o sistema dedutivo é apresentado para o aluno. Salientando que, todas as considerações
feitas serão voltadas apenas a esse capítulo do livro em análise, não ao livro, nem a coleção
como um todo.
Esclarecendo ainda ao leitor que, quando mencionarmos o livro 2 , estaremos nos
referindo ao capítulo 10 do livro que estamos analisando.
55
6.1
Análise da forma como o capítulo (Geometria Espacial
de Posição - Uma Introdução Intuitiva) é apresentado
O capítulo 10 (Geometria Espacial de posição - Uma introdução intuitiva) é bem apresentado (ver figura 6.1) pois, o autor faz referências históricas da evolução dos conhecimentos geométricos despertando no aluno a visão de que a Matemática está sempre em
desenvolvimento e motivando-o a valorizar essa ciência.
Figura 6.1: Apresentação do capítulo
56
No primeiro parágrafo da figura 6.2, o autor cita a contribuição dada por Euclides
quando inventou a teoria axiomática. Fato considerado vantajoso pois, mesmo que de forma
breve, quando se fala em postulados, teoremas, demonstrações e conceitos primitivos essa
teoria já começa a ser "apresentada", estimulando no aluno a vontade de conhecer mais
profundamente esse estudo.
Ainda no texto exposto na figura 6.2, o autor faz referência ao emprego da geometria
em diversas áreas, tais como: Arquitetura e Dança. Atitudes como essas valorizam o estudo
da Geometria, estimulando o aluno a conhecer algo que possa ser aplicado na sua vida diária.
Figura 6.2: Apresentação do capítulo
Enfatizar a história da Matemática em sala de aula é fundamental, pois ela pode desenvolver no aluno um espírito crítico sobre a evolução dessa ciência e também fazer com
que o estudante entenda as ideias implícitas às teorias apresentadas. Em síntese, utilizando
essas referências históricas na prática diária o professor pode fazer com que seus alunos
compreendam a natureza dos objetos da Matemática e como se desenvolveu essa ciência.
6.2
Análise da seção Introdução do livro 2
Observando a figura 6.3, o autor faz uma breve revisão do estudo da Geometria visto
no ensino fundamental, apresentando as posições relativas entre ponto e reta num plano.
Essa é uma postura que deve ser seguida pelo professor pois, ao revisar alguns conceitos, é
reavivado na mente do aluno conteúdos já estudados e necessários para o desenvolvimento
de teorias futuras. Tal conduta também pode colaborar com o aluno que, por algum motivo,
não tenha visto tais conceitos em anos anteriores.
57
Ainda na figura 6.3, observamos que o autor interliga a Geometria plana, vista no
ensino fundamental, com a geometria espacial que será estudada no ensino médio. Sendo
assim, o aluno vai percebendo que há um ligação entre os conceitos aprendidos anteriormente
e os que ainda serão apresentados, passando a valorizar e a explorar mais cada conteúdo
exposto.
Figura 6.3: Geometria de posição no plano
58
A partir desse elo feito entre as Geometrias plana e espacial, o autor apresenta alguns
exemplos, bem ilustrados, que auxiliam na visualização de como se dá as relações entre
pontos, retas e planos no espaço, conforme podemos ver na figura 6.4. Em Geometria, apresentar exemplos acompanhados com ilustrações é uma excelente postura, por isso devemos
enriquecer esses exemplos associando-os, sempre que possível, a vida cotidiana do aluno.
Figura 6.4: Posições relativas entre pontos, retas e planos no espaço
6.2.1
Análise da forma como o método axiomático é apresentado no
livro 2
As considerações feitas a seguir, poderão ser observadas no texto exposto na figura 6.5.
O autor informa que o estudo da Geometria de posição será feito de forma "intuitiva"
e que será apoiado em modelos, figuras e objetos.
Ora, como utilizar esses termos, "intuitivo", "modelos" e "objetos" sem fornecer
qualquer ideia sobre eles?
Na nossa concepção, essa forma de introduzir o estudo da Geometria de posição não
está adequada ao bom entendimento do aluno. O autor poderia ter iniciado o estudo, apenas
fazendo referência as ideias de ponto, reta e plano e, a partir daí, ir apresentando gradativamente, a construção do método axiomático.
59
Favorecendo o entendimento do aluno, o autor mostra que o ponto, a reta e o plano
serão representados, no decorrer do capítulo em análise, por letras maiúsculas, minúsculas e
gregas respectivamente. Desse modo, quando o aluno se deparar com essas simbologias, já
saberão que objeto está sendo referenciado.
Após indicar as representações ilustrativas e simbólicas do ponto, da reta e do plano,
o autor informa que esses objetos nunca foram definidos. No entanto, dentre esses objetos,
não definidos, é inserido o "espaço" que, na nossa opinião, pode ser definido. Espaço é um
conjunto de todos os pontos.
