ANÁLISE ESTRUTURAL AXISSIMÉTRICA DE
CABOS UMBILICAIS E LINHAS FLEXÍVEIS
Jefferson Lacerda Silva
PROJETO DE FIM DE CURSO SUBMETIDO À BANCA EXAMINADORA DA
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU
DE BACHAREL EM ENGENHARIA NAVAL.
Aprovado por:
________________________________________________
Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D
________________________________________________
Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.
________________________________________________
Dr. Anderson Barata Custódio, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2006.
Agradecimentos
Aos meus pais, Roberto e Silvia, e irmãos, Jônathas e Priscilla, por estarem presentes ao
meu lado em todos os momentos de minha vida.
Ao meu professor orientador, Murilo Augusto Vaz, pelos ensinamentos e incentivos
concebidos durante o desenvolvimento da pesquisa.
Ao Doutor Anderson Barata Custódio pelo apoio no desenvolvimento do projeto.
Aos amigos e colegas de trabalho do Núcleo de Estruturas Oceânicas (NEO) com os
quais dividi momentos de alegria e conhecimentos.
A minha namorada, Melissa, pelos anos de compreensão e atenção concebidos.
À Agência Nacional do Petróleo (ANP) pelo incentivo financeiro à pesquisa
desenvolvida por meio do Programa de Formação de Recursos Humanos da ANP para o Setor
de Petróleo e Gás (PRH-ANP).
RESUMO DO PROJETO FINAL
ANÁLISE ESTRUTURAL AXISSIMÉTRICA DE
CABOS UMBILICAIS E LINHAS FLEXÍVEIS
Abril/2006
A partir do correto dimensionamento dos dutos flexíveis pode-se extrair com maior
segurança o óleo e gás provenientes dos poços explorados, e dos cabos umbilicais, o
controle seguro da comunicação entre a superfície e os equipamentos submersos,
garantindo que o carregamento aplicado não afetará a integridade estrutural destes dois
componentes.
O trabalho apresentado objetivou-se na análise do comportamento estrutural local
de dutos flexíveis e cabos umbilicais, a teoria para a sua implementação e no estudo de
casos. Para isto é aplicado um carregamento axissimétrico a estes componentes. Este tipo
de carregamento corresponde às cargas de tração (ou compressão), torção, pressões externa
e interna aplicadas a estes materiais.
Uma planilha desenvolvida no software Mathcad retorna os valores de tensões e
deformações sofridas por estes componentes sob o efeito de diferentes tipos e intensidades
de carregamento, podendo-se assim dimensionar a estrutura. Para o desenvolvimento desta
planilha foram utilizadas equações linearizadas, correspondentes a cada camada dos
elementos analisados, de forma a tornar o programa simplificado. O material das camadas
plásticas foi considerado linear elástico, hipótese consistente se pequenas deformações
forem assumidas.
Índice
1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................................................. 1
2. MODELO MATEMÁTICO PARA ANÁLISE AXISSIMÉTRICA.............................................................. 5
2.1 DESCRIÇÃO DAS CAMADAS DE UM FLEXÍVEL ................................................................................ 5
2.2 CAMADAS HELICOIDAIS - LINEARIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE GOVERNO ........................... 11
2.3 CAMADAS CILÍNDRICAS HOMOGÊNEAS - EQUAÇÕES DE GOVERNO...................................... 28
2.4 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE GEOMÉTRICA.......................................................................... 32
2.5 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO GLOBAIS DO FLEXÍVEL.................................................................... 32
3. ESTUDO DE CASOS .................................................................................................................................. 34
3.1 DUTO FLEXÍVEL..................................................................................................................................... 34
3.2 CABO UMBILICAL.................................................................................................................................. 47
4. CONCLUSÃO.............................................................................................................................................. 52
5. REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................... 53
6. ANEXO........................................................................................................................................................ 54
Lista de Figuras
Figura 1. Sistema Típico de Estruturas Offshore Operando em Diferentes Configurações. .. 1
Figura 2. Exemplo de Configuração de Duto Flexível........................................................... 7
Figura 3. Exemplo de Configuração de Cabo Umbilical........................................................ 7
Figura 4. Seção Típica da Carcaça Intertravada de Aço......................................................... 8
Figura 5. Corte Longitudinal Ilustrando a Configuração Típica ............................................ 8
Figura 6. Seções Típicas da Camada Zeta............................................................................ 10
Figura 7. Fita de Arame Enrolada Helicoidalmente sob seu Eixo Axial.............................. 12
Figura 8. Vetor Tangente em um Ponto de uma Curva qualquer no Espaço. ...................... 13
Figura 9. Fita de Arame Helicoidal. ..................................................................................... 16
Figura 10. Relações Geométricas para o Arame na Condição Inicial e Deformada. ........... 21
Figura 11. Força e Momento Distribuídos no Arame........................................................... 23
Figura 12. Pressões e Carga Axial Atuante no Arame. ........................................................ 27
Figura 13. Distribuição de Tensões em um Infinitesimal da Parede Cilíndrica. .................. 28
Figura 14. Tensão de Escoamento x Profundidade de Lançamento..................................... 38
Figura 15. Carga Axial x Deformação Longitudinal Global................................................ 40
Figura 16. Carga Axial x Deformação Torcional Global. .................................................... 42
Figura 17. Carga Axial x Ângulo Final das Armaduras. ...................................................... 43
Figura 18. Carga Axial x Deformação Longitudinal do Arame. .......................................... 44
Figura 19. Carga Axial x Variação Pressão entre as Camadas............................................. 46
Figura 20. Carga Axial x Pressão de Contato....................................................................... 47
Lista de Tabelas
Tabela 1. Propriedades do Duto Flexível Analisado. ........................................................... 35
Tabela 2. Propriedades do Cabo Umbilical. ......................................................................... 48
Tabela 3. Incógnitas Existentes nas Camadas do Flexível. .................................................. 49
Tabela 4. Equações Utilizadas para Solução do Problema................................................... 49
Tabela 5. Resultados e Comparações. .................................................................................. 50
Tabela 6. Força e Tensão Axial à Camada. .......................................................................... 50
Tabela 7. Momento Torsor e Tensão Axial à Camada. ........................................................ 51
Nomenclatura e Símbolos
Alfabeto Latino
a
Tensão na armadura por unidade de força.
A
Área da fita de arame.
b
Vetor binormal.
b′
Largura do arame.
B
Resultante dos momentos fletores na direção normal.
B′
Resultante dos momentos fletores na direção binormal.
C
Ponto qualquer na curva formada pela hélice enrolada em seu estado inicial da
forma helicoidal sob o seu eixo axial.
C1
Ponto qualquer na curva formada pela hélice enrolada em seu estado deformado da
forma helicoidal sob o seu eixo axial.
dw
Diâmetro dos arames.
Dext
Diâmetro externo.
Dint
Diâmetro interno.
E
Módulo de elasticidade do material.
EAC
Rigidez axial à compressão.
EAT
Rigidez axial à Tração.
EI b
Rigidez à flexão binormal na fita.
EI n
Rigidez à flexão normal na fita.
Fc
Força axial na camada cilíndrica.
Fg
Força axial global do flexível.
Fh
Força axial na camada helicoidal.
G
Módulo de elasticidade transversal.
GJ
Rigidez torcional na fita.
h
Profundidade de lançamento da linha.
H
Resultante dos momentos fletores na direção axial.
I
Inércia da seção.
J
Inércia polar da seção.
l
Passo da hélice.
L
Comprimento do duto.
m
Número de camadas.
ms
Número de arames.
Mc
Momento torsor na camada cilíndrica.
Mg
Momento torsor global.
Mh
Momento torsor na camada helicoidal.
n
Vetor normal.
N
Resultante dos esforços cortantes na direção normal.
N′
Resultante dos esforços cortantes na direção binormal.
q ext
Pressão externa.
qint
Pressão interna.
qij
Pressão de contato entre duas camadas adjacentes.
R
Raio médio da camada.
s
Arco de comprimento.
t
Vetor tangencial.
te
Espessura da camada cilíndrica.
T
Força na direção axial no arame.
W
Peso do arame por unidade de “comprimento seco”.
Ww
Peso do arame por unidade de “comprimento molhado”.
X′
Força lateral distribuída no arame.
Y′
Força distribuída na direção binormal no arame.
Z′
Força distribuída na direção axial no arame.
Alfabeto Grego
α
Ângulo de assentamento inicial da hélice medido a partir de um eixo horizontal.
α1
Ângulo de assentamento deformado da hélice medido a partir de um eixo horizontal.
γ
Deformação torcional.
∆R
Variação do raio médio da camada.
∆t
Variação de espessura da camada.
εa
Deformação axial do arame.
εr
Deformação radial global.
εx
Deformação axial global.
εθ
Deformação circunferêncial global.
θ
Ângulo medido a partir do eixo X de um ponto qualquer C da hélice projetado para
o eixo XY.
θ
Ângulo medido a partir do eixo X de um ponto qualquer C1 da hélice projetado para
o eixo XY.
Θx
Momento fletor lateral distribuído.
Θy
Momento fletor na direção binormal distribuído.
Θz
Momento fletor na direção axial distribuído.
κ0
Curvatura de flexão na direção normal.
κt0
Torção na direção axial da fita.
κ 0′
Curvatura de flexão na direção binormal.
