UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
Tema de aula 4: Carga Axial
Objetivos:
• Determinar a deformação de elementos carregados axialmente.
• Desenvolver método para encontrar as reações dos apoios indeterminados, usando as
equações de equilíbrio.
• Analisar os efeitos da tensão térmica, das concentrações de tensão e das deformações
inelásticas.
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
4.1 Princípio de Saint-Venant
4.2 Deslocamento e deformação Elástica de um Elemento com Carregamento Axial
4.3 Princípio da Superposição
4.4 Membro com Carga Axial Estaticamente Indeterminado
4.5 Método das Forças para Analisar Membros com Carga Axial
4.6 Tensão Térmica
4.7 Concentrações de Tensão
4.8 Deformação Axial Inelástica
4.9 Tensão Residual
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.
4.1-Principio de Saint Venant
“a tensão e a deformação produzidas
em pts suficientemente distantes da
região de aplicação da carga serão as
mesmas
para quaisquer cargas
aplicadas na mesma região e que
tenham mesma resultante”
4.2-Deslocamento e deformação elástica de elemento com carga axial
δ é o deslocamento relativo. δ =L-L0
Logo no elemento;
e
Se P e A forem constantes;
pela L. Hooke;
Então;
Convenção de Sinais: força axial interna e deslocamento positivos se provocarem, respectivamente,
tração e alongamento;
ou
Exemplo:
S Sol: Obtemos as forças internas pelo método das seções:
Graficamente ;
Pela convenção de
sinais, em AB e BC
temos deslocamento
positivo, e em CD
negativo.
Para o deslocamento de A somamos todos os deslocamentos;
para BC fazemos apenas o deslocamento
,
positivo neste trecho:
4.3-Princípio da superposição
“Podemos separar a carga em componentes e somar seus efeitos”, se;
1. A carga for linearmente relacionada à tensão ou ao deslocamento. Ex: As relações σ = P/A e δ = PL/AE .
2. A carga não mudar muito a geometria do elemento. Ex:
Não poderia, pois P=P1+P2, mas Pd≠ 𝑃1𝑑1 + 𝑃2𝑑2 !
4.4-Membro com carga axial estaticamente indeterminado
Ocorre quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações no membro. Ex:
D.C.L: Estaticamente indeterminada pois;
(não podemos obter FA nem FB).
Usamos como equação de compatibilidade os deslocamentos
δ, que neste caso será;
δA/B=0 (barra fixa em A e B), então secionamos a
barra e somamos os deslocamentos através das
forças obtidas em cada trecho.
a eq. da compatibilidade fica;
e o sistema agora é determinado.
4.5-Método das forças para analisar membros com carga axial
Trata-se também de resolver problemas indeterminados, porém usando a
superposição para escrever as equações de compatibilidade.
Ao invés de secionar, somamos os deslocamentos de forças atuando
independentemente no membro (eliminamos momentaneamente a reação de
um apoio considerado redundante, depois consideramos apenas ele agindo)
a eq. da compatibilidade fica;
e o mesmo sistema agora é determinado.
Exemplo: A barra uniforme está submetida a uma carga P no colar B. Determinar as reações nos
pinos A e C. Desprezar as dimensões do colar.
Sol: Façamos o D.C.L ;
As eq. de equilíbrio
mostram ser indeterminado.
Resolvendo pelo método das forças, fazemos a superposição.
Inicialmente consideramos Fc redundante, P causaria
deslocamento +;
Depois consideramos apenas Fc que causaria deslocamento -;
As Eq.s de compatibilidade ficam então:
Usando a eq. de equilibrio temos:
Fazer: A carga de 1.500 lb deve ser suportada por dois arames verticais de aço A-36. Se,
inicialmente, o arame AB tiver 50pol de comprimento e o arame AC tiver 50,1 pol de
comprimento, determinar a força desenvolvida em cada arame depois que a carga estiver
suspensa. Cada arame tem área da seção transversal de 0,02 pol 2.
Fazer: Um tubo de aço A-36 tem um núcleo de alumínio 6061-T6. Submetidos à força resultante
de tração 200kN, se deslocam igualmente. Determinar a tensão normal média no alumínio e no
aço devido a esse carregamento. O tubo tem diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de
70 mm.
4.6-Tensão térmica
A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado devido à ΔT é calculada por:
α =coef. Linear de dilatação térmica (tabela).
se a temperatura varia em x;
Se elemento for estaticamente indeterminado, limitado por apoios, produz tensões térmicas calculadas
pelos métodos descritos anteriormente.
