GEOMETRIA ESPACIAL
MÉTRICA
PROF. ENZO MARCON TAKARA
EDIÇÃO 2015
1
INDICE
PRISMAS ..........................................................................................................................................03
PARALELEÍPIDO E CUBO...................................................................................................................08
CILINDRO..........................................................................................................................................12
PIRÂMIDE.........................................................................................................................................16
CONE................................................................................................................................................22
ESFERA.............................................................................................................................................26
SECÇÃO TRANSVERSAL, SÓLIDOS SEMELHANTES E TRONCOS........................................................31
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS.....................................................................................34
DIEDROS, RELAÇÃO DE EULER E SÓLIDOS DE PLATÃO....................................................................38
SÓLIDOS NA FUVEST PRIMEIRA FASE..............................................................................................40
SÓLIDOS NA FUVEST SEGUNDA FASE..............................................................................................44
SÓLIDOS NA UNICAMP PRIMEIRA FASE...........................................................................................48
SÓLIDOS NA UNICAMP SEGUNDA FASE...........................................................................................49
SÓLIDOS NA UNESP PRIMEIRA FASE................................................................................................53
SÓLIDOS NA UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS......................................................................56
SÓLIDOS NA UNIFESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS...................................................................60
SÓLIDOS NO ITA..............................................................................................................................61
SÓLIDOS NO MACKENZIE................................................................................................................63
SÓLIDOS NA GV..............................................................................................................................66
SÓLIDOS NA PUC............................................................................................................................68
2
PRISMAS
1-CONCEITO: Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em
planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.
2-ASPECTOS GEOMÉTRICOS
2.1- Os polígonos que formam a base e a tampa são congruentes.
2.2- As arestas laterais são paralelas e todas têm a mesma medida.
2.3-Se as arestas laterais forem perpendiculares a base temos um “prisma reto”, caso contrário temos um prisma
oblíquo.
2.3- Se o prisma for reto as faces laterais são retangulares se for oblíquo as faces laterais formam um
paralelogramo
PRISMA PENTAGONAL RETO
PRISMA PENTAGONAL OBLÍQUO
3-SECÇÃO TRANSVERSAL É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às
bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
4-PRISMA REGULAR É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases,
sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
Em outras palavras a base é um polígono regular ( eqüiângulo e eqüilátero)
3
PRISMA HEXAGONAL REGULAR.
5- CÁLCULO DA ÁREA DA BASE: Para calcular a área da base de um prisma depende do formato da base. As
faces com maior freqüência nos vestibulares, são triangulares, quadrangulares e hexagonais.
6- ÁREA LATERAL: É a soma de todas as áreas das faces laterais do prisma.
Se o prima for regular todas as faces laterais têm a mesma área, então basta calcular uma delas e multiplicar
pelo número de faces.
7- ÁREA TOTAL: É a soma da áreas da base com a área da “tampa” e com a área lateral. A “ tampa “ também
é considerada como base.
8-VOLUME: É o produto da área da base pela altura do prisma.
Se o prisma for reto a altura é congruente a aresta lateral.
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PRISMAS
01-(FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm,
conforme a figura. O volume da cunha é (em cm³)
a) 250 b) 500 c) 750 d) 1000 e) 1250
4
02-(PUC) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a
seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é
a) 50b) 60c) 80d) 100e) 120
03-(MACK) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m 2 de área lateral. Seu
volume vale
a) 16 m
3
b) 32 m
3
c) 64 m
3
d) 4 3 m³ e) 16 3 m³
4-(METODISTA) Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm possui volume igual a 1728 3 cm³, é
verdadeiro afirmar que
a) a área lateral é igual à metade da área da base.
b) a área lateral é igual à área da base.
c) a área lateral é igual ao dobro da área da base.
d) a área lateral é igual ao quádruplo da área da base.
e) a área lateral é igual ao triplo da área da base.
5-(PUC) Um prisma reto é tal que sua base é um triângulo equilátero cujo lado mede 4 3 cm e seu volume é
igual ao volume de um cubo de aresta medindo 4 3 cm . a área total desse prisma, em centímetros quadrados,
é
a)24 3
b)192 3
c)204 3
d)216 3 e)228 3
6-(ESAL) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de 0,375 u³.
a aresta, medida em unidades de comprimento , é igual à raiz cúbica de :
a)1
b)1/3 c)
3 /2
d) 3 /4
e)1/2
7-(MACK) A área total de um prisma triangular cujas arestas são todas congruentes entre si e cujo volume é
54 3 vale
a)18 3 +108 b)108 3 +18 c)108 3 -18 d)54 3 +16
e)36 3 +12
8-(PUC) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8 m e a altura tem 3m. O seu
volume será , em m³:
a)12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60
9-(UF) A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é
5
a) 20 3
b) 75
c) 50 3
d) 100
e) 100 3
10-(UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura
deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m², é igual a:
a) 60 b) 30 c) 24 d) 12
11-(UF) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendose que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.
12-(PUC) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é perpendicular a
EF. Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é
a) 144 b) 156 c) 160d) 168 e) 172
13-(UF) A figura abaixo ilustra um prisma ABCDEFGH de base retangular de dimensões 4 e 7. A face ABFE é
perpendicular ao plano da base do prisma e a face BCGF forma um ângulo de 30° com o plano da base do
prisma. Qual o volume do prisma, se a aresta BF mede 6?
6
14-(UF) Um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base
Se a altura do prisma é 2, seu volume é
a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 10 3 e) 12 3
15-(PUC) O número de arestas de um prisma pentagonal é
a) 5
b) 10 c) 12 d) 15 e) 20
GABARITO EXERCÍCIOS BÁSICOS PRISMAS
1)C 2)D 3)E 4)B 5)D 6)C 7)A 8)C 9)B 10)B 11)
3 7
4
6 .10 cm3 12)D 13)84 14)E
15)D
7
PARALELEPÍPEDO E CUBO
1-CONCEITO DE PARALELEPÍPEDO: É um prisma que possui em suas bases um paralelogramo. Sendo que o
paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos que o constituem.
2-PARALELEPÍPEDO RETO É aquele onde todas as arestas são perpendiculares entre si.
3-CUBO (HEXAEDRO REGULAR): É o paralelepípedo reto que tem todas as arestas congruentes
4-PARA CALCULAR EM UM PARALELEPÍPEDO
8
4.1-DIAGONAL:
d
a 2 b2 c 2
No triângulo ABD aplica-se o Teorema de Pitágoras.
f ² = a² + b² ( eq 1 )
No triângulo BDD’ aplica-se novamente o Teorema de Pitágoras
d ² = f² + c² ( eq 2 )
Substituindo a eq1 na eq 2 temos
d ² =a² + b² + c ²
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, obtemos
d
a 2 b2 c 2
4.2- ÁREA TOTAL: É a soma de todas as faces de um paralelepípedo.
At= 2ab + 2 ac + 2 bc, ou seja
At= 2 ( ab + AC + BC)
4.3-VOLUME: É o produto de todas as dimensões do paralelepípedo.
V = a.b.c
5- PARA CALCULAR EM UM CUBO.
Lembre-se que um cubo é um paralelepípedo em que todas as arestas são iguais.
Considerando um cubo de aresta “ a”, basta substituir a letra a nas letras b e d nas fórmulas do paralelepípedo.
5.1-DIAGONAL: d
a 3 ( NÃO CONFUNDIR COM A DIAGONAL DE UMA FACE QUE É DF=a 2 )
5.2-ÁREA TOTAL: At= 6a²
5.3-VOLUME: V = a³
9
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PARALELEPÍPEDO E CUBO
01-(UNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m.
Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de
pacotes a serem usados é:
a) 45b) 50c) 55d) 60e) 75
02-(FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos
à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm.
O valor de x é:
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
03-(FUVEST) Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura,
pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O
volume dessa caixa, em cm³, será :
a) 1244 b) 1828 c) 2324 d) 3808 e) 12000
04-(UFPA) Um paralelepípedo retângulo de dimensões 2, 3 e 5 cm tem a diagonal igual a :
a) 38 b) 35 c) 32 d) 2 32 e) 3) 35
05-(MACK) Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se sua diagonal mede 3 10 , o valor de
ké:
a) 20 b) 10 c) 9
d) 7
e) 3
06-( GV ) Um cubo tem 96 m² de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que o seu volume
se torne igual a 216 m³?
a) 1m b) 0,5 m
c) 9m d) 2m e) 3m
07-(FUVEST) Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo reto retangular e mede 0,5 m de largura, 1,2 m
de comprimento e 0,7 m de altura. Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca-se dentro dele
uma pedra com forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água
sobe 1 cm. Isto significa que o volume da pedra é de:
a) 0,6m³ b) 6m³
c) 6dm³ d) 6cm³ e) 600cm³
08-(MACK) Uma piscina com 5m de comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade tem a forma de um
paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina
é igual a:
a) 27000cm³
b) 27000m³
c) 27000 litro
d) 3000 litros e) 30m³
09-(UF) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros.
A medida de sua diagonal, em centímetros, é
a) 0,8 3
b) 6
c) 60
d) 60 3
e) 900 3
10-(UF) Um cubo possui aresta 4cm. A sua diagonal mede:
a) 4 3 cm b) 2 3 cm c) 4 2 cm d) 2 2 cm e) 2 cm
11-(CESGRANRIO) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cubo é:
10
a) 600 3 .
b) 625 c) 225 d) 125 e) 100 3 .
12-(PUCCAMP) Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões de 15
cm de comprimento, 7,5 cm de largura a 4 cm de altura. Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do
ferro é 7,8 g/cm³?
a) 35,1b) 234c) 351d) 2340e) 3510
13-(UNIRIO) Na fabricação da peça da figura, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm², deve-se
gastar a quantia de:
a) R$ 400,00b) R$ 380,00c) R$ 360,00d) R$ 340,00e) R$ 320,00
14-(PUC-RIO) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância máxima entre dois
vértices deste paralelepípedo é:
a) 7 cm.b) 8 cm.c) 9 cm.d) 10 cm.e) 11 cm.
15-(UFSCAR) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em
centímetros cúbicos, é
a) 125.b) 100.c) 75.d) 60.e) 25.
GABARITO: PARALELEPÍPEDO E CUBO
1)B 2) D 3)D 4) A 5)D 6)D 7)C 8)C 9)D 10)A 11)D 12)E 13)B 14)A 15)A
11
CILINDROS
01-CONCEITO: Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma
extremidade no círculo.
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz.
Podemos também definir cilindro como sendo o sólido formado pela rotação completa de um retângulo em torno
de um de seus lados.
02-TIPOS: Como prismas, podem ser de dois tipos: retos e oblíquos.
CILINDRO RETO
CILINDRO OBLÍQUO
03-CONCEITOS IMPORTANTES
3.1- Eixo de simetria: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
3.2- Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
Se o cilindro for reto a altura tem a mesma medida da geratriz.
12
04-O QUE CALCULAR EM UM CILINDRO:
4.1-Área da Base:
Ab= .r
2
4.2-Área lateral: Se planificarmos um cilindro, a área da base é equivalente a um retângulo de lados 2. .r e
altura h, portanto a sua areal lateral é :
Al = 2. .r.h
4.3-Área total: É a soma da área lateral mais a base mais a “ tampa” .Como a tampa tem a mesma área da
base, podemos dizer que At= Al + 2. Ab, logo
At= 2. .r.h + 2.
.r 2
4.4-Volume: É o produto da área de base pela altura.