κ1
Curvatura de flexão na direção normal.
κ t1
Torção na direção axial da fita.
κ 1′
Curvatura de flexão na direção binormal.
π
Pi.
σa
Tensão axial aplicada à fita de arame.
σe
Tensão de escamento do material.
σt
Tensão normal atuante na fita de arame.
σx
Tensão axial.
σθ
Tensão circunferêncial.
τ
Tensão cisalhante.
υ
Coeficiente de Poisson.
φ
Ângulo de torção do duto por unidade de comprimento.
Base de Vetores
r
ex
r
ey
r
ex
v
i
Vetor orientado de acordo com o eixo cartesiano do duto em X.
Vetor orientado de acordo com o eixo cartesiano do duto em Y.
Vetor orientado de acordo com o eixo cartesiano do duto em Z.
Vetor orientado de acordo com a seção transversal de uma fita de arame numa
configuração qualquer.
v
j
Vetor orientado de acordo com a seção transversal de uma fita de arame numa
configuração qualquer.
v
k
Vetor orientado de acordo com a seção transversal de uma fita de arame numa
configuração qualquer.
X
Eixo cartesiano do riser na direção X.
Y
Eixo cartesiano do riser na direção Y.
Z
Eixo cartesiano do riser na direção Z.
1. INTRODUÇÃO
O aumento da utilização de sistemas submarinos de produção tem implicado em um
maior emprego de dutos flexíveis e cabos umbilicais na indústria offshore. A crescente
demanda destes risers capazes de operar em lâminas d’águas cada vez mais profundas tem
incentivado a realização de pesquisas, principalmente em relação à redução do peso e
conseqüentemente das cargas axiais. Outro campo estudado corresponde às falhas
estruturais sofridas por estes componentes devido aos diferentes tipos de carregamentos
implementados. As falhas destes componentes podem causar descontrole, vazamento de
fluidos, imobilização de sistemas de operação, dano ao meio ambiente, gastos com
recuperações do meio ambiente e da produção. Algumas recentes falhas estruturais,
causadas pelo carregamento axissimétrico (vide figura 1), deixam claro que um melhor
conhecimento da resposta estrutural destes importantes elementos é necessário.
Área de grande
solicitação
em
tração,
torção
provocada
pelo
deslocamento da
linha e atuação de
pressão
interna
(fluido escoado) e
pressão
externa
(hidrostática).
Figura 1. Sistema Típico de Estruturas Offshore Operando em Diferentes Configurações.
Os estudos realizados visam melhorar a estrutura no que diz respeito ao aspecto
econômico e ambiental. Em função desta necessidade, o trabalho a seguir foi
fundamentado, tornando cada vez mais confiável a análise das tensões e deformações
sofridas por estes materiais.
Para a resolução do problema foi criada uma planilha no programa Mathcad via análise
matricial. Do ponto de vista de engenharia, as linhas flexíveis são estruturas compósitas
(seções transversais compostas de várias camadas concêntricas, camadas plásticas e
camadas metálicas), de diferentes materiais e propriedades, e esbeltas devido às dimensões
da seção transversal ser muito menor que seu comprimento. Adiante será estudada cada
uma destas camadas isoladamente apontando suas principais finalidades. As camadas
plásticas são modeladas como cilíndricas homogêneas, esbeltas e compostas por materiais
elásticos lineares, uma vez que consideram-se pequenas deformações. Isto é, as equações
de Lamé são utilizadas para as camadas elásticas cilíndricas. As camadas metálicas com
assentamento helicoidal são modeladas usando-se a teoria de Clebsch-Kirchhoff para hastes
esbeltas (que representam as camadas helicoidais).
As camadas metálicas possuem forma helicoidal, assegurando grande resistência à
tração, porém pequena rigidez flexional ao conjunto. São geralmente duas e enroladas em
sentidos contrários para garantir um balanceamento quanto à torção. No caso de umbilicais
há o acréscimo de um núcleo eletro-hidráulico à estrutura.
O problema foi formulado em função das equações de equilíbrio e de
compatibilidade geométrica. As equações algébricas de governo acrescidas das relações
constitutivas de tensão e deformação das camadas deste problema foram expandidas e
linearizadas. Cada uma das equações de governo apresenta um determinado número de
incógnitas, diretamente proporcional ao número de camadas plásticas e metálicas existentes
na estrutura analisada. Para resolução do problema este conjunto de equações é expresso
matematicamente como uma matriz quadrada e suas incógnitas são representadas na forma
de vetor. O produto entre a matriz quadrada das equações e o seu respectivo vetor de
incógnitas resulta em um vetor representativo dos valores de força, momento, pressão
interna e pressão externa de cada camada. Portanto, uma vez conhecido o carregamento
aplicado à linha flexível e definida todas as equações que regem o problema é possível
determinar os valores correspondentes de cada uma das incógnitas existentes para cada
camada. Os dados de entrada da planilha correspondem aos valores do carregamento
aplicados à geometria e às propriedades dos materiais de cada camada.
Alguns trabalhos foram essenciais para a realização do programa desenvolvido:
Féret e Bournazel (1987) analisaram o comportamento de dutos flexíveis sob alta
pressão, os quais podem ser usados como risers em estruturas offshore. Uma metodologia e
um algoritmo para se obter a resposta linear de dutos flexíveis foram desenvolvidos. Para
isso, tratam as camadas separadamente, consideraram as armaduras representadas por
expressões simples e que as camadas plásticas apenas transmitiam pressão para as camadas
adjacentes. Em seu trabalho Féret e Bournazel supõem que as camadas plásticas não
contribuem para resistirem aos esforços axissimétricos.
Witz e Tan (1992) apresentam um modelo linear analítico simplificado do
comportamento estrutural de dutos flexíveis, cabos umbilicais e cabos marinhos sob a ação
de forças axiais e torcionais. As camadas plásticas são modeladas como sendo esbeltas e as
armaduras são analisadas a partir da teoria de hastes curvas de Clebsch-Kirchhoff. O
modelo é baseado na interação entre as camadas que compõem um duto flexível formado
por camadas cilíndricas e helicoidais. Os autores descrevem que a separação entre as
camadas influencia a resposta da estrutura. Os resultados são apresentados para cabo
marinho, umbilical e duto flexível.
Em tese de Doutorado, Ramos Jr. (2001) estudou os modelos analíticos para a
previsão do comportamento estrutural de dutos flexíveis e cabos umbilicais. Ramos propôs,
inicialmente, modelos para análise local dos dutos flexíveis e cabos umbilicais sob a ação
de carregamentos de tração, torção, pressão interna, externa e flexão, agindo isoladamente
ou combinados. Foram propostos modelos analíticos para cada camada, resultando num
sistema de equações algébricas que, ao ser resolvido, fornece os valores de rigidez
equivalente axial, flexional e torcional destas estruturas.
Custódio e Vaz (2002) desenvolveram uma formulação e solução para uma resposta
dos dutos flexíveis e cabos umbilicais sujeitos a um carregamento de tração, torque, pressão
interna e externa. As camadas homogêneas são descritas pelas formulações de Lamé e as
helicoidais são descritas pelas formulações de Clebsch-Kirchhoff, onde estas formam
equações algébricas não-lineares as quais são resolvidas por um algoritmo iterativo. O
modelo desenvolvido leva em consideração algumas características não-lineares tais como
a formação de gap e o contato lateral entre as camadas de arame e isto pode ser aplicado no
projeto e verificação da seção transversal do duto flexível e cabo umbilical.
Inicialmente o capítulo 2 descreverá todas as camadas fundamentais à composição e
elaboração dos flexíveis, sejam estes dutos ou cabos umbilicais. Ainda no capítulo 2, serão
apresentadas as equações de equilíbrio, seus métodos de obtenção e a metodologia utilizada
para a transformação de equações não lineares para a forma algébrica linear, tanto para as
camadas plásticas, como para as camadas helicoidais.
O capítulo 3 estará relacionado à interpretação e elaboração dos resultados extraídos
de uma ferramenta computacional não linear elaborada por Custódio em sua tese de
mestrado (1999), onde serão realizadas saídas gráficas que expressarão o comportamento
do duto para cargas de tração e compressão. Ainda no capítulo 3 será mostrado um estudo
de caso feito para o modelo linear desenvolvido em uma planilha MathCad, onde serão
apresentados os valores de tensões e deformações sofridas pelo riser quando solicitado por
um carregamento axissimétrico. O capítulo 4 apresentará uma conclusão do trabalho.
2.
MODELO
MATEMÁTICO
PARA
ANÁLISE
AXISSIMÉTRICA
Antes de iniciar a apresentação das equações globais de equilíbrio, para uma maior
compreensão do problema serão apresentadas todas as camadas que constituem um duto
flexível e um cabo umbilical.
2.1 Descrição das Camadas de um Flexível
Dutos flexíveis são estruturas multicamadas responsáveis pelo escoamento dos
fluidos retirados (hidrocarbonetos: petróleo e derivados, gases) e injetados nos poços (água
de injeção, produtos químicos, cimento e lama) entre terminais de sistemas de produção
submarinos. Quanto à aplicação, os dutos podem ser denominados de:
1. Riser: quando a extensão do duto apresenta-se elevada sobre o leito
marinho, correspondendo ao trecho que une a unidade de produção a
extremidades que se encontra conectada a terminação submersa; apresenta
uma grande parcela dinâmica de carregamento.