Exemplo: Três barras feitas de materiais diferentes estão acopladas e colocadas entre duas
paredes sob uma temperatura T1 = 12°C. Determinar a força exercida sobre os apoios (rígidos)
quando a temperatura muda para T2 = 18°C. As propriedades dos materiais e a área das seções
transversais são dadas na figura.
Sol: Resolveremos pelo método das forças, com
a superposição dos deslocamentos;
Inicialmente consideramos Fapoio redundante,
a Ftensão térmica causaria deslocamento + (δT);
Depois consideramos apenas Fapoio que causaria
deslocamento – (δ);
As Eqs. de compatibilidade ficam então:
0= δT- δ
4.7-Concentrações de tensão
Ocorrem em mudanças súbitas de áreas da seção. Ex:
Em projetos precisamos estimar a tensão
máxima verdadeira (σmáx) que atua na
menor área:
Isso será feito baseado na tensão média
(σméd=P/A ) que atua na menor área,
e no fator de concentração de tensão (K);
K é tabelado em função da geometria do
corpo. Ex:
Na região elástica, concentrações de
tensão são mais importantes em materiais
frágeis que rompem logo após esta região,
dúcteis ainda teriam escoamento.
Fazer: Determinar a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando esta é submetida a
uma tração P = 2 kip.
4.8-Deformação axial inelástica.
Um material perfeitamente plástico (ou elastoplástico) tem o seguinte
comportamento gráfico;
Aplicando numa barra uma carga P que provoca tensão elástica σ=σ1
e deformação ε1;
A carga sempre poderá ser obtida pelo volume da tensão
Aumentando para uma carga P’ que inicie escoamento parcial com σ =σE
(aumenta volume);
Aumentando para a carga plástica Pp , esta causará escoamento
total σ =σE (volume máximo), até que o encruamento (endurecimento
por deformação) solicite carga extra;
Exemplo: A barra é feita de aço e supõe-se que seja elástica perfeitamente plástica, com σE = 250
MPa. Determinar (a) o valor máximo da carga PE que pode ser aplicada sem provocar escoamento
do aço e (b) o valor máximo de Pp que a barra pode suportar. Esquematizar a distribuição de
tensão na seção crítica para cada caso.
Sol: (a) Na região elástica precisamos do fator de comcentração de tensão (K) para obter o pico máx:
K=1.75(tabela)
Logo:
(b)A carga máxima é a carga plástica Pp
quando toda área está sob
tensão uniforme de escoamento
σE:
4.9-Tensão Residual.
Se um elemento estaticamente indeterminado escoa devido ao carregamento externo,
quando retirada esta carga aparecerão tensões residuais dos apoios.
Ex:
Um elastoplástico sob tensão axial σE se deforma plasticamente εc;
Retirando sua carga ele retorna elasticamente até o’;
E se ele for estaticamente indeterminado?
Retirando sua carga, ele ainda sofrerá um tensão residual elástica
extra do apoio retornando até D;
Trata-se de uma superposição (soma) da tensão causada pelo carregamento OC plástico na ‘ida’, com a
tensão causada pelo descarregamento CD elástico (de sinal contrário) na ‘volta’.
(a diferença entre as tensões na ‘ida’ e na ‘volta’, será a tensão residual permanente)
Exemplo: A haste tem raio de 5 mm e é feita de um material elastoplástico de σE= 420 MPa e
E=70GPa. Aplicando P=60 kN à haste e depois retirando, determine (a) a tensão residual na
haste e (b) o deslocamento permanente do colar em C.
Sol; (a)
Da análise elástica feita em 4.5 teríamos FA=45KN e FB=15KN, com
(são as tensões das descargas elásticas causadas pelos apoios na ‘volta’ (em sentidos contrários)
Calcularemos os carregamentos na ‘ida’;
AC torna-se plástico em 420MPa, antes de CB;
Logo, para que as cargas se anulem, teremos;
consequentemente
Portanto
e
que levam aos pts B’(-420) e A’(344) do gráfico;
-Nota: p/obter
em B’, fariamos
com
Logo as tensões residuais são;
que retornando elasticamente levam aos pts C’ e D’;
(b) Precisamos da deformação residual
(poderia ser em AC), para obter o deslocamento
Logo;
finalmente;
na ‘ida’,
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!