No segundo parágrafo, é informado ao leitor que os conceitos primitivos serão os elementos iniciais da teoria que será desenvolvida, mas, em nenhum momento diz que o ponto,
a reta e o plano, são conceitos primitivos. Informa ainda, que outros objetos serão definidos
a partir desses conceitos primitivos.
Desse modo, percebemos que essa maneira de apresentar, para o aluno, a ideia de
conceitos primitivos não está muito boa, o autor poderia ter destacado, de alguma forma, o
termo conceitos primitivos, a fim de despertar no aluno uma atenção mais criteriosa. Sobretudo, deveria ter sido apresentada uma definição formal para esses conceitos, por exemplo.
Conceitos primitivos são conceitos intuitivos, ou seja, são aceitos sem precisar defini-los.
Posteriormente, os axiomas são definidos como sendo afirmações aceitas que não precisam ser demonstradas e que as conclusões tiradas a partir desses axiomas são chamadas
de teorema, afirma também que os teoremas só serão aceitos mediante uma demonstração
porém, mais uma vez, não destacam os termos a serem definidos, axiomas e teoremas. Essa
definição de teorema não está muito clara, pois pode conduzir o aluno a entender que toda
conclusão oriunda de um axioma será um teorema.
É omitido ao leitor uma observação muito importante na teoria que está sendo construída, o autor não informa que, para demonstrar os teoremas serão utilizados alguns conceitos primitivos, definições, axiomas e(ou) outros teoremas previamente demonstrados, formalizando assim a teoria axiomática a ser utilizada.
É interessante quando o autor informa que os axiomas, os teoremas e as definições
serão destacados, no decorrer do capítulo, com um fundo azul, laranja e rosa respectivamente
assim, ao ver essas caixas de textos coloridas, o aluno já associa a que se refere tal destaque.
No entanto, essa maneira de informar, principalmente os axiomas e as definições, dificulta a
praticidade no momento de citá-los nas demonstrações dos teoremas. Com isso, sugeríamos
que as definições e os postulados fossem enumerados, assim quando fosse preciso citá-los
nas demonstrações usaríamos apenas o número correspondente.
Observemos o último parágrafo, onde (Dante [3], p.177) afirma. . .
". . . como se trata de um enfoque intuitivo da Geometria espacial, os teoremas não serão demonstrados ao longo do capítulo.
Apenas no final faremos algumas demonstrações a título de ilustrações".
60
Com essa afirmação entendemos, que o autor não dedica a importância necessária ao
método axiomático, tendo em vista que o mesmo, como enfocou no quinto parágrafo da
figura 6.5, "que um teorema só é válido mediante uma demonstração."
Com isso, o aluno poderá perguntar: "Então os teoremas apresentados não serão válidos? Porque não são demonstrados?"
Essas foram as nossas considerações, referentes ao texto apresentado na figura 6.5.
Figura 6.5: Conceitos primitivos, axiomas e teoremas
Observamos, no decorrer do capítulo em análise, que o autor não aplicou o método
axiomático, apenas apresentou as definições, axiomas e teoremas sem mostrar ao aluno o
verdadeiro motivo dessa teoria está sendo apresentada.
Como o foco principal da nossa análise é o sistema dedutivo, não nos prenderemos, na
íntegra, a toda teoria exposta, mostraremos apenas alguns trechos apresentados pelo autor,
justificando assim, nossa opinião quando dizemos que o autor não dedica a importância
necessária ao método axiomático.
61
6.3
Análise da maneira como as posições relativas são apresentadas no livro 2
O livro 2 apresenta algumas subseções, entremeadas por exercícios propostos, que
trabalham as diversas posições relativas que envolvem os conceitos primitivos: Ponto, reta e
plano. São elas:
1. Posições Relativas: Ponto e reta; ponto e plano
2. Posições Relativas de pontos no espaço
3. Posições Relativas de duas retas no espaço
4. Determinação de um plano
5. Posições Relativas de dois planos no espaço
6. Posições relativas de uma reta e um plano
7. Paralelismo no espaço
8. Perpendicularismo no espaço
Conforme justificamos anteriormente, analisaremos apenas algumas das subseções citadas acima.
6.3.1
Análise da subseção Posições Relativas de Pontos no Espaço apresentada no livro 2
Ao iniciar essa subseção, o autor obedece o acordo anteriormente exposto na figura
6.5, exibe as definições de pontos colineares (não colineares), coplanares (não coplanares)
destacado-as em uma caixa de texto de fundo rosa (Ver figura 6.6), convencendo assim o
aluno, que ali estão sendo exibidas definições de objetos.
