XXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. e 6a. séries)
PROBLEMA 1
De quantas maneiras diferentes podemos construir um paralelepípedo usando exatamente 24
blocos cúbicos de medidas 1  1  1?
Obs: Blocos de dimensões 2  3  4 e 2  4  3 devem ser considerados iguais.
PROBLEMA 2
O retângulo ao lado está dividido em 9
quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O
quadrado A tem lado 1 e o quadrado B tem
lado 9.
D
I
Qual é o lado do quadrado I?
G
C
F
B
A
H
E
PROBLEMA 3
Pintamos de vermelho ou azul 100 pontos em uma reta. Se dois pontos vizinhos são
vermelhos, pintamos o segmento que os une de vermelho. Se dois pontos vizinhos são azuis,
pintamos o segmento de azul. Finalmente, se dois pontos vizinhos têm cores distintas,
pintamos o segmento de verde. Feito isto, existem exatamente 20 segmentos verdes.
O ponto na ponta esquerda é vermelho.
É possível determinar com estes dados a cor do ponto na ponta direita?
Em caso afirmativo, qual a cor deste ponto?
PROBLEMA 4
Desejamos escrever os inteiros de 1 a 10 nas casas do desenho
ao lado de tal forma que quaisquer quatro números alinhados
aparecem em ordem crescente ou decrescente.
a) Mostre uma maneira de dispor os números respeitando estas
condições.
b) Quais números podem aparecer nas pontas da estrela?
c) Quais números podem aparecer nas outras cinco posições?
PROBLEMA 5
Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o quíntuplo de um quadrado?
PROBLEMA 6
Qual é o maior inteiro positivo n tal que os restos das divisões de 154, 238 e 334 por n são
iguais?
XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PROBLEMA 1
O jogo de dominó é formado por 28 peças retangulares distintas, cada uma com duas partes,
com cada parte contendo de 0 a 6 pontinhos. Por exemplo, veja três dessas peças:
Qual é o número total de pontinhos de todas as peças?
PROBLEMA 2
As peças de um jogo chamado Tangram são construídas cortando-se um quadrado em sete
partes, como mostra o desenho: dois triângulos retângulos grandes, um triângulo retângulo
médio, dois triângulos retângulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo. Se a área do
quadrado grande é 1, qual é a área do paralelogramo?
PROBLEMA 3
Carlinhos faz um furo numa folha de papel retangular. Dobra a folha ao meio e fura o papel
dobrado; em seguida, dobra e fura novamente o papel dobrado. Ele pode repetir esse
procedimento quantas vezes quiser, evitando furar onde já havia furos. Ao desdobrar a folha,
ele conta o número total de furos feitos. No mínimo, quantas dobras deverá fazer para obter
mais de 100 furos na folha?
PROBLEMA 4
Os pontos da rede quadriculada abaixo são numerados a partir do vértice inferior esquerdo
seguindo o caminho poligonal sugerido no desenho. Considere o ponto correspondente ao
número 2001. Quais são os números dos pontos situados imediatamente abaixo e
imediatamente à esquerda dele?
13
5
6
7
12
4
3
8
11
9
10
1
2
PROBLEMA 5
Apresente todos os números inteiros positivos menores do que 1000 que têm exatamente três
divisores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exatamente três divisores positivos: 1, 2 e
4.
PROBLEMA 6
Seja N o número inteiro positivo dado por N = 12 + 22 + 32 + 42 +…+ (196883)2 . Qual é o
algarismo das unidades de N ?
XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PROBLEMA 1 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda.
a)
b)
Depois de 2002, quais serão os próximos quatro anos palíndromos?
O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo
ímpar?
PROBLEMA 2 Um fazendeiro resolveu repartir sua fazenda para seus cinco
filhos. O desenho ao lado (fora de escala) representa a fazenda e
as partes dos herdeiros, que são da forma triangular, de modo que
BC
AC
DC
, AE =
e EG = GC. O filho mais novo
BD =
, DF =
4
3
2
recebeu o terreno representado pelo triângulo escuro, de 40
alqueires. Quantos alqueires tinha a propriedade original?
A
E
G
B
D
F
C
PROBLEMA 3 Dado um número, pode-se escrever o seu dobro ou suprimir o seu algarismo das unidades.