2. Flowline: quando fazem a ligação entre o poço e o manifold, quando
apresenta a maior parte do comprimento em contato com o leito marinho;
apresenta-se isento ou com pouca parcela de carga dinâmica.
Umbilicais submarinos são estruturas multicamadas que possuem uma extensa
variação de funções. São responsáveis pela transmissão eletro-hidráulica, controle de
equipamentos e da produção, injeção química, manutenção do poço, acionamento de
equipamentos de estanqueidade, ou seja, a comunicação entre os equipamentos submersos e
a superfície onde estão localizadas as unidades de produção e armazenamento. O número
de mangueiras hidráulicas, cabos elétricos e de outras funções desempenhadas pelos
umbilicais submarinos está relacionado à operação a que o umbilical está designado e às
funções requeridas na produção. Porém existe um impasse que corresponde ao peso e ao
diâmetro necessário para o conjunto selecionado, pois quanto maior o diâmetro e o peso das
linhas maior é a carga axial. Portanto, um estudo mais apurado do arranjo dos umbilicais
deve fazer parte da definição do seu dimensionamento.
As duas estruturas mencionadas são largamente utilizadas na indústria petrolífera
offshore. A estrutura destes componentes é composta por várias camadas concêntricas,
sendo estas plásticas e metálicas. As camadas plásticas homogêneas são formadas
basicamente por polímeros termoplásticos, extrudadas, esbeltas e compostas por materiais
considerados elásticos lineares para pequenas deformações. Já as camadas metálicas são
usualmente formadas por aço, helicoidais e enroladas em sentidos contrários para garantir
um balanceamento quanto à torção. Além disso, as camadas metálicas asseguram pequena
rigidez flexional ao conjunto. No caso de umbilicais há o acréscimo de um núcleo eletrohidráulico à estrutura em substituição às camadas metálicas e plásticas mais internas do
duto flexível (carcaça, camada plástica interna e zeta, mais à frente descritas). As Figuras 2
(duto flexível) e 3 (cabo umbilical) representam exemplos destas estruturas.
Figura 2. Exemplo de Configuração de Duto Flexível.
Figura 3. Exemplo de Configuração de Cabo Umbilical.
Cada uma das camadas dos risers desempenha uma função importante e específica
cujas descrições serão apresentadas abaixo.
i. Carcaça Intertravada de Aço
Consiste em elementos perfilados em forma de “S” de aço inoxidável (vide figura 4),
enrolada na forma de uma hélice com pequeno passo com intertravamento não estanque. É
a camada mais interna do duto e têm como principal objetivo resistir aos esforços de
compressão diametral provocados durante o lançamento da linha, à pressão externa,
prevenindo também, o colapso do duto provocado pelas camadas helicoidais quando
submetidos a uma carga de tração ou quando há uma queda de pressão interna, ou seja,
sustentar as cargas radiais. O intertravamento da fita de aço é fundamental para garantir a
resistência ao colapso por pressão externa, porém restringe as deformações axiais e a
curvatura do duto flexível em função do pequeno deslocamento permitido pelas folgas entre
as fitas da camada. O duto flexível ilustrado na figura 5 demonstra a configuração típica da
carcaça intertravada de aço.
Figura 4. Seção Típica da Carcaça Intertravada de Aço.
Figura 5. Corte Longitudinal Ilustrando a Configuração Típica
da Carcaça Intertravada de Aço.
ii. Camada Plástica Interna ou Camada de Pressão
É uma camada de polímero, homogênea, extrudada, esbelta e composta por
materiais elásticos e se localiza sobre a carcaça intertravada. Tem como objetivo principal
garantir a estanqueidade (sem perdas) dos fluidos transportados pelo duto flexível e
permitir uma distribuição de pressão uniforme sobre a carcaça intertravada e camada zeta.
Reduz o atrito entre a carcaça intertravada e a camada zeta, também é responsável pela
resistência à corrosão e aos ataques químicos dos fluidos conduzidos, para isso precisam ser
quimicamente e termicamente compatíveis à natureza do fluido transportado.
iii. Camada Zeta
Esta camada é projetada para auxiliar a camada plástica interna a manter a sua
integridade estrutural sustentando a pressão interna, ou seja, resistir à expansão radial da
camada plástica. Também auxilia nos efeitos de esmagamento provocados pelas armaduras
de tração quando submetidas ao carregamento axial. São constituídas por reforçadores na
forma de uma hélice com pequeno passo de assentamento. Nos locais onde as condições de
pressão interna do duto são baixas, esta camada torna-se não muito necessária, pois sua
atividade funcional pode ser substituída pelas armaduras de tração. Porém a camada zeta
torna-se de fundamental importância em regiões onde a pressão interna do duto é muito alta
para garantir que o vão livre da camada plástica interna seja o menor possível.
Figura 6. Seções Típicas da Camada Zeta.
iv. Armaduras de Tração
A principal função é proporcionar resistência axial e torcional ao duto garantindo a
sua integridade estrutural. As armaduras de tração são usualmente formadas por aço
embora outros materiais como fibras de alto desempenho também possam ser utilizados
enrolados helicoidalmente em sentidos contrários para garantir um balanceamento quanto à
torção. Essa disposição dos arames permite que o giro da estrutura devido ao carregamento
de tração se mantenha o menor possível. Geralmente, nos umbilicais apresentam uma seção
transversal circular e nos dutos flexíveis uma seção transversal retangular. Em
contrapartida, as camadas metálicas asseguram pequena rigidez flexional ao conjunto. Esta
camada também possui como função auxiliar a camada plástica interna contra a pressão de
explosão.
v. Camadas Anti-fricção
São em geral localizadas entre duas camadas helicoidais adjacentes. A função destas
camadas é reduzir o atrito entre duas camadas metálicas adjacentes evitando o desgaste
destas camadas. Além de manter os tendões das armaduras de tração em suas corretas
posições helicoidais evitando que os mesmos não se desloquem e imobilizem o
funcionamento do riser.
vi. Camada Plástica Externa
É uma das camadas de polímero, homogênea, extrudada, esbelta e composta por
materiais elásticos considerados lineares para pequenos deslocamentos. Têm como objetivo
principal proteger as camadas internas contra danos, abrasão e corrosão, bem como
promover o isolamento térmico.
2.2 Camadas Helicoidais - Linearização das Equações de Governo
As equações desenvolvidas no texto a seguir são empregadas para as camadas
metálicas (armaduras de tração, carcaça e camada zeta) dos flexíveis. Estas camadas
desempenham um importante papel de resistência mecânica à tração e à compressão dos
dutos.
Para demonstrar o comportamento das camadas helicoidais, no que diz respeito a
sua torção e tortuosidade, no seu estado inicial (totalmente descarregada e com seu eixo
central totalmente reto) e deformado sob a ação de um carregamento axissimétrico, será
considerada uma fita de arame enrolada de forma helicoidal sob o seu eixo axial como é
observado na figura 7.
Figura 7. Fita de Arame Enrolada Helicoidalmente sob seu Eixo Axial.
Para esta configuração e condições de carregamento apresentadas é aceitável a
associação entre as equações paramétricas do eixo central de uma fita de arame qualquer, às
equações paramétricas de uma hélice cilíndrica de passo constante. Vale ressaltar que o
comprimento L do duto representado na figura 7 neste caso é igual ao passo da hélice. As
equações parametrizadas da hélice de passo constante são dadas por:
x = R cosθ , y = R sen θ e z =
L(θ − θ 0 )
= R tan α (θ − θ 0 )
2π
(1)
O vetor posição de um ponto qualquer na curva formada pela hélice e o
comprimento de arco ds de um elemento infinitesimal estão definidos a seguir.
r
r
r
r
r = (C − O ) = x ex + y e y + z ez
⎛ ⎛ dx ⎞ 2 ⎛ dy ⎞ 2 ⎛ dz ⎞ 2 ⎞
⎟ dθ = R dθ
+⎜
+⎜
ds = ⎜ ⎜
⎟
⎟
⎟
⎜ ⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠ ⎟
cosα
⎝
⎠
(2)
(3)
A Figura 8 ilustra o vetor tangente em um ponto de uma curva qualquer formada no
espaço. A partir dela obtêm-se a expressão correspondente ao vetor tangente a uma curva
genérica no espaço.