No entanto, nas observações fornecidas, ainda na figura 6.6, a cor verde é utilizada
sem que tenha sido pré estabelecido a que se referiria essa cor de destaque. Como o aluno
já está se familiarizando com a forma que os axiomas, definições e teoremas estão sendo
apresentados, não entenderá o porque do destaque.
Na realidade, as observações 1 e 2 expostas na figura 6.6, deveriam ser apresentadas
como axiomas, destacadas em uma caixa de texto de fundo azul pois, são informações necessárias que não precisam ser demonstradas e que serão utilizadas em demonstrações futuras.
62
Figura 6.6: Posições Relativas de pontos no espaço
6.3.2
Análise da subseção Posições Relativas de Duas Retas no Espaço
apresentada no livro 2
Observando a figura 6.7, percebemos que o autor inicia a subseção apresentando um
paralelepípedo e seus respectivos elementos (arestas, faces e vértices) indicando a linguagem
simbólica que esses elementos serão representados. A partir dessas informações é que o autor
passa a estudar as possíveis posições relativas de retas no espaço.
Consideramos uma conduta vantajosa pois, o professor pode aproveitar o espaço físico,
adotando a sala de aula como sendo o paralelepípedo em estudo onde, suas paredes, teto e
piso serão as faces; o encontro de duas faces serão suas arestas e as intercessões de três faces
serão os vértices desse paralelepípedo. Assim, será formado um modelo concreto de tudo
que está exposto no livro didático e despertará um maior interesse por parte do aluno.
Nas caixas de texto intituladas, para refletir, expostas na figura 6.7, são apresentados
três postulados destacados com um fundo azul conforme ficou pré estabelecido porém, a maneira como esses axiomas são expostos não é boa, pode levar o aluno a não dar a importância
necessária e suficiente a tal afirmações. Como sugestão, essas afirmações deveriam aparecer
63
sozinhas, em uma caixa de texto de fundo azul, como veem sendo apresentadas.
Figura 6.7: Posições Relativas de duas retas no espaço
64
6.3.3
Análise da subseção Determinação de um Plano exposta no livro 2
Observando a figura 6.8 percebemos que o autor cita um postulado, destacando-o em
caixa de texto com fundo azul, conforme havia informado. Todavia, confirmamos nossa colocação a respeito das observações apresentadas na figura 6.6, que as informações destacadas
em verde deveriam está num fundo azul pois, são axiomas.
Como o autor segue uma conduta de destaque, pré-estabelecida, para apresentar as definições, os axiomas e os teoremas, podemos ver nas figuras 6.6 e 6.8, que essa conduta foi
violada pois, o mesmo enunciado é apresentado como sendo simples observações e posteriormente como postulado. Atitudes como essas podem confundir o entendimento do aluno
dificultando suas habilidades na hora de aplicar o método axiomático.
Ainda na figura 6.8, são apresentados três teoremas, em caixa de texto com fundo
laranja. Esses teoremas são bem ilustrados, por meio de figuras, facilitando a visualização e
o entendimento do aluno. Porém, o autor omitiu o fato da unicidade dos planos, embora na
Geometria o termo determinar signifique existir, há situações que é conveniente enfatizar a
ideia da unicidade. Por exemplo: Duas retas concorrentes determinam um único plano.
Com as definições e os postulados já apresentados, seria interessante que o autor demonstrasse pelo menos um dos teoremas expostos pois, o mesmo afirma que os teoremas só
são válidos mediante uma demonstração (Ver figura 6.5), entrando assim em contradição nas
suas colocações.
É interessante que o professor esteja atento a essas situações. No caso de está utilizando um material didático como este, ora analisado, deverá dedicar um tempo necessário
a demonstração de pelo menos algum(s) do(s) teorema(s) apresentado(s) no livro didático,
sem esquecer que o aluno não precisa conhecer toda a formalidade do método axiomático
mas, não deveria sair do ensino médio sem esse conhecimento.
65
Figura 6.8: Determinação de um plano
66
Demonstraremos um dos teoremas apresentados na figura 6.8. Para facilitar nosso
trabalho, enumeraremos os postulados a serem utilizados.
Postulados
P 6.1: Toda reta e todo plano possuem pontos pertencentes e não pertencentes a eles.
P 6.2: Três pontos não colineares determinam um plano
Teorema 6.1 :Duas retas concorrentes determinam um único plano.
Figura 6.9: Teorema 6.1
Demonstração do Teorema 6.1
• Hipótese(s) - Duas retas são concorrentes
• Tese - Essas retas determinam um único plano
Por hipótese, consideremos duas retas concorrentes e as chamaremos de retas r e s.
