Pirâmide
1. (Unifesp 2013) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um
tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
— P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH;
— Q pertence à aresta EH;
— T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH;
— RF é um arco de circunferência de centro E.
a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros.
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm3.
2. (Uepb 2013) A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente
iguais, é:
a) 2 6
b) 36
c) 6
d) 6 2
e) 12
3. (Upe 2013) Para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial, um
designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 20 cm
que será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina,
nas faces laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da platina é de 30 reais por
centímetro quadrado, e o da prata é de 50 reais por centímetro quadrado, assinale a alternativa
que apresenta o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento.
Considere 3  1,7
a) 24 000
b) 18 000
c) 16 000
d) 14 000
e) 12 000
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4. (Uepg 2013) Uma pirâmide quadrangular regular tem 36 cm2 de área da base. Sabendo
que a altura da pirâmide tem 3 3 cm, assinale o que for correto.
01) A área lateral da pirâmide é o dobro da área da base.
02) A área total da pirâmide é o triplo da área da base.
04) A área de uma face lateral da pirâmide é a sexta parte de sua área total.
08) A razão das áreas total e lateral dessa pirâmide é um número fracionário.
16) O volume dessa pirâmide é 108 3 cm3 .
5. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB  2,
AD  3 e AE  4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?
6. (Epcar (Afa) 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua
aresta lateral AV mede 3 cm.
Sendo
a)
b)
5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a
30
2
7
26
2
d) 2 2
c)
7. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da
base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 75°.
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8. (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
9. (Epcar (Afa) 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal
regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura
3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da
segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide
hexagonal mede
5 cm, então, o volume do sólido obtido, em cm3 , é igual a
a) 15 3
b) 20 3
c) 25 3
d) 30 3
10. (Ufsj 2012) Se o volume de um tetraedro regular é (2 2)/3 cm3 , a medida de sua aresta
é, em centímetros:
a) 3
b) 2/3
c) 6
d) 2
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11. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de
duas arestas não adjacentes é igual a
a) a 3
b) a 2
a 3
2
a 2
d)
2
a 2
e)
4
c)
12. (Upf 2012) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH
e o octaedro MNOPQR.
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do
cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem,
respectivamente:
a) 72 3 cm2 e 54 cm3
b) 36 3 cm2 e 18 cm3
c) 36 3 cm2 e 36 cm3
d) 18 2 cm2 e 36 cm3
e) 36 2 cm2 e 18 cm3
13. (Ufpe 2012) Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no
formato de tetraedro regular com 1 cm de aresta. O custo com material para confeccionar o
pingente foi R$11,25 (R$3,75 em prata e R$7,50 em ouro). Quanto o joalheiro gastará com
material para confeccionar outro pingente do mesmo tipo com aresta 2 cm? Considere que a
espessura do banho de ouro permanece constante nos pingentes.
14. (Ufrgs 2012) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular
regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide
a) será reduzido à quarta parte.
b) será reduzido à metade.
c) permanecerá inalterado.
d) será duplicado.
e) aumentará quatro vezes.
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15. (Uepb 2012) A área de uma circunferência circunscrita à base de um tetraedro regular de
aresta 6 cm é:
a) 36π cm2
b) 4 π cm2
c) 9π cm2
d) 12π cm2
e) 6 π cm2
16. (Ufpe 2012) Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm
e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é
o volume do tetraedro, em cm3 , assinale V/100.
17. (Fgv 2012) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum.
Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto
médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu.
Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância,
em centímetros, igual a
a) 10 3
b) 15
c) 10 2
d) 10
e) 5 3
18. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus
mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da
década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na
Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser
efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto
A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta
que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4)
deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
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A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por
a)
b)
c)
d)
e)
19. (Espcex (Aman) 2011) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de 9
faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido
têm medida , então as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD ) e da
superfície total desse sólido são, respectivamente,
 2 2
a) 
e
 2 