Figura 8. Vetor Tangente em um Ponto de uma Curva qualquer no Espaço.
r
r
r dr dr dθ
r
r
r
t =
=
= − senθ cos α e x + cosθ cos α e y + senα e z
ds dθ ds
(4)
No cálculo de vetor, as fórmulas de Frenet-Serret descrevem as propriedades
dinâmicas de uma partícula que se mova ao longo de uma curva contínua no espaço
tridimensional. Mais especificamente, as fórmulas de Frenet-Serret (5) são definidas pela
v
v v
derivação do triedro t , n e b , dois a dois ortogonais, medindo a variação de cada um
destes vetores ao longo da curva s sem depender do sistema particular de coordenadas
OXYZ que se considere.
r
r
r
r
r db
r dt
dn
v
= −κ t 0 n e
= κ 0′ n
= κ t 0 b − κ 0′ t ,
ds
ds
ds
(5)
Toda curva existente pode ser definida através da sua curvatura e da sua
tortuosidade. O conjunto das equações (5) apresenta a definição completa da curva formada
no espaço. No caso da hélice a curvatura apresenta-se constante não nula no sentido
positivo ou negativo, dependendo do enrolamento, o que permite que a trajetória mantenhase circular por toda sua extensão; e uma tortuosidade constante não nula que promove o
movimento ascendente. Da terceira das equações (5) apresentadas têm-se:
r
r dt dθ cos 2 α
(− cosθ ,− senθ ,0)
=
κ 0′ n =
dθ ds
R
(6)
A partir das equações (5) e (6) pode-se encontrar o vetor normal e a curvatura inicial
da hélice que correspondem à:
r
Vetor normal ⇒ n = −(cosθ , senθ , 0 )
(7)
r
dt
cos 2 α
=
Curvatura inicial ⇒ κ 0′ =
ds
R
(8)
A equação do vetor binormal e da tortuosidade também podem ser encontrados
r r
através das equações de Frenet-Serret, onde t e n são representados respectivamente pelas
equações (4) e (7).
r r r
Vetor binormal ⇒ b = t × n = (senα senθ ,− cosθ senα , cos α )
(9)
r
r
r
db
db dθ senα cos α
(− cosθ , senθ , 0)
κ t0n = −
=−
=
ds
dθ ds
R
Tortuosidade ⇒ κ t 0
r
db
senα cos α
=
=
ds
R
(10)
Então:
κ0 = 0
κ 0′ =
cos 2 α
R
κ t0 =
senα cos α
R
(11)
O valor de κ 0 é zero, supondo-se que as direções principais formada pela base de
v v v
vetores i , j , k da seção transversal do arame sejam coincidentes e constantes ao longo de
r rr
todo o comprimento com as direções principais de curvatura n , b , t formada pelo eixo
(
)
(
)
central do tendão. Esta suposição é razoável quando se trata de arames que possuam a seção
transversal retangular (freqüentemente utilizados em dutos flexíveis), uma vez que estes
vetores são praticamente coincidentes.
A Figura 9 ilustra uma fita de arame com sua base de vetores na seção transversal e
as direções principais de curvatura (normal, binormal e tangencial).
Figura 9. Fita de Arame Helicoidal.
Aplicando o carregamento axissimétrico o arame se deforma e assume um
comportamento com variação de raio e ângulo de inclinação, mas mantêm, por hipótese,
uma configuração helicoidal. O novo raio pode ser representado como R1 = R − ∆R , o novo
ângulo como α 1 = α + ∆α e o novo comprimento como L1 = L + ∆L .
As equações parametrizadas da hélice de passo variável são:
x1 = R1 cosθ 1 , y1 = R1 sen θ 1 e z1 =
L1 (θ 1 − θ 0 )
= R1 tan α 1 (θ 1 − θ 0 )
2π
(12)
O vetor posição do ponto na curva deformada formada pelo hélice em função de
uma carga aplicada e o comprimento de arco ds de um elemento infinitesimal é definido
abaixo.
r
r
r
r
r1 = (C1 − O ) = x1 e x + y1 e y + z1 e z
(13)
⎛
⎜
ds1 = ⎜
⎜
⎝
⎛ dx1
⎜⎜
⎝ dθ1
2
2
⎞ ⎛ dy1 ⎞ ⎛ dz1 ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
⎠ ⎝ d θ 1 ⎠ ⎝ dθ 1 ⎠
2
⎞
R1 dθ 1
⎟
⎟⎟dθ 1 = cos α
1
⎠
(14)
A partir destas equações é possível encontrar-se as equações correspondentes à
curvatura e à tortuosidade para a hélice deformada. O vetor tangente correspondente à
curva deformada corresponde à:
r
r
r dr1
dr1 dθ1
r
v
v
t1 =
=
= − senθ1 cosα1 ex + cosθ1 cosα1 e y + senα1 ez
ds1 dθ1 ds1
(15)
De posse das fórmulas de Frenet-Serret:
r
r
r
r
r db1
dn1
dt1
r
r
= κ t1b − κ 1′t ,
= κ 1′n1
= −κ t1 n1 e
ds1
ds1
ds1
(16)
Da terceira das equações (16) apresentadas têm-se:
r
dt1 dθ 1 cos 2 α 1
r
(− cosθ 1 ,− senθ 1 , 0)
κ 1′n1 =
=
dθ 1 ds1
R1
(17)
A partir da equação (17) encontra-se o vetor normal e a curvatura da hélice
deformada equivalente à:
r
Vetor normal ⇒ n1 = −(cosθ 1 , senθ 1 , 0 )
r
dt1
cos 2 α 1
′
Curvatura ⇒ κ 1 =
=
ds1
R1
(18)
(19)
A equação do vetor binormal e da tortuosidade também são encontrados através das
r r
equações de Frenet-Serret, onde t1 e n1 são representados respectivamente pelas equações
(15) e (18).
r r r
Vetor binormal ⇒ b1 = t1 × n1 = (senα 1 senθ 1 ,− cosθ 1 senα 1 , cos α 1 )
(20)
r
r
db1
db1 dθ 1 senα 1 cos α 1
r
(− cosθ 1 , senθ 1 , 0)
κ t1 n1 = −
=−
=
ds1
dθ 1 ds1
R1
r
db1
senα 1 cos α 1
=
Tortuosidade ⇒ κ t1 =
ds1
R1
(21)
Então:
κ1 = 0
κ 1′ =
cos 2 α 1
R1
κ t1 =
senα 1 cos α 1
R1
(22)
Lembrando-se da hipótese assumida para κ 0 , o valor de κ1 é também é definido
v v v
zero, supondo-se que as direções principais formada pela base de vetores i , j , k da seção
(
)
transversal do arame sejam coincidentes e constantes ao longo de todo o comprimento com
r rr
as direções principais de curvatura n , b , t formada pelo eixo central do tendão.
(
)
Fazendo-se as devidas substituições de variação de raio e ângulo de assentamento
da hélice nas equações de curvatura e tortuosidade da hélice deformada, e expandindo estas
equações com as corretas simplificações obtêm-se as equações linearizadas. Assumindo-se
∆α e ∆R com variações pequenas, sen ∆α ≅ tan ∆α ≅ ∆α e cos ∆α ≅ 1 .
Curvatura de flexão na direção binormal:
2
⎛ cos 2 α ⎞
cos 2 α1
⎛ sen2α ⎞ cos α
⎟⎟ + ∆α ⎜ −
≅ ∆R⎜⎜
κ 1′ =
⎟+
2
R1
R ⎠
R
⎝
⎝ R ⎠
(23)
Torção na direção axial da fita:
κ t1 =
senα1 cosα1
⎛ sen2α ⎞
⎛ cos 2α ⎞ sen2α
≅ ∆R⎜
+ ∆α ⎜
⎟+
2 ⎟
2R
R1
⎝ 2R ⎠
⎝ R ⎠
(24)
Os momentos locais aplicados são proporcionais às mudanças na curvatura de
flexão e torção, respectivamente, no limite de deformação elástica.
B = EI n (κ1 − κ 0 )
B′ = EI b (κ1′ − κ 0′ )
(25)
H = GJ (κ t1 − κ t 0 )
Na primeira das equações (25):
B = 0 , pois κ1 − κ 0 = 0
(26)
Na segunda das equações (25):
⎛ EI b cos 2 α ⎞
⎛ EI sen2α ⎞
⎟ + ∆α ⎜ − b
′
B ≅ ∆R⎜⎜
⎟
2
⎟
R
R
⎝
⎠
⎠
⎝
(27)
Na terceira das equações (25):
⎛ GJsen2α ⎞
⎛ GJ cos 2α ⎞
H ≅ ∆R⎜
⎟ + ∆α ⎜
⎟
2
R
⎝ 2R
⎠
⎝
⎠
(28)
Os valores de rigidez dependem da forma da seção transversal da fita (circular ou
retangular), já que os valores são obtidos a partir de integrações de elementos infinitesimais
da seção transversal da fita. É valido ressaltar que no caso estudado, após a deformação da
hélice na direção axial da fita a configuração deformada permanece como uma helicóide
perfeita. A correspondente deformação axial é dada por:
σ =
T
T
= ε E ⇒ εa =
EA
A
(29)
Através do estado não deformado e deformado da fita de arame pode-se tirar
relações geométricas entre deformação longitudinal e ângulo de torção. Estas relações
auxiliam no cálculo de deformação da tira de arame em relação à deformação global do
ângulo de assentamento e são ilustradas na Figura 10.
Figura 10. Relações Geométricas para o Arame na Condição Inicial e Deformada.
Analisando a figura 10, pode-se relacionar os senos do ângulo α para as situações
inicial e deformada da fita de arame.
εx =
senα1
(1 + ε a ) − 1
senα
ε a ≅ ε x − ∆α cot gα
(30)
Ainda analisando a figura 10, pode-se relacionar também as tangentes do ângulo α
para as situações inicial e deformada da fita de arame. Através das relações de seno e
tangente obtêm-se a formulação aproximada para a deformação longitudinal do arame ( ε a )
e a deformação global do flexível ( ε x ).
tgα1 = tgα
1+ εx
∆R φL
+
1−
R 2π
⎛ 1⎞ ⎛ L ⎞
⎛ 2 ⎞
⎟ + φ ⎜ ⎟ + ∆α ⎜
⎟
⎝ R ⎠ ⎝ 2π ⎠
⎝ sen2α ⎠
ε x ≅ ∆R⎜ −
⎛ 1⎞ ⎛ L ⎞
⎛ 2
⎞
− cot gα ⎟
⎟ + φ ⎜ ⎟ + ∆α ⎜
⎝ R ⎠ ⎝ 2π ⎠
⎝ sen2α
⎠
ε a ≅ ∆R⎜ −
(31)
A formulação de Love descreve as equações diferenciais de equilíbrio de forças e
momentos para uma fita de arame.
