Geometria Espacial
1. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular
reto, é utilizado na passagem de óleo para um
recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil
e o recipiente possuem a mesma capacidade.
De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes
estão contidos no segmento TQ, perpendicular ao
plano horizontal β.
2
π.
3
4
c) π .
3
8
d) π .
3
e) 3 π .
b)
3. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone
circular reto de eixo vertical recebe água na razão
constante de 1 cm3 s. A altura do cone mede 24 cm,
e o raio de sua base mede 3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da
água no recipiente varia em função do tempo t em
que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde
à distância entre o vértice do cone e a superfície livre
do líquido.
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo
a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio.
Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver
H
exatamente na metade da altura do funil , , o nível
2
do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao
ponto K na geratriz AB.
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada
por:
a)
Admitindo π ≅ 3, a equação que relaciona a altura h,
em centímetros, e o tempo t, em segundos, é
representada por:
a) h = 43 t
b)
b) h = 23 t
c) h = 2 t
d) h = 4 t
c)
d)
2. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem
altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio
4. (Uepg 2014) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são proporcionais aos números 1, 2 e 3 e
sua área total é igual a 198cm2 . Sobre esse
paralelepípedo, assinale o que for correto.
01) Seu volume vale 162cm3 .
02) As suas dimensões formam uma progressão
aritmética.
04) A soma das medidas de todas as suas arestas é
72cm.
08) Sua diagonal é maior que 11cm.
1 cm. O volume desse cone (em cm3 ) é igual a
5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h = 1 cm e
1
a) π .
3
volume V = 50 cm3 tem como base um polígono
convexo de n lados. A partir de um dos vértices do
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polígono traçam-se n − 3 diagonais que o decompõem
em n − 2 triângulos cujas áreas Si , i = 1, 2, ..., n − 2,
constituem uma progressão aritmética na qual
3
S3 = cm2 e S6 = 3 cm2 . Então n é igual a
2
a) 22.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 32.
6. (Cefet MG 2014) No contexto da Geometria
Espacial, afirma-se:
I. Se uma reta é paralela a um plano, então ela está
contida nesse plano.
II. Duas retas sem ponto comum são paralelas ou
reversas.
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de
um deles é paralela ao outro.
IV. Duas retas distintas paralelas a um plano são
paralelas entre si.
São corretas apenas as afirmativas
a) I e II.
b) I e III.
c) II e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
7. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir representa uma
cadeira onde o assento é um paralelogramo
perpendicular ao encosto.
d) 56.
9. (Uepg 2014) Em um poliedro convexo
só há faces triangulares e
quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e
pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12
vértices, assinale o que for correto.
01) O número de arestas é 50.
02) O número de faces quadrangulares é a metade do
número de faces triangulares.
04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do
número de ângulos pentaédricos.
08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos.
16) O número de ângulos tetraédricos é 5.
10. (Uepb 2014) Uma cisterna de formato cúbico cuja
2
área lateral mede 200m tem por volume,
aproximadamente:
a) 250 2 m3
b) 25 2 m3
c) 2500 2 m3
d) 352 2 m3
e) 125 2 m3
11. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
01) No último inverno, nevou em vários municípios de
Santa Catarina, sendo possível até montar
bonecos de neve. A figura abaixo representa um
boneco de neve cuja soma dos raios das esferas
que o constituem é igual a 70cm. O raio da esfera
menor é obtido descontando 60% da medida do
raio da esfera maior. Então, o volume do boneco
de neve considerado é igual a 288 π dm3 .
A partir dos pontos dados, é correto afirmar que os
segmentos de retas
a) CD e EF são paralelos.
b) BD e FJ são concorrentes.
c) AC e CD são coincidentes.
d) AB e EI são perpendiculares.
8. (Uece 2014) Um poliedro convexo tem 32 faces,
sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de
vértices deste polígono
a) 90.
b) 72.
c) 60.
