UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL
CAMPUS I - SALVADOR
Matéria / Disciplina: Introdução à Informática
Sistema de Numeração
Definição
Um sistema de numeração pode ser definido como o conjunto dos dígitos utilizados
para representar quantidades e as regras que definem a forma de sua representação. O
número de dígitos utilizados no sistema é determinado por sua base. É a base que
determina o valor de cada dígito de acordo com a sua posição.
Tipos de Sistemas de Numeração
São quatro os sistemas de numeração utilizados habitualmente:
? Sistema Decimal
? Sistema Binário
? Sistema Octal
? Sistema Hexadecimal
Sistema Decimal
O sistema utilizado pelo homem no seu dia-a-dia é o sistema decimal e alguns
estudiosos atribuem a sua origem aos dedos das mãos, os quais eram utilizados para
contar. O sistema decimal, como o próprio nome sugere, é um sistema de base dez,
portanto com dez dígitos para representá-lo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Trata-se de um
sistema posicional, que significa dizer, que o valor de cada dígito é relativo e dependerá
da sua posição no número.
Para entendermos o que é um sistema posicional, vamos ver os exemplos a seguir, onde
temos os mesmos dígitos, porém os seus valores são diferentes devido à sua posição. No
exemplo “A”, o dígito “7” equivale a sete centenas, já no exemplo “B” este dígito
equivale sete dezenas, isso quer dizer que o valor do dígito depende da sua posição:
O dígito 7, aqui
equivale
a 7 centenas
274
724
O dígito 7, aqui
equivale
a 7 dezenas
Exemplo B
Exemplo A
Ao falarmos sobre um sistema posicional é necessário expormos o teorema fundamental
da numeração. Este teorema relaciona uma quantidade expressa em qualquer sistema de
numeração com a mesma quantidade expressa no sistema decimal, falando de forma
mais simples, este teorema permite a conversão de números em outras bases para a base
decimal. Ele é dado pela seguinte fórmula:
i
Número = S (dígito) x (base)
i
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Onde:
base: é a base em que se encontra o número, que pode ser decimal, hexadecimal, octal,
binário,etc;
i = A posição do dígito no número
dígito = Cada um dos dígitos que compõe o número
Um exemplo bastante simples é fazermos a conversão de decimal para decimal, assim
podemos observar como é feita a composição do número. Vamos usar o número 724 na
base dez e vermos como este número é obtido, mostrando assim além da sua obtenção o
sentido de um sistema posicional. Vamos usar o teorema que foi explicado
anteriormente.
i
Número = S (dígito) x (base)
i
2
1
724 = (7 x 10) + (2 x 10) + (4 x 10)
724 = 700 + 20 + 4
724 = 724
0
Figura X – Demonstração de como é obtido um número na base decimal
Sistema Binário
O sistema binário é o sistema utilizado pelos computadores. É um sistema de base dois
que possui dois dígitos para representá-lo: “0” e “1”. O sistema binário é também
chamado de sistema digital, onde o dígito “0” representa a ausência de tensão e o dígito
“1” a presença de tensão. Cada dígito do sistema binário representa um bit (contração de
BInary DigiT).
Como dissemos no item anterior, podemos utilizar o Teorema Fundamental da
Numeração para obtermos o número na forma decimal.
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Sistema Octal
O sistema Octal possui base oito, que significa dizer que utiliza oito dígitos para a sua
representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Este sistema é também um sistema posicional e
poderemos utilizar o teorema fundamental da numeração para fazer a sua conversão
para a base decimal, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo: Qual é o número decimal X representado pelo octal 523?
Neste caso vale lembrar que a base é “8”.
i
X = S (dígito) x (base)
i
2
1
X = (5 x 8) + (2 x 8) + (3 x 8)
X = 320 + 16 + 3
X = 339
0
Figura X – Conversão do octal 523 para a base decimal
Então o octal “523” equivale ao decimal “339”. Mais adiante faremos um resumo sobre
as conversões de base de um sistema para outro.
Sistema Hexadecimal
O sistema hexadecimal utiliza 16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E , F.
Para evitar que o número seja confundido com os sistema de decimal, utiliza-se
normalmente a letra H após o número. Este sistema é bastante utilizado na
programação, por ser uma forma reduzida de representação, uma vez que precisamos
apenas de quatro bits para representar qualquer um dos seus dígitos, o que permite
representar em um Byte dois dígitos hexadecimais. Se você não se lembra o que é bit e
byte, retorne à seção xxx, pois é fundamental que você tenha bem claro esta definição.