∂N
− N ′κ t1 + Tκ1′ + X ′ = 0
∂Si
∂N ′
− T κ 1 + Nκ t 1 + Y ′ = 0
∂Si
(32)
∂T
− Nκ1′ + N ′κ1 + Z ′ = 0
∂Si
e
∂B
− B′κ t1 + Hκ1′ − N ′ + Θ x = 0
∂Si
∂B ′
− Hκ 1 + Bκ t1 + N + Θ y = 0
∂S i
∂H
− Bκ1′ + B′κ1 + Θ z = 0
∂Si
(33)
O equilíbrio da fita pode ser simplificado se todas as variações dos esforços
solicitantes de forças e momentos (vide figura 11) são assumidos constantes ao longo do
comprimento da fita.
Figura 11. Força e Momento Distribuídos no Arame.
Aplicando-se a hipótese acima mencionada, juntamente com as equações (11), (22)
e a (26), as equações (32) e (33) são simplificadas a:
− N ′κ t1 + Tκ1′ + X ′ = 0
Nκ t 1 + Y ′ = 0
− Nκ 1 + Z ′ = 0
e
(34)
− B′κ1 + Hκ t′1 − N ′ + Θ x = 0
N + Θy = 0
(35)
Θz = 0
A terceira das equações (35) define que nestas condições, a componente de
momento distribuído na direção axial é zero, ou seja, não existe nestas condições um torque
aplicado à estrutura. Considerando-se que na fabricação das camadas helicoidais os arames
de uma determinada camada sejam instalados de modo a não existir contato nem atrito
entre eles, isso faz com que Y ′ e Z ′ sejam nulos. Assim, a resultante dos esforços cortantes
na direção normal é zero, com isso, o momento fletor na direção binormal distribuído na
segunda das equações (35) também vale zero.
⎧− N ′κ t1 + Tκ1′ + X ′ = 0
⎪Y ′ = 0
⎪
⎪⎪Z ′ = 0
⎨
⎪− B′κ t1 + Hκ1′ − N ′ = 0
⎪B = 0
⎪
⎪⎩Θ = 0
(36)
Isolando-se N ′ na terceira das equações acima, e substituindo este valor na
primeira equação acima, o valor de X ′ é encontrado. Com isso encontra-se a força
distribuída na fita de arame.
N ′ = − B′κ t1 + Hκ 1′
X ′ = (− B ′κ t1 + Hκ 1′ ) κ t1 − Tκ 1′
⎛ sen 2 2α cos 2 α
EA cos 2 α ⎞ ⎛ EAL cos 2 α ⎞
′
⎜
⎟⎟ + φ ⎜⎜ −
⎟⎟ +
( EI b − GJ ) +
X = ∆R⎜ −
4
2
π
2
R
4
R
R
⎝
⎠ ⎝
⎠
3
2
2
⎛ 2 EA cos α EA cot gα cos α EI b sen 2α GJ cos 2α cos 2 α sen2α ⎞
⎟⎟
+ ∆α ⎜⎜ −
+
+
+
Rsen2α
R
4R 3
2R 3
⎝
⎠
(37)
i. Diferença de Pressão entre as Camadas
A pressão distribuída na fita de arame pode ser aproximada por X ′ b′ , e pode ser
considerada como sendo a diferença entre as pressões de contato das camadas interna e
externa a fita.
q ext − qint =
X′
b′
(38)
A partir da equação (37), encontra-se a equação linear referente à diferença de
pressão entre as camadas adjacentes à fita.
⎛ sen 2 2α cos 2 α
EA cos 2 α ⎞ ⎛ EAL cos 2 α ⎞
⎟ + φ⎜ −
⎟+
−
+
(
)
q ext − qint = ∆R⎜⎜ −
EI
GJ
b
2πRb′ ⎟⎠
4b′R 4
b′R 2 ⎟⎠ ⎜⎝
⎝
⎛ 2 EA cos 2 α EA cot gα cos 2 α EI b sen 3 2α GJ cos 2α cos 2 α sen2α ⎞
⎟⎟
+ ∆α ⎜⎜ −
+
+
+
b′R
4b′R 3
2b′R 3
⎝ b′R sen2α
⎠
(39)
ii. Força Axial na Camada Helicoidal
Somando-se todas as componentes de força axial atuante em cada uma das fitas de
arame (T ) que compõem a estrutura, o resultado corresponde à equação de força global
para as camadas helicoidais. É importante ressaltar que em qualquer tipo de carregamento
aplicado ao flexível, todas as fitas de arames que compõem uma mesma camada helicoidal
assumem as mesmas deformações.
Fh = m s (T senα 1 + N ′ cos α 1 )
⎛ m s EA senα m s EI b sen2α cos 3 α m s GJ sen2α cos 3 α ⎞
⎟+
−
+
Fh = ∆R⎜⎜ −
3
3
⎟
R
R
R
2
2
⎝
⎠
⎛ m s EA
m s EI b sen 2 2α cos α m s GJ cos 2α cos 3 α ⎞
⎜
⎟+
+ ∆α ⎜
− m s EA cos α +
+
2
2
⎟
α
cos
R
R
2
⎝
⎠
⎛ m EAL senα ⎞
φ⎜ s
⎟
2π
⎝
⎠
(40)
iii. Momento Torsor na Camada Helicoidal
Somando-se todas as componentes de momento torsor atuante em cada uma das
fitas de arame que compõem a estrutura, o resultado é a equação de momento torsor global
para as camadas helicoidais.
M h = m s (Hsenα 1 + B ′ cos α 1 + T ( R − ∆R) cos α 1 − N ′( R − ∆R) senα 1 )
⎛ ms GJ sen2α senα
ms ( EI b − GJ ) sen2α senα cos 2 α ⎞
⎜
−
+
+⎟
cos
m
EA
α
s
2
2
2
R
2
R
⎜
⎟+
M h = ∆R
⎜ m EI cos3 α
⎟
⎜+ s b 2
⎟
R
⎝
⎠
⎛ ms GJ senα cos 2α ms EI b sen2α cos α ms EAR
⎞
−
+
− ms EAR cos α cot gα ⎟
⎜
R
R
sen
α
⎟+
∆α ⎜
⎜ ms GJ senα cos 2α cos 2 α ms EI b senα sen 2 2α
⎟
−
⎜−
⎟
2R
R
⎝
⎠
cos
α
m
LEAR
⎛
⎞
φ⎜ s
⎟
2
π
⎝
⎠
(41)
iv. Pressão de Contato Média entre as Camadas
As camadas de arame quando submetidas ao carregamento axissimétrico exercem
pressões sobre uma camada adjacente a elas. Estas pressões de esmagamento exercidas
podem ser estimadas pelo um valor médio entre as pressões encontradas imediatamente na
face superior e inferior a fita de arame (vide figura 12). Como o material destas camadas foi
considerado elástico linear para pequenas deformações, isótropo e homogêneo as equações
constitutivas de pressão de contato entre as camadas helicoidais resultam diretamente da
aplicação da lei de Hooke.
Figura 12. Pressões e Carga Axial Atuante no Arame.
σ a = E εa =
εt = −
T
A
∆t
= −υ ε a
t
σt =
qext + qint
= E εt
2
εt =
1
(σ t − υσ a )
E
⎛ υ T E∆t ⎞
qext + qint = 2 ⎜
−
⎟
t ⎠
⎝ A
(42)
2.3 Camadas Cilíndricas Homogêneas - Equações de Governo
Este tópico apresentara as equações gerais de equilíbrio para a modelagem das
camadas cilíndricas do flexível. As camadas plásticas são modeladas como dutos de
paredes esbeltas, elásticos lineares e homogêneos. Isolando-se um elemento infinitesimal
constituinte da parede cilíndrica submetida a um carregamento, e somando-se as
componentes dos estados de tensões normais e cisalhantes atuantes nas respectivas direções
axial à camada, radial e circunferencial, tem-se:
Figura 13. Distribuição de Tensões em um Infinitesimal da Parede Cilíndrica.
Somatório de forças na direção X:
ΣFc x = 0
∂σ x ⎞
∂τ
⎛
⎛
⎞
− σ x R t dθ + ⎜ σ x +
dx ⎟ R t dθ − τ t dx + ⎜τ +
dθ ⎟ t dx = 0
∂θ
∂x
⎝
⎠
⎝
⎠
∂σ x
∂τ
+
=0
∂x
R∂θ
∂σ x ∂τ
+
=0
∂x
∂s
(43)
Somatório de forças na direção Y:
ΣFc y = 0
⎛
σ θ t e dx − ⎜ σ θ +
⎝
∂σ θ
∂τ ⎞
⎞
⎛
dθ ⎟ t e dx + τ R t e dθ − ⎜τ +
dx ⎟ R t e dθ = 0
∂θ
∂x ⎠
⎝
⎠
∂σ θ ∂τ
+
=0
R∂θ ∂x
∂σ θ ∂τ
+
=0
∂s
∂x
(44)
Somatório de forças na direção Z:
ΣFc z = 0
∂σ
⎛
⎞
⎜ σ θ + θ dθ ⎟ t dx dθ − (qint − q ext ) dx R dθ = 0
∂θ
⎝
⎠
σ θ t = (qint − q ext ) R
(45)
Para as tensões normais e cisalhantes serem soluções das equações as condições no
contorno do duto devem ser satisfeitas.