 2 2
b) 
e
 2 


c)
 3
e) 
e
 2 


2
( 3  4)
2
( 3  5)
2

3
 5 

 4

 3 2

 e
 2 
 2
d) 
e
 2 


2
( 3  5)
2

3
 4 

 4

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20. (Ufpe 2011) Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície
36 3 cm2 . Indique o volume do octaedro, em cm3 .
21. (Ifsp 2011) A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um círculo que é a
base de um cilindro reto de altura 6 3 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então a
medida, em centímetros, da altura da pirâmide é
a) 9 .
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 24.
22. (G1 - cftmg 2011) João possuía 15 palitos de fósforos de mesmo tamanho. Usou nove
deles e construiu a figura 1 de área S1 . Depois, usando os seis palitos restantes, construiu a
figura 2 de área S 2 .
Com base nesses dados, e correto afirmar que a área S1 é igual a
a)
1
S2
4
b)
1
S2
2
c)
2
S2
3
d) S 2
23. (Ufpe 2011) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à
metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do
volume da pirâmide, em cm3 . Dado: use a aproximação: 3  1,73 .
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24. (Ufmg 2010) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo
lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base
quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma,
a
.
2
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada
em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de
a) 6 moldes.
b) 8 moldes.
c) 24 moldes.
d) 32 moldes.
25. (Fgv 2010) Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua
base, distante 2 m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade
da área total da pirâmide original.
a) Calcule a altura da pirâmide original.
b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da
base da pirâmide maior mede 3 m.
26. (Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular
regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos
de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —,
espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior
do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os,
conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que
tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar
com parafina para fabricar uma vela?
a) 156 cm3.
b) 189 cm3.
c) 192 cm3.
d) 216 cm3.
e) 540 cm3.
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27. (Ufrgs 2007) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com
madeira maciça, foram recortadas pirâmides triângulares congruentes, cada uma tendo três
arestas de medida 3, conforme representado na figura 1.
O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir.
O volume do sólido obtido é
a) 198.
b) 204.
c) 208.
d) 212.
e) 216.
28. (Ufu 2007) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos
I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem.
Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H.
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29. (Fuvest 2007) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na
aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule:
a) O volume do tetraedro BCGM.
b) A área do triângulo BCM.
c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM.
30. (Ufpr 2006) Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm,
conforme a figura a seguir.
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a área total da pirâmide ABCD.
c) Calcule o volume da pirâmide ABCD.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Como PQRE é tetraedro regular, segue que EQR é um triângulo equilátero. Logo,
π
π
QER  rad e, portanto, REF  rad, pois EFGH é retângulo.
6
3
Por conseguinte, dado que ER  6cm, segue que o comprimento do arco RF é
π
 6  π cm.
6
6
, e que a altura
3
do tetraedro PQRE é igual à altura do paralelepípedo ABCDEFGH, obtemos
b) Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta
AE 
é dada por
6 6
 2 6 cm.
3
Se RF é um arco de circunferência de centro E, então EF  ER  6cm. Além disso, do
triângulo retângulo EFG, vem
tgFEG 
FG
EF
 tg60 
FG
6
 FG  6 3 cm.
Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por
EF  FG  AE  6  6 3  2 6
 216 2 cm3 .
Resposta da questão 2:
[E]
Sejam
e h, respectivamente, a aresta e a altura do tetraedro.
Se a área total e o volume são numericamente iguais, então
1 2 3

 h  2 3  h  12 u.c.
3
4
Resposta da questão 3:
[A]
Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, segue que o custo pedido é
dado por
202  3
 (3  30  50)  100  1,7  140
4
 R$ 23.800.
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Resposta da questão 4:
01 + 02 + 04 + 08 = 15.
 66 
2
[01] (Verdadeira). AL  4  
  72 cm .
2


[02] (Verdadeira). A T  36  72  108cm2 108  3  36  .
[04] (Verdadeira). AF 
[08] (Verdadeira).
[16] (Falsa). V 
66
 18cm2 108  6  18  .
2
A T 108 3

 .
AL
72
2
36  3 3
 36 3cm2 .
3
Resposta da questão 5:
Logo, a área do triângulo BDE será dada por:
1
2 61
5
 61.
2
5
a) A   3  2 /2  3.
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b) V  1/3  3  4  4.
c)
1
12
12 61
 61  AQ  4  AQ 

.
3
61
61
Resposta da questão 6:
[A]
2
No triângulo VOM: R2  5  32  R  4  R  2 e a = 1
2
No triângulo VOM: m2  5  12  m  6
O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = 3)
2
 6
6
Logo, d  
 32  d  9   d 
 2 
4


2
30
2
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Resposta da questão 7:
[D]
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
Queremos calcular a medida do ângulo VMO.
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que
2
AB  VM
 2  AB
2
 VM  AB.
A  2  Ab  4 
Portanto, do triângulo VOM, obtemos
AB
cos VMO 
 cos VMO  2
VM
AB
1
 cos VMO 
2
OM
 cos VMO  cos 60
 VMO  60.
Resposta da questão 8:
[A]
De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da esquerda para a direita, um cilindro,
um prisma de base pentagonal e uma pirâmide triangular.
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Resposta da questão 9:
[B]
2
1 6 5  3
 6  15 3 cm3
Volume da pirâmide hexagonal: VH  
3
4
x
3
2
2
Lados da base da pirâmide retangular: sen60 


 x  15
2
5
2 5
1
Volume da pirâmide retangular: VR   5  15  3  5 3
3
Portanto o volume do sólido todo será V  15 3  5 3  20 3 cm3
Resposta da questão 10:
[D]
Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a:
V
a3 2
12
a3 2 2 2