Por definição, duas retas concorrentes possuem um ponto em comum, seja P esse
T
ponto, {P} = r s. De acordo com o postulado 6.1, tomemos os pontos A e B distintos
de P pertencentes às retas r e s respectivamente. Notemos que, A, B e P são pontos não
colineares e, pelo postulado 6.2, esses pontos determinam um plano γ. Logo, as retas r e s
determinam o plano γ.
Vamos mostrar que esse plano γ é único.
Suponha que exista outro plano ω determinados pelas retas r e s. Assim, os pontos A,
B e P, anteriores, pertencem a ω. Daí, as retas r e s determinam o plano ω, donde concluímos
que γ = ω, portanto γ é único. 67
6.3.4
Análise de um dos Exercícios Propostos no livro 2
É fornecida uma lista de exercícios propostos, composta por quatro questões onde os
alunos aplicarão as definições apresentadas na subseção ora analisada, conforme podemos
ver nas figuras 6.10 e 6.11.
Figura 6.10: Exercícios Propostos
Figura 6.11: Exercícios Propostos
A questão 6 exposta na figura 6.10 é uma atividade onde o aluno analisará a veracidade
de algumas afirmações. Em questões como essas, pode ser mostrado ao aluno que para provar
que uma sentença é falsa é suficiente fornecer um contra-exemplo. Vejamos a alternativa (a)
da referida questão:
68
T
a) Se r e s são retas tais que r s = 0,
/ então r e s são paralelas. (FALSA)
Contra-exemplo
T
Considera-se duas retas reversas r e s do espaço que obedecem a condição dada, r s =
0,
/ porém sem serem paralelas.
Figura 6.12: Contra-Exemplo
As questões de verdadeiro e falso, também podem ser exploradas a fim de que o aluno
comece a trabalhar com a teoria axiomática pois, se a sentença for verdadeira é necessário
demonstrá-la. A exemplo dessa prática, podemos citar a alternativa (b) da questão 6 exposta
na figura 6.10 que pode ser facilmente demonstrada.
b) Se α e β são dois planos distintos e r é a reta tal que α
concorrentes. (VERDADEIRO)
T
β = r, então α e β são
Justificativa da afirmação exposta
• Hipótese(s) - São dados dois planos e uma reta, tais que a interseção dos planos é a
reta.
• Tese - Os planos são concorrentes.
T
Consideremos, por hipótese, os planos α, β e a reta r tais que α β = r.
Por definição, dois planos distintos que têm uma reta em comum são chamados de
planos concorrentes. Logo, os planos α e β são concorrentes. 6.3.5
Análise da subseção Paralelismo no espaço apresentada no livro 2
No decorrer da subseção do livro analisado, o autor cita cinco propriedades envolvendo paralelismo, conforme podemos ver nas figuras 6.13 e 6.14 . Essas propriedades são
apresentadas em caixas de texto destacadas num fundo laranja e, assim, são consideradas
teoremas. Isto é, só serão válidas mediante demonstrações.
69
Figura 6.13: Propriedades do paralelismo
Figura 6.14: Propriedades do paralelismo
70
As propriedades de paralelismo citadas acima estão bem redigidas e representadas.
Contudo, o autor em nenhum momento mencionou que as mesmas podem ser provadas nem
tão pouco demonstrou nenhuma delas. Com o conteúdo exposto até o momento, seria interessante e conveniente usar as definições e postulados apresentados e mostrar algumas
demonstrações deixando o aluno inteirado com o sistema dedutivo ou método axiomático.
Mediante nossa sugestão, demonstraremos a seguir as seguintes propriedades:
1a Propriedade de paralelismo : Quando dois planos distintos são paralelos, qualquer
reta de um deles é paralela ao outro.
Demonstração da 1a Propriedade de paralelismo
• Hipótese - Dois planos são distintos e paralelos
• Tese - Qualquer reta de um desses planos é paralela ao outro plano.
Por hipótese, consideremos os planos α e β distintos e paralelos. Por definição, dois
T
planos paralelos não se intercectam logo, α β = 0.
/ Seja r uma reta contida no plano α
T
(r ⊂ α), então do fato de r β = 0/ segue-se que a reta r é paralela ao plano β . 2a Propriedade de paralelismo : Quando uma reta é paralela a um plano, ela é paralela
a pelo menos uma reta desse plano.
Demonstração da 2a Propriedade de paralelismo
• Hipótese - Uma reta é paralela a um plano.
• Tese - Essa reta é paralela a pelo menos uma reta desse plano.
Consideremos, por hipótese, uma reta r paralela a um plano α. Por definição, a intersecção de r e α é vazia. Seja β um plano que contém a reta r e intercepta o plano α, tal que
T
α β = s, onde s é outra reta.