Condições na fronteira do duto:
σx =
Fc
2π R te
σθ =
qint − q ext
R
te
τ=
(46)
Mc
2π R3 te
As deformações no duto são assumidas uniformes e todas as camadas se deformam
igualmente.
εx =
∆L
L
εθ = −
εr =
∆R
R
(47)
∆t e
te
γ =φ R
A tensão radial pode ser expressa pela média das pressões internas e externas
atuantes no duto.
σr =
1
(qint + qext )
2
(48)
As equações da relação tensão-deformação são dadas pela generalização da lei de
Hooke.
εx =
1
(σ x − υσ θ − υσ r )
E
εθ =
1
(σ θ − υσ r − υσ x )
E
εr =
γ =
(49)
1
(σ r − υσ x − υσ θ )
E
1
τ
G
Resolvendo as equações (49) para os valores de tensão e assumindo que as tensões
de cisalhamento sejam tomadas como zero, tem-se:
σx =
E (1 − υ ) ⎡
υ
(ε θ + ε r )⎤⎥
εx +
⎢
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎣
(1 − υ )
⎦
σθ =
E (1 − υ ) ⎡
υ
(ε x + ε r )⎤⎥
εθ +
⎢
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎣
(1 − υ )
⎦
(50)
σr =
E (1 − υ ) ⎡
υ
(ε x + εθ )⎤⎥
εr +
⎢
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎣ (1 − υ )
⎦
Substituindo as equações (46), (47) e (48) nas equações (50), encontra-se a relação
de força, momento e pressão globais atuantes nas paredes duto.
Fc =
2 π R t e E (1 − υ ) ⎡
υ ⎛ ∆t e ∆R ⎞⎤
⎜
⎟
−
⎢ε x +
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎣
(1 − υ ) ⎜⎝ t e R ⎟⎠⎥⎦
(51)
qint − qext =
t e E (1 − υ ) ⎡ ∆R
υ ⎛ ∆L ∆t e ⎞⎤
⎜
⎟⎥
−
+
⎢
R(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎣ R (1 − υ ) ⎜⎝ L
t e ⎟⎠⎦
(52)
qint + q ext =
2 E (1 − υ ) ⎡ ∆t e
υ ⎛ ∆L ∆R ⎞ ⎤
−
+
⎜
⎟
⎢
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎣ t e (1 − υ ) ⎝ L R ⎠⎥⎦
(53)
M c = G 2π R 3 te φ
(54)
2.4 Equação de Compatibilidade Geométrica
Para a realização do problema deve-se considerar as equações que fazem referência
a compatibilidade geométrica entre camadas adjacentes. As condições de compatibilidade
determinam que os deslocamentos das extremidades de todas as camadas adjacentes nas
direções radial, circunferencial e axial são iguais, ou seja, as camadas adjacentes devem
possuir o mesmo deslocamento nessas direções. Como não será estuda a formação de gap
entre as camadas, será admitido que elas permaneceram em contato tanto no estado inicial
como no deformado (gap igual a zero). Para descrever a compatibilidade geométrica será
utilizada uma relação entre espessuras e raios médios de camadas adjacentes.
∆Ri +1 −
∆ti +1
= ∆Ri + ∆ti
2
(55)
2.5 Equações de Equilíbrio Globais do Flexível
As últimas duas equações globais que completam o problema são dadas pela relação
entre as forças e momentos atuantes em todas as camadas que compõem a estrutura
flexível. A equação de força global de equilíbrio para o flexível é composta por uma
combinação das cargas existentes em cada uma das camadas.
m
Fg = ∑ Fi
(56)
i =1
Já a equação geral de equilíbrio de momentos é dada por:
m
M g = ∑ Mi
i =1
(57)
3. ESTUDO DE CASOS
A partir do conhecimento de toda a teoria que envolve o problema da análise
axissimétrica de dutos flexíveis e cabos umbilicais, é possível então prosseguir para a parte
prática do problema. Neste capítulo serão analisados os resultados obtidos da ferramenta
computacional desenvolvida neste trabalho para um cabo umbilical com quatro camadas.
Em razão das dificuldades existentes em se projetar um duto multicamadas devido à
quantidade de equações e incógnitas a combinar, foi analisado um duto flexível de oito
camadas com auxílio do programa desenvolvido por Custódio em sua tese de mestrado
(1999). Este desenvolveu uma ferramenta computacional capaz de dimensionar a estrutura
de um riser, que permite estudar o carregamento resultante atuante em cada uma das
camadas constituintes do tipo de estrutura a ser analisado.
3.1 Duto Flexível
Pelo programa de Custódio foi analisada a seção de um duto flexível publicada por
Witz e Tan (1992), vide propriedades do duto na tabela 1. Os dados fornecidos desta
estrutura foram simulados na ferramenta computacional e seus resultados foram analisados
e comparados para situações em cargas de tração e compressão. As cargas de tração podem
ser representa a condição do flexível próximo à unidade flutuante. Supõe-se que não
existam cargas de pressões e considera-se apenas uma carga de tração axial. Já as cargas de
compressão são representadas durante a instalação da linha devido o movimento de ondas.
Tabela 1. Propriedades do Duto Flexível Analisado.
Camadas
Dext (m)
Dint (m)
Espessura (m)
Propriedades
External Sheath
0,1115
0,1105
0,0005
E
= 20,2 MPa
υ = 0,35
External Armour
0,1105
0,1045
0,003
E
= 200 GPa
υ = 0,29
α = 34,9999o
ms = 44
Rilsan Tape
0,1045
0,1015
0,0015
E
= 1,2 MPa
υ = 0,42
Internal Armour
0,1015
0,0955
0,0015
E
= 200 GPa
υ = 0,29
α = -34,9999o
ms = 40
Riser Tape 2
0,0955
0,0925
0,0015
E
= 1,2 MPa
υ = 0,42
Zeta Layer
0,0925
0,0801
0,0062
E
= 200 GPa
υ = 0,29
α = -85,4998o
ms = 2
Grilamid Barrier
0,0801
0,0702
0,00495
E
= 84,1 MPa
υ = 0,42
Stainless Carcass
0,0702
0,0552
0,0075
E
= 200 GPa
υ = 0,29
α = -87,4998o
ms = 1
Abaixo é apresentado o arquivo de entrada do programa:
Slender Composite Structure Response Estimation Program
---------------------------------------------------------------------------------Anderson Barata Custodio, COPPE, Federal University of Rio de Janeiro
Input data:
Input file for this analysis
: WitzFlexiblePipe,dat
File containing material database
: ,/database/materials,dat
File containing layer database
: ,/database/layers,dat
File containing joint database
: ,/database/joints,dat
General output file
: WitzFlexiblePipe,out
Joint index number
:
Joint name
: 2 1/2" FLEXIBLE PIPE FROM WITZ'S PAPER
Joint type
: flexible pipe
External diameter
:
2
0,1115
Internal diameter
:
0,0552
Number of layers
:
8
Internal boundary condition
: internal pressure
Weight per unit length
:
30,7635
Internal fluid pressure
:
0
Internal elastic foundation stiffness :
0
Added axial stiffness (from core, etc) :
Added torsional stiffness (,,,)
:
0
0
i. Cálculo de Limite de Lançamento
Pode-se calcular através da engenharia da seção transversal do riser a profundidade
máxima a qual os arames suportariam serem lançados. Estes cálculos são importantes
quando se pretende estudar a formação da seção transversal do duto, pois à medida que as
águas mais profundas são exploradas ocorre um aumento no peso da linha, em função da
maior parcela de linha suspensa. Para suportar esse peso acrescido seria então necessário
aumentar a seção transversal dos arames, o que não é uma prática aconselhável em alguns
casos, pois a uma determinada profundidade pode ser que a seção transversal dimensionada
seja tão grande que a estrutura não suportaria o próprio peso da linha suspensa e romperia.
Ou, que o projeto desta nova estrutura não seja mais viável em função da grande quantidade
de material utilizado. Nesses casos opta-se por trabalhar com materiais mais resistentes,
com maiores tensões admissíveis como é o caso dos aços especiais.
Estes cálculos são apresentados a seguir para o duto flexível analisado.
E = 207 GPa
No duto analisado, para que ocorra uma deformação axial, da armadura de tração
mais interna, equivalente à 0,0004682 é necessário que seja aplicado uma carga de tração
no flexível de 100 kN (vide figura 18). Pela lei de Hooke, é possível determinar a tensão
axial no arame dada por σ a = 96,917 MPa . Conhecida a tensão axial no arame pode-se
determinar a tensão atuante na armadura por unidade de força:
a=
σa
T
= 96,917 x 10 −5
MPa
N
Assume-se uma tensão de escoamento do material equivalente à σ e = 207 MPa e
das características do flexível W = 307,635 N m . Este peso corresponde ao “peso seco”
por unidade de comprimento para o cabo flexível. Para o cálculo de lançamento da linha é
necessário obter o “peso molhado”, este é facilmente obtido descontando-se a parcela de
empuxo imposta à seção transversal do duto.