V
.r 2 .h
4.5-Secção Meridiana: É um corte no sentido vertical ( meridional) que contém o eixo de simetria do cilindro. A
secção meridiana é um retângulo onde um dos lados é o diâmetro da base e a altura a própria altura do cilindro.
Na figura é o retângulo ABCD
Sm=2r.h
13
05-CILINDRO EQUILÁTERO:
É o cilindro reto cuja altura tem a mesma medida do diâmetro da base.
Note que a secção meridiana de um cilindro eqüilátero é um quadrado
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE CILINDROS
1-(UFPA) Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 cm e a altura 3 cm. Sua superfície lateral mede, em cm²:
a) 6
b)9
c) 12 d) 15 e) 16
2-(FUVEST) A base de um cilindro de revolução é equivalente à secção meridiana. Se o raio da base é unitário,
então a altura do cilindro é:
a)
b)1/2 c)
d) /2 e)
/2
3-(UBERABA) A área total de um cilindro vale 48 m² e a soma das medidas do raio da base e da altura é igual a
8 m. Então, em m³, o volume do sólido é :
a) 75 b) 50 c) 45 d) 25 e) 15
14
4-(UNESP) Atira-se uma pedra de forma irregular em um vaso cilíndrico de 1,2 m de diâmetro da base em parte
cheio de água. Qual o volume da pedra, em m³, se em conseqüência da imersão a água elevou-se 0,54 m ? ( =
3,14 )
a) 0,610
b) 0,620
c) 0,580
d) 0,850
e) 0,575
5-(UFPA) A área lateral de um cilindro de revolução é metade da área da base. Se o perímetro de sua secção
meridiana é 18 m, o volume, em m³, vale:
a) 8
b)10 c)12 d)16 e)20
6-(UBERLÂNDIA) A área total de um cilindro vale 48 m² e a soma das medidas do raio da base e da altura é
igual a 8 m. Então, em m³, o volume do sólido é :
a)75 b)50 c)45 d)25 e)15
7-(UFMG) Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e a altura igual a 10 cm.
Sendo a densidade do ouro 19g/cm³, a massa total do cilindro, em gramas é :
a)950 b)760 c)570 d)380 e)190
8-(UFPA) o reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de
comprimento. Se você gasta 5 mm³ de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica, em dias, durará:
a)20 b)40 c)50 d)80 e)100
9-(PUC) As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares, são, respectivamente, um
círculo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual é o volume do cilindro?
a)1000
b)750 c)500 d)250 e)100
10-(PUC) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado
por:
a)3
b)6
c)9
d)12 e)15
GABARITO DE CILINDROS
1)C 2)D 3)C 4)A 5)D 6) 7)B 8)D 9)D 10)C
15
PIRÂMIDES
1-CONCEITO: Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto
V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P
e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
2- ELEMENTOS DE PIRÂMIDE
1) Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide.
É sempre um polígono.
2) Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3) Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo
da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4) Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5) Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices
consecutivos da base.
6) Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do
polígono situado no plano da base.
7) Apótema: É a altura de cada face lateral.
8) Apótema da base: É a distância do centro do polígono regular da base a uma das arestas da base.
9) Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
10) Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base
16
3-PIRÂMIDE REGULAR RETA: Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção
ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base
R –raio do círculo circunscrito
r- raio do círculo inscrito
h- altura
ap- apótema lateral ( é sempre perpendicular a aresta da base)
al- aresta lateral
Obs. Todas as faces laterais são triângulo isósceles congruentes
4-O QUE CALCULAR EM UMA PIRÂMIDE:
4.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: (ap)² =h² +r²
4.2- ÁREA DA BASE: Depende do polígono da base.
4.3- ÁREA LATERAL: É a soma das áreas das faces laterais.
ATENÇÃO: Se a pirâmide for regular reta, basta calcular a área de uma face e multiplicar pelo número de faces.
A face lateral é sempre um triângulo isósceles e a sua altura é o apótema lateral.
4.4-ÁREA TOTAL: É a soma das áreas das faces laterais e a área da base.
17
4.5-VOLUME: V
1
Ab.h
3
5-TETRAEDRO REGULAR
5.1-DEFINIÇÃO: O tetraedro regular é uma pirâmide triangular (lados iguais entre si) em que todas as faces são
triângulos eqüiláteros
5.2-O QUE CALCULAR EM UM TETRAEDRO REGULAR
ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR: h
a 6
3
ÁREA TOTAL: A área total é 4 vezes a área de uma face.
18
At
a2 3
4.
4
VOLUME: V
a2. 3
1 a2 3
1 a2. 3 a 6 a3 2
.h = .
.
=
3 4
3 4
3
12
6-TETRAEDRO TRI-RETANGULAR
Tetraedro formado por 3 triângulos retângulos
7-OCATAEDRO REGULAR:
É um sólido com 8 faces que são triângulos eqüiláteros
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PIRÂMIDES
01-(PUC) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da
pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 520. b) 640.c) 680.d) 750.e) 780.
19
02-(FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5 cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de
área 30 cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é em cm²:
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
03-(PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede
2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3
04-(METODISTA) Em uma pirâmide regular de 24 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 20
cm, a área lateral , em centímetros quadrados, é
a)80 117 b)960 c)1040
d)1360
e)1600
05-(UEMARINGÁ) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 24 m e a altura 6 m. O volume
dessa pirâmide mede, em m³
a) 12 3 b)26 3 c)39 3 d)48 3 e)60 3
06-(PUCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede
2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3
07-(UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede
22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm², é:
a) 7 2 b) 8 2 c) 9 2 d) 10 2
08-(UFRS) Na figura, O é o centro do cubo.
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é
a) 1/2. b) 1/3.c) 1/4.d) 1/6.e) 1/8.
09-(UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo
a) 1/2 cm b) 1 cm c) 3/2 cm d) 2 cm e) 5/2 cm
6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a:
10-(UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base
quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base
mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m², é:
a) 13.272b) 26.544c) 39.816d) 53.088e) 79.432
20
11-(FUVEST) Em uma pirâmide regular de 12 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm,
a área lateral é, em cm² :
a) 240 b) 260 c) 340 d) 400 e) 20 119
GABARITO
1)B 2)E 3)C 4)C 5)D 6)C 7)B 8)D 9)D 10)D 11)B
21
CONE CIRCULAR RETO
1-CONCEITO: É o sólido formado pela rotação completa de um triângulo retângulo sobre um de seus catetos.
2-ELEMENTOS DE UM CONE:
1) Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
2) Base de um cone : CÍRCULO DA BASE
3)Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa
pelo vértice P e pelo centro da base.
4) Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve
a base.
5) Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
6) Área lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra
na curva que envolve a base. É UM SETOR CIRCULAR
7)Área total é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
8) Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que
contem o eixo do mesmo.
3- O QUE CALCULAR EM UM CONE CIRCULAR.
3.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: Aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo de formado pela altura,
2
geratriz e raio da base. g
r2
h2
22
3.2-ÁREA DA BASE: É a área do círculo da base Ab
.r 2
3.3-ÁREA LATERAL: É área do setor circular obtido com a planificação do cone. Note que o raio do setor circular
é a geratriz do cone. Al
rg
3.4-ÁREA TOTAL: É a soma da área lateral com a área da base At
Al
3.5-VOLUME: É a terça parte do produto da área da base pela altura V
Ab
1
. Ab.h
3
.r 2
.r.g
1 2
.r h
3
3.6-ÂNGULO CENTRAL: É o ângulo formado pela planificação da área lateral do cone.
O cálculo desse ângulo é a divisão entre o comprimento da circunferência da base e a geratriz.
2. .r
g
3.7-SECÇÃO MERIDIANA: É o triângulo isósceles formado pelo corte meridional SM=
2.r.h
2
r.h
23
4-CONE EQUILÁTERO: Um cone é eqüilátero quando o diâmetro da base é congruente (mesma medida) à altura.
g = 2r
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE CONE
01-(UFPA) Um cone equilátero tem e área da base 4 cm². Qual a sua área lateral?
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32
02-(UFPA) Qual o volume de um cone circular reto, em cm³, de diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz 5 cm
?
a) 12 b)24 c) 36 d) 48 e) 96
03-(PUC-SP) Um quebra-luz é um cone de geratriz 17 cm e altura 15 cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone
projeta no chão um círculo de 2 m de diâmetro. A que altura do chão, em metros, se encontra a lâmpada?
a)1,5 b)1,87 c)1,90 d)1,97 e)2,00
04-(FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso,
recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo
central do setor circular é:
a) 144°b) 192°c) 240°d) 288°e) 336°
05-(FUVEST) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um
menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do
chapéu à mesa?
a) 10 3 cm. b) 3 10 cm.c) 20 2 cm d) 20 cm. e) 10 cm.
06-(FATEC) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da
circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é
a) 64 b) 48 c) 32 d) 16 e) 8
07-(UEL) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros
quadrados, sua área lateral?
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
08-(CESGRANRIO) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um
raio de 12 cm. O volume do copo é de, aproximadamente:
a) 390 cm³b) 350 cm³c) 300 cm³d) 260 cm³e) 230 cm³
24
09-(MACK) Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio
18 cm . Dos valores abaixo, o mais próximo da altura desse cone é:
a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm
10-(UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da
base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16 cm², o raio da esfera é dado por
a)
3 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) 4 +
2 cm
11-(UFV) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm,
recortando-se um setor circular de ângulo = 2 /3 radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu, em
cm², é:
a) 140 b) 110 c) 130 d) 100 e) 120
12-(UEL) Uma chapa com forma de um setor de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se
transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm então o valor de x é:
a) 60° b) 75°c) 80° d) 85° e) 90°
GABARITO
1)C 2)A 3) B 4)D 5)A 6) A 7)E 8)A 9) D 10)C 11) D 12)E
25
ESFERAS
1-CONCEITO: É o conjunto de pontos do espaço equidistantes de um ponto O denominado de centro.
2-ÁREA DE SECÇÃO: Ao seccionarmos uma esfera por um plano, sempre vamos encontrar um círculo. O plano
de secção divide a esfera em dois sólidos chamados de “calotas esféricas”.
3-O QUE CALCULAR EM UMA ESFERA:
3.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: É a aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelos
elementos: R ( Raio da Esfera), d ( distância do plano de secção ao centro da esfera ) e R´ ( Raio do círculo
formado pela secção do plano com a esfera)
R2
R'2 d 2
26
3.2-SUPERFÍCIE: É a área da superfície da esfera: S
3.3-VOLUME: V
4. .R 2
4
. .R 3
3
4-HEMISFÉRIO.
O hemisfério é o sólido formado pela intersecção de um plano com o centro da esfera. É a metade da esfera.
Neste caso o raio da secção é igual ao raio da esfera.
A parte plana do hemisfério é chamado de CÍRCULO MÁXIMO.
5-FUSO
Considere dois semiplanos que contenham um diâmetro AB de uma superfície esférica.
Fuso esférico é a parte da superfície esférica limitada pelos semiplanos.
FUSO TEM ÁREA
O ângulo α é chamado de ângulo de diedro
Para calcular a área do fuso fazemos a seguinte regra de três.
27
3600
4. .R 2
A
Que resulta na seguinte função: A
4. .R 2 .
360 0
Cuidado: Se o ângulo de diedro estiver em radianos o denominador da fração deverá ser 2 .
6-CUNHA:
Considere
dois
semiplanos
que
contenham
um
Cunha esférica é a parte da esfera limitada pelos semiplanos.
diâmetro
AB
de
uma
esfera.