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02) O MMA é uma modalidade de luta que mistura
várias artes marciais. O ringue onde ocorre a luta
tem a forma de um prisma octogonal regular. Suas
faces laterais são constituídas de uma tela para
proteção dos atletas. Se considerarmos a aresta
da base com medida igual a 12 m e a altura do
prisma igual a 1,9 m, para cercar esse ringue
seriam necessários 182,4 m2 de tela.
04) Para a festa de aniversário de sua filha, Dona
Maricota resolveu confeccionar chapéus para as
crianças. Para tanto, cortou um molde com a
Página 2
forma de semicírculo cujo raio mede 20 cm. Ao
montar o molde, com o auxílio de um adesivo,
gerou um cone cuja área lateral é igual à área do
molde. Dessa forma, a altura desse cone é igual a
10 3 cm.
08) Fatos históricos relatam que o ícone da
Renascença, Leonardo da Vinci, no século XV,
idealizou uma espécie de paraquedas. O protótipo
teria o formato de uma pirâmide regular de base
quadrangular, como mostra a figura.
Recentemente, recriaram o modelo, construindo
uma pirâmide com o mesmo formato, cujas
arestas medem 6 m. Portanto, para fechar as
estudos de apicultores americanos
comprovam que as abelhas constituem
uma sociedade organizada e que elas
sabem qual o formato do alvéolo que
comporta a maior quantidade de mel.
Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A
Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São
Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.
Um professor de matemática, durante uma aula de
geometria, apresentou aos alunos 3 pedaços de
cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 12 cm
de comprimento, divididos em partes iguais, conforme
figuras abaixo:
laterais, usaram 36 3 m2 de material.
Dobrando os pedaços de cartolina nas posições
indicadas, obtemos representações de prismas retos
com as mesmas áreas laterais e base triangular,
quadrangular e hexagonal. Sendo V3 o volume do
prisma de base triangular, V4 o volume do prisma de
16) A caçamba de um caminhão basculante tem a
forma de um paralelepípedo e as dimensões
internas da caçamba estão descritas na figura.
Uma construtora precisa deslocar 252 m3 de terra
de uma obra para outra. Dessa forma, com esse
caminhão serão necessárias exatamente 24
viagens para realizar esse deslocamento.
base quadrangular e V6 o volume do prisma de base
hexagonal, é correto afirmar que:
Adote: 3 = 1,7.
a) V 3 < V 6 < V 4 .
b) V 3 < V 4 < V 6 .
c) V 4 < V 3 < V 6 .
d) V 6 < V 3 < V 4 .
e) V 6 < V 4 < V 3 .
13. (Ufrgs 2014) Os vértices do hexágono
sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das
arestas de um cubo.
12. (Uepa 2014) A natureza é uma fonte inesgotável
de comunicação de saberes necessários à
sobrevivência da espécie humana, por exemplo,
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Se o volume do cubo é 216, o perímetro do hexágono
é
a) 3 2 .
Página 3
b) 6 2 .
a)
c) 9 2 .
d) 12 2 .
e) 18 2 .
b)
1
3
3
3
3
2
d) 1
e) 3
c)
14. (Ufpr 2014) As figuras abaixo apresentam um
bloco retangular de base quadrada, uma pirâmide cuja
base é um triângulo equilátero, e algumas de suas
medidas.
17. (Espm 2014) No sólido representado abaixo,
sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos
de áreas 6 cm2 e 10 cm2 , respectivamente.
a) Calcule o volume do bloco retangular e a área da
base da pirâmide.
b) Qual deve ser a altura da pirâmide, para que seu
volume seja igual ao do bloco retangular?
15. (Ufrgs 2014) Na figura abaixo, encontra-se
representada a planificação de um sólido de base
quadrada cujas medidas estão indicadas.
O volume desse sólido é de:
3
a) 8 cm
3
b) 10 cm
3
c) 12 cm
3
d) 16 cm
3
e) 24 cm
18. (Udesc 2014) Um bloco sólido de pedra com
forma de paralelepípedo retângulo de 12 metros de
altura, 10 de largura e 4 metros de profundidade é
demarcado de forma a ser dividido em 30
paralelepípedos iguais e numerados, conforme mostra
a figura.