Apresente uma seqüência que começa com 2002 e termina com 13, usando somente essas duas
operações.
PROBLEMA 4 Três amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto e branco,
respectivamente. Seus pares de sapato apresentavam essas mesmas três
cores, mas somente Ana usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem o
vestido nem os sapatos de Júlia eram brancos. Marisa usava sapatos
azuis. Descreva a cor do vestido de cada uma das moças.
PROBLEMA 5 No jogo pega-varetas, as varetas verdes valem 5 pontos cada uma, as azuis valem 10 pontos, as
amarelas valem 15, as vermelhas, 20 e a preta, 50. Existem 5 varetas verdes, 5 azuis, 10 amarelas,
10 vermelhas e 1 preta. Carlinhos conseguiu fazer 40 pontos numa jogada. Levando em conta
apenas a quantidade de varetas e suas cores, de quantas maneiras diferentes ele poderia ter
conseguido essa pontuação, supondo que em cada caso fosse possível pegar as varetas
necessárias?
PROBLEMA 6 Nas casas de um tabuleiro 8  8 foram escritos números inteiros positivos de forma que a
diferença entre números escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) é 1.
Sabe-se que numa das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Desenhe um
tabuleiro
8  8, preencha-o segundo essas regras e calcule a soma dos números escritos nas duas
diagonais do tabuleiro.
XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE A
(Cada problema vale 3 pontos)
01. Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10100 – 2003?
02. Quantos números inteiros maiores do que 20032 e menores do que 20042 são múltiplos de
100?
03. Quantos triângulos existem cujos lados estão
sobre alguns dos segmentos traçados na figura ao
lado?
04. Um estudante, com muito tempo livre e muita curiosidade, resolveu fazer o seguinte: a cada
minuto, ao mudar o horário em seu relógio digital, marcava em seu caderno um X para cada
algarismo 7 que aparecia no visor. Assim, se seu relógio mostrava 02:07 ele marcava X e
quando seu relógio mostrou
relógio mostrava
01:00
07:17
ele marcou XX. Começou a fazer isso quando seu
e parou quase doze horas depois, quando o relógio mostrava
12:59.
Calcule a metade da quantidade de X que ele marcou em seu caderno.
05. A grande atração do OBM Parque é uma roda gigante (a figura mostra uma roda gigante
similar, porém com um número menor de cabines). As cabines são numeradas com 1, 2, 3,…,
no sentido horário. Quando a cabine 25 está na posição mais baixa da roda-gigante, a de
número 8 está na posição mais alta. Quantas cabines tem a roda-gigante?
06.
Anos bissextos são múltiplos de 4, exceto aqueles que são múltiplos de 100 mas não de 400.
Quantos anos bissextos houve desde a Proclamação da República, em 1889, até hoje?
07.
Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz construiu
uma torre com 4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual é o
menor número de pontos que Beatriz pode obter somando todos os pontos das dezoito faces
da superfície da torre?
08.
Na multiplicação a seguir a, b, c e d são algarismos.
45
a3

3bcd
Calcule b + c + d.
09.
A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11. Determine o maior valor possível para o
maior dos cinco inteiros.
10.
Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma mesa, parcialmente cobertos por um
pedaço de papel. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto, 2 pontos são
vizinhos a 2 pontos, etc. Qual o total de pontos escondidos pelo papel?
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1 Quais números inteiros positivos menores que 120 podem ser escritos como soma de duas ou
mais potências distintas de base 3 e exponente positivo? Por exemplo, 12 = 32 +31 é um
número deste tipo mas 18 = 32 + 32 não é.
PROBLEMA 2 No desenho ao lado, o quadrado
ABCD tem área de 64 cm2 e o
quadrado FHIJ tem área de 36 cm2.
Os vértices A, D, E, H e I dos três
quadrados pertencem a uma mesma
reta. Calcule a área do quadrado
BEFG.
PROBLEMA 3 Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes
desse número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao
quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos
menores do que ele são 1, 2, 3, 4 e 6 e 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 6 = 144 = 122 . Apresente todos os números
poderosos menores do que 100.
XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE A
(Cada problema vale 3 pontos) 01. O número 1000…02 tem 20 zeros. Qual é a soma dos algarismos do número que obtemos
como quociente quando dividimos esse número por 3? 02. A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. Quanto vale a
+ b + c?