Trata-se de também de um sistema posicional, similar ao sistema decimal, o que nos
permite utilizar o teorema da numeração para fazer a conversão de base de hexadecimal
para decimal, como será mostrado no exemplo a seguir. A tabela x, mostra a
equivalência de decimal para hexadecimal para os 16 primeiros dígitos, verifique que
são utilizadas as letras, A, B, C, D, E e F para representar os decimais: 10, 11, 12, 13,
14 e 15.
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Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Conversão de base
A Conversão de base é a passagem de uma base para outra. A tabela a seguir mostra um
resumo sobre os procedimentos para fazer as conversões e em seguida colocamos
exemplos para tornar o aprendizado mais claro.
De
Decimal
Para
Binário
Decimal
Hexadecimal
Decimal
Octal
Binário
Decimal
Binário
Hexadecimal
Binário
Octal
Octal
Binário
O que fazemos
Divide o número por 2 sucessivas vezes até que
o seu quociente seja 0. Toma-se todos os restos
na ordem inversa de obtenção.
Essa conversão é idêntica à conversão de
decimal para binário. Basta dividir por 16 até
que o quociente seja igual a zero. Tomam-se
todos os restos na ordem inversa de obtenção.
Sucessivas divisões por 8 e tomam-se os restos
das divisões, na ordem inversa, assim como as
conversões anteriores.
Utiliza o teorema fundamental da numeração.
Lembrando que a base é 2
Agrupa-se os dígitos binários de 4 em 4, da
direita para a esquerda, substituindo cada grupo
de 4 por seu equivalente em hexadecimal.
Agrupa-se os dígitos binários de 3 em 3, da
direita para a esquerda, substituindo cada grupo
de 3 por seu equivalente em octal.
Substitui-se cada dígito do número octal por seu
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Octal
Decimal
Octal
Hexadecimal
Hexadecimal
Decimal
Hexadecimal
Octal
Hexadecimal
Binário
equivalente em binário. Na realidade é só
observar a tabela de conversão e fazer a
substituição.
Utiliza-se neste caso o teorema fundamental da
numeração. Não se esqueça que neste caso a
base é 8.
Um pouco mais complexo que as demais
conversões. È necessário converter o número
para binário e então fazer a conversão do
binário para hexadecimal.
Aplica-se o Teorema fundamental da
numeração, lembrando-se que neste caso a base
é 16.
Um pouco mais complexo que as demais
conversões. È necessário converter o número
para binário e então fazer a conversão do
binário para hexadecimal. Basta agrupar de 4
em 4 os números obtidos da direita para a
esquerda, após o ponto decimal e então fazer a
substituição de cada grupo pelo seu equivalente
em hexadecimal
Consulta-se a tabela de conversão para
substituir cada dígito hexadecimal pelo seu
equivalente de 4 dígitos em binário.
De Decimal para Binário
Vale a pena lembrarmos de alguns nomes na conta de dividir, para evitarmos possíveis
erros por conta da nomenclatura.
Dividendo
Resto
Divisor
5
1
2
2
Quociente
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Como foi visto no tabela resumo, basta fazer as sucessivas divisões por 2 até que o
quociente seja igual a zero. O resultado será dado pro todos os restos obtidos, na ordem
inversa. Veja a seguir:
5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
510 = 1012
11 2
1 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
1110 = 1011 2
De Decimal para Hexadecimal
Basta dividir por 16 até que o quociente seja igual a zero. Tomam-se todos os restos na
ordem inversa de obtenção.
55 16
7 3 16
3 0
55
10
= 37
684 16
12 42 16
10 2 16
2 0
68410 = 2AC16
16
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De Decimal para Octal
Sucessivas divisões por 8 e tomam-se os restos das divisões, na ordem inversa, assim
como as conversões anteriores.
125 8
5 15 8
7 1 8
1 0
55 8
7 6 8
6 0
55
10
= 67
12510 = 175
8
8
De Binário Decimal
Utiliza o teorema fundamental da numeração. Lembrando que a base é 2.
i
Número = S (dígito) x (base)
i
Tomemos como exemplo o binário 110101 e desejamos saber o seu equivalente em
decimal.