O volume desse sólido é
a) 144.
b) 180.
c) 216.
d) 288.
e) 360.
16. (Uneb 2014) A pele é o maior órgão de seu corpo,
com uma superfície de até 2 metros quadrados. Ela
tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a
derme, interna.
(BREWER. 2013, p. 72).
De acordo com o texto, a superfície máxima coberta
pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja
diagonal, em m, é igual a
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Se forem extraídos os paralelepípedos de número 7,
9, 12 e 20, então a nova área superficial do bloco será
Página 4
de:
2
a) 480 m
2
b) 104 m
2
c) 376 m
2
d) 488 m
2
e) 416 m
19. (Ufg 2014) O projeto Icedream é uma iniciativa
que tem como meta levar um iceberg das regiões
geladas para abastecer a sede de países áridos. A
ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma
cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir
representa a forma que o iceberg tem no momento em
que é amarrada à cinta para rebocá-lo.
Considerando que o iceberg é formado somente por
água potável e que, após o deslocamento, 10% do
volume do bloco foi perdido, determine qual a
quantidade de água obtida transportando-se um
iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na
figura apresentada.
20. (Ufrgs 2014) No cubo de aresta 10, da figura
abaixo, encontra-se representado um sólido
sombreado com as alturas indicadas no desenho.
O volume do sólido sombreado é
a) 300.
b) 350.
c) 500.
d) 600.
e) 700.
21. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de
paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de
10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é
preenchida com água a uma vazão de 5.000 litros por
hora.
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Após três horas e meia do início do
preenchimento, a altura da água na
piscina atingiu:
a) 25cm
b) 27,5cm
c) 30 cm
d) 32,5 cm
e) 35 cm
22. (Upf 2014) As quatro faces do tetraedro ABCD
são triângulos equiláteros. M é o ponto médio da
aresta AB:
O triângulo MCD é:
a) escaleno.
b) retângulo em C.
c) equilátero.
d) obtusângulo.
e) estritamente isósceles.
23. (Uece 2014) Sejam X, Y e Z três pontos fixos
distintos e não colineares, e P um ponto do espaço,
vértice de uma pirâmide cuja base é o triângulo XYZ e
3
cuja medida do seu volume é 3 m . O conjunto de
todos os pontos P que cumprem esta condição é
formado por
a) duas retas paralelas.
b) um plano.
c) dois planos.
d) exatamente dois pontos.
24. (Uepa 2014) As pirâmides comunicam, ainda
hoje, os valores culturais de uma das civilizações mais
intrigantes da humanidade. Foram construídas para a
preservação do corpo do faraó. De acordo com a
lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram
construídas de tal modo que a área da face era igual
ao quadrado da altura da pirâmide.
Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A
Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São
Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.
Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado
mede 2a, a altura H e altura da face h, construída
segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área
da face da pirâmide, então é correto afirmar que:
a) S = ( a + h )( a − h ) .
b) S = ( h + a )( h − a ) .
Página 5
2
c) S = ( a + h ) .
2
d) S = ( h − a ) .
e) S = a2 ⋅ h2 .
25. (Ufpr 2014) Um cilindro de raio r está inscrito em
uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo.
Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume
desse cilindro seja igual a 72π.
a) 13 − 2.
b) 3.
c) 3 2.
d) 2 5.
e) 4.
26. (Uemg 2014) Uma empresa de produtos de
limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa
para seu produto. Foram apresentados dois tipos de
embalagens com volumes iguais. A primeira é um
cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10
cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões
iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do
material utilizado na fabricação das embalagens custa
R$ 25,00.
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros
cúbicos?
a) 2,16 × 105
b) 7,2 × 10 4
c) 2,8 × 105
d) 8,32 × 104
e) 3,14 × 105
28. (Ufsm 2014) Uma alternativa encontrada para a
melhoria da circulação em grandes cidades e em
rodovias é a construção de túneis. A realização
dessas obras envolve muita ciência e tecnologia.
Um túnel em formato semicircular, destinado ao
transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a
figura a seguir.