Note que, as retas r e s são coplanares, pois ambas estão contidas no plano β , e não
T
possuem ponto em comum, pois r α = 0/ e s ⊂ α. Com isso, concluímos que r é paralela a
s (r k s). 6.3.6
Análise da subseção Perpendicularismo no Espaço apresentada no
livro 2
O livro 2 apresentada cinco propriedades envolvendo o perpendicularismo entre reta
e plano (Ver figuras 6.15 e 6.16). Destacadas em caixas de texto com fundo laranja, essas
propriedades são teoremas e necessitam ser demonstradas porém, mais uma vez, o autor
não demonstra nenhuma delas e desperdiça a oportunidade de expor ao aluno a razão de
apresentar tantas definições e postulados e assim, aplicar o método axiomático.
71
É apresentada ao leitor, uma demonstração para a 1a propriedade, sendo que essa demonstração é feita por construção, conforme figura 6.15. Essa maneira de demonstrar colabora na visualização do resultado porém, no ensino médio o aluno já deve ser estimulado a
aplicar técnicas de demonstração utilizando o sistema dedutivo.
1a Propriedade de perpendicularismo:
Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente que ela seja
perpendicular a duas retas concorrentes desse plano no ponto de intersecção das retas.
As expressões, necessário e suficiente e, se e somente se são equivalentes, o que implica dizer que devemos analisar a "ida" e a "volta" do teorema (propriedade).
"Ida" da propriedade
Se uma reta é perpendicular a um plano então, essa reta é perpendicular a duas retas
concorrentes desse plano no ponto de intersecção das retas.
• Hipótese - Uma reta e um plano são perpendiculares
• Tese - A reta é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano no ponto de intersecção
Por hipótese, consideremos uma reta r perpendicular a um plano α. No decorrer do
livro 2 o autor define que uma reta que intercepta um plano é perpendicular a ele quando
e somente quando ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passa pelo ponto de
interseção. Logo, em particular, a reta r é perpendicular a duas retas concorrentes s e t,
contidas no plano α. "Volta" da propriedade
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano no ponto de intersecção dessas retas então essa reta é perpendicular ao plano
• Hipótese - Uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano no ponto
de interseção dessas retas.
• Tese - Essa reta é perpendicular ao plano
Considere uma reta r perpendicular a duas retas concorrentes s e t contidas no plano α
T
com s t = {P}.
Segundo a definição do livro 2, devemos provar que r é perpendicular a qualquer reta
u ⊂ α, que passa pelo ponto P.
Suponha que a reta u não seja perpendicular a reta r, como u, s e t estão no plano α,
teríamos que s ou t não seria perpendicular a r. Absurdo. Assim, a reta r é perpendicular a
reta u e ao plano α. 72
Figura 6.15: Propriedades de perpendicularismo entre reta e plano
73
Figura 6.16: Propriedades de perpendicularismo entre reta e plano
74
6.4
Análise da seção O Método Dedutivo: Algumas Demonstrações do livro 2
Após apresentar toda teoria introdutória ao estudo da Geometria espacial, o autor faz
uma breve explanação do que seja o método dedutivo, também conhecido como método
axiomático. Todas as considerações feitas nessa seção, podem ser observadas nas figuras
6.17 e 6.18.
Ao iniciar a análise do livro 2, percebemos que o autor não dedica a importância necessária ao método axiomático. Nesse momento, fortalecemos nossa opinião ao observarmos
o título da seção, quando o autor informa, de maneira desinteressada, que se trata de uma
"leitura optativa", desmotivando o leitor a conhecer o conteúdo apresentado no texto.
Na nossa concepção, essa maneira de mostrar o método dedutivo não é muito interessante pois, pelo fato de ser exposta no final do capítulo, aparece como se não tivesse muita
importância no estudo ora realizado.
Na caixa de texto, intitulada "Para Refletir", o autor informa como funciona o método
dedutivo. Porém, não informou que, além dos conceitos primitivos e dos axiomas utilizados
nas demonstrações dos teoremas, também são utilizadas definições e(ou) outros teoremas
que já tenham sido demonstrados, consolidando assim a aplicação da teoria axiomática.
São apresentados três postulados que serão utilizados nas demonstrações feitas pelo
autor. Ora, se são postulados por que não aparecer destacados em uma caixa de texto de
fundo azul? Foi o que ficou acordado no início do livro 2.
Ainda em relação aos postulados mencionados, percebemos que os postulados 1 e
2, apresentados na figura 6.17, são citados como sendo simples observações (Ver figura
6.6), confundindo assim o verdadeiro sentido dessas sentenças. Afinal, são observações ou
postulados?
São demonstrados cinco teoremas, nessas demonstrações o autor avisa que serão utilizados os postulados citados anteriormente. Esses três postulados já haviam sido apresentados e, não foi feita nenhuma referência a essa observação, é como se toda teoria trabalhada
no decorrer do capítulo analisado não houvesse nenhuma serventia na aplicação do sistema
dedutivo.