Ww = 209,453 N m
A profundidade de lançamento é então estimada por:
h=
σe
1,5Ww a
= 679,816 m , onde o fator 1,5 corresponde a um fator de segurança de 50%
imposto em função da carga dinâmica do riser.
Para a seção apresentada, utilizando-se aço comum (material mais comumente
utilizado - aço carbono galvanizado) na fabricação das suas camadas helicoidais esta
estrutura só poderia ser lançada até aproximadamente 680 m de profundidade. Visando
operar para com esta mesma seção transversal em profundidades superiores, como
mencionado anteriormente, deve-se trabalhar com aços de maiores tensões de escoamentos
na fabricação das camadas helicoidais. A figura 14 apresenta a relação entre o aumento da
tensão escoamento do aço utilizado nas camadas helicoidais e a profundidade de
lançamento alcançada pela linha flexível sem que ela se rompa.
Figura 14. Tensão de Escoamento x Profundidade de Lançamento.
Portanto, à medida que são utilizados aços de maiores resistências no projeto de
uma estrutura flexível, pode-se trabalhar em águas cada vez mais profundas sem que seja
necessário aumentar a seção transversal da linha para evitar o rompimento da mesma.
ii. Análise de Resultados
A partir dos dados de saída do programa foram elaborados gráficos para os tipos de
casos analisados.
A figura 15 ilustra o comportamento do duto com a aplicação de uma força de
tração e outra de compressão. À medida que se aplica uma força gradual à estrutura, a
deformação longitudinal global também aumenta em módulo nos dois casos de
carregamento. Na ilustração 15 percebe-se que a deformação axial do duto para a tração é
muito menor do que a deformação axial para a compressão. Isso é natural que aconteça,
pois no caso desta seção analisada somente a capa externa pode restringir a deformação
radial quanto à compressão. Ou seja, a rigidez é muito maior para tração.
Figura 15. Carga Axial x Deformação Longitudinal Global.
Os valores de rigidez axial abaixo são relativos a uma carga axial de 40 kN . No
caso de tração a deformação radial é limitada pela carcaça intertravada.
EAT =
Fg
εx
= 129,41kN
e
EAC =
Fg
εx
= 1,26 kN
A figura 16 representa o comportamento do duto quanto ao ângulo de torção ao ser
aplicada uma carga de tração e outra de compressão. À medida que se aplica uma força
gradual à estrutura, a deformação torcional global também aumenta em módulo nos dois
casos de carregamento.
Na figura 16, pode-se perceber que ao ser aplicado um carregamento de tração o
riser apresenta um giro global no sentido negativo, diferentemente do giro global resultante
da estrutura quando se aplica uma carga compressiva, onde o giro resultante é positivo.
Apesar de não existir nenhum momento aplicado à estrutura é de fácil compreensão que ela
apresenta esse deslocamento torcional devido à diferença no número de arames e nos raios
médios das camadas helicoidais. A força transferida para cada camada faz com que à
medida que os arames se deformem na direção axial cada um destes elementos sofra um
deslocamento torcional no sentido do enrolamento do mesmo. Portanto, a deformação
global torcional da estrutura tenderá a se propagar no sentido da deformação resultante de
todas as camadas helicoidais do duto. A deformação torcional do duto para a tração é muito
menor do que a deformação torcional para a compressão, ou seja, a rigidez torcional do
duto apresenta uma melhor resposta para as cargas de tração. Isto também ocorre pois no
caso desta seção analisada somente a capa externa restringi a deformação radial quanto à
compressão.
Figura 16. Carga Axial x Deformação Torcional Global.
Diferentemente da referência utilizada para este projeto, Custódio apresenta como
ângulo de assentamento o ângulo do vetor tangente à fita de arame durante seu enrolamento
e a geratriz do duto.
Na figura 17 as cargas de tração provocam a redução do ângulo da assentamento das
armaduras e conseqüente aumento do passo. Já as cargas compressivas provocam um
aumento do ângulo de assentamento e conseqüente diminuição do passo. As variações
percentuais das armaduras interna e externa são muito próximas em escala, assim como as
variações percentuais das camadas zeta e da carcaça intertravada de aço, aparecendo no
gráfico estes pares de camadas com suas curvas de variação de pressão muito próximas.
Isso ocorre em função dos seus valores aproximados de ângulos de assentamento e raio
médio das camadas serem muito parecidos.
Com a aplicação de uma força compressiva, as camadas helicoidais tenderiam se
fechar como uma mola compacta apresentando um ângulo de assentamento próximo dos
90o e um passo muito pequeno. Isso justifica as maiores deformações apresentadas no
gráfico durante a compressão para as armaduras, enquanto a camada zeta e a carcaça pouco
se alteram, pois seus ângulos são próximos do limite.
Na carga de tração a variação do ângulo de assentamento é menor entre as camadas,
onde os ângulos diminuem e ocorre um aumento do passo. Em função da menor
deformação axial na tração a variação dos ângulos das camadas helicoidais apresenta-se
muito menor quando comparada à compressão, torna as curva na tração praticamente
sobrepostas.
Figura 17. Carga Axial x Ângulo Final das Armaduras.
A figura 18 ilustra o comportamento das camadas helicoidais, cuja principal função
é proporcionar resistência axial e torcional ao duto garantindo a sua integridade estrutural, à
medida que é aplicada uma carga de tração crescente. A maior deformação para uma
mesma carga de tração aplicada se encontra na camada de armadura de tração mais interna.
Isto acontece em função:
1. Menor número de arames presente na camada - Com menos arames a seção
apresenta menor área seccional e conseqüentemente maior deformação.
2. O menor raio da camada - Como a seção apresenta um menor raio e a
deformação longitudinal global do duto é assumida constante para todas as
camadas, as camadas helicoidais mais internas apresentam uma maior
deformação axial para conseguir o mesmo nível de deformação global da
estrutura.
Figura 18. Carga Axial x Deformação Longitudinal do Arame.
A figura 19 apresenta a variação de pressão entre as camadas do duto flexível. Na
estrutura dos flexíveis, as camadas helicoidais são as principais responsáveis pela absorção
do carregamento aplicado. Já as camadas homogêneas pouco absorvem o carregamento
aplicado, ou seja, transmitem praticamente toda a carga recebida para as camadas
adjacentes a estas, sendo sua carga absorvida praticamente nula.
Quando o riser está sujeito a uma carga de tração as armaduras tentam esmagar as
camadas internas do duto, sendo assim, as camadas que mais absorvem esse carregamento
são justamente a zeta e a carcaça que tentam evitar o colapso da estrutura como pode ser
visto na figura. A variação de pressão das armaduras de tração aparece negativa na figura,
devido a sua função de esmagamento, onde transmitem para as camadas inferiores uma
carga superior aquela à que estão sendo submetidas pelas camadas superiores.
Submetendo-se a estrutura a uma carga compressiva as camadas que apresentam as
maiores variações de pressão externa e interna correspondem à camada zeta e a carcaça
intertravada. Essas camadas sofrem grandes variações de pressão, pois transmitem uma
carga elevada, ao tentarem se deslocar radialmente para fora do duto. Na compressão o duto
tende a aumentar seu raio e diminuir seu comprimento, portanto para que a linha mantenhase estável sob esse carregamento deve haver uma camada que restrinja esse deslocamento
radial. No caso do duto analisado trata-se da capa externa, que sofre uma pequena variação
de pressão já que sendo feita de polímero transmite quase toda a carga recebida, tornando a
absorção praticamente nula e neste caso negativa.
As armaduras de tração também absorvem pouca carga, pois não são projetadas para
restringir o aumento radial da linha. Um modo de falha frequentemente ocorrido nesta
estruturas acontece quando a carga de compressão é excedida do limite de estabilidade da
linha provocando danos às armaduras.
Figura 19. Carga Axial x Variação Pressão entre as Camadas.
Na figura 20 estão representadas as pressões de contato entre as camadas do duto
flexível. Quando o riser está sujeito a uma carga de tração as armaduras de tração tentam
esmagar as camadas internas do duto e isso faz com que as pressões de contato entre as
camadas adjacentes às armaduras sejam maiores do que as pressões de contato entre as
camadas mais internas do duto. No caso da capa externa as pressões de contato aparecem
praticamente nulas, pois ela não é projetada para exercer um esmagamento sobre a
armadura externa. Já a na carcaça esse valor é zero, pois não existe nenhuma pressão
interna ao duto.
Aplicando-se a estrutura uma carga compressiva as maiores pressões de contato
encontram-se nas camadas adjacentes à carcaça (zeta e barreira plástica), uma vez que
suportam o carregamento imposto pela carcaça intertravada quando tenta aumentar seu
diâmetro. Como as armaduras de tração não apresentam mais a função de esmagamento da
estrutura elas tentam aumentar o seu diâmetro, sendo restringidas apenas pelas camadas
plásticas imediatamente superiores, tornando as pressões nas camadas plásticas maiores que
nas armaduras.
Figura 20. Carga Axial x Pressão de Contato.