O ângulo α é chamado de ângulo de diedro
CUNHA TEM VOLUME
Para calcular o volume de uma cunha fazemos a seguinte regra de três.
360 0
4 . .R 3
3
V
Que resulta na seguinte função: V
. .R 3 .
270 0
Cuidado: Se o ângulo de diedro estiver em radianos a relação seria V
2 3
.R .
3
28
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE ESFERA
01-(PUC-MG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um plano que dista 5 cm do centro. O
raio da secção feita mede, em cm:
a)8
b) 9
c) 10 d) 11 e) 12
02-(UF-PA) A área da superfície de uma esfera é 16
a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 8 cm
cm² Qual o diâmetro da esfera ?
03-(FUVEST) A área de intersecção de um plano com uma bola de raio 13 é 144 . A distância do plano ao centro
da bola é :
a)1
b) 5
c) 8
d) 12 e) 25
04-(UFPA) A circunferência máxima de uma esfera mede 6
a) 12 b) 24 c) 36 d) 72 e) 144
cm. Qual o volume da esfera, em cm³ ?
05-(UNESP) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10cm cortada
por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de
raio rcm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).
O volume do cilindro, em cm³, é
A) 100 .
B) 200 .
C) 250
D) 500
E) 750 .
06-(FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do
centro da superfície esférica, determinando uma circunferência.
O raio desta circunferência, em cm é:
a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e) 5.
29
07-(PUCMG) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h =
12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede:
a) 1
b) 2
c)
3 d) 3
e)
13
08-(PUCPR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma
bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm.
Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale aproximadamente:
a)1cm b)1,5cm c) 2 cm d)2,5cm e)3cm
09-(UFRS) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o
raio da esfera A mede
a) 5
b) 4 c) 2,5 d) 2
e) 1,25
10-(UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano II e uma esfera S de raio 10 cm é uma circunferência de
raio 6 cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano II é igual a
a) 4 cm b)5cm c)7cm
d)8cm
11-(UFMG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de 6 3 cm de
comprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio da esfera é,
em cm :
a)4
b) 5
c)6
d) 7
e) 8
12--(UFMS) O volume de uma esfera é 288 cm ³, o seu diâmetro mede, em cm:
a)8
b)10
c) 12
d) 15
e) 16
GABARITO
1)E 2)C 3)B 4)C 5)D 6)E 7)C 8)C 9) A 10)D 11)C 12)C
30
SECÇÃO TRANSVERSAL – SÓLIDOS SEMELHANTES-TRONCO
DE PIRÂMIDE E CONE
1-SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU CONE
É a interseção da pirâmide( ou cone) com um plano paralelo à base. A seção transversal tem a mesma forma
que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. Em uma pirâmide a razão entre uma
aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é a razão de semelhança. Já no cone a razão
de semelhança é a razão entre o raio da o plano de secção com o raio da base, ou a geratriz do cone menor
com a geratriz do cone maior,
OBSERVAÇÕES:
1-Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a
área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança. Em um cone é a
mesma coisa apenas que as secções transversais são círculos e não regiões poligonais;
2-Ao seccionar uma pirâmide ( ou um cone) por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide ( ou um
cone) menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide ( ou cone) original. O sólido abaixo
da secção transversal chama-se tronco de pirâmide ( ou cone).
3-Se duas pirâmides ( ou cones) têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções
transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais
V secção – Volume de secção : Pirâmide menor
V pirâmide – Volume da pirâmide maior
V tronco- Volume do tronco de pirâmide ( ou cone)- V tronco=V pirâmide – V secção
A secção – Área da secção ( BASE DA PIRÂMIDE MENOR)
A base – Base da pirâmide maior
h – Altura da pirâmide menor ( ou cone menor)
H- Altura da pirâmide maior ( ou cone maior)
h
H
k
,
Asecção
Abase
h
H
2
,
Vsecção
Vpirâmide
h
H
3
CUIDADO COM A ORDEM DOS ELEMENTOS NO NUMERADOR E NO DENOMIDAR DAS RAZÕES ACIMA
31
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PLANO DE SECÇÃO
01-(PUCCAMP) Um cone de altura h = 18 cm e raio da base r= 6 cm, foi seccionado por um plano paralelo à
base, a 12 cm da mesma. A área, em cm², da secção obtida, em cm², é :
a)12 b)8 c)3 d)9 e)4
02-(UEL) Considere uma pirâmide regular, de altura 25 m e base quadrada de lado 10 m. Seccionando essa
pirâmide por um plano paralelo à base, à distância de 5 m desta, obtém-se um tronco cujo volume, em m³, é:
a) 200/3b) 500c) 1220/3d) 1280/3e) 1220
03-(UFAL) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano ‘, um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio
da base mede 4 cm. O plano ’ é paralelo a ‘ e a distância entre os dois planos é de 6 cm.
O volume do cone que está apoiado no plano
a) /3 b) /2 c) 2 /3 d) 3 /4 e) 4 /5
é, em centímetros cúbicos, igual a
4-(UFRRJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do
chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 m², é
de
a) 12 mb) 10 m.c) 8 m.d) 6 m.e) 5 m.
5-(UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m² de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à
base e a secção assim feita tem 64 m² de área. Qual a altura da pirâmide?
32
6-(UFSM) Na hora do recreio, Susanita comprou um copo de sorvete com a forma de um cone com altura h de 8
cm e raio da base R de 3 cm. Para enchê-lo com quantidades iguais de sorvete de creme e de chocolate, a altura
x atingida pelo primeiro sabor deve ser
a) 4 3 cmb) 3 3 cmc) 4.3 4 cmd) 4 2 cme) 4cm
7-(UFG) A figura a seguir representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi
construída uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela à base. Se os lados da base e da plataforma medem,
respectivamente, 18 e 10 metros, a altura da torre, em metros, é:
a) 75 b) 90 c) 120 d) 135 e) 145
GABARITO
1)E 2)C 3) C 4) E 5)6m 6)C 7)D
33
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
1-ESFERA INSCRITA EM UM CUBO
O RAIO DA ESFERA É A METADE DA MEDIDA DA ARESTA DO CUBO
2-CUBO INSCRITO NA ESFERA
O RAIO DA ESFERA INSCRITA EM UM CUBO DE ARESTA a É
R
a 3
. ESTE RESULTADO É OBTDO PELA
2
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO ECG DAS FIGURAS.
3-CILINDRO INSCRITO EM UM CUBO
34
O DIAMETRO DA BASE TEM A MESMA MEDIDA DA ALTURA DO CILINDRO. NESTE CASO O CILINDRO É
EQUILÁTERO.
4-CUBO INSCRITO EM UM CILINDRO
O DIÂMTRO DO CILINDRO TEM A MESMA MEDIDA DA DIAGONAL DA BASE DO CUBO, OU SEJA,
2r
a 2
5-CILINDRO INSCRITO NA ESFERA
RELAÇÃO ENTRE RAIO R DA ESFERA, RAIO r DA BASE DO CILINDRO E A ALTURA h DO CILINDRO
2R
2
2r
2
h2
6-ESFERA INSCRITA EM UM CILINDRO
35
O CILINDRO É EQUILÁTERO R = r e h=2R=2r
7-CONE INSCRITO NA ESFERA
APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO OMA OBTEMOS A RELAÇÃO
R2
h R
2
r2
8-ESFERA INSCRITA EM UM CONE
APLICANDO RELAÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS AOD E ABC, OBTEMOS A RELAÇÃO
g2
h2
R2
9-ESFERA INSCRITA EM UMA PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
36
AO SECCIONAR A PIRÂMIDE PELO PLANO VNM OBTEMOS UM CÍRCULO INSCRITO NO TRIÂNGULO VMS.
APLICANDO SEMELHANÇÃO DE TRIÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS VOP E VAM OBTEMOS:
g
2
h
2
l
2
2
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE
INSCRIÇÃO
E
CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
a)
3 /2b) 8 /3c) 2 /3d)
3 /4e)
3
3-(PUC) Um cilindro reto de base circular de raio e
altura é inscrito numa esfera de raio 5.
1-(FUVEST) Um cone circular reto está inscrito em
um paralelepípedo reto retângulo, de base
quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre
as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume
do cone é .
a) Encontre a altura do cilindro quando r = 3.
b) Calcule a área total do cilindro quando r = 3.
4-(UNITAU) Uma esfera de raio R está inscrita em
um cilindro. O volume do cilindro é igual a:
a) r³/3.b) 2 r³/3.c) r³d) 2r³.e) 2 r³
Então, o comprimento g da geratriz do cone é
a)
5 b) 6 c)
7 d) 10 e) 11
GABARITO
1)D 2)A 3) a) 8u.c. b) 66 u.a
4)E
2-(MACK) Seja 36 o volume de uma esfera
circunscrita a um cubo. Então a razão entre o
volume da esfera e o volume do cubo é:
37
DIEDROS / RELAÇÃO DE EULER / SÓLIDOS DE
PLATÃO
1-CONCEITO DE DIEDRO- Os planos secantes α e β estabelecem no espaço quatro semi-espaços.
O corte de dois desses semi-espaços é chamado de diedro.
2-RELAÇÃO DE EULER: V-A+F = 2
V - NÚMERO DE VÉRTICES
A – NÚMERO DE ARESTAS
F - NÚMERO DE FACES
3- SÓLIDOS DE PLATÃO
4-SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLIEDRO
S=(V-2).360
V é o número de vértices
QUESTÕES BÁSICAS DE POLIEDROS
1. (PUC-01) Um poliedro convexo tem 7 faces. De
um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada
38
um dos vértices restantes partem 3 arestas.
Quantas arestas tem esse poliedro?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
02. (PUC-03) Um poliedro convexo possui duas
faces pentagonais e cinco quadrangulares. O
número de vértices deste poliedro é
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
convexo limitado por 4 faces triangulares e 6
hexagonais, todas regulares.
O número de arestas e vértices desse sólido é:
a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16
c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24
e) A = 34 V = 24
5. (UFC-08) O número de faces de um poliedro
3. (UFC-04) Um poliedro convexo só tem faces
triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20
arestas e 10 vértices, então, o número de faces
triangulares é:
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
convexo com 20 vértices e com todas as faces
triangulares é igual a:
a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36
GABARITO
1)C 2)E 3) E 4)B 5)E
4. (PUCPR-05) O tetra-hexaedro é um sólido
39
SÓLIDOS NA FUVEST - PRIMEIRA FASE
01-(FUVEST-11) A esfera , de centro O e raio r >
0, é tangente ao plano . O plano é paralelo a
e contém O. Nessas condições, o volume da
pirâmide que tem como base um hexágono regular
inscrito na intersecção de
com e, como vértice,
um ponto em , é igual a
a)
3.r 3
5 3.r 3
3 3.r 3
7 3.r 3
b)
c)
d)
e)
4
16
8
16
3.r 3
2
02-(FUVEST-10) Uma pirâmide tem como base um
quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces
laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do
quadrado, que tem como vértices os baricentros de
cada uma das faces laterais, é igual a
a) 5/9 b)4/9
d)
a) 16 2 / 9
b) 32
2 /9
e) 80
d)64
2 /9
2 /9
c) 48
2 /9
06-(FUVEST-07) Uma empresa de construção
dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo
Y. Esses blocos têm as seguintes características:
todos são cilindros retos, o bloco X tem 120cm de
altura e o bloco Y tem 150cm de altura.
c) 1/3 d) 2/9 e) 1/9
03-(FUVEST-09) Um fabricante de cristais produz
três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem
o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a
outra, no formato de um cone reto de base circular
de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um
cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando
completamente cheias, comportam a mesma
quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão
x/h é igual a:
a)
Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3,
então a área do triângulo OCD vale
3 /6
3
b)
e) 4
3 /3
3 /3
c) 2
3 /3
04. (FUVEST-09) O ângulo θ formado por dois
planos α e β é tal que tgθ =
A empresa foi contratada para edificar colunas, sob
as seguintes condições: cada coluna deve ser
construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e
todas elas devem ter a mesma altura. Com o
material disponível, o número máximo de colunas
que podem ser construídas é de
a) 55 b)56
c) 57 d) 58 e)59
07-(FUVEST-07) O cubo de vértices ABCDEFGH,
indicado na figura, tem arestas de comprimento a.