03. No desenho, os quadriláteros ABCD, EFAG e
A
IAJH são retângulos e H é ponto médio de AE.
Calcule a razão entre a área do retângulo ABCD e
o triângulo AHI.
J
G
D
I
F
B
H
E
C
04. Dizemos que um número natural é teimoso se, ao ser elevado a qualquer expoente
inteiro positivo, termina com o mesmo algarismo. Por exemplo, 10 é teimoso, pois
102 ,103 ,104 ,..., são números que também terminam em zero. Quantos números naturais
teimosos de três algarismos existem? 05. Qual é o maior número natural menor que 100 cuja soma dos divisores positivos é ímpar? 06. Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:
1 a b
b 3
×
* * *
* * *
1c c 0 1
Calcule a + b + c.
07. Esmeralda, de olhos vendados, retira cartões de uma urna contendo inicialmente 100
cartões numerados de 1 a 100, cada um com um número diferente. Qual é o número mínimo
de cartões que Esmeralda deve retirar para ter certeza de que o número do cartão seja um
múltiplo de 4?
08. De quantos modos podemos sombrear quatro casas do tabuleiro 4 × 4 abaixo de modo que
em cada linha e em cada coluna exista uma única casa sombreada?
09. Juntando cubinhos de mesmo volume mas feitos de materiais diferentes - cada cubo
branco pesando 1 grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas - formou-se um bloco
retangular, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a massa, em gramas, desse bloco?
10. Na população de uma espécie rara de 1000 aves da floresta amazônica, 98% tinham cauda
de cor verde. Após uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta
porcentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?
XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e os lados do polígono (região escura) são
paralelos ou coincidem com algum dos catetos do triângulo.
5
10
A
x
2
B
C
Calcule x de modo que a área do polígono seja igual à do triângulo.
PROBLEMA 2 Esmeralda, a digitadora, construiu uma tabela com 100 linhas e 100 colunas, preenchendo
uma casa com 1, se o número da linha da casa divide o número da coluna e com 0, caso
contrário. Assim, por exemplo, a casa da linha 2 e da coluna 4 foi preenchida com 1, porque 2
divide 4 e a casa na linha 3 e da coluna 7 foi preenchida com 0.
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1
0
1
0
1
…
0
1
3
0
0
1
0
0
1
…
1
0
0
0
0
1
1
… 99
100
4
100
a) Qual a soma dos números escritos na linha 5?
b) Qual a soma dos números da coluna 60?
PROBLEMA 3 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois grupos A e B de modo que a soma
dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B? Justifique.
b) É possível dividir o conjunto {12, 22, 32,…,92} em dois grupos C e D de modo que a soma
dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de D? Justifique.
XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. O tanque do carro de Esmeralda, com capacidade de 60 litros, contém uma mistura de 20%
de álcool e 80% de gasolina ocupando metade de sua capacidade.
Esmeralda pediu para colocar álcool no tanque até que a mistura ficasse com quantidades
iguais de álcool e gasolina. Quantos litros de álcool devem ser colocados?
02. Na seqüência de números 1, a, 2, b, c, d, ... dizemos que o primeiro termo é 1, o segundo
termo é a, o terceiro termo é 2, o quarto termo é b, e assim por diante.
Sabe-se que esta seqüência tem 2005 termos e que cada termo, a partir do terceiro, é a média
aritmética de todos os termos anteriores. Qual é o último termo dessa seqüência?
03. Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 páginas de seu diário, começou do 1 mas
pulou todos os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem juntos, em qualquer ordem.
Por exemplo, os números 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece.
Qual foi o número que Natasha escreveu na última página do seu diário?
04. Juliana foi escrevendo os números inteiros positivos em quadrados de papelão, colados
lado a lado por fitas adesivas representadas pelos retângulos escuros no desenho abaixo. Note
que cada fila de quadrados tem um quadrado a mais que a fila de cima. Ela escreveu até o
número 105 e parou. Quantos pedaços de fita adesiva ela usou?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
05. Lara tem cubos iguais e quer pintá-los de maneiras diferentes, utilizando as cores laranja ou azul
para colorir cada uma de suas faces.