3.2 Cabo Umbilical
A estrutura analisada pela planilha desenvolvida neste projeto corresponde a um
cabo umbilical. As equações explicitadas nos itens 2.2 e 2.3 foram equacionadas de forma a
encontrar e analisar a solução para um problema de cargas axissimétricas impostas a um
cabo umbilical. As propriedades do flexível analisado são apresentadas na tabela 2, com
exceção do núcleo eletro-hidráulico localizado sob a camada plástica interna.
Tabela 2. Propriedades do Cabo Umbilical.
Camadas
Dext (mm) Propriedades
Camada Plástica Externa
94,0
Material: HDPE, E = 720 MPa, υ = 0,42.
Armadura Externa (Horário -
83,8
o
ms = 56 arames, α r = 70 , d w = 4,1 mm
negativo)
Armadura Interna (Anti-Horário -
arame, E = 205 GPa, υ = 0,29.
75,6
positivo)
Camada Plástica Interna
o
ms = 50 arames, α r = 70 , d w = 4,1 mm
arame, E = 205 GPa, υ = 0,29.
67,4
Material: HDPE, E = 720 MPa, υ = 0,42.
A modelação deste componente (cabo) foi elaborada para um modelo composto por
quatro camadas, sendo estas a camada plástica externa, armadura externa de tração,
armadura interna de tração e a camada plástica interna. Como mencionado no capítulo 2 o
núcleo eletro-hidráulico desempenha, além de outras funções, um papel semelhante ao da
carcaça intertravada presente nos dutos que corresponde à prevenção ao colapso da
estrutura. Portanto, o umbilical não poderia ser analisado apenas com estas quatro camadas
explicitadas, pois os carregamentos aplicados à estrutura colapsariam este componente pela
inexistência do seu núcleo.
De forma a compensar a ausência do núcleo acrescentou-se ao umbilical um sistema
de molas que tem função semelhante ao núcleo eletro-hidráulico quanto à resistência ao
colapso, proporcionando resistência à compressão exercida sobre cabo umbilical. Esta mola
apresenta uma resistência elástica que varia entre 5 x 108 à 2 x 109, valores estimados por
Custódio e Vaz (2002) baseados em dados experimentais.
Em razão da substituição do núcleo eletro-hidráulico por um sistema de molas, a
pressão exercida sobre a mola é considerada como sendo proporcional ao deslocamento
radial da camada plástica interna.
Uma vez especificado o número de camadas pode-se determinar o número de
incógnitas constituintes do problema em função do número de camadas plásticas e do
número de camadas helicoidais. A tabela 3 apresenta as incógnitas existentes para as
camadas helicoidais e cilíndricas apresentadas no problema.
Tabela 3. Incógnitas Existentes nas Camadas do Flexível.
No da Camada
Camada
Incógnitas
1
Plástica Externa
ε x , ∆R1 , ∆t1 , F1 , q12 , φ e M 1
2
Armadura Externa
ε x , ∆R2 , ∆t 2 , F2 , ∆α 2 , q 23 , φ e M 2
3
Armadura Interna
ε x , ∆R3 , ∆t 3 , F3 , ∆α 3 , q34 , φ e M 3
4
Plástica Interna
ε x , ∆R4 , ∆t 4 , F4 , φ e M 4
Para que o problema possa ser solucionado é necessária à existência de um conjunto
de 23 equações, uma vez que foram determinadas 23 incógnitas. A tabela 4 resume o
sistema de equações utilizado.
Tabela 4. Equações Utilizadas para Solução do Problema
Equação
No de Equações
Força axial na camada cilíndrica.
2
Força axial na camada helicoidal.
2
Força axial global.
1
Diferença de pressão entre a camada cilíndrica.
2
Diferença de pressão entre a camada helicoidal.
2
Pressão de contato média entre a camada cilíndrica.
2
Pressão de contato média entre a camada helicoidal.
2
Equação de compatibilidade geométrica.
3
Momento torsor na camada cilíndrica.
2
Momento torsor na camada helicoidal.
2
Momento torsor global.
1
Deformação axial global.
2
Os resultados obtidos da análise do umbilical são mencionados na Tabela 5. Nela
são feitas comparações entre o modelo algébrico linear desenvolvido e os resultados de
outros programas desenvolvidos por diferentes autores que analisaram a mesma seção
transversal do cabo umbilical em seus estudos. Os valores apresentados foram obtidos
considerando uma mola de constante elástica equivalente à 2 x 109 Pa/m, na representação
do núcleo do cabo umbilical.
Tabela 5. Resultados e Comparações.
Resultados
Modelo
Experimentos
Unidades
Rigidez axial (EA)
127,9 x 106
(71 – 101) x 106
N
Acoplamento
-0,254
0,19
m
Momento torsor horário
74,1 x 103
44,7 x 103
N.m2
Acoplamento
71,353
182
rad/m
Momento torsor anti-horário 74,1 x 103
19,1 x 103
N.m2
Acoplamento
- 406
rad/m
71,353
A tabela 6 apresenta a contribuição de cada camada quando se aplica uma força
axial ao umbilical equivalente a 1000 N . A deformação global axial e torsional
correspondentes à estrutura para a carga mencionada equivalem respectivamente à
7,818E - 6 e - 3,073E - 5 (o sinal negativo da torção indica que a estrutura apresenta uma
deformação no sentido horário).
Tabela 6. Força e Tensão Axial à Camada.
Camada
Força [%]
Tensão Axial [kPa]
Plástica Externa
-0,29
-2,028
Armadura Externa
47,81
6,467E+2
Armadura Interna
52,96
8,023E+2
Plástica Interna
-0,49
-3,447
A tabela 7 apresenta a contribuição de cada camada quando se aplica um momento
torsor anti-horário (positivo) ao umbilical equivalente a 1000 N . A deformação global axial
e torsional correspondentes à estrutura para a carga mencionada equivalem respectivamente
à 1,891E - 4 e 0,013 (o sinal positivo da torção indica que a estrutura apresenta uma
deformação no sentido anti-horário).
Tabela 7. Momento Torsor e Tensão Axial à Camada.
Camada
Momento [%]
Tensão Axial [kPa]
Plástica Externa
0,96
-3,235E+2
Armadura Externa
52,69
4,892E+4
Armadura Interna
45,92
-5,312E+4
Plástica Interna
0,43
-4,557E+2
4. CONCLUSÃO
Devido ao aumento da utilização de dutos flexíveis e cabos umbilicais é de
fundamental importância o estudo aprofundado nesta área visando evitar as falhas que tem
ocorrido recentemente. Estas falhas têm conseqüências graves incluindo fatores
econômicos, sociais e ambientais.
Tentando suprir esta necessidade, a análise das cargas axissimétricas de tração,
torção, pressão interna e pressão externa nos dutos flexíveis e cabos umbilicais são vitais
para o cotidiano em função da larga expansão offshore. E conhecendo-se os valores de
tensão e deformação atuantes em cada camada do umbilical em função de um especifico
carregamento, pode-se dimensionar a estrutura garantindo a sua integridade estrutural.
Diante do que foi exposto, o desenvolvimento de ferramentas computacionais para
projeto de estruturas flexíveis é extremamente necessário para a exploração segura de
petróleo e gás. Em função disso este trabalho foi fundamentado no desenvolvimento de
uma planilha Mathcad para cálculos axissimétricos, obtendo-se assim um modelo analítico
linear para análise local de linhas flexíveis.
A análise local permite um estudo apurado das tensões e deformações atuantes em
cada uma das camadas presentes no riser, bem como uma avaliação das pressões de contato
entre cada uma das camadas para diferentes combinações de carregamentos.
Neste trabalho utilizou-se também uma ferramenta desenvolvida para um modelo
não linear, onde foi analisada uma seção transversal de um duto flexível composto por oito
camadas. Os resultados foram apresentados de forma gráfica para cargas de tração e
compressão gradualmente aplicadas a estrutura, onde se pode estudar o comportamento da
linha para diferentes carregamentos, calcular sua máxima profundidade de lançamento e a
rigidez axial.
5. REFERÊNCIAS
FERÉT, J. e BOURNAZEL, C.H., “Calculation of Stress and Slip in Structural Layers of
Unbonded Flexible Pipes”, Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering
(OMAE), Vol. 109, pp. 263 - 269, August 1987.
WITZ, J.A. e TAN, Z., “On the Axial-Torsional Structural Behaviour of Flexible Pipes,
Umbilicals and Marine Cables”, Journal of Marine Structures, Vol. 5, No. 2 e 3, pp. 205 227, 1992.
WITZ, J.A., “A Case Study in the Cross-Section Analysis of Flexible Pipes Risers”,
Marine Structures, Vol. 9, pp. 885 - 904, 1996.
RAMOS, R., “Modelos Analíticos no Estudo do Comportamento Estrutural de Dutos
Flexíveis e Cabos Umbilicais”, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 2001.
CUSTÓDIO, A.B. e VAZ, M. A., “A Nonlinear Formulation for the Axisymmetric
Response of Umbilical Cables and Flexible Pipes”, Applied Ocean Research, Vol. 24, pp.
21 - 29, March 2002.
ÁVILA G. S. S., “Cálculo III Diferencial e Integral”, 2a Edição, 1981.
6. ANEXO
Planilha MathCad para cálculos axissimétricos.