Considerando-se π = 3, o valor da embalagem que
terá o menor custo será
a) R$ 0,36.
b) R$ 0,27.
c) R$ 0,54.
d) R$ 0,41.
27. (Upe 2014) Um torneiro mecânico construiu uma
peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma
forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir:
Considere π ≅ 3
Qual é o volume, em m3 , no interior desse túnel?
a) 4.800 π .
b) 7.200 π .
c) 14.400 π .
d) 28.800 π .
e) 57.600 π .
29. (Acafe 2014) Um tubo cilíndrico reto de volume
128 π cm3 , contém oito bolinhas de tênis de mesa
congruentes entre si e tangentes externamente.
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Página 6
Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião
dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado
pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente,
de:
a) 75.
b) 50.
c) 33.
d) 66.
30. (Uel 2014) No Paraná, a situação do saneamento
público é preocupante, já que o índice de tratamento
de esgoto é de apenas 53%, ou seja, quase metade
das residências no Estado ainda joga esgoto em
fossas. José possui, em sua residência, uma fossa
sanitária de forma cilíndrica, com raio de 1 metro e
profundidade de 3 metros.
Supondo que José queira aumentar em 40% o volume
de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado
percentualmente.
Dado: 1,4 = 1,183
a) 11,8%
b) 14,0%
c) 18,3%
d) 60,0%
e) 71,2%
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Resolução das Questões
Resposta da questão 1:
[A]
r
3
h
=
⇔r= .
h 24
8
O volume desse cone é dado por
Volume do cilindro: V
Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi
Daí, temos:
3
H
Vi  2 
V
=   ⇒ Vi =
V H
8
 
 
Portanto, o volume que estará no cilindro no instante
V 7V
considerado será: V − =
, ou seja, 87,5% do
8
8
volume do cilindro, portanto a alternativa [A] é mais
adequada.
2
V=
1
h3
h
⋅ π ⋅  ⋅h ≅
cm3 .
3
64
8
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a
1cm3 s, segue-se que
V = 1⋅ t = t cm3 ,
com t em segundos.
Em consequência, encontramos
h3
= t ⇔ h = 43 t cm.
64
Resposta da questão 2:
[D]
Considerando O o centro da esfera, temos:
Resposta da questão 4:
01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo
retângulo. Tem-se que
a=k
a b c
= = = k ⇔ b = 2k ,
1 2 3
c = 3k
com k sendo um número real positivo.
Desde que a área total é igual a 198 cm2 , vem
2(ab + ac + bc) = 198 ⇔ k ⋅ 2k + k ⋅ 3k + 2k ⋅ 3k = 99
⇔ k2 = 9
⇒ k = 3.
Por conseguinte, encontramos a = 3cm, b = 6cm e
No triângulo AOD, temos:
AD2 + 12 = 32 ⇒ AD = 8cm
ΔADO − ΔABC ⇒
8 1
4
= ⇒r =
cm
4
r
8
Portanto, o volume V do cone será dado por:
2
V=
 4 
1
1
8⋅π
⋅ π ⋅ R2 ⋅ h = ⋅ π ⋅ 
cm3
 ⋅4 =
3
3
3
8


Resposta da questão 3:
[A]
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da
base do cone semelhante ao cone de altura 24 cm e
altura 3 cm. Logo, temos
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c = 9 cm.
[01] Correto. O volume do paralelepípedo vale
a ⋅ b ⋅ c = 3 ⋅ 6 ⋅ 9 = 162cm3 .
[02] Correto. As dimensões formam uma progressão
aritmética com primeiro termo igual a 3 e razão
igual a 3.
[04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas
é igual a
4(a + b + c) = 4(3 + 6 + 9)
= 72cm.
[08] Correto. A diagonal do paralelepípedo mede
Página 8
Resposta da questão 8:
[C]
a 2 + b2 + c 2 = 32 + 62 + 92
= 126 cm.
Portanto, temos
126 cm > 121cm = 11cm.