Na demonstração dos teoremas, não é informado ao aluno qual(is) seria(m) sua(s) hipótese(s) e sua(s) tese(s) e, deveria ter sido feita alguma referência às definições apresentadas
no decorrer do livro 2.
A seguir, teceremos alguns comentários sobre a demonstração do teorema 1, feita pelo
autor e, para não fugirmos da forma como os teoremas são apresentados, obedecermos a
mesma numeração sugerida.
Teorema 1: Existe um único plano que contém uma reta e um ponto não pertencente
a ela.
75
A forma como o autor demonstra o teorema 1
Ao iniciar a demonstração, nos parágrafos 1 e 2, o autor sugere que sejam considerados
pontos pertencentes e não pertencentes a uma reta, isto é, utiliza postulados que deveriam ter
sido acrescentados aos três já citados no início da seção e, não foram. Ou seja:
Postulado 4: Toda reta é um conjunto infinitos de pontos.
Postulado 5: Fora de uma reta há infinitos pontos.
Posteriormente, no parágrafo 3, é usada a definição de pontos colineares sem ser feita
nenhuma referência a ela. Onde na realidade, na figura 6.6, podemos perceber que essa
definição foi citada no decorrer do livro 2 e, nesse momento, era uma boa oportunidade de
mostrar ao aluno onde poderia ser utilizada.
Ainda no parágrafo 3, é utilizado o termo, "por hipótese". Entretanto, em nenhum
momento foi explicado ao aluno, o que seria a hipótese de um teorema. É interessante que
não só essa(s) hipótese(s) como também a tese dos teoremas, sejam identificadas antes de
iniciarmos a demonstração assim, já se percebe o que é disposto para ser utilizado e, o que
se quer demonstrar.
Observamos que os postulados 1, 2 e 3, apresentados na figura 6.17, foram bem utilizados nos parágrafos 3 e 4 da demonstração e, a maneira como eles são citados, convencem
o aluno de que, o método axiomático foi utilizado, mesmo que, segundo nossa opinião, a
redação da demonstração tenha deixado a desejar.
Nossa demonstração do teorema 1
Para demonstrarmos o teorema 1, utilizaremos tanto os postulados 1, 2 e 3 apresentados
pelo autor (Figura 6.17), como os que citamos 4 e 5, e as definições expostas na figura 6.6.
• Hipótese - Um ponto não pertencente a uma reta
• Tese - Existe um único plano que contém esse ponto e essa reta
Consideremos, por hipótese, um ponto P e uma reta r, tal que P ∈
/ r (Pelo postulado 5).
De acordo com o Postulado 4 acima, consideremos os pontos distintos Q e R pertencentes a reta r. Como P não pertence à reta r, temos por definição (Figura 6.6) que, os pontos
P, Q e R não são colineares. Logo, pelo postulado 2, temos que existe um único plano α que
contém os pontos P, Q e R.
Note que, dois pontos da reta r pertencem ao plano α assim, pelo Postulado 3, podemos
garantir que a reta r está contida no plano α que por sua vez contém o ponto P. Como α é o
único plano que contém os pontos P, Q e R também é o único plano que contém o ponto P e
a reta r. 76
Figura 6.17: Método dedutivo
77
Figura 6.18: Método dedutivo
Enfim, o método axiomático foi apresentado de forma desvinculada, é como se toda
teoria apresentada no livro 2 não fosse necessária e não tivesse importância na aplicação do
sistema dedutivo.
78
6.5
Análise da seção Atividades Adicionais apresentada no
livro 2
No final do capítulo é apresentada uma lista de exercícios, intitulada atividades adicionais, a qual relaciona questões de vestibulares divididas por região (Norte, nordeste, centrooeste . . . ), conforme podemos ver nas figuras 6.19 e 6.20. Essa é uma atitude considerada
vantajosa pois, prepara o aluno para o tipo de questões que irá se deparar nos processos seletivos que irá se submeter. Por esse motivo, é interessante que esse tipo de questão seja
trabalhada, não só no final do capítulo e sim, durante todo o estudo e, essa atitude não foi
executada no decorrer do livro 2.
Figura 6.19: Atividades Adicionais
79
Figura 6.20: Atividades Adicionais
80
Capítulo 7
Conclusões
Iniciando nossas conclusões finais, gostaríamos de enfatizar que as considerações feitas aqui, não se remetem as coleções, Conexões com a Matemática [1] e Matemática Contextos e Aplicações [3] como um todo, e sim aos capítulo que introduzem a geometria espacial,
principalmente a maneira como o método axiomático é apresentado ao aluno do ensino médio.
