Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

Matéria




Pressão de estagnação isentrópica
Análise qualitativa do escoamento isentrópico em
condutas de secção variável
Exemplo
Formação de ondas de choque normais
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área

Pressão de estagnação isentrópica: pressão que se atingiria se o
fluido fosse levado ao repouso em condições isentrópicas.
p0=84 kPa
Exemplo 1:
pR=84 kPa
V
Enquanto o escoamento for isentrópico a pressão de estagnação
isentrópica mantém-se
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área

Pressão de estagnação isentrópica: pressão que se atingiria se o
fluido fosse levado ao repouso em condições isentrópicas.
Exemplo 2:
p0=84 kPa
p0=100 kPa
V
V
O atrito nas paredes da conduta faz baixar a pressão de estagnação
isentrópica
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área


Evolução isentrópica entre 1 e 2 (T01=T02):
p2  T2   1
  
p1  T1 

p2, T2
V2
p1, T1
V1
Pressão de estagnação
isentrópica na secção 1:
 T0   1
  
p1  T1 
p01

1
p0 2
p01
2
Pressão de estagnação
isentrópica na secção 2:


 T0   1
  
p2  T2 
p02

p0 2 p2 p1  T   1  T   1  T   1

  0   2   1   1
p2 p1 p01  T2   T1   T0 
p0  cte.
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área

Equações na forma
diferencial (ver aula 13):
o Continuidade:
d

o Velocidade do som:

dA dV

0
A V
a
p  s
d


1 dp
a2 
dp VdV
M 2 dx
o Quantidade de movimento:

f

0
p
RT
2A d
Eliminando p e  entre as 3 equações resulta em:


dA
dV
  1 M 2
A
V
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área


dA
2 dV
  1 M
A
V
p

M<1
M>1
dV/V > 0
dV/V < 0
dA/A < 0
Conduta convergente
 Tubeira subsónica
 Difusor supersónico
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área


dA
2 dV
  1 M
A
V
M<1
M>1
dV/V < 0
dV/V > 0



dA/A > 0
Conduta divergente
Difusor subsónico
Tubeira supersónica
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área

dA/A = 0
dV/V = 0
em x = 0
em x = 0

dA
2 dV
  1 M
A
V
se
Mg ≠ 1
Se Mg ≠ 1 a velocidade atinge um mínimo (se Mg>1 – escoamento supersónico
no convergente, permanece supersónico no divergente) ou um máximo (se Mg<1
– escoamento subsónico no convergente, permanece subsónico no divergente).
Se Mg = 1
dV/V ≠ 0 (o escoamento
pode passar de subsónico a supersónico,
ou vice-versa), ou dV/V = 0 (caso anterior) –
é a diferença de pressões que determina.

garganta
Conduta convergente -divergente
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área: Exemplo

Uma conduta convergente-divergente liga um reservatório de
ar (=1,4; R=287 J/kg/K), onde a temperatura é de 293 K e
pressão de 380 kPa, à atmosfera. Sabendo que a temperatura
na secção de saída é de 200 K e o caudal mássico de 2 kg/s,
calcule as áreas da garganta e da secção de saída. Despreze
a transferência de calor e o atrito nas paredes da conduta
convergente-divergente.
As , Ag ?
Resposta: As?
Eq. Energia: T0=constante =293 K
pR=380 kPa
TR=293 K
Ts=200 K
Evolução isentrópica: p0=cte. =380 kPa
qm=2 kg/s
ps  Ts 
  
p01  T0 

 1
ps  99,9kPa
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área: Exemplo
As ?
pR=380 kPa
TR=293 K
Ts=200 K
qm=2 kg/s
ps  99,9kPa
Eq. Gases Perfeitos:  s 
ps
 1,74kg m3
RTs
V2
Definição T0: T0  T 
2c p
Vs  2c p T0  Ts   432 ,2 m s
em que
cp 
R
 1004,5J Kg K
 1
Caudal mássico:qm
 qm s  s AsVs
qm
As 
 0,00266m 2
 sVs
Escoamento isentrópico em condutas com
variação de área: Exemplo
Ag ?
pR=380 kPa
TR=293 K
Mach na saída – Ms: M s 
Ts=240 K
qm=2 kg/s
Sendo Ms>1
Vs  432,2 m s
Eq. Gases Perfeitos:  g 
Definição T0: Vg 
Caudal mássico: qm
pg
RTg
 3,92kg m
3
T0
 1 2
 1
M
T
2
2c p T0  Tg   331,8 m s
 qm g   g AgVg
q
Ag  m  0,00154m2
 gVg
Vs
Vs

 1,52
as
RTs
Mg=1
1
T    1

  0,833
T0  2 
Tg  T   244K
Evolução isentrópica:
 Tg
 
p0  T0
pg

  1


pg  274kPa
Ondas de choque normais: Exemplo

Um escoamento de ar à temperatura de 202 K e uma
pressão de 100 kPa tem uma velocidade de 427,8 m/s.
Qual a pressão que seria medida por um tubo de Pitot
colocado neste escoamento?
p?
Resposta:
M
p=100 kPa
T=202 K
V=427,8 m/s
V
V

 1,5
a
RT
Supersónico: não pode haver
desaceleração isentrópica até
V=0 na boca do Pitot!
Ocorre uma onda de choque à entrada
do Pitot, que é normal na vizinhança da
boca do Pitot.
Ondas de choque normais: Fonte sonora
em movimento

Consideremos uma fonte sonora que se desloca a um número de
Mach = 0,5 (as frentes de ondas sonoras deslocam-se ao dobro da
velocidade da fonte).
Frentes de onda mais
próximas à frente da fonte
do que atrás (efeito de
doppler).
t=-2
t=-1
t=-3
t=-2
t=-3
t=0
t=-1
Observador fixo ouve ruído
com maior frequência (mais
agudo) antes da passagem
da fonte que depois.
Ondas de choque normais: Fonte sonora
em movimento

Consideremos uma fonte sonora que se desloca a um número de
Mach = 1 (as frentes de ondas sonoras deslocam-se à mesma
velocidade da fonte).
Frentes de onda juntam-se
na fonte criando uma onda
de choque normal (p finito)
junto da fonte.
t=-2
t=-1
t=-3
t=-2
t=-3
t=0
t=-1
Observador fixo ouve forte
estampido da passagem da
frente de onda (e da fonte).
Ondas de choque normais: Fonte sonora
em movimento

Consideremos uma fonte sonora que se desloca a um número de
Mach = 2 (as frentes de ondas sonoras deslocam-se a metade da
velocidade da fonte).
Frentes de onda juntam-se
num cone criando uma onda
de choque oblíqua (p finito)
junto da fonte.
t=-2
t=-1
t=-2
t=-3
t=-1

Cone de Mach:
t=-3
  tan1 M
t=0
Observador fixo ouve
estampido da frente de onda
depois da passagem da
fonte).
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável

Matéria





Pressão de estagnação isentrópica
Análise qualitativa do escoamento isentrópico em
condutas de secção variável
Exemplo
Formação de ondas de choque normais
Bibliografia


Secção 9.5 do Fluid Flow (3ª edição) - Sabersky
Secções 9.3 e 9.4 do Fluid Mechanics (4ª ed.) White