Matemática
Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins.
Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal;
Sistema de numeração: Conversões;
Sistemas de Numerações.
Nosso sistema de numeração é constituído por um conjunto de dez símbolos,
também chamados de algarismos e um conjunto de regras que nos permite representar
qualquer número desejado. Nesse sistema o valor de cada símbolo é determinado de
acordo com a sua posição na representação numérica
Exemplo
6 valor 6000 ou 6 . 10 3

2
7 valor 700 ou 7 . 10
No número 6742 temos: 
1
4 valor 40 ou 4 . 10
2 valor 2 ou 2 . 10 0

Devido a essa característica um mesmo algarismo assume dois valores distintos;
- Um absoluto: representado pela idéia expressa pelo próprio algarismo;
- Outro relativo: relacionado com a posição que o número assume na representação
numérica.
No nosso exemplo o algarismo seis assume:
Valor absoluto, que representaremos por VA., 6.
Valor relativo, que representaremos por VR, 6000 ou 6 . 103.
A utilização dessa forma de representação tem origens históricas e se fixou em nossa
cultura por se mostrar mais prática do que outras formas de representação, como a
romana. Com poucos símbolos e um conjunto de regras podemos representar qualquer
número. Com essa forma de representação temos um Sistema de Numeração eficiente.
Da mesma forma que o sistema formal que utilizamos podemos construir outros
sistemas de representação numérica. Para construir um sistema de numeração é
fundamental a definição de uma BASE, que indica a quantidade de símbolos e seu
respectivo valor absoluto. Portanto o nosso sistema de numeração tem base 10, pois
possui em sua estrutura 10 símbolos. Dependendo de nossas conveniências podemos
criar outros sistemas de numeração como o de base 2 que utiliza apenas dois símbolos,
zero e um.
1
1. Analisando a representação de um número no Sistema Decimal:
» Base: 10 (quantidade de símbolos).
» Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, podemos escrever
qualquer número que nossa imaginação pode criar. Isso é possível usando um sistema
de peso relacionado com a posição do algarismo, conforme o exemplo a seguir:
7546 = 7000 + 500 + 40 + 6
Dependendo de sua posição, o digito terá um peso, que denominamos de valor
relativo. Observe que uma análise mais detalhada, do exemplo acima, nos revela
informações importantes sobre nosso sistema de numeração
7546 = 7000 + 500 + 40 + 6
=7 x 1000 + 5 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1
= 7 x 103+ 5 x 102 + 4 x 101 + 6 x 100
O valor relativo de todos os algarismos pode ser representado pelo produto desse
por uma potência de dez, por isso dizemos que esse é um sistema de base dez, que
podemos associar com sua posição. Por exemplo, o algarismo sete, que ocupa quarta
posição é multiplicado por dez elevado a terceira, uma unidade a menos que a de sua
localização na representação numérica.
2. Sistema de numeração numa “b” base qualquer.
Da observação do sistema decimal podemos generalizar:
Dado um conjunto de b símbolos numéricos, a1, a2, a3, .... , ab, um número, com n
algarismos, na base b pode ser representado na forma que chamaremos de decomposta
por:
an . bn-1 + an-1 . bn-2 + an-3.bn-4 + …. + a1 . b0.
No exemplo anterior, o numeral representado 7546, temos:
Base b = 10;
Quantidade de algarismo n = 4, sendo:
a4 =7; a3 = 5; a2 = 4 e a1= 6; logo sua forma decomposta é dada por:
7 . 103+ 5 . 102 + 4 . 101 + 6 ; 100, como já havíamos concluído anteriormente.
Observe que desenvolvendo a expressão acima temos o numeral desejado
Ou seja:
7 . 103+ 5 . 102 + 4 . 101 + 6 . 100 = 7 . 1000 + 5 . 100 + 4 . 10 + 6.1 = 7546
2
2.1. Sistema Binário, base 2 = (?)2:1
» Base: 2. (quantidade de símbolos)
» Elementos: 0 e 1.
Assim como no sistema decimal, dependendo da posição, o algarismo ou bit terá um
peso, valor relativo. O da extrema esquerda será o bit mais significativo e o da extrema
direita será o bit menos significativo.
Exemplo: (1011001)2
A forma fatorada do numeral (1011001)2, que possui 7 algarismos (bits) será:
(1011001)2 = 1 . 26 + 0. 25 + 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20
CUIDADO!! Na base 2 as potencias de base 2 tem os valores indicados abaixo:
26 = (1000000)2
24 = (10000)2
22 = (100)2
25 = (100000)2
23 = (1000)2
21 = (10)2
O que nos leva que o desenvolvimento da expressão acima implica em operações mais
elaboradas do que estamos habituado. Na prática o resultado dessa expressão, fazendo
uso das operações que estamos habituados resulta no equivalente na base 10.
Equivalência entre os números no sistema decimal e binário
Base 10 Base 2
Base 10 Base 2
Base 10 Base 2
Base 10
Base 2
0
0
9
1001
18
10010
27
11011
1
1
10
1010
19
10011
28
11100
2
10
11
1011
20
10100
29
11101
3
11
12
1100
21
10101
30
11110
4
100
13
1101
22
10110
31
11111
5
101
14
1110
23
10111
32
100000
6
110
15
1111
24
11000
33
100001
7
111
16
10000
25
11001
34
100010
8
1000
17
10001
26
11010
35
100011
O sistema binário tem grande aplicação nas ciências da computação, pois esta na