Com o intuito de favorecer o entendimento do leitor, sempre que nos referirmos aos
livros 1 e 2, estamos tratando da análise feita, nos capítulos 5 e 6 respectivamente, do nosso
trabalho.
7.1
Considerações feitas sobre os critérios sugeridos pelo
PNLD
Alguns critérios são recomendados pelo PNLD - 2012[11] a fim de que o ensino da
Matemática possa capacitar o aluno a desenvolver o seu conhecimento. Esses critérios foram
citados no capítulo 2, na seção 2.3 do nosso trabalho e, nos focaremos nos ítens 8 e 11 pelo
fato de fazerem referência ao estudo da Geometria.
8. Reconhecer regularidades e conhecer as propriedades das figuras geométricas planas e sólidas, relacionando-as com os objetos de uso comum e com as representações gráficas e
algébricas dessas figuras, desenvolvendo progressivamente o pensamento geométrico;
11. Estabelecer relações entre os conhecimentos nos campos de números, funções, equações
algébricas, Geometria analítica, Geometria, Estatística e Probabilidade, para resolver
problemas, passando de um desses quadros para outro, a fim de enriquecer a interpretação do problema, encarando-o sob vários pontos de vista.
81
Livro 1
Considerando os ítens citados acima e, salientando que fizemos a análise apenas de
um capítulo do livro analisado, observamos que os autores do livro 1, atendem as exigências
descritas pelo PNLD, no item 8, pois ao finalizar o estudo do capítulo, o aluno estará apto
a reconhecer as propriedades de algumas figuras geométricas, aplicar essas propriedades na
sua vida cotidiana e trabalhar com a linguagem simbólica que, não deixa de ser uma maneira
de representar algebricamente tais figuras.
Quanto ao item 11 não percebemos relação entre o conteúdo trabalhado no livro 1 e
os demais conhecimentos e ramos da Matemática. Isso não nos garante que os autores não
atendem a essa exigência do PNLD pois observamos apenas um capítulo e, esse requisito
pode ter sido atendido no decorrer do livro.
Livro 2
Dos critérios mencionados acima, percebemos que no livro 2, a exigência feita no
item 8 foi atendida, realmente foram apresentadas algumas figuras geométricas com suas
respectivas propriedades e representações gráficas.
Já em relação ao item 11 não percebemos vínculo com conteúdos vistos anteriormente
e, a aplicação do conteúdo na resolução de problemas também não foi observada.
7.2
Considerações feitas sobre as componentes básicas: Conceituação, manipulação e aplicação
Livro 1
Na nossa análise do livro 1, percebemos que as componentes básicas, conceituação,
manipulação e aplicação, apresentadas no capítulo 3 do nosso trabalho, podem ser observadas.
No geral, consideramos que os autores preservaram uma boa conceituação pois, utilizaram uma linguagem adequada e precisa, sem muito formalismo, viabilizando um bom
entendimento do aluno. Não identificamos erros de impressão nas definições e foram todas
bem elaboradas, ilustradas e destacadas em forma de caixa de texto e os objetos definidos
gravados em negrito, salientando que encontramos alguns termos destacados em negrito e
não definidos a exemplo, na figura 5.17 o termo perpendicularismo não é definido.
Podemos observar a componente manipulação quando os autores utilizam uma sequência de definições e postulados para construir toda uma teoria, como também nos exercícios
resolvidos e propostos, desenvolvendo no aluno atitudes condicionadas na resolução de situações problemas.
A aplicação é a componente básica menos observada na nossa análise. Nos exercícios
pouco notificamos a presença de contextualizações que vão de problemas triviais do dia a dia
82
a questões aplicadas a outras áreas de conhecimento ou seja, problema que possam vincular
o conteúdo explorado com a realidade do aluno.
Livro 2
As componentes básicas conceituação, manipulação e aplicação apresentadas no capítulo 3 do nosso trabalho podem ser observadas no livro 2. No entanto, podemos perceber que
a conceituação é a mais enfatizada pois a forma como o autor destaca, em caixas de texto
de fundos coloridos, as definições, axiomas e teoremas é uma postura fiel na utilização da
conceituação.
A questão da manipulação poderia ter sido melhor explorada no decorrer do livro 2.
De acordo com as definições e os postulados apresentados no decorrer do capítulo, alguns
teoremas deveriam ter sido demonstrados e assim apresentado o método axiomático. Com
isso, o aluno compreenderia a importância de estudar tais conteúdos.
Em relação a aplicação, sentimos falta de exercícios resolvidos envolvendo o conteúdo
apresentado pois esses exercícios levam o aluno a fixar e exercitar toda teoria apresentada.
Nos exercícios propostos não observamos aplicações que despertassem no aluno o prazer em
estar estudando algo que tenha conexão entre os temas apresentados e o mundo real.