Resposta da questão 5:
[C]
A=
Se a altura da pirâmide mede 1cm e seu volume
50cm3 , então a área da base é tal que
50 =
1
⋅
3
n− 2
∑
n− 2
Si ⋅ 1 ⇔
i=1
F: número de faces
A: número de arestas
V: número de vértices
∑ Si = 150 cm2 .
i=1
20 ⋅ 6 + 12 ⋅ 5
= 90
2
F = 32
V=2+A–F
V = 2 + 90 – 32
V = 60.
Resposta da questão 9:
02 + 08 = 10.
Além disso, temos
[01] Incorreto. Pela Relação de Euler, temos
3
S6 = S3 + 3 ⋅ r ⇔ 3 = + 3 ⋅ r
2
1
⇔ r = cm2 .
2
V + F = A + 2 ⇔ 12 + 15 = A + 2
⇔ A = 25.
[02] Correto. Sejam F3 e F4 , respectivamente, o
número de faces triangulares e o número de faces
quadrangulares. Logo, tem-se 3F3 + 4F4 = 2A e
Logo,
3
1
= S1 + 2 ⋅
2
2
1 2
⇔ S1 = cm .
2
F3 + F4 = 15. Portanto, como A = 25, segue que
S3 = S1 + 2 ⋅ r ⇔
F3 = 10 e F4 = 5, o que implica em F4 =
Por conseguinte, o valor de n é
n−2
n−2
⇔ 150 =
2 
∑ Si = [2 ⋅ S1 + (n − 3) ⋅ r] ⋅ 
i=1
1  n − 2 
 1
 2 ⋅ 2 + (n − 3) ⋅ 2  ⋅  2 

 

⇔ (n − 1) ⋅ (n − 2) = 600
⇔ n2 − 3n − 598 = 0
⇒ n = 26.
Resposta da questão 6:
[C]
[I] Incorreta. Uma reta é paralela a um plano se, e
somente se, eles não têm ponto em comum.
[II] Correta. Duas retas distintas sem ponto comum
são paralelas ou reversas.
[III] Correta. Considerando α e β dois planos distintos
paralelos e uma reta r ∈ α, segue-se que
r ∩ β = ∅, o que implica em r β.
[IV] Incorreta. Duas retas distintas paralelas a um
plano podem ser concorrentes.
F3
.
2
[04] Incorreto. Sabendo que em cada ângulo
tetraédrico concorrem 4 arestas, e que em cada
ângulo pentaédrico concorrem 5 arestas, temos
4T + 5P = 2A e T + P = 12, sendo T e P,
respectivamente, o número de ângulos
tetraédricos e o número de ângulos pentaédricos.
Desse modo, obtemos T = 10 e P = 2. Agora, é
fácil ver que T = 5P.
[08] Correto. Lembrando que a soma dos ângulos
internos das faces é igual a (V − 2) ⋅ 4r, com V
sendo o número de vértices do poliedro e r = 90°,
temos (12 − 2) ⋅ 4r = 40r.
[16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o número de
ângulos tetraédricos é igual a 10.
Resposta da questão 10:
[A]
Considerando a a medida da aresta da cisterna:
Resposta da questão 7:
[A]
Como CDEF é paralelogramo, segue-se que
CD EF.
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4 ⋅ a 2 = 200 ⇒ a 2 = 50 ⇒ a = 5 ⋅ 2m
Calculando, agora, o volume V da cisterna, temos:
(
V = a3 = 5 ⋅ 2
)
3
= 250 2 m3
Resposta da questão 11:
02 + 04 + 08 = 14.
[01] Incorreto. Sendo R o raio da esfera maior e r o
raio da esfera menor, temos R + r = 7 dm e
r = 0,4 ⋅ R. Daí, segue que R = 5 dm e r = 2 dm.
Portanto, o volume do boneco de neve é igual a
4π
532 π
⋅ (53 + 23 ) =
dm3 .
3
3
[02] Correto. Serão necessários 8 ⋅ 12 ⋅ 1,9 = 182,4 m2
de tela para cercar o ringue.
[04] Correto. A área lateral do cone é igual a
π
⋅ 202 = 200 π cm2 . Logo, se r é o raio da base
2
do cone, segue que π ⋅ r ⋅ 20 = 200 π ⇔ r = 10 cm.