5
5
. O ponto P
pertence a β e a distância de P a α vale 1. Então, a
distância de P à reta intersecção de α e β é igual a:
a)
3
b)
5
c)
6
d)
7
e)
8
05-(FUVEST-08) O triângulo ACD é isósceles de
base CD e o segmento AO é perpendicular ao plano
que contém o triângulo OCD , conforme a figura
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE,
então a distância do ponto M ao centro do quadrado
ABCD é igual a
40
a)
(a 5)
(a 3)
(a 3)
b)
c)
d) a 3 e) 2a 3
5
3
2
08-(FUVEST-06) A partir de 64 cubos brancos,
todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este
novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de
vermelho. O número de cubos menores que tiveram
pelo menos duas de suas faces pintadas de
vermelho é
a) 1
b)1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
11-(FUVEST-04) Uma metalúrgica fabrica barris
cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies
laterais são moldadas a partir de chapas metálicas
retangulares de lados a e 2a, soldando lados
opostos dessas chapas, conforme ilustrado a seguir.
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32
09-(FUVEST-05) A figura a seguir mostra uma
pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1
e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura
EF e α a medida do ângulo AGB, então cosα vale
Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A
e B, respectivamente, tem-se:
a) VA = 2VB b) VB = 2VA c) VA = VB
d) VA = 4VB e) VB = 4VA
12-(FUVEST-03) Um telhado tem a forma da
a)
1
1
1
1
1
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
10-(FUVEST-04) A pirâmide de base retangular
ABCD e vértice E representada na figura tem
volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é
o ponto médio da aresta EC, então o volume da
pirâmide de base AMCD e vértice V é:
superfície lateral de uma pirâmide regular, de base
quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da
pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são
vendidas em lotes que cobrem 1m 2. Supondo que
possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas
(quebras e emendas), o número mínimo de lotes de
telhas a ser comprado é:
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130
13-(FUVEST-02) Em um bloco retangular (isto é,
paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8, as
medidas das arestas concorrentes em um mesmo
vértice estão em progressão geométrica. Se a
medida da aresta maior é 2, a medida da aresta
menor é:
a) 7/8 b)8/8 c)9/8 d)10/8 e)11/8
14-(FUVEST-02) A figura adiante representa uma
pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabese que ABC e ABV são triângulos equiláteros de
lado ℓ e que E é o ponto médio do segmento AB .
41
Se a medida do ângulo VÊC é 60°, então o volume
da pirâmide é:
a)R
2
3
b)R
2
2
c)R
3
3
d)R
e)R
3
2
18-(FUVEST-96) Sejam π' e π" as faces de um
ângulo diedro de 45° e P um ponto interior a esse
diedro. Sejam P' e P" as projeções ortogonais de p
sobre π' e π" respectivamente. Então a medida, em
graus, do ângulo P'PP" é:
( 3 3)
( 3 3)
( 3 3)
b)
c)
4
8
12
3
3
( 3 )
( 3 )
d)
e)
16
18
a)
15-(FUVEST-01) Na figura a seguir, ABCD é um
tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
e) 135
médios de AB e CD , respectivamente. Então, o
valor de EF é:
19-(FUVEST-95) Na figura a seguir, X e Y são,
respectivamente, os pontos médios das arestas AB
e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma
AXFEDYGH e o do cubo é:
a
2
(a 3)
d)
2
a)
(a 2)
2
(a 3)
e)
4
b)
c)
(a 2)
4
16-(FUVEST-97) O volume de um paralelepípedo
reto retângulo é de 240 cm 3. As áreas de duas de
suas faces são 30 cm 2 e 48 cm2. A área total do
paralelepípedo, em cm 2, é
a) 96
b) 118
c) 236
d) 240
e) 472
a) 3/8. b) 1/2. c) 2/3. d) 3/4. e) 5/6.
20-(FUVEST-92) Um copo tem a forma de um cone
com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos
enchê-lo com quantidades iguais de suco e de
água. Para que isso seja possível a altura x atingida
pelo primeiro líquido colocado deve ser:
17-(FUVEST-97) Um cubo de aresta m está inscrito
em uma semi-esfera de raio R de tal modo que os
vértices de uma face pertencem ao plano equatorial
da semi-esfera e os demais vértices pertencem à
superfície da semi-esfera. Então , m é igual a
42
24. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado
pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto
ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta
determinada por A e E e que AE
AD
4cm e AB
2cm,
5cm.
8
cm b) 6 cm c) 4 cm
3
d) 4 3 cm e) 43 4 cm
a)
21-(FUVEST-12) Em um tetraedro regular de lado a,
a distância entre os pontos médios de duas arestas
não adjacentes é igual a
a 3
a 2
a 2
a) a 3 b) a 2 c)
d)
e)
2
2
4
22) (Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro
regular são também vértices de um cubo de aresta
2. A área de uma face desse tetraedro é
a) 2 3 b) 4 c) 3 2 d) 3 3 e) 6
23. (Fuvest 2015) A grafite de um lápis tem quinze
centímetros de comprimento e dois milímetros de
espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se
aproxima do número de átomos presentes nessa
grafite é
Nota:
1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto,
feito de grafita pura. A espessura da grafite é o
diâmetro da base do cilindro.
2) Adote os valores aproximados de:
1.
2,2g / cm3 para a densidade da grafita;
2.
12g / mol para a massa molar do carbono;
3.
6,0 1023 mol
Avogadro
1
a) 5 1023 b) 1 1023
d) 1 1022
A medida do segmento SA que faz com que o
4
volume do sólido seja igual a
do volume da
3
pirâmide SEFGH é
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm
25. (Fuvest 2014) Três das arestas de um cubo,
com um vértice em comum, são também arestas de
um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e
o volume do cubo é
1
1
1
2
1
a)
b)
c)
d)
e)
4
8
6
9
3
GABARITO
1) E 2)D 3)E 4)C 5)B 6)E 7)C 8)A 9)B 10)B
11)A 12)A 13)C 14)D 15)B 16)C 17)A 18)E19)D
20)E 21)D 22)A 23)C 24)E 25) B
para a constante de
c) 5 1022
e) 5 1021
43
SÓLIDOS NA FUVEST- SEGUNDA FASE
01-(FUVEST-11) Na figura abaixo, o cubo de
vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l . Os pontos
M e N são pontos médios das arestas AB e BC,
respectivamente. Calcule a área da superfície do
tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.
AP = DQ =
1
2
Determine:
a) A medida de BP.
b) A área do trapézio BCQP.
c) Volume da piramide BPQCE.
04-(FUVEST-08) Pedrinho, brincando com seu
cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira
que
- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do
copo, conforme ilustra a foto;
- os pontos comuns ao cubo e ao copo
determinassem um triângulo equilátero.
02-(FUVEST-10) Dois planos π1 e π2 se
interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que
π
o angulo entre eles meça α radianos, 0 α
.Um
2
triangulo equilátero ABC, de lado ℓ, esta contido em
π2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção
ortogonal de C sobre o plano π1, e suponha que a
medida θ, em radianos, do angulo CÂD, satisfaça
6
. Nessas condições, determine, em
4
função de ℓ,
a) o valor de α.
b) a área do triangulo ABD.
c) o volume do tetraedro ABCD.
senθ
03-(FUVEST-09) A figura representa uma pirâmide
ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se
que:
3
AB = CD =
2
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1
Sabendo-se que o bordo do copo é uma
circunferência de raio 2 3 cm, determine o volume
da parte do cubo que ficou no interior do copo.
05-(FUVEST-07) O cubo ABCDEFGH possui
arestas de comprimento a. O ponto M está na
aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule:
a) O volume do tetraedro BCGM.
b) A área do triângulo BCM.
c) A distância do ponto B à reta suporte do
segmento CM.
44
06-(FUVEST-07) Um castelo está cercado por uma
vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de
raios 41 m e 45 m. A profundidade da vala é
constante e igual a 3 m.
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para
este fim, contratou caminhões-pipa, cujos
reservatórios são cilindros circulares retos com raio
da base de 1,5 m e altura igual a 8 m.
Determine o número mínimo de caminhões-pipa
necessário para encher completamente a vala.
09-(FUVEST-04) No sólido S representado na figura
a seguir, a base ABCD é um retângulo de lados AB
= 2ℓ e AD = ℓ; as faces ABEF e DCEF são trapézios;
as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o
segmento EF tem comprimento ℓ.
Determinar, em função de ℓ, o volume de S.
07-(FUVEST-06) Um torneiro mecânico dispõe de
uma peça de metal maciça na forma de um cone
circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem
raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir
de sua base, usando uma broca, cujo eixo central
coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a
peça até atravessá-la completamente, abrindo uma
cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da
2
Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é
3
da área de B, determine seu volume.
10-(FUVEST-03) Um cilindro oblíquo tem raio das
bases igual a 1, altura 2 3 e está inclinado de um
ângulo de 60° (ver figura). O plano β é perpendicular
às bases do cilindro, passando por seus centros. Se
P e A são os pontos representados na figura,
calcule PA.
08-(FUVEST-05) A base ABCD da pirâmide ABCDE
é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas
dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente,
4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide.
11-(FUVEST-02) Um bloco retangular (isto é, um
paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de
lado 4 cm e altura 20 3 cm, com
2
de seu volume
3
cheio de água, está inclinado sobre uma das
arestas da base, formando um ângulo de 30° com o
solo (ver seção lateral a seguir). Determine a altura
45
h do nível da água em relação ao solo.
12-(FUVEST-01) Na figura adiante, têm-se um
cilindro circular reto, onde A e B são os centros das
bases e C é um ponto da intersecção da superfície
lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o
ponto do segmento BC , cujas distâncias a AC e
AB são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o
volume do cilindro e sua área total (área lateral
somada com as áreas das bases), em função de d.
e base quadrada com lado 6 m. O espaço interior à
caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água,
até uma altura h, a partir da base (h ≤ 8). Determine
o volume da água para um valor arbitrário de h, O ≤
h ≤ 8.
15-(FUVEST-96) As bases de um tronco de cone
circular reto são círculos de raio 6 cm e 3 cm.
Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à
soma das áreas das bases, calcule:
a) a altura do tronco de cone.
b) o volume do tronco de cone.
16-(FUVEST-95) No cubo de aresta 'a' mostrado
na figura adiante, X e Y são pontos médios das
arestas AB e GH respectivamente. Considere a
pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero
XCYE. Calcule, em função de a,
a) o comprimento do segmento XY.
b) a área da base da pirâmide.
c) o volume da pirâmide.