Para que dois cubos não se confundam, não deve ser possível girar um deles de forma que fique
idêntico ao outro. Por exemplo, há uma única maneira de pintar o cubo com uma face laranja
e cinco azuis.
Quantos cubos pintados de modos diferentes ela consegue obter?
06. Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na parte de cima, pregando duas placas
retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retangulares de 1200 cm2 cada uma e uma
placa retangular de 800 cm2, conforme representado no desenho.
Qual é o volume, em litros, da caixa? Note que l litro = 1000 cm3.
XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos) PROBLEMA 1
Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos
diferentes, como mostram as figuras.
H
J
I
D
A
L
M
N
G
C
B
K
E
P
O
F
Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Calcule as
áreas dos quadrados IJKL e MNOP.
PROBLEMA 2
Considere três números inteiros positivos consecutivos de três algarismos tais que o menor é
múltiplo de 7, o seguinte é múltiplo de 9 e o maior é múltiplo de 11. Escreva todas as
seqüências de números que satisfazem essas propriedades.
PROBLEMA 3
Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas numeradas. Considere as 6 peças
formadas apenas pelos números 1, 2 e 3.
(a) De quantos modos é possível colocar todas estas peças alinhadas em seqüência, de modo
que o número da casa da direita de cada peça seja igual ao número da casa da esquerda da
peça imediatamente à direita?
A seguir, mostramos dois exemplos:
(b) Explique por que não é possível fazer o mesmo com todas as 10 peças formadas apenas
pelos números 1, 2, 3 e 4.
XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. Qual é a soma dos algarismos do número
2 2 23 2 4
2 2005 2 2006
+ 2 + 3 +  + 2004 + 2005 ?
2 2
2
2
2
02. A massa de gordura de uma certa pessoa corresponde a 20% de sua massa total. Essa
pessoa, pesando 100 kg, fez um regime e perdeu 40% de sua gordura, mantendo os demais
índices. Quantos quilogramas ela pesava ao final do regime?
03. Quantos os números de dois algarismos têm a soma desses algarismos igual a um
quadrado perfeito?
Lembre-se que, por exemplo, 09 é um número de um algarismo.
04. Os números de 1 a 99 são escritos lado a lado: 123456789101112...9899. Então aplicamos
a seguinte operação: apagamos os algarismos que aparecem nas posições pares, obtendo
13579012...89. Repetindo essa operação mais 4 vezes, quantos algarismos irão sobrar?
05. Com a parte destacada da folha retangular ao lado, pode-se montar um
cubo. Se a área da folha é 300cm2, qual é o volume desse cubo, em cm3?
06. Na tabela a seguir, escreva os números de 1 a 9 em cada coluna, de modo que a soma dos
números escritos nas 9 linhas seja a mesma, igual a Y. Seja X a soma dos números de cada
coluna. Calcule X + Y.
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
X X X
XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1
Jade escreveu todos os números de 3 algarismos em cartões amarelos, um por cartão e
escreveu todos os números de 4 algarismos em cartões azuis, um por cartão. Os cartões são
todos do mesmo tamanho.
a) Ao todo, quantos cartões foram utilizados? Lembre-se que, por exemplo, 037 é um número
de dois algarismos, bem como 0853 é um número de três algarismos.
b) Todos os cartões são então colocados numa mesma urna e embaralhados. Depois Jade
retira os cartões, um a um, sem olhar o que está pegando. Quantos cartões Jade deverá retirar
para ter certeza de que há dois cartões azuis entre os retirados?
PROBLEMA 2
No quadriculado a seguir, cada quadradinho tem 1 cm2 de área.
a) Qual é a área e o perímetro da figura formada pelos quadradinhos pintados de cinza?
b) Pintando outros quadradinhos, podemos aumentar a área dessa figura, sem mudar o seu
perímetro. Qual é o valor máximo da área que podemos obter dessa maneira?