Portanto, considerando o triângulo retângulo cujos
lados são a geratriz, a altura h e o raio r da base
do cone, pelo Teorema de Pitágoras, vem
h = 202 − 102 = 10 3 cm.
[08] Correto. A área lateral da pirâmide é igual a
4⋅
62 3
= 36 3 m2 .
4
252
= 25
1,2 ⋅ 3,5 ⋅ 2,4
viagens para realizar o deslocamento.
[16] Incorreto. Serão necessárias
Sendo x a medida da aresta do cubo, temos:
x3 = 216 ⇒ x = 6.
Sendo a o lado do hexágono e P seu perímetro,
temos:
a2 = 32 + 32 ⇒ a = 3 2 e P = 6a = 18 2 .
Resposta da questão 14:
a) O volume do bloco retangular é igual a
4 ⋅ 4 ⋅ 8 = 128 u.v.
A área da base da pirâmide é dada por
82 3
= 16 3 u.a.
4
b) Para que o volume da pirâmide seja igual ao do
bloco retangular, sua altura h deve ser tal que
1
24
⋅ 16 3 ⋅ h = 128 ⇔ h =
3
3
⇔ h = 8 3 u.c.
Resposta da questão 15:
[A]
Resposta da questão 12:
[B]
Tem-se que
V3 =
42 3
⋅ 6 ≅ 40,8 cm3 ,
4
e
V6 =
3 ⋅ 22 3
⋅ 6 ≅ 61,2cm3 .
2
Portanto, conclui-se que V3 < V4 < V6 .
Resposta da questão 13:
[E]
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O sólido formado será um prisma de base triangular.
Determinando o valor de x, temos:
x2 + 62 = 102 ⇒ x = 8.
Portanto, o volume V do sólido será dado por:
8⋅6
V = Ab ⋅ h =
⋅ 6 = 144
2
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Resposta da questão 16:
[D]
Cada um dos 30 paralelepípedos
obtidos a partir do bloco tem dimensões
10
12
iguais a
= 2 m, 4 m e
= 2 m,
5
6
conforme a figura.
Chamando as áreas das faces de x e de y, segue-se
Considerando a a medida da aresta do cubo e d a
medida de sua diagonal, temos:
6 ⋅ a2 = 2 ⇒ a2 =
d=a 3 =
1
3
1
1
⇒a=
3
3
⋅ 3 = 1m.
Resposta da questão 17:
[C]
que x = 22 = 4 m2 e y = 2 ⋅ 4 = 8 m2 .
Portanto, extraindo-se os paralelepípedos 7, 9, 12 e
20, tem-se que a nova área superficial do bloco será
igual a
416 + 13y − (8x + y) = 416 + 12y − 8x
= 416 + 12 ⋅ 8 − 8 ⋅ 4
= 480 m2 .
Resposta da questão 19:
A quantidade de água obtida é dada por
Temos
(ABCD) = AB ⋅ BC ⇔ AB ⋅ 2 = 6
⇔ AB = 3cm
56 + 16


0,9 ⋅  12 ⋅ 18 ⋅ 56 +
⋅ (52 − 18) ⋅ 12  = 24.105,6 m3 .
2


e
(BCFE) = BC ⋅ BE ⇔ 2 ⋅ BE = 10
⇔ BE = 5 cm.
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
ABE, obtemos AE = 4 cm.
Resposta da questão 20:
[C]
O sólido sombreado é um prisma de base trapezoidal.
Portanto, seu volume V será dado por:
(7 + 3) ⋅ 10
V = Ab ⋅ h =
⋅ 10 = 500
2
Por conseguinte, o resultado pedido é
AB ⋅ AE
3⋅4
⋅ BC =
⋅ 2 = 12cm3 .
2
2
Resposta da questão 18:
[A]
Sendo a = 10 m, b = 4 m e c = 12 m as dimensões do
bloco, tem-se que sua área total é
A t = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c)
= 2 ⋅ (10 ⋅ 4 + 10 ⋅ 12 + 4 ⋅ 12)
= 416 m2 .