13-(FUVEST-00) Um setor circular, com ângulo
central θ (0 < θ < 2π), é recortado de um círculo de
papel de raio R (ver figura). Utilizando o restante do
papel, construímos a superfície lateral de um cone
circular reto.
Determine, em função de R e θ,
a) o raio da base do cone.
b) o volume do cone.
14-(FUVEST-99) Considere uma caixa sem tampa
com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8
m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base,
encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8 m
17-(FUVEST-94) A base de uma pirâmide regular é
um quadrado ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD.
A distância de seu vértice E ao plano que contém a
base é 4.
a) Determine o volume do tetraedro ABDE.
b) Determine a distância do ponto B ao plano que
contém a face ADE.
18- (FUVEST-93) Uma caixa d'água tem a forma de
um cone circular reto como ilustrado na figura a
46
seguir. 7329 litros de água foram retirados da caixa
ocasionando um abaixamento de um metro no nível
da água. Quantos litros de água existiam
inicialmente na caixa?
Para os cálculos use π = 3,141
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo
do ponto A, quanto vale AQ?
GABARITO
1)
13l 2
π
2) a)
4
4
10
a)
u.c. b)
4
3)
3
2
b)
4) 9 2 cm3. 5) a)
6
8
c)
16
3 3
9
u.a. c)
u.v.
16
64
a3
5a2
(5a 41)
b)
c)
6
8
41
5( 2)
[640( 3)π] 3
cm 8) 24 u.v. 9)
12
9
10) PA = 14
d
[R(2π θ)]
11) 21 cm 12)
13) a)
2
2π
3
6) 58 7)
19-(FUVEST-92) Uma garrafa de vidro tem a forma
de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a
mesma altura 4 cm e raios das bases R e r,
respectivamente.
Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x
da garrafa se expressa segundo o gráfico I a seguir,
quais os valores de R e r?
20-(FUVEST-91) Considere um triângulo retângulo
com hipotenusa A e catetos B e C.
Sejam VA, VB, VC os volumes dos sólidos gerados
pela rotação do triângulo em torno dos lados A, B e
C, respectivamente.
a) Calcule VA, VB, VC em função das medidas de
A, B e C.
b) Escreva a VA em função de B, C, VB e VC.
21. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo
ABCDEFGH da figura, tem-se AB 2, AD 3 e
AE 4.
2
(2π θ)
1
2
3
b)
.
. [ (4πθ θ )] . R
π
24
3
3
8
h
36h
96 m3 15) a) 4 cm
14)
16
a2 6
b) 84 π cm3 16) a) a 2 b)
2
a3
c)
3
17) a) 24 U. volume.b) 4,8 U. comprimento. 18)
8376 litros 19) R = 3 cm e r = 2 cm
20) a) VA = πB2C2/3ª VB = π C2B/3 VC =
πB2C/3
b) VA = 3VB . VC
21) a) A
b) V
c)
1
3
3 2 /2
1/3 3 4
61 AQ
4
B2
C2
. B . C (B2 + C2)
3.
4.
AQ
12
61
12 61
61
.
47
SÓLIDOS UNICAMP PRIMEIRA FASE
1- (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de
paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5
cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide
em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns
cubos ficam totalmente sem casca, outros
permanecem com casca em apenas uma face,
alguns com casca em duas faces e os restantes
com casca em três faces. Nesse caso, o número de
cubos que possuem casca em apenas uma face é
igual a
a) 360. b) 344. c) 324. d) 368
a) 2R.
b) 3R.
c) 2R.
d) R.
03. (UNICAMP 2014) Considere um cilindro circular
reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a
altura for duplicada, o volume do cilindro
a) é reduzido em 50%.
b) aumenta em 50%.
c) permanece o mesmo.
d) é reduzido em 25%.
GABARITO
1)A 2)D 3)A
02. (UNICAMP 2015) Um cilindro circular reto, com
raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área
de superfície total que uma esfera de raio
48
SÓLIDOS UNICAMP SEGUNDA FASE
01-(UNICAMP-11) A caixa de um produto longa vida
é produzida como mostra a sequência
de figuras ao lado. A folha de papel da figura 1 é
emendada na vertical, resultando no cilindro da
figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato
desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo
e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3.
Finalmente, as abas da caixa são dobradas,
gerando o produto final, exibido na figura 4. Para
simplificar, consideramos as emendas como linhas,
ou seja, desprezamos a superposição do papel.
a) Se a caixa final tem 20cm de altura, 7,2cm de
largura e 7cm de profundidade, determine as
dimensões x e y da menor folha que pode ser usada
na sua produção.
b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção
horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade
seja igual a sua largura), escreva a fórmula do
volume da caixa final em função das dimensões x e
y da folha usada em sua produção.
02-(UNICAMP-10) Uma peça esférica de madeira
maciça foi escavada, adquirindo o formato
de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que,
na escavação, retirou-se um cilindro de madeira
com duas tampas em formato de calota esférica.
Sabe-se que uma calota esférica tem volume Vcal =
h2
(3R – h), em que h é a altura da calota e R é o
3
raio da esfera. Além disso, a área da superfície da
calota esférica (excluindo a porção plana da base) é
dada por Acal = 2πRh.
Atenção: não use um valor aproximado para π.
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do
anel de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá
uma camada de verniz, tanto na parte externa,
como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2,
determine a área sobre a qual o verniz será
aplicado.
03-(UNICAMP-09) Em um sistema de piscicultura
superintensiva, uma grande quantidade de peixes é
cultivada em tanques - rede colocados em açudes,
com alta densidade populacional e alimentação à
base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um
paralelepípedo e são revestidos com uma rede que
impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem
da água.
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi
posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes
consomem, no total, 800 g de ração por refeição.
Sabendo-se que um peixe da espécie A consome
1,5 g de ração por refeição e que um peixe da
espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule
quantos peixes de cada espécie o conjunto de
tanques-rede contém.
b) Para uma determinada espécie, a densidade
máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos
por metro cúbico. Suponha que um tanque possua
largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m.
Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque
para que ele comporte 7200 peixes adultos da
espécie considerada?
04-(UNICAMP-09) Uma caixa d’água tem o formato
de um tronco de pirâmide de bases quadradas e
paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são
49
apresentadas as medidas referentes ao interior da
caixa.
07-(UNICAMP-01) A base de uma pirâmide é um
triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas
laterais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
08-(UNICAMP-02) O sólido da figura a seguir é um
cubo cuja aresta mede 2 cm.
a) Qual o volume total da caixa d’água?
b) Se a caixa contém
13 3
m de água, a que altura
6
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1.
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que
passa pelos pontos B, C e D1.
de sua base está o nível d’água?
09-(UNICAMP-03) Uma caixa d'água cúbica, de
volume máximo, deve ser colocada entre o telhado
e a laje de uma casa, conforme mostra a figura
adiante.
05-(UNICAMP-99) Cada aresta de um tetraedro
regular mede 6cm. Para este tetraedro, calcule:
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é,
entre duas arestas que não têm ponto comum;
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.
Dados: AB = 6 m
AC = 1,5 m
CD = 4 m.
06-(UNICAMP-01) A figura a seguir é planificação
de uma caixa sem tampa:
a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da
caixa?
b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é
de 85% da altura da caixa, quantos litros de água
podem ser armazenados na caixa?
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo
que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.
b) Se o material utilizado custa R$10,00 por metro
quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de
50 litros considerando-se apenas o custo da folha
retangular plana?
10-(UNICAMP-03) Considere um cubo cuja aresta
mede 10 cm. O sólido cujos vértices são os centros
das faces do cubo é um octaedro regular, cujas
faces são triângulos equiláteros congruentes.
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro
regular.
b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
50
11-(UNICAMP-04) O quadrilátero convexo ABCD,
cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6
cm, está inscrito em uma circunferência de centro O
e raio R.
a) Calcule o raio R da circunferência.
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o
círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.
12-(UNICAMP-05) A figura a seguir apresenta um
prisma reto cujas bases são hexágonos regulares.
Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a
altura do prisma mede 10 cm.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo
plano que passa pelos pontos A, C e A'.
13-(UNICAMP-06) Um cidadão precavido foi fazer
uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto,
levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de
comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O
cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00.
Cada nota tem140 mm de comprimento, 65 mm de
largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a
0,75 g/cm3.
a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o
cidadão poderá colocar na mala?
b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o peso da
mala cheia de dinheiro?
14-(UNICAMP-06) Um abajur de tecido tem a forma
de um tronco de cone circular reto, com bases
paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50
cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone
mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e desejase substituí-lo.
a) Determine os raios dos arcos que devem ser
demarcados sobre um novo tecido para que se
possa cortar um revestimento igual àquele que foi
danificado.
b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre
o tecido que revestirá o abajur.
15-(UNICAMP-07) Um pluviômetro é um aparelho
utilizado para medir a quantidade de chuva
precipitada em determinada região. A figura de um
pluviômetro padrão é exibida a seguir. Nesse
pluviômetro, o diâmetro da abertura circular
existente no topo é de 20 cm. A água que cai sobre
a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo
cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de
altura e sua base tem
1
da área da abertura
10
superior do pluviômetro. (Obs.: a figura a seguir não
está em escala.)
a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.
b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da
água no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o
volume de água precipitado por essa chuva sobre
um terreno retangular com 500 m de comprimento
por 300 m de largura.
16-(UNICAMP-07) Seja ABCDA1B1C1D1 um cubo
com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto
médio de BC e O o centro da face CDD1C1,
conforme mostrado na figura a seguir.
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a
reta PO intercepta CC1 e DD1 em K e L,
respectivamente, calcule os comprimentos dos
segmentos CK e DL.
b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L,
K, C e M.
17-(UNICAMP-08) Em uma estrada de ferro, os
dormentes e os trilhos são assentados sobre uma
base composta basicamente por brita. Essa base
(ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme
representado na figura a seguir. A base menor do
trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a base maior
tem 2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de
comprimento.
51
Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva
ser construído, responda às seguintes questões.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro
nesse trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão
basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de
largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de
caminhão serão necessárias para transportar toda a
brita?
18-(UNICAMP-09) Em uma bandeja retangular,
uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colunas,
cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura.
Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os
que estavam mais próximos das bordas da bandeja
foram postos em forminhas azuis, enquanto os
brigadeiros do interior da bandeja foram postos em
forminhas vermelhas.
19-(UNICAMP-12) Um brilhante é um diamante com
uma lapidação particular, que torna essa gema a
mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.
a) Em gemologia, um quilate é uma medida de
massa, que corresponde a 200 mg. Considerando
que a massa específica do diamante é de
aproximadamente 3,5 g/cm³, determine o volume de
um brilhante com 0,7 quilate.
b) A figura a seguir apresenta a seção transversal
de um brilhante. Como é muito difícil calcular o
volume exato da pedra lapidada, podemos
aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de
cone (parte superior) com o de um cone (parte
inferior). Determine, nesse caso, o volume
aproximado do brilhante.
Dica: o volume de um tronco de cone pode ser
obtido empregando-se a fórmula
V= π/3 h (R² + Rr + r² ), em que R e r são os raios
das bases e h é a altura do tronco.
GABARITO
1)a) x = 28,4cm e y = 27cm b) V
com y
x
2)a) V
4
R3
b) S
6
x2.y
16
2
x3
,
64
3 . R 2 3)
a) 400 peixes da espécie A e 200 peixes da
espécie B. b) 3m × 3m × 2m
4)a) 21/4 m³ b)2 m 5) a) 3 2 cm b)
a) Sabendo que m
3n
e que a pessoa gastou o
4
mesmo número de forminhas vermelhas e azuis,
determine o número de brigadeiros da bandeja.