PROBLEMA 3
Esmeralda inventou uma brincadeira. Digitou alguns algarismos na primeira linha de uma
folha. Depois, na segunda linha, fez a descrição dos algarismos digitados da seguinte maneira:
ela apresentou as quantidades de cada um dos que apareceram, em ordem crescente de
algarismo. Por exemplo, após digitar 21035662112, ela digitou 103132131526, pois em
21035662112 existe um algarismo 0, três algarismos 1, três algarismos 2, um algarismo 3, um
algarismo 5 e dois algarismos 6.
a) Ela começou uma nova folha com 1. Fez, então, sua descrição, ou seja, digitou 11 na
segunda linha. Depois, descreveu 11, ou seja, digitou 21 na terceira linha, e assim continuou.
O que ela digitou na 10a linha da folha?
b) Esmeralda gostou tanto de fazer isso que decidiu preencher várias folhas com essa
brincadeira, começando com 01 na primeira linha da primeira folha. Quais são os dois
primeiros algarismos da esquerda do que ela digitou na 2006a linha?
XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. O número N = 1010010100101... contém somente os algarismos 0 e 1, de modo que o
número de algarismos 0 entre dois algarismos 1 é um ou dois, alternadamente. O número N
tem exatamente 101 algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos do número N?
02. Uma folha de papel tem 20 cm de
comprimento por 15 cm de largura.
Dobramos
essa
folha
ao
meio,
paralelamente à sua largura. Em seguida,
dobramos a folha retangular dupla, de
modo que dois vértices opostos coincidam.
Ao desdobrar a folha, as marcas da segunda
dobra dividem a folha em duas partes,
conforme mostrado na figura ao lado. Qual
é a área da parte escura, em cm2?
03. Observe as igualdades a seguir:
1+ 2 +1 = 4
1+ 2 + 3 + 2 +1 = 9
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16
Qual é o valor de
A ?
2232
M
1 + 2 + 3 + L + 2006 + 2007 + 2006 + L 3 + 2 + 1 = A
04. Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços
restantes, na forma de um triângulo retângulo, foram feitos dois cortes, paralelos aos lados
menores, pelos meios desses lados. Ao final sobrou um retângulo de perímetro 129 cm. O
desenho abaixo indica a seqüência de cortes.
Em centímetros, qual era o perímetro da folha antes do corte?
05. Um reservatório cúbico internamente tem 2 metros de lado e contém água até a sua
metade. Foram colocados no reservatório 25 blocos retangulares de madeira, que não
absorvem água, de dimensões 20 × 30 × 160 centímetros. Sabendo que 80% do volume de
cada bloco permanece submerso na água, calcule, em centímetros, a altura atingida pela água,
no reservatório.
06. A adição ao lado está incorreta. Entretanto, se substituirmos somente um certo algarismo
a, toda vez que ele aparece, por um certo algarismo b, a conta fica correta. Qual é o valor de
ab ?
XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (5a. ou 6a. séries)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1
A área do quadrado ABCD é 300 cm2. Na figura, M é ponto médio
de CD e o ponto F pertence à reta BC.
a) Qual é a área do triângulo ABF ?
b) Qual é a área do triângulo ADF ?
M
PROBLEMA 2
Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar num aparelho de ginástica. Esses discos
têm massas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quilogramas, respectivamente. Esmeralda pode combiná-los e
obter outras massas, como por exemplo:
1 disco de 2 kg + 1 disco de 6 kg = 8 kg.
Qual a maior quantidade de massas diferentes que ela pode obter?
PROBLEMA 3
Observe como o quadriculado
ao lado é preenchido.
a) Qual é a soma
elementos da diagonal 9?
dos
b) Qual é o resto da divisão por
100 da soma dos elementos da
diagonal 2007?
3
3
3
3
XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º anos)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. Nicanor quer completar o Sudoku ao lado, de
modo que em cada linha (fileira horizontal) e cada
coluna (fileira vertical) apareçam todos os números
de 1 a 6. Qual é a soma de todos os números que
faltam para completar o Sudoku?
2
1
5
4
2
6
6
4
3
2
02. A partir das igualdades
32 − 12 = 8 = 8 ⋅ 1,
5 2 − 32 = 16 = 8 ⋅ 2,
7 2 − 5 2 = 24 = 8 ⋅ 3,

e 2009 2 − 2007 2 = 8 ⋅ N,
podemos escrever 20092 − 1 = 4 ⋅ N ⋅ ( N + 1) . Qual é o valor de N?