estrutura básica das linguagem de máquina.
1
Para identificar em qual base o numeral está representado escrevemos entre parênteses indicando a base
a direita no índice inferior. Exemplo (1011) 2 representa o numeral 1011 na base 2;
3
2.2. Sistemas Octal (?)8:
»
Base: 8. (quantidade de símbolos)
» Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
O Sistema Octal (base 8) é formado por 8 (oito) símbolos ou dígitos, para representação
de qualquer digito em octal (de 0 a 7).
São necessários três bits para representarmos de 0(000) a 7(111) em binário.
O Sistema Octal é utilizado com o propósito de minimizar a representação de um
número binário e facilitar a manipulação humana.
Exemplo: (2456)8
Forma fatorada: (3456)8 = 2 . 83 + 4 . 82 + 5 . 81 + 6 . 80
Obs. Relembrando:
80 = (1)8
82 = (100)8
84 = (10000)8
86 = (1000000)8
81=(10)8
83 = (1000)8
85 = (100000)8
87= (10000000)8
Equivalência entre os números no sistema decimal e octal.
Base 10 Base 8
Base 10 Base 8
Base 10 Base 8
Base 10 Base 8
0
0
9
11
18
22
27
33
1
1
10
12
19
23
28
34
2
2
11
13
20
24
29
35
3
3
12
14
21
25
30
36
4
4
13
15
22
26
31
37
5
5
14
16
23
27
32
40
6
6
15
17
24
30
33
41
7
7
16
20
25
31
34
42
8
10
17
21
26
32
35
43
2.3. Sistemas Hexadecimal (?)16:
»
Base: 16. (quantidade de símbolos)
»
Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
O Sistema Hexadecimal (base 16) foi criado com o mesmo propósito do Sistema
Octal, o de minimizar a representação de um número binário.
4
Se considerarmos quatro dígitos binários, ou seja, quatro bits, o maior número que
se pode expressar com esses quatro dígitos é 1111, que é, em decimal 15.
Como não existem símbolos dentro do sistema arábico, que possam representar os
números decimais entre 10 e 15, sem repetir os símbolos anteriores, foram usados
símbolos literais: A, B, C, D, E e F.
Exemplo: (1AF3)16
Forma fatorara: (1AF3)16 = 1 . 163 + A . 162 + F . 161 + 3 . 160
O que equivale à:
1 . 163 + 10 . 162 + 15 . 161 + 3 . 160
Obs: Relembrando:
160 = (1)16
162= (100)16
164 = (10000)16
166 = (1000000)16
161 = (10)16
163= (1000)16
165 = (100000)16
167 = (10000000)16
Equivalência entre os números no sistema decimal e Hexadecimal.
Base 10 Base 8
Base 10 Base 8
Base 10 Base 8
Base 10 Base 8
0
0
9
9
18
12
27
1B
1
1
10
A
19
13
28
1C
2
2
11
B
20
14
29
1D
3
3
12
C
21
15
30
1E
4
4
13
D
22
16
31
1F
5
5
14
E
23
17
32
20
6
6
15
F
24
18
33
21
7
7
16
10
25
19
34
22
8
8
17
11
26
1A
35
23
2.4. Conversão Entre os Sistemas de Numeração.
2.4.1. Conversão Base binária, Base octal e Base hexadecimal  Base decimal.
Para converter base binária, base octal e base hexadecimal em base decimal, se utiliza o
Teorema fundamental da Numeração ou seja basta efetuar a expressão, na forma usual (
Base decimal), a forma fatorada.
.
5
Exemplos:
1) Converter (100)2 na base decimal:
____
4
 (100)2 = 1 x 22 + 0 x 21 + 0 X 20 = (4)10
2) Converter (353)8 na base decimal:
 (353)8 = 3 x 82 + 5 x 81 + 3 X 80 = (235)10
3) Converter (A2)16 na base decimal:
 (A2)16 = A x 161 + 2 x 160 = 10 x 161 + 2 x 160 =(162)10
2.4.2. Conversão Base decimal  Base binária, Base octal e Base hexadecimal.
Para converter da base decimal para as demais bases basta dividir, sucessivamente,
pela base o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente
de uma das divisões seja menor que a base.
O resultado é a seqüência de baixo para cima do último quociente mais todos os
restos obtidos.
Base decimal para base binária:
Exemplo converte 10 para binário
10
2
0
5
2
1
2
0
2
1
Logo (10)10= (1010)2
6
Base decimal para base octal:
Exemplo: Converter 234 para base 8
234
8
3
29
5
8
3
Logo (235)10= (353)8
Base decimal para base hexadecimal:
Exemplo: converter 19294 para base 16
19294 16
14 1205
5
16
75
16
11
4
Logo (19294)10 = (4B5E)16*
*lembrando que em hexadecimal, utilizamos a letra B para “11” e E para14.
2.4.3 Conversão Base binária  Base octal e Base hexadecimal.
2.4.3.1 Base binária para Base octal e vice-versa:
Dividir o número binário de 3 em 3 bits, contando sempre da direita para esquerda e
trocar pela tabela 1 (Nota: esta tabela deve ser compreendida – não poderá ser
consultada na prova).
Tabela 1
Decimal
Binário
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2
3
4
5
6
7
1) Converter (1111000111)2 na base octal:
7
(1111000111)2 = (001.111.000.111)2 = 001
 000
 = (1707)8
 111
 111
1
7
7
0
2) Fazer o retorno do resultado obtido:
(1707)8 = 001
 000
 = (001.111.000.111)2 = (1111000111)2
 111
 111
1
7
0
7
3) Converter (010100110000)2 na base octal
(010100110000)2 = (010|100|110|000)2 = (2460)8
2.4.3.2 Base binária para Base hexadecimal e vice-versa:
Dividir o número binário de 4 em 4 bits, contando sempre da direita para esquerda e
trocar pela tabela 2 (Nota: esta tabela deve ser compreendida – não poderá ser
consultada na prova).
Tabela 2
Decimal
Binário
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1) Converter (1010111100110111)2 na base hexadecimal:
(1010.1111.0011.0111)2 = 1010
 0011
 1111
 0111