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De Binário Hexadecimal
Agrupa-se os dígitos binários de 4 em 4, da direita para a esquerda, substituindo cada
grupo de 4 por seu equivalente em hexadecimal. Convém lembrarmos que os símbolos
do sistema hexadecimal são de 0 a 9 e de A a F, para os números de 10 a 15. Veja o
exemplo a seguir:
No caso desta questão, a melhor coisa a fazer é construir a tabela de equivalência para
facilitar a visualização e imediata conversão.
De Binário para Octal
Agrupa-se os dígitos binários de 3 em 3, da direita para a esquerda, substituindo cada
grupo de 3 por seu equivalente em octal. Veja o exemplo a seguir:
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De Octal para Binário
Substitui-se cada dígito do número octal por seu equivalente em binário. Na realidade é
só observar a tabela de conversão e fazer a substituição, por isso é fundamental que
saibamos construir a tabela geral com as equivalências para os dígitos de cada sistema
de numeração.
Octal para Decimal
Utiliza-se neste caso o teorema fundamental da numeração. Não se esqueça que neste
caso a base é 8. A figura a seguir mostra um exemplo desta conversão:
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De Hexadecimal para Decimal
Aplica-se o Teorema fundamental da numeração, lembrando-se que neste caso a base é
16.
De Hexadecimal para Binário
Consulta-se a tabela de conversão para substituir cada dígito hexadecimal pelo seu
equivalente de 4 dígitos em binário.
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De Octal para Hexadecimal
Um pouco mais complexo que as demais conversões. È necessário converter o número
para binário e então fazer a conversão do binário para hexadecimal. Basta agrupar de 4
em 4 os números obtidos da direita para a esquerda, após o ponto decimal e então fazer
a substituição de cada grupo pelo seu equivalente em hexadecimal. Veja o exemplo a
seguir:
De Hexadecimal para Octal
Também um pouco mais complexo que as demais conversões. É necessário converter o
número para binário e então fazer a conversão do binário para Octal. Agrupa-se de 3 em
3 do ponto decimal da direita para a esquerda, substituindo cada grupo de 3 dígitos pelo
seu equivalente em octal. Veja o exemplo a seguir:
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Tabela de equivalência entre sistemas de numeração
A tabela a seguir mostra o sistema decimal e o seu equivalente nos sistemas octal,
hexadecimal e binário. Observe que com quatro dígitos binários, podemos representar
os 16 dígitos hexadecimais, o que facilita a conversão de uma base para outra.
Preste bastante atenção, pois no sistema octal, após o “7” vem o “10” e no sistema
hexadecimal, após o “9” vem a letra “A”. Você deve estar se perguntando: “Eu vou ter
que decorar esta tabela?”. Felizmente, não! Vamos ensiná-lo a construí-la de forma
rápida e prática, uma vez que ela é fundamental para a conversão de base.
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Dica
Agora que já sabemos sobre os sistemas de numeração, a sua definição e a sua
conversão de base, vamos usar a calculadora do Windows para treinar. Talvez você
saiba, mas muita gente não sabe que aquela calculadora do Windows possui uma
ampliação que nos permite utilizar operações mais complexas, com seno, coseno, raiz
cúbica, etc, ela permite fazer de forma simples as conversões das bases: decimal, octal,
hexadecimal e binária.
Acionando a calculadora Científica
Abra a calculadora do Windows. Para isso vá ao menu “Iniciar” clique na opção
“Todos os programas”, depois em “Acessórios” e em seguida em “Calculadora”. A
figura x dá uma idéia do caminho para abrir a calculadora.
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como mostra a figura x, clique em exibir e escolha a opção “Científica”. A calculadora
será ampliada com novas funções como mostra a figura “Y”.
Agora você pode fazer a conversão de base, basta colocar o número na base desejada e
clicar na base que se deseja visualizar.
Obs.: A calculadora será útil apenas para treinar e verificar se os seus cálculos estão
corretos, pois normalmente não é permitida a utilização de calculadoras em provas.
Figura X – Caminho para exibir a calculadora do Windows
A figura X, mostra a calculadora padrão do Windows, que permite a realização de
operações fundamentais, como soma, multiplicação, subtração, divisão e raiz quadrada.
Já a figura Y, nos mostra a calculadora expandida para o modo científica, onde podemos
realizar operações mais complexas como seno, cos
Figura X - Calculadora Padrão
Figura Y - Calculadora Científica