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Resposta da questão 21:
[E]
O volume de água despejado na piscina após três
horas e meia é igual a 3,5 ⋅ 5000 = 17.500 litros.
Portanto, a altura h atingida pela água é tal que
10 ⋅ 5 ⋅ h = 17,5 ⇔ h = 0,35 m = 35cm.
Resposta da questão 22:
[E]
Seja l a medida da aresta do tetraedro ABCD.
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Desde que os triângulos ABC e ABD são
equiláteros, e M é o ponto médio de AB, tem-se que
CM = DM =
l 3
. Daí, sendo CD = l, concluímos que
2
2
l 3
l 3 
CD < CM + DM ⇔ l < 
 +

 2 
 2 
2
2
2
2
2
3l 2
⇔ l2 <
,
2
ou seja, o triângulo MCD é isósceles acutângulo.
No triângulo retângulo da figura temos:
r 2 = 25 − x 2
Resposta da questão 23:
[C]
(I)
O volume do prisma será dado por
π ⋅ r 2 ⋅ 2x = 72π ⇒ r 2 ⋅ x = 36
(II)
Substituindo ( I ) em ( II ), temos:
( 25 − x ) ⋅ x = 36 ⇒ x
2
3
− 25x + 36 = 0
Utilizando o teorema das raízes racionais concluímos
que uma de suas raízes é 4.
Logo, a equação fatorada será da forma
(x − 4),(x2 + 4x − 9) = 0
3
Para que o volume permaneça 3m , as distâncias dos
pontos P ao plano(XYZ) deverão ser iguais, pois
representam as alturas das pirâmides. Portanto,
qualquer ponto P deverá pertencer a um dois planos
paralelos e equidistantes do plano (XYZ).
Resposta da questão 24:
[B]
De acordo com a lenda de Heródoto, segue que
S = H2 .
Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem
h2 = H2 + a2 ⇔ h2 = S + a2
⇔ S = (h + a)(h − a).
Logo, suas raízes são x = 4, x = −2 + 13 ou x =
x = −2 − 13.
Logo, o maior valor de x é 4.
Resposta da questão 26:
[A]
Área total do cilindro:
2 ⋅ π ⋅ 22 + 2 π ⋅ 2 ⋅ 10 = 48 π = 48 ⋅ 3 = 1334cm2 .
Valor da embalagem em forma de cilindro:
25
144 ⋅
= R$0,36.
10000
Área total do paralelepípedo:
Resposta da questão 25:
[E]
2 ⋅ (4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 6) = 148cm2 .
Valor da embalagem em forma de paralelepípedo:
25
148 ⋅
= R$0,37.
10000
O valor da embalagem que terá o menor custo será:
R$0,36.
Resposta da questão 27:
[A]
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O volume do cone retirado é dado por
1
⋅ π ⋅ 3 2 ⋅ 6 ≅ 54 cm3 , enquanto que o volume do
3
cilindro é π ⋅ 32 ⋅ 10 ≅ 270 cm3 . Portanto, o volume da
aproximado da peça é igual a
270 − 54 = 216cm3 = 2,16 ⋅ 105 mm3 .
Resposta da questão 28:
[B]
O túnel é um semicilindro de raio 6m e altura 400m.
Volume do túnel: V =
π ⋅ 62
⋅ 400 = 7200 πm3
2
Resposta da questão 29:
[D]
Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que
πr 2 ⋅ 16r = 128 π ⇔ r = 2cm.
O volume ocupado pelas bolinhas é igual a
8⋅
4 π 3 256 π
⋅2 =
cm3 .
3
3
Portanto, o resultado pedido é
256 π
3 ⋅ 100% ≅ 67%.
128 π
Resposta da questão 30:
[C]
De acordo com o enunciado podemos escrever:
VII = 1,4VI
π ⋅ R2 ⋅ 3 = 1,4 π ⋅ 12 ⋅ 3
R2 = 1,4
R = 1,183
Portanto, o raio terá um aumento de 18,3%.
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