A
F
3
= (AF37)16
7
O hexadecimal AF37 torna mais fácil o acesso ao número do que o binário
1010111100110111
2) Fazer o retorno do resultado obtido:
(AF37)16 = (1010|1111|0011|0111)2 = (1010111100110111)2
8
2.4.4. Conversão Base Octal  Base hexadecimal.
» Dois passos:
o Converter octal para binário.
o Converter binário para hexadecimal.
Exemplo Converter (5372)8 para base 16
Primeiro: Convertendo (5372)8 para binário temos:
(5372)8 =(101.011.111.010)2
Segundo Convertendo (101.011.111.010)2 = (1010.1111.1010)2 para hexadecimal
(1010.1111.1010)2= (AFA)16
2.4.5. Conversão Base hexadecimal  Base Octal.
» Dois passos:
o Converter hexadecimal para binário.
o Converter binário para octal.
Exemplo Converter (3C7B)16 para base octal
Primeiro convertendo para binário temos:
(3C7B)16 = (0011.1100.0111.1011 )2
Segundo Convertendo de binário para octal
(0011.1100.0111.1011) = (001.111.000.111.1011)2= (36173)8
2.5. Aritmética em Binário
A adição em binário é muito simples. São poucas regras:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10 (a unidade, a esquerda, "vai 1" para o dígito de ordem superior)
1 + 1 + 1 = 11 (a unidade, a esquerda, "vai 1" para o dígito de ordem superior)
9
Exemplo:
00011010 2  00001100 2  00100110 2