 a3  8  a  2
12
3
Resposta da questão 11:
[D]
2
2
a 3 
3a2 a2
a
d    
 d2 

d

 2 
4
4
2


2
2.a2
a 2
d
4
2
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Resposta da questão 12:
[C]
Seja J o ponto médio da aresta BG.
Como o triângulo retângulo ONJ é isósceles, segue que ON  3 2 cm.
Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros congruentes, segue que
a sua área lateral é
2
8
ON  3
 2  (3 2)2  3  36 3 cm2 .
4
O volume do octaedro é dado por
2
1
1
2   ON  JG  2   (3 2)2  3  36cm3 .
3
3
Resposta da questão 13:
60.
Sabendo que a área total de um tetraedro é diretamente proporcional ao quadrado da sua
aresta, segue que o gasto com ouro no pingente de aresta 2 cm será o quádruplo do gasto
com o pingente de aresta 1cm, ou seja, 4  7,50  R$ 30,00.
Por outro lado, como o volume de um tetraedro é diretamente proporcional ao cubo da sua
aresta, segue que o gasto com prata no tetraedro de aresta 2 cm será 8 vezes maior do que o
gasto com prata no tetraedro de aresta 1cm, isto é, 8  3,75  R$ 30,00.
Portanto, o joalheiro gastará 30  30  R$ 60,00 para confeccionar o pingente de aresta 2 cm.
Resposta da questão 14:
[D]
VPirâmide 
Area da base  Altura
.
3
Portanto:
L2  H
V1 
3
e
V2 
H
2
2  2   L  H  .
 3 
3


(2L)2 
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Logo:
V2  2  V1 (O dobro do volume inicial).
Resposta da questão 15:
[D]
Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, queremos calcular a área do
círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado 6 cm.
Portanto, o resultado pedido é
2
 6 
2
π
  12π cm .
3


Resposta da questão 16:
45.
O volume do tetraedro é dado por
1 302

 30  4500cm3 .
3 2
Resposta da questão 17:
[D]
Considere o tetraedro regular VABC abaixo, em que M é o ponto de partida do inseto e N é o
ponto de chegada.
Planificando o tetraedro, obtemos o losango AVCB.
Assim, como M e N são pontos médios de AB e VC, segue que MN AV e, portanto,
MN  AV  10cm.
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Resposta da questão 18:
[C]
A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.
Portanto, alternativa [C] está correta.
Resposta da questão 19:
[B]
Considere a figura abaixo, em que O é o centro da base da pirâmide.
2
.
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOE, obtemos
Como VE  EF  , segue que OE 
2
2
2
VO  VE  OE  VO 
2

2
2

2
.
2
Desse modo, a distância do ponto V à face ABCD é
 2 2
2
  
.
2
 2 
A superfície total do sólido é dada por
4  (VEF)  5  (ABCD)  4 
2
3
 5
4
 2 ( 3  5).
2
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Resposta da questão 20:
Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por 2a2 3, em que a é a aresta do
6
octaedro, segue que 2a2 3  36 3  a 
cm.
2
3
 6 
 2
a3 2  2 

 36cm3 .
Portanto, o volume do octaedro é dado por
3
3
Resposta da questão 21:
[B]
A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência.
Logo, temos
1 6.r 2 . 3
.h  .r 2 .6 3  h  12
3
4
Resposta da questão 22:
[D]
S1 = S2
A figura 2 é um tetraedro regular, sua superfície é formada por 4 triângulos equiláteros.
Portanto, as áreas da figuras 1 e 2 são iguais.
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Resposta da questão 23:
Sejam V o vértice da pirâmide, O o centro da base, M o ponto médio de uma das arestas da
base e a medida da aresta da base da pirâmide.
Como a área da base é igual à metade da área lateral, segue que
1
3 2 3
 3  VM 
 VM  3. Sabendo que VO  6cm e que o apótema da base é dado
2
2
3
por OM 
, do Teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo VMO, encontramos:
2
2
2
2
VM  VO  OM  (
 3
3)2  62  

 2 
2
9 2
 36
4
  4.

Portanto, o volume da pirâmide é dado por
1 3 2 3
1 3  42 3

 VO  
 6  83,04cm3 , e o
3
2
3
2
inteiro pedido é 83.
Resposta da questão 24:
[C]
Volume do cubo = a
3
2
Volume da pirâmide =
Número de moldes =
1  a  a a3
  . 
3  2  2 24
Volume do cubo
a3
 3  24
Volume da pirâmide
a
24
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Resposta da questão 25:
a) Se área total da maior é o dobro da área total da menor, então a área da base maior
também será o dobro da área da base menor.
2
A sec
1
1
 x 2
 
  x42 2

A base 2
2
 2 
x = (4 + 2 2)m
b) Considerando a aresta da base 3m, temos a seguinte pirâmide. Seja V o volume do tronco.
V = V(maior) – V (menor).
2
V=
V
1 2
1 3 
.3 (4  2 2)  
 (2  2 2)
3
3 2 
V  (9  3 2)m3
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Resposta da questão 26:
[B]
h 1,5
h4
16 6
1
1
Volume  6 2 .16  .1,5 2 .4  192 cm 3
3
3
Resposta da questão 27:
[A]
Resposta da questão 28:
27 13 cm3
Resposta da questão 29:
a)
a3
6
b)
5a2
8
c)
(5a 41)
41
Resposta da questão 30:
a) 50 3 cm2
b) 50 (3 +
c)
3 ) cm2
500 3
cm
3
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