03. Certo banco brasileiro obteve um lucro de R$ 4,1082 bilhões ao final do primeiro semestre
de 2008. Esse valor representa um aumento de 2,5% em relação ao resultado obtido no
mesmo período do ano passado. Qual é a soma dos dígitos do número inteiro que representa,
em reais, o lucro desse banco no primeiro semestre de 2007?
04. A piscina do clube que Esmeralda freqüenta tem a forma de um
hexágono (polígono com seis lados), com um ângulo interno de 270º, os
demais ângulos de 90º e os quatro lados menores com 12 metros cada.
Esmeralda costuma nadar pelo meio da piscina, a partir do ponto A,
descrevendo o trajeto representado, na figura, pelo ângulo reto ABC, em
que AB = BC.
Certo dia, ela nadou por esse trajeto 4 vezes, isto é, foi e voltou 2 vezes.
Quantos metros ela percorreu?
05. Com o dinheiro que Carlinhos tinha, poderia ter comprado 600 gramas de queijo ou 400
gramas de presunto. Usando esse dinheiro, ele resolveu comprar quantidades iguais de
presunto e queijo. Quantos gramas de cada item ele comprou?
06. Quantos números inteiros maiores que zero e menores que 100 possuem algum divisor
cuja soma dos dígitos seja 5?
XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º anos)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1
Zezinho tem 37 cartões quadrados de lado 6 cm e 21 cartões quadrados de lado 9 cm. Ele
quer colar esses cartões lado a lado, sem sobrepô-los nem deixar buracos, formando
quadrados maiores.
a) Apresente, através de desenhos, duas maneiras diferentes de Zezinho construir um
quadrado de lado 27 cm.
b) Quantos cartões são necessários para construir o quadrado com a maior área possível?
PROBLEMA 2
Para construir o arranjo triangular de letras ao lado, que tem 2008 linhas,
obedeceu-se a uma certa regra.
a) Quantas vezes a palavra OBM aparece completamente na maior coluna
desse arranjo?
b) Quantas vezes a letra O aparece no arranjo?
PROBLEMA 3
Em Ferius, os pontos do dominó vão de 0 a 7, ao contrário de um dominó comum, em que os
pontos vão de 0 a 6. Uma peça do dominó de Ferius é chamada importante se a soma de seus
pontos é par. Por exemplo, os seguintes dominós são importantes:
a) Quantas peças diferentes possui o dominó jogado em Ferius?
b) Quantas dessas peças são importantes?
c) Qual é a soma dos pontos de todas as peças importantes?
XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º ano)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. A figura ao lado mostra castelos de
cartas de 1, 2 e 3 andares. Para montar
esses castelos, foram usadas 2, 7 e 15
cartas, respectivamente. Quantas cartas
serão necessárias para montar um
castelo de 5 andares?
02. Numa classe do 6º ano, de cada 11 estudantes, 4 são meninas. Se há 15 meninos a mais
que meninas, quantos alunos há na classe?
03. Num curso com duração de cinco dias, a frequência dos alunos foi registrada na tabela
abaixo:
Dia de aula
Quantidade de alunos presentes
1º dia 2º dia
271
296
3º dia 4º dia
325
380
5º dia
168
Cada aluno faltou exatamente dois dias. No dia de menor frequência, de quantos por cento foi
o total de faltas?
04. Mariazinha deseja cobrir o tampo de uma
mesa retangular de 88 cm por 95 cm colando
quadrados de cartolina de lado 10 cm, a partir de
um canto, como mostrado na figura. Ela cola os
quadrados sem buracos nem superposições, até
chegar às bordas opostas. Aí, em vez de cortar as
folhas para não ultrapassar as bordas, ela as
sobrepõe, formando regiões retangulares com
duas folhas de espessura (região cinza) e uma
pequena região retangular com quatro folhas de
espessura (região preta). Qual é a área da região
coberta por quatro folhas?
05. O número 200920092009... 2009 tem 2008 algarismos. Qual é a menor quantidade de
algarismos que devem ser apagados, de modo que a soma dos algarismos que restarem seja
2008?
06. Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são
membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um algarismo comum. Por
exemplo, os números 72, 32, 25 e 22 pertencem à mesma família, pois todos possuem o
algarismo 2,
enquanto que os números 123, 245 e 568 não pertencem à mesma família,
pois não há um algarismo que apareça nesses três números. Qual é a maior quantidade de
membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos?
XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º ano)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1
Carlinhos tem folhas iguais na forma de
triângulos retângulos de lados 6 cm, 8
cm e 10 cm. Em cada triângulo, o
ângulo
assinalado opõe-se ao menor
lado. Fazendo coincidir lados iguais
desses triângulos sobre uma mesa, sem
superpor as folhas, ele desenha o
contorno de cada figura obtida (linha
grossa), como nos exemplos ao lado. O
perímetro de uma figura é o
comprimento do seu contorno.
a) Qual é a diferença entre os
perímetros das figuras 1 e 2 do
exemplo?
b) Com figuras de três triângulos, qual é
o maior perímetro que pode ser obtido?
PROBLEMA 2
Esmeralda ia multiplicar um número A de três algarismos por outro número B de dois
algarismos, mas na hora de multiplicar inverteu a ordem dos dígitos de B e obteve um
resultado 2034 unidades maior.
a) Qual era o número A, se os dígitos de B eram consecutivos?
b) Qual seria o número A, se os dígitos de B não fossem consecutivos?
PROBLEMA 3
Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas
pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum
ponto por derrota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez.
a) Ao término da terceira rodada, é possível que um grupo de jogadores esteja em primeiro
lugar e o restante dos jogadores esteja em segundo lugar? Explique por meio de um exemplo.
b) Ao término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham pontuações
diferentes? Explique.
XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º ano)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. Uma jarra contém
1
de sua capacidade em água. Despejando um copo cheio de água na
4
jarra, o volume de água atinge 1 da sua capacidade. Quantos copos cheios mais ainda serão
3
necessários para acabar de encher a jarra?
02. Joãozinho tem que fazer uma multiplicação como lição de casa, mas a chuva molhou o
caderno dele, borrando alguns algarismos, que estão
borrado pode ser diferente dos outros).
1
 2
4
4
2
0
1
0
0
representados por
(cada algarismo
3
+
2
Qual é a soma dos algarismos que foram borrados?
03. Soninha pintou as seis faces de um cubo da seguinte maneira: uma
face preta e a face oposta vermelha, uma face amarela e a face oposta
azul, uma face branca e a oposta verde. Ao olhar para o cubo, de modo a
ver três faces, como na figura, e considerando apenas o conjunto das cores
das três faces visíveis, de quantas maneiras diferentes pode ser visto esse
cubo?
04. Esmeralda foi escrevendo os quadrados dos números inteiros positivos um em seguida ao
outro formando o número 149162536... e parou quando chegou no centésimo algarismo. Qual
foi o último algarismo que ela escreveu?
05. Carlinhos escreve números inteiros positivos diferentes e menores do que 1000 em várias
bolas e coloca-as numa caixa, de modo que Mariazinha possa pegar ao acaso duas dessas
bolas. Quantas bolas no máximo Carlinhos irá colocar na caixa se os números das duas bolas
deverão ter um divisor comum maior do que 1?
06. Num concurso com 10 questões, cada resposta correta valia 3 pontos, cada resposta errada
valia 1 ponto negativo e cada questão não respondida valia 0 ponto. Não houve dois
candidatos que apresentassem a mesma nota, feitas as correções. Quantos candidatos no
máximo fizeram essa prova?
XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º ano)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1
Com cinco quadrados com lados de 27 cm, formamos uma sequência de figuras, das quais as
quatro primeiras são
a) Na 4ª figura, qual é a área do quadrado cinza?
b) Na 5ª figura, qual é a área do quadrado cinza?
PROBLEMA 2
Maria tem 90 cartões. Ela numerou os cartões de 10 a 99 numa das faces e, para cada número
escrito, escreveu a soma dos seus algarismos na outra face. Por exemplo, o cartão de número
43 tem o número 7 escrito no verso. Em quais cartões um número de uma face é o dobro do
número escrito na outra face?