(2610 )

(1210 )
 3810
11 (vai um)
00011010
00001100
00100110
Vamos ver agora a subtração em binário:
0-0=0
10 - 1 = 1 ("e empresta 2 (10)2 do próximo bit mais significante")
1-0=1
1-1=0
Exemplo:
001001012  000100012  00010100 2

(3710 )

(1710 )
 (2010 )
"2"
00100101
00010001
00010100
(lembrando que 102 equivale a 210, símbolo usado no exemplo acima, para
facilidade de compreensão)
Exercícios
1) Escreva na forma fatorada os numerais abaixo.
a) (258)10=
b) (642)8=
c) (6B4)16=
d) (10100110)2=
e) (27814)10=
f) (1110111010)2 =
g) (B03F)16=
h) (110112112)8=
2) Converta para base dez os numerais abaixo.
a) (110011)2=
b) (110011)8=
c) (1101)16=
d) (5372)8 =
10
e) (46D3)16=
f) (100011110)2=
3) Converta da base dez para a base indicada os numerais abaixo.
a) (69)10 = (?)2
b) (69)10 = (?)8
c) (69)10 = (?)16
d) (278)10 = ( ? )2
e) (592)10= ( ? )2
f) (592)10= ( ? )8
g) (592)10= ( ? )16
h) (3553)10=( ? )8
i) (3553)10=( ? )16
j) (703168)10= (?)16
4) Converta da base 2 para base 8
a) (110001)2
b) (111011111101)2
c) (1001101100111)2=
d) (111011101)2=
5) Converta da base 2 para base 16
a) (110001)2
b) (111011111101)2
c) (1001101100111)2=
d) (111011101)2=
6) Converta da base 8 para base 16.
a) (5321)8=
b) (12301)8=
c) (60211)8=
7) Converta da base 16 para base 8.
a) (3987)16=
b) (4B3F)16=
c) (A73E)16=
8) Realizar as conversões entre bases numéricas que se pedem. Resultados obtidos
utilizando apenas calculadora não serão aceitos. Justifiquem sempre as
conversões. (Sugestão: se quiserem, utilizem a calculadora apenas para
conferir o resultado final).
a) (100)10 = (?)16
b) (255)10 = (?)16
c) (531)10 = (?)16
d) (1037)10 = (?)16
e) (3156)10 = (?)16
11
f) (FACADA)16 = (?)2
g) (100B0CA)16 = (?)2
h) (110000001100101011011010)2 = (?)16
i) (1111000011001010)2 = (?)16
j) (5C3)16 = (?)10
k) (D0E)16 = (?)10
l) (CA0)16 = (?)10
m) (101011010)2 = (?)8
n) (51)8 = (?)10
o) (365)10 = (?)8
p) (5107)8 = (?)2
q) (FACADAD0E)16 = (?)8
r) (305614)8 = (?)16
9) Fornecer, na base Hexadecimal, 20 números na ordem crescente, a partir de
(250)10. (Nota: Tentem entender a ordem crescente de formação dos números
hexadecimais).
10) Efetue as seguintes operações aritméticas:
a ) 100110 2  1110012 
b) 0011012  1112 
c) 100110 2  101112 
d )1110010 2 101010 2 
e)110000 2  0011112 
f )111001010 2  1001010 2 
12