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já
pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro,
antes de receber o chocolate granulado que o
cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de
diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para
produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1
litro corresponde a 1000 cm3.)
6
cm 6) a)
2
50 cm b) R$ 8,40 7) a) 2 cm b) 4 cm 8) a)
4
cm3
3
b) 2 cm 9) a) 1,2m b) 1468,8 litros 10) a)
5 2 cm b) 500/3 cm3 11) a) R = 3 66 /8 cm b)
495π/32 cm3 12) a) 375 3 cm3 b) 50 3 cm2
13) a) R$ 600.000,00 b) 18,98 kg 14) a) 30 cm e
60 cm b) 1.125 π cm2 15) a) 600 π cm3. b) 300
m3. 16) a) CK = 2 cm e DL = 4 cm b) V = 42 cm3
17) a) 7200 m3. b) 800. 18) a) 48 brigadeiros. b)
duas latas. 19) a)0,04cm³ b) 3,8 mm³
52
SÓLIDOS NA UNESP – PRIMEIRA FASE
01-(UNESP-11) Há 4500 anos, o Imperador Quéops
do Egito mandou construir uma pirâmide regular que
seria usada como seu túmulo.
As características e dimensões aproximadas dessa
pirâmide hoje, são:
1ª-) Sua base é um quadrado com 220 metros de
lado;
2ª-) Sua altura é de 140 metros.
Suponha que, para construir parte da pirâmide
4
um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x,
x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de lado
1 e altura x foi retirado. O sólido está representado
pela parte escura da figura.
3
equivalente a 1,88 .10 m , o número médio de
operários utilizados como mão de obra gastava em
média 60 dias. Dados que 2,2² × 1,4 6,78 e 2,26 ÷
1,88
1,2 e mantidas estas médias, o tempo
necessário para a construção de toda pirâmide,
medido em anos de 360 dias, foi de,
aproximadamente,
A) 20. B) 30. C) 40 .D) 50. E) 60.
02-(UNESP-98) As arestas do cubo ABCDEFGH,
representado pela figura, medem 1 cm.
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela
expressão:
a) 2x3 - x2. b) 4x3 - x2. c) 2x3 - x.
d) 2x3 - 2x2. e) 2x3 - 2x.
05-(UNESP-01) A água de um reservatório na forma
de um paralelepípedo retângulo de comprimento
30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a
falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da
água do reservatório evaporaram. A água restante
no reservatório atingiu a altura de
a) 2 m. b) 3 m. c) 7 m.
d) 8 m. e) 9 m.
Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a
que pertencem, então o volume do prisma
DMNCHPQG é
a) 0,625 cm3. b) 0,725 cm3. c) 0,745 cm3.
d) 0,825 cm3. e) 0,845 cm3.
03-(UNESP-99) Seja r um número real positivo e P
um ponto do espaço. O conjunto formado por todos
os pontos do espaço, que estão a uma distância de
P menor ou igual a r, é
a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como
ponto médio.
b) um cone cuja base é um círculo de centro P e
raio r.
c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e
raio r.
d) uma esfera de centro P e raio r.
e) um círculo de centro P e raio r.
04-(UNESP-00) Considere o sólido resultante de
06-(UNESP-02) O prefeito de uma cidade pretende
colocar em frente à prefeitura um mastro com uma
bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de
base quadrada feita de concreto maciço, como
mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá
3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o
volume de concreto (em m3) necessário para a
construção da pirâmide será
a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4.
07-(UNESP-03) Considere um pedaço de cartolina
retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm.
53
Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um
quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha
pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma
pequena caixa retangular sem tampa.
O polinômio na variável x, que representa o volume,
em cm3, desta caixa é
a) 4x3 - 60x2 + 200x. b) 4x2 - 60x + 200. c) 4x3 60x2 + 200.
d) x3 - 30x2 + 200x. e) x3 - 15x2 + 50x.
08-(UNESP-03) Um tanque subterrâneo, que tem a
forma de um cilindro circular reto na posição
vertical, está completamente cheio com 30 m 3 de
água e 42 m3 de petróleo.
a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102.
d) 4 045 × 104. e) 4 045 × 105.
11-(UNESP-06) Um paciente recebe por via
intravenosa um medicamento à taxa constante de
1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por
uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas
medidas são dadas na figura, e estava cheio
quando se iniciou a medicação.
Após 4h de administração contínua, a medicação foi
interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a
aproximação π = 3, o volume, em ml, do
medicamento restante no frasco após a interrupção
da medicação é, aproximadamente,
a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360.
12-(UNESP-07) Um troféu para um campeonato de
futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10
cm cortada por um plano situado a uma distância de
5 3 cm do centro da esfera, determinando uma
circunferência de raio r cm, e sobreposta a um
cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm,
como na figura (não em escala).
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em
metros, da camada de petróleo é
a) 2π. b) 7. c)
7π
3
. d) 8. e)
8π
3
.
09-(UNESP-03) Se quadruplicarmos o raio da base
de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do
cilindro fica multiplicado por
a) 16. b) 12. c) 8. d) 4. e) 4π.
10-(UNESP-05) O trato respiratório de uma pessoa
é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos
pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a
troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor
que cada alvéolo tem forma esférica e que, num
adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja,
aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos
alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o
número aproximado de alvéolos dessa pessoa,
considerando π = 3, é:
O volume do cilindro, em cm 3, é
a) 100 π b) 200 π c) 250 π d) 500 π e) 750 π
54
13-(UNESP-12) A figura mostra um paralelepípedo
reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada
ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros.
A distância, em centímetros, do vértice A à
diagonal BH vale:
30
5
6
5
6
a)
a
a b)
a c)
a d)
a e)
6
6
6
5
5
14. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias
a partir de um cubo maciço e homogêneo de
madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro
dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces
horizontais. De cada paralelepípedo resultante
extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo
que seus centros ficassem localizados no
cruzamento das diagonais da face de corte,
conforme mostra a sequência de figuras.
15. (Unesp 2014) Prato da culinária japonesa, o temaki é
um tipo de sushi na forma de cone, enrolado
externamente com nori, uma espécie de folha feita a
partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe
cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e
cebolinha.
Um temaki típico pode ser representado
matematicamente por um cone circular reto em que o
diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendose que, em um temaki típico de salmão, o peixe
corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a
densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e tomando π 3,
a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse
temaki, é de
a) 46.
b) 58.
c) 54.
d) 50.
e) 62.
GABARITO
01)A 2)A 3)D 4)C 5)C 6)D 7)A 8)B 9)A 10)E
11)A 12)D 13)E 14) D 15)D
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na
3
confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm e
admitindo π 3, a massa aproximada do portajoias, em gramas, é
a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638.
55
SÓLIDOS NA UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
01-(UNESP-03) Aumentando em 2 cm a aresta a
de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da
superfície total aumenta em 216 cm2, em relação à
do cubo C1.
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que
antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava
Determine:
a) a medida da aresta do cubo C1;
b) o volume do cubo C2.
02-(UNESP-03) Uma quitanda vende fatias de
melancia embaladas em plástico transparente. Uma
melancia com forma esférica de raio de medida
Rcm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia
tem a forma de uma cunha esférica, como
representado na figura.
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica
de raio R cm é 4πR2 cm2, determine, em função de
π e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso
esférico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para
embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem
sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a
área da superfície total de cada fatia.
03-(UNESP-03) Em um tanque cilíndrico com raio
de base R e altura H contendo água é mergulhada
uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o
nível da água suba
1
R, conforme mostra a figura.
6
3
4
da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço
idênticas à citada podem ser colocadas dentro do
cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro
sem transbordar.
04-(UNESP-04) Um recipiente, na forma de um
cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está
até à metade com água (figura 1). Outro recipiente,
na forma de um cone circular reto, contém uma
substância química que forma um cone de altura 27
cm e raio r (figura 2).
a) Sabendo que R =
3
r, determine o volume da
2
água no cilindro e o volume da substância química
no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos,
use a aproximação π = 3.)
b) A substância química do cone é despejada no
cilindro, formando uma mistura homogênea (figura
3). Determine a concentração (porcentagem) da
substância química na mistura e a altura h atingida
pela mistura no cilindro.
05-(UNESP-04) Um recipiente tampado, na forma
de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6
56
cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura
1). A seguir, a posição do recipiente é invertida
(figura 2).
Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,
a) determine R e o volume do líquido no cone em
cm3 (figura 1), como múltiplo de π.
b) dado que r = 3 91 , determine a altura H da
parte sem líquido do cone na figura 2. (Use a
aproximação 3 91 ≈
9
.)
2
06-(UNESP-05) Em um camping, sobre uma área
plana e horizontal, será montada uma barraca com
a forma e as dimensões dadas de acordo com a
figura.
Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca
será amarrado um pedaço de corda, que será
esticado e preso a um gancho fixado no chão, como
mostrado na figura.
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.
b) Se cada corda formará um ângulo α de 30° com a
lateral da barraca, determine, aproximadamente,
quantos metros de corda serão necessários para
fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se
necessário, a aproximação
3 = 1,73)
07-(UNESP-05) Considere um cilindro circular reto
de altura x cm e raio da base igual a y cm.
Usando a aproximação π = 3, determine x e y nos
seguintes casos:
a) o volume do cilindro é 243 cm 3 e a altura é igual
ao triplo do raio;
b) a área da superfície lateral do cilindro é 450 cm2
e a altura tem 10 cm a mais que o raio.
08-(UNESP-06) Com um recipiente de vidro fino
transparente na forma de um paralelepípedo retoretângulo, que tem como base um quadrado cujo
lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40
cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto,
colocou no interior desse recipiente 90 bolas
coloridas maciças de 4 cm de diâmetro cada e
completou todos os espaços vazios com um líquido
colorido transparente. Desprezando-se a espessura
do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a
aproximação π = 3,
a) dê, em cm 2, a área lateral do recipiente e a área
da superfície de cada bola.
b) dê, em cm 3, o volume do recipiente, o volume de
cada esfera e o volume do líquido dentro do
recipiente.
09-(UNESP-07) Para calcularmos o volume
aproximado de um iceberg, podemos compará-lo
com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da
figura, formado por um tronco de pirâmide regular
de base quadrada e um paralelepípedo retoretângulo, justapostos pela base, representa
aproximadamente um iceberg no momento em que
se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas
das bases maior e menor do tronco de pirâmide
medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a
altura mede 12 dam.
Passado algum tempo do desprendimento do
iceberg, o seu volume era de 23.100 dam3, o que
correspondia a
3
do volume inicial. Determine a
4
altura H, em dam, do sólido que representa o
iceberg no momento em que se desprendeu.
10- (UNESP-07) Com o fenômeno do efeito estufa
e consequente aumento da temperatura média da
Terra, há o desprendimento de icebergs (enormes
blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para
calcularmos o volume aproximado de um iceberg
podemos compará-lo com sólidos geométricos
conhecidos. Suponha que o sólido da figura,
formado por dois troncos de pirâmides regulares de
base quadrada simétricos e justapostos pela base
maior, represente aproximadamente um iceberg.
57
proveniente da chuva que cai sobre o telhado de
sua casa, ao longo de um período de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do
telhado da casa, a forma da cisterna a ser
construída e a quantidade média mensal de chuva
na região onde o agricultor possui sua casa.