7.3
Nossas considerações sobre a apresentação do método
axiomático
Livro 1
No capítulo 4 do nosso trabalho, apresentamos uma sequência de conceitos que devem
ser utilizados e aplicados ao se desenvolver a teoria do método axiomático ou sistema dedutivo. Diante do exposto, percebemos que essa teoria é bem aplicada no livro 1, os autores
se preocupam em construir gradativamente o método axiomático, definindo noções primitivas, apresentando postulados (axiomas), definindo alguns objetos e utilizando toda teoria na
demonstração de alguns teoremas.
Percebemos que no início do livro 1, o método axiomático é muito aplicado e, a medida
que os autores vão apresentando essa teoria, sua utilização vai se tornando menos evidente
pelo simples fato de já se ter uma teoria construída não havendo necessidade de repetir o que
já foi apresentado.
Em relação ao sistema dedutivo, observamos que na citação do PNLD apresentada
na página 22 do nosso trabalho, realmente os autores dão um tratamento cuidadoso a Geometria, aplicando de forma coerente e sobre um rigor adequado, o método axiomático em
demonstrações pertinentes.
Concluímos assim, que o livro 1, é considerado um material que consegue repassar as
informações necessárias ao aluno para a assimilação do que seja o sistema dedutivo e suas
83
devidas aplicações. Quanto a nós, professores, podemos usufruir do livro didático analisado como auxílio na transmissão do conteúdo, todavia, devemos buscar sanar as pequenas
lacunas deixadas pelos autores no decorrer do material.
Livro 2
Como mencionamos no decorrer de nossa análise, no livro 2, segundo nossa análise,
não é dada a importância necessária ao método axiomático, percebemos que o autor fala
de conceitos primitivos, postulados e teoremas, fornece uma ordem de apresentação (Fundo
rosa - definições, fundo laranja - teoremas e fundo azul - postulados) que não conduz ao que
se esperaria, o importante seria utilizá-los para demonstrar resultados geométricos.
A forma como o sistema dedutivo é exposto, o aluno é um agente passivo no processo
ensino-aprendizagem, é levado a aceitar como verdadeiro o que lhe é imposto, pelo autor e
pelos desenhos.
As demonstrações apresentadas no final do capítulo analisado aparecem como uma espécie de desencargo de consciência, para não dizer que não foi feita nenhuma demonstração.
É como se os conceitos apresentados durante o capítulo seja uma coleção de definições e
afirmações que devem apenas ser memorizadas pelo aluno e que não tem nenhuma utilidade.
Enfim, em se tratando do método axiomático o livro 2, na nossa concepção, não seria
o material satisfatório na transmissão dessa teoria. Deixa lacunas significativas na compreensão do conteúdo.
84
Referências Bibliográficas
[1] BARROSO , J. M.; Conexões com a matemática, Vol 2, Editora Moderna, 1a ed. São
Paulo 2010.
[2] BRAZ, F. M. História da Geometria Hiperbólica. Geometria Hiperbólica, Belo Horizonte: UFMG, 2009.
[3] DANTE, Luiz Roberto; Matemática: Contexto e Aplicação, Vol 2, 1a ed. São Paulo
2011.
[4] DE MORAIS FILHO, D. C.; Manual de Redação Matemática. Com um dicionário
etimológico-explicativo de palavras usadas na Matemática e um capítulo especial sobre como escrever uma dissertação, 2a ed. Fabrica de Ensino. Campina Grande - PB,
2009.
[5] DE MORAIS FILHO, D. C.; Um Convite a Matemática. Coleção Professor de Matemática. 2a ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.
[6] LAJOLO, M. Livro didático: um (quase) manual do usuário. In: Em aberto, ano 16,
n.69, Brasília, 1996.
[7] LIMA, E. L., MORGADO, A. C., JÚDICE, E. D., WAGNER, E. DE CARVALHO, J.
B. P., CARNEIRO, J. P. Q., GOMES, M. L. M., e CARVALHO, P. C. P., Exame de
Textos. Análise de livros de Matemática para o Ensino Médio, VITAE, IMPA e SBM.
Rio de Janeiro, 2001.
[8] Normas da ABNT – NBR 6023: Elaboração de referências, (2000). Disponível em <http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/RegulamentoseNormas/ABNTNBR6023.pdf>. Acesso em 15 out 2014.
[9] OLIVEIRA, J. B. A. et al. A política do livro didático. São Paulo: Sammus, 1984.
85
[10] PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS - PCNEM: Ensino Médio. Ciências
da Natureza, Matemáica e suas tecnologias. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília, 1999.
[11] PNLD - 2012. Guia de Livros didáticos . Ensino Médio. Matemática. Ministério da
Educação, Secretaria de Educação Básica, Brasília, 2011.
86