PROBLEMA 3
Fazendo três cortes num quadrado 3 × 3 e
juntando as quatro partes resultantes a um
quadrado 4 × 4 , obtemos um quadrado
5 × 5 , conforme indicado na figura. Os
cortes devem ser paralelos aos lados dos
quadrados e não pode haver sobreposição
de figuras para a realização dos cortes.
a) Transforme um quadrado de lado 8 cm e um quadrado de lado 15 cm num único quadrado
de lado 17 cm, fazendo quatro cortes apenas no quadrado de 8 cm.
b) Qual é o menor número de cortes para transformar três quadrados, de áreas
respectivamente iguais a 4 cm2, 9 cm2 e 36 cm2, num único quadrado?
XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º ano)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. Na figura, os vértices do retângulo PQRS pertencem aos lados
do retângulo ABCD. Sendo AP = 3cm, AS = 4 cm, SC = 6 cm e CR
= 8 cm, qual é a área do retângulo PQRS, em cm2?
02. Em cada vértice de um cubo foi escrito um número. Esmeralda calcula a soma dos números escritos
nos vértices de cada face e encontra os números 8, 10, 11, 12, 13 e x. Se a face de soma 8 é oposta à
face de soma x, qual é o valor de x?
03. Duas tribos vivem numa ilha. Os da tribo azul só dizem a verdade e os da vermelha, só mentira. Um
dia, 100 pessoas da ilha se reuniram num círculo e um repórter se dirigiu a cada uma delas, com a
pergunta: “O seu vizinho à direita é um mentiroso?”. Terminada a pesquisa, verificou-se que 48
pessoas responderam “sim”. No máximo, quantas pessoas da tribo vermelha poderiam estar no círculo?
04. Com cubinhos de mesmo tamanho construiu-se um cubo 4 × 4 × 4 . Os cubinhos são feitos de
madeiras diferentes e foram colados assim: cubinhos com três cubos vizinhos (cubos com faces
comuns) pesam 10 gramas, com quatro vizinhos pesam 8 gramas, com cinco vizinhos pesam 6 gramas
e com seis vizinhos pesam 4 gramas. Qual é a massa do cubo, em gramas?
05. Quantos números de três algarismos diferentes de zero têm pelo menos dois algarismos iguais?
06. Dizemos que dois ou mais números são irmãos quando têm exatamente os mesmos fatores primos.
Por exemplo, os números
10 = 2 × 5 e 20 = 22 × 5 são
irmãos, pois têm 2 e 5 como seus únicos
fatores primos. O número 60 tem quantos irmãos menores do que 1000?
XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 1 (6º ou 7º ano)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)
PROBLEMA 1
A sequência 1, 5, 4, 0, 5, ... é formada pelos algarismos das unidades das somas a seguir 12 = 1
12 + 22 = 5
12 + 22 + 32 = 14
12 + 22 + 32 + 42 = 30
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 45
L
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + K = K ??
a) Escreva a sequência formada pelos algarismos das unidades das dez primeiras somas obtidas da
forma descrita acima.
b) Qual é o algarismo das unidades da soma 12 + 22 + K + 20112 ?
PROBLEMA 2
Vamos chamar de selo de um número inteiro positivo o par ( x; y ) no qual x é o número de divisores
positivos desse número menores do que ele e y é a soma desses divisores. Por exemplo, o selo do
número 10 é ( 3;8 ) pois o número 10 tem como divisores menores do que ele os números 1, 2 e 5, cuja
soma é 8. Já o selo do número primo 13 é (1;1) .
a) Qual é o selo do número 9?
b) Qual número tem o selo ( 2;3) ?
c) Há números cujo selo é ( 6;m ) . Qual é o menor valor possível para m?
PROBLEMA 3
Amarrando um pedaço de barbante em um dos
pregos do seu geoplano, Diamantino consegue
formar quadrados, sem passar o barbante duas
vezes pelo mesmo lado desses quadrados. A
figura ao lado mostra um quadrado obtido
desta maneira.
A figura abaixo representa de forma simplificada uma parte do geoplano em que foram obtidos dois
quadrados da maneira descrita acima, partindo-se de qualquer um dos pregos.
a) Desenhe, na parte do geoplano representada ao lado, a maior quantidade de quadrados iguais que Diamantino pode obter com um único pedaço de barbante. Coloque as flechinhas como no exemplo para indicar como foi colocado o barbante. b) Diamantino garante que pode obter 11 quadrados no seu geoplano. Mostre que você também pode obter a mesma quantidade na figura abaixo. Não se esqueça das flechinhas no desenho.