As arestas das bases maior e menor de cada tronco
medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a
altura mede 12 dam. Sabendo que o volume Vs da
parte submersa do iceberg corresponde a
aproximadamente
7
do volume total V, determine
8
Vs.
11. (UNESP-08) Numa região muito pobre e com
escassez de água, uma família usa para tomar
banho um chuveiro manual, cujo reservatório de
água tem o formato de um cilindro circular reto de
30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido
de um tronco de cone reto cujas bases sao círculos
paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm,
respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na
figura.
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície
plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a
profundidade (h) da cisterna para que ela comporte
todo o volume de água da chuva armazenada
durante um ano, acrescido de 10% desse volume.
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há
uma torneira com um gotejamento que provoca um
desperdício de 46,44 litros de água por dia.
Considerando a aproximação π = 3, determine
quantos dias de gotejamento são necessários para
que a quantidade de água desperdiçada seja igual à
usada para 6 banhos, ou seja, encher
completamente 6 vezes aquele chuveiro manual.
Dado: 1.000 cm3 = 1 litro.
13-(UNESP-10) Na construção de uma estrada
retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico
para atravessar um morro. Esse túnel tem seção
transversal na forma de um círculo de raio R
seccionado pela corda AB e altura máxima h,
relativa à corda, conforme figura.
12- (UNESP-10) Prevenindo-se contra o período
anual de seca, um agricultor pretende construir uma
cisterna fechada, que acumule toda a água
58
A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não
aproveitável. Determine o volume dessa região.
Para os cálculos finais, considere as aproximações
=3e
3 = 1,7.
GABARITO
Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que
3R
6m , determine o
AB 4 3m e que h
2
volume aproximado de terra, em m 3, que foi retirado
na construção do túnel.
1,05 e 3 1,7.
3
14-(UNESP-08) Um porta-canetas tem a forma de
um cilindro circular reto de 12 cm de altura e 5 cm
de raio. Sua parte interna é um prisma regular de
base triangular, como ilustrado na figura, onde o
triângulo e eqüilátero e está inscrito na
circunferência.
Dados:
1) a) 8 cm b) 1000 cm3 2) a)
πR2
cm2 b)
3
4πR 2
R
cm2 3) a) r =
b) 6 esferas.
3
2
4) a) volume da água no cilindro: 108r2 cm3;
volume da substância química na mistura:
27r 2 cm3 b) 20% ; h = 20 cm 5) a) R = 5 cm e V =
125π cm3 b) H =
27
cm
2
6) a) 36m3. b) 9,23m. 7) a) x = 9 e y = 3 b) x = 15
e y = 5 8) a) 2.400 cm2 e 48 cm2
b) 9.000 cm3, 32 cm3 e 6.120 cm3
10) Vs = 25.900 dam3
11) 2 dias 12) h = 7,7m 13)
517,5 cm³
9) H = 22 dam
80800m³ 14)
59
SÓLIDOS NA UNIFESP- C ESPECÍFICOS
01-(UNIFESP-03) Um recipiente, contendo água,
tem a forma de um cilindro circular reto de altura h =
50 cm e raio r = 15 cm. Este recipiente contém 1
litro de água a menos que sua capacidade total.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela
é igual a dois terços da diagonal do cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o
volume do tetraedro.
a) Calcule o volume de água contido no cilindro
(use π = 3,14).
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro
que, introduzida no cilindro e totalmente submersa,
faça transbordarem exatamente 2 litros de água?
04-(UNIFESP-08) Um poliedro é construído a partir
de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada
um de seus cantos uma pirâmide regular de base
triangular equilateral (os três lados da base da
02-(UNIFESP-05) A figura representa um lápis novo
e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do
lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro do grafite, mede 2
mm e h, a altura do cilindro reto que representa a
parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto,
representando a parte do grafite que foi apontada,
mede s mm.
aresta lateral das pirâmides cortadas.
pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x ≤
a
,a
2
a) Dê o número de faces do poliedro construído.
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤
a) Calcule o volume do material (madeira e grafite)
retirado do lápis.
b) Calcule o volume do grafite retirado.
03-(UNIFESP-07) Quatro dos oito vértices de um
cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro
regular. As arestas do tetraedro são diagonais das
faces do cubo, conforme mostra a figura.
a
, para o qual o
2
volume do poliedro construído fique igual a cinco
sextos do volume do cubo original. A altura de cada
pirâmide cortada, relativa a base equilateral, é
x
3
.
GABARITO
1) a) 34,325 ℓ b)
3
9
dm 2) a) 250π mm3 b)
4π
(2 3)
b) 3
3
a
4) a) 14 b) x =
2
2π mm3
3) a)
60
SÓLIDOS NO ITA
01-(ITA-11) Uma esfera está inscrita em uma
pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm
e a aresta da base mede
10 3
cm. Então o raio
3
da esfera, em cm, é igual a
10 3
cm
3
d) 2 3
a)
e)10/3
a)
6
cm está
3
inscrito num tetraedro regular e tem sua base em
uma das faces do tetraedro. Se as arestas do
tetraedro medem 3 cm; o volume do cilindro, em
cm³; é igual a
d)
3
4
6
9
3
b)
6
c)
6
6
d)
1
,a altura
2
6
2
4
3 2 2 3
6
b)
6
3
3
2 6
2
e)
22
c)
3 3
6
21
d)
07-(ITA-06) Uma pirâmide regular tem por base um
hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As
faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60°
com o plano da base. A área total da pirâmide, em
cm2, é
81
27
27
3
2
b) 81
c)
d)
e)
2
2
2
3
2
08-(ITA-05) Uma esfera de raio r é seccionada por n
planos meridianos. Os volumes das respectivas
cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera
formam uma progressão aritmética de razão πr3/45.
Se o volume da menor cunha for igual a πr3/18,
então n é igual a
a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7.
a) 81
e)
3
03-(ITA-10) Sejam A, B, C e D os vértices de um
tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M é
o ponto médio do segmento AB e N é o pondo
médio do segmento CD então a área do triângulo
MND, em cm² é igual a:
a)
razão entre as alturas das pirâmides é
do tronco, em centímetros, é igual a
b)13/3 c)15/4
02-(ITA-10) Um cilindro reto de altura
a)
3 cm . Secciona-se a pirâmide por um plano
paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume
igual a 1cm³ e uma nova pirâmide. Dado que a
2
6
b)
3
8
e)
2
8
c)
3
6
3
9
04-(ITA-09) Uma esfera é colocada no interior de
um cone circular reto de 8cm de altura e de
60º de ângulo de vértice. Os pontos de contato da
esfera com a superfície lateral do cone definem uma
circunferência e distam 2 3 cm do vértice do
cone. O volume do cone não ocupado pela esfera,
em cm³, é igual a
a) 416 /9
b)480 /9
c) 500 /9
d) 512 /9
e) 542 /9
05-(ITA-08) Um diedro mede 120°. A distância da
aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume
que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a
a)3 3 b)3 2 c)2 3 d)2 2 e)2
06-(ITA-07) Considere uma pirâmide regular de
base hexagonal, cujo apótema da base mede
09-(ITA-05) A circunferência inscrita num triângulo
equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a
interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o
plano do triângulo. Então, a distância do centro da
esfera aos vértices do triângulo é (em cm)
a) 3 3 . b) 6. c) 5. d) 4. e) 2 5
10-(ITA-04) A área total da superfície de um cone
circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à
terça parte da área de um círculo de diâmetro igual
ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume
deste cone, em cm3, é igual a
a) π R3 b) π ( 2 ) R3 c) [π/( 2 )] R3
d) π ( 3 ) R3 e) [π/( 3 )] R3
11-(ITA-04) Considere um cilindro circular reto, de
volume igual a 360πcm3, e uma pirâmide regular
cuja base hexagonal está inscrita na base do
cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro
da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é
de 54 3 cm 2, então, a área lateral da pirâmide mede, em
cm 2,
61
a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427
12-(ITA-03) Considere o triângulo isósceles OAB, com
lados OA e OB de comprimento 2 R e lado AB de
comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotação
deste triângulo em torno da reta que passa por O e é
paralela ao lado AB, é igual a:
a)
3( 2 1)
9( 2 1)
9( 6 1)
. b)
. c)
.
2
4
4
9( 2 1)
27( 3 1)
d)
. e)
.
16
8
a)
d) 108 3 e) 45 427
4 R3
R3
b) πR3 c)
d)
3
2
2 R3 e)
3 πR3
13-(ITA-02) Seja uma pirâmide regular de base
hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice
devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma
que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da
pirâmide original?
a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m.
18-(ITA-00) Um cilindro circular reto é seccionado
por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5
cm do eixo e separa na base um arco de 120°.
Sendo de 30 3 cm2 a área da secção plana
retangular, então o volume da parte menor do
cilindro seccionado mede, em cm3,
a) 30π - 10 3 . b) 30π - 20 3 . c) 20π - 10 3 .
d) 50π - 25 3 . e) 100π - 75 3 .
19-(ITA-99) Num cone circular reto, a altura é a
14-(ITA-01) A razão entre a área da base de uma
pirâmide regular de base quadrada e a área de uma
das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é
de 12m3, temos que a altura da pirâmide mede (em
metros):
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
média geométrica entre o raio da base e a geratriz.
A razão entre a altura e o raio da base é:
a)
d)
15-(ITA-01) O raio da base de um cone circular reto
é igual à média aritmética da altura e a geratriz do
cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128πm3,
temos que o raio da base e a altura do cone
medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7
d) 9 e 6 e) 10 e 8
altura de
6
3
cm. Aplique a esta pirâmide dois
9
cortes planos e paralelos à base de tal maneira que
a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham,
os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja
base é a base da pirâmide original é igual a
5
b)
2
3
1
3
5
e)
1
5
c)
2
1
1 5
2
5
2
20-(ITA-98) Uma pirâmide regular tem por base um
quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces
formam com a base ângulos de 45°. Então, a razão
entre a área da base e a área lateral é igual a:
a)
16-(ITA-00) Considere uma pirâmide regular com
1
2 b)
1
c)
3
6 d)
2
2
e)
2
3
21-(ITA-99) Um poliedro convexo de 10 vértices
apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número
de faces quadrangulares, o número de faces triangulares
e o número total de faces formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética. O número de arestas é:
a) 10 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23
22- (ITA-05) Considere um prisma regular em que a
3
a) 2 (
3
c) 2 (
3
e) 2 (
9-
69-
3
3
3
6 ) cm. b) 2 (
3 ) cm. d) 2 (
3
3
6-
3-
3
3
2 ) cm.
2 ) cm.
3 ) cm.
17-(ITA-00) Um cone circular reto com altura de
8 cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa
esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A
razão entre as áreas das superfícies totais do
cilindro e do cone é igual a
soma dos ângulos internos de todas as faces é
7200°. O número de vértices deste prisma é igual a
a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22.
23. (ITA 2013) Um plano intercepta as arestas de um
triedro trirretângulo de vértice V, determinando um
triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente,
3
10, 17 e 5 cm. O volume, em cm , do sólido VABC é
a) 2. b) 4. c) 17. d) 6. e) 5 10.
GABARITO
1)E 2)D 3)B 4)A 5) E 6)C 7)A 8)C 9)C 10)E
11)A 12)C 13)C 14)C 15)B 16)D 17)D 18)E 19)E
20)D 21)C 22)E 23)A
62
SÓLIDOS NO MACKENZIE
01-(MACK-10-J) A figura representa um bloco com
formato de um cubo de aresta a , do qual é
retirada uma pirâmide. Se A, B e C são pontos
médios dos lados do cubo e se o volume da peça
restante é igual a 188/3, o valor de a² + a é
na figura. Se na parte superior do copo há uma
camada de espuma de 4cm de altura, então a
porcentagem do volume do copo ocupada pela
espuma está melhor aproximada na alternativa:
a) 65% b) 60% c) 50% d) 45% e) 70%
a) 16 b) 4c) 20d) 28 e)8
02-(MACK-09) A peça da figura, de volume a², é o
resultado de um corte feito em um paralelepípedo
reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo
reto retângulo. O valor de a é:
06-(MACK-06) Uma bóia marítima construída de
uma determinada liga metálica tem o formato de
uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em
um cone reto e em uma semi-esfera,
conforme a figura ao lado, na qual r = 50cm. Se o
preço do m2 da liga metálica é 1200 reais,
adotando-se π = 3, o custo da superfície da bóia é,
em reais, igual a
a) 2/3 b) 5
c) 6
d) 4
e) 4/5
03-(MACK-02) Uma piscina com 5m de
comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade
tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o
nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume
de água existente na piscina é , igual a:
a) 27000cm³ b) 27000m³
c) 27000 litros
d) 3000 litros e) 30m³
04-(MACK-04) Um recipiente metálico, com a forma
de um cilindro reto, teve, por meio de um processo
industrial, a sua altura alongada em 20% e a área
de sua seção transversal paralela à base reduzida
em 20%. O volume do recipiente, após o processo:
a) diminuiu de 4%.
d) aumentou de 2%.
b) diminuiu de 2%.
e) não se alterou.
c) aumentou de 4%.
a) 4200 b) 5700 c) 4500
d) 5200
e) 3800
07-(MACK-05) Remove-se, do cubo da figura, a
pirâmide triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma,
um sólido de volume:
05-(MACK-05) Uma mistura de leite batido com
sorvete é servida em um copo, como
63
a)
5π
4π
b)
c) 4π d) 5π e) 3π
2
3
12-(MACK-03) Se, no cubo da figura, a distância
entre as retas t e u é 3 2 , a área total desse cubo
é:
a) 14/13
b)11/5 c) 18/5 d)20/3 e) 16/5
08-(MACK-04) Um recipiente cilíndrico reto, com
raio da base igual a 4cm, contém água até a metade
de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu
interior, fica totalmente submersa, elevando a altura
da água em 2cm. O raio da esfera é:
3
a) 23 3 b)4
c) 33 2
d)
5
2
e)2
09-(MACK-01) Um prisma e um cone retos têm
bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3
da altura do cone, a razão entre o volume do prisma
e o volume do cone é:
a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/2
a) 150 b) 300 c) 216 d) 180 e) 280
13-(MACK-09) Um frasco de perfume, que tem a
forma de um tronco de cone circular reto de raios 1
cm e 3 cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é
despejado em um recipiente que tem a forma de um
cilindro circular reto de raio 4 cm, como mostra a
figura.
10-(MACK-03) Planificando a superfície lateral de
um cone, obtém-se o setor circular da figura, de
centro O e raio 18 cm . Dos valores abaixo, o mais
próximo da altura desse cone é:
a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm
11-(MACK-03) No sólido da figura, ABCD é um
quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 . O volume
desse sólido é:
Se d é a altura da parte não preenchida do
recipiente cilíndrico e, adotando-se π = 3 o valor de
d é:
10
11
12
13
14
a)
b)
c)
d)
e)
6
6
6
6
6
64
14-(ITA-12) Um cone circular reto de altura 1 cm e
geratriz
2 3
cm é interceptado por um plano
3
paralelo à sua base, sendo determinado, assim,
um novo cone. Para que este novo cone tenha
1
o mesmo volume de um cubo de aresta
3
243
cm, é necessário que a distância do
plano à base do cone original seja, em cm, igual a
a)1/4 b)1/3 c)1/2 d)2/3 e)3/4
GABARITO
1)C 2)D 3)C 4) A 5)C 6)C 7)D 8)A 9)A 10)D
11)E 12)C 13)B 14)D
65
SÓLIDOS NA GV
09-(GV-11) Após t horas do inicio de um vazamento
de óleo de um barco em um oceano, constatou-se
ao redor da embarcação a formação de uma
mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia
com o tempo t mediante a função
30 0,5
r t
t metros. A espessura da mancha ao
dividido em quatro partes idênticas por planos
perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano
da sua base, como indica a figura.
longo do circulo é de 0,5 centímetro. Desprezando a
área ocupada pelo barco na mancha circular,
podemos afirmar que o volume de óleo que vazou
entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de:
a) 12,5m3 b) 15m3 c) 17,5m3
d) 20m3 e) 22,5m3
02-(GV-99) Deseja-se construir uma piscina de
formato quadrado sendo 100 m2 a área do
quadrado e 1,5 m a profundidade. Se as paredes
laterais e o fundo forem revestidos com azulejos de
dimensões 15 cm × 15 cm:
a) Qual o número (aproximado) de azulejos
necessários?
b) Se a piscina fosse circular sendo 100 m 2 a área
do círculo e 1,5 m a profundidade, qual seria o
número (aproximado) de azulejos necessários
para revesti-la? Adote: π = 1,8.
03-(GV-05) O sólido da figura 1 foi obtido a partir de
duas secções em um cilindro circular reto de altura
24 cm e raio da base 10 cm. As secções foram
feitas na intersecção do cilindro com um diedro de
60°, como mostra a figura 2:
Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C'
pertencem às faces do diedro e às circunferências
das bases do cilindro, como mostra a figura 2, a
área da superfície BB'C'C, contida na face lateral do
cilindro, em cm 2, é igual a
a) 60 π b) 40 ( 3 ) π c) 80 π
d) 90 ( 3 ) π e) 160 π
04-(GV-07) Um tronco de cone circular reto foi
Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua
geratriz, em cm, é igual a
a)
101 . b) 102 . c) 103 .
d) 2 26 . e)
105 .
05-(GV-07) No antigo Egito uma das unidades
usadas para medir comprimentos era o "cúbito",
equivalente a cerca de 52 cm. O jovem Abdal, que
viveu no século II a.C. e curioso em Matemática,
desejava saber a altura da grande pirâmide que
tinha sido construída mais de dois mil anos antes.
Ele sabia que a pirâmide foi construída de forma
que, no primeiro dia do verão, suas faces ficavam
voltadas para os quatro pontos cardeais e, nesse
dia, fez a seguinte experiência. No meio da manhã,
a sombra da pirâmide era um triângulo isósceles de
vértice P (veja o desenho).
Ele mediu a distância de P ao ponto M, médio do
lado da base (portanto a altura do triângulo da
sombra) e achou 130 cúbitos. Nesse momento, ele
percebeu que uma vara reta PA de 4 cúbitos de
comprimento, colocada verticalmente, projetava
uma sombra PB de 5 cúbitos. Abdal mediu também
o lado da base da pirâmide, que é quadrada, e
achou 440 cúbitos.
Determine, em metros, um valor aproximado para a
altura da grande pirâmide do Egito.
66
06-(GV-08) As alturas de um cone circular reto de
volume P e de um cilindro reto de volume Q são
iguais ao diâmetro de uma esfera de volume R. Se
os raios das bases do cone e do cilindro são iguais
ao raio da esfera, então, P - Q + R é igual a
a) 0. b) 2π/3. c) π. d) 4π/3. e) 2π.
5
de
6
sua capacidade. Dentro da lata caiu um pincel de 45
cm de comprimento. É certo que o pincel ficará
completamente submerso na tinta? Por quê?
Qual o custo do material utilizado?
10-(GV-08) A soma das medidas das 12 arestas de
um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm.
Se a distância máxima entre dois vértices do
paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm², é
a) 776.
b) 784.
c) 798.
d) 800.
e) 812
07-(GV-10) Uma lata de tinta esta cheia em
08-(GV-10) A figura indica a planificação da lateral
de um cone circular reto:
GABARITO
1) E 2) a) 7112 azulejos. b) 6845 azulejos. 3)E 4)B
5) h = 280 cúbitos = 145,60m.
6) A 7)
5
de 36 cm = 30cm
6
x2 = 402 + 302
x = 50 cm
Como 45 < 50, o pincel poderá ficar completamente
submerso na tinta.
8)B 9) a) 5 . 3
3
cm b) R$ 7.512,00
4
10) B
O cone a que se refere tal planificação é
a)
b)
d)
e)
c)
01-(GV-01) a) Um cubo maciço de metal, com 5 cm
de aresta, é fundido para formar uma esfera
também maciça. Qual o raio da esfera?
b) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico
com tampa, para armazenar certo líquido. O volume
do reservatório deve ser de 50 m 3 e o raio da base
do cilindro deve ser de 2 m. O material usado na
construção custa R$ 100,00 por metro quadrado.
67
SÓLIDOS NA PUC-SP
01-(PUC-11) Um artesão dispõe de um bloco
maciço de resina, com a forma de um
paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja
altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina
desse bloco para confeccionar contas esféricas que
serão usadas na montagem de 180 colares. Se
cada conta tiver 1 cm de diâmetro e na montagem
de cada colar forem usadas 50 contas, então,
considerando o volume do cordão utilizado
desprezível e a aproximação
= 3, a área total da superfície do bloco de resina,
em centímetros quadrados, é
A) 1250 B) 1480 C) 1650 D) 1720E) 1850
Se o volume desse prisma é 120 cm 3, a sua área
total, em centímetros quadrados, é
a) 144 b) 156 c) 160 d) 168 e) 172
02-(PUC-99) Um cone circular reto, cujo raio da
base é 3 cm, está inscrito em uma esfera de raio 5
cm, conforme mostra a figura a seguir.
05-(PUC-06) De um cristal de rocha, com o formato
de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de
um octaedro regular, como mostra a figura seguinte.
O volume do cone corresponde a que porcentagem
do volume da esfera?
a) 26,4% b) 21,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,2%
03-(PUC-00) Uma caixa sem tampa é feita com
placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois
de pronta, observa-se que as medidas da caixa,
pela parte externa, são 51 cm × 26 cm × 12,5 cm,
conforme mostra a figura abaixo.
Se tal joia tem 9 2 cm3 de volume, quantos
centímetros cúbicos de rocha foram retirados do
cristal original para lapidá-la? (Use: π = 3)
a) 36 2 b) 32 2 c) 24 2 d) 18 2 e) 12 2
06-(PUC) Se triplicarmos o raio da base de um
cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro
fica multiplicado por:
a)3
b)6
c)9
d)12 e)15
07-(PUC) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume
equivalente ao de um cilindro circular reto de altura
h = 12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede:
a) 1
O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é
a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5
04-(PUC-01) Na figura a seguir tem-se o prisma
reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é
perpendicular a EF.
b) 2
c)
3
d) 3
e)
13
08-(PUC) As projeções ortogonais de um cilindro
sobre dois planos perpendiculares, são,
respectivamente, um círculo e um quadrado. Se o
lado do quadrado é 10, qual é o volume do cilindro?
a)1000 b)750
c)500 d)250 e)100
GABARITO
1)C 2)E 3)A 4)D 5)D 6)C 7)C 8)D
68