PROVA 435/9 Págs.
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)
Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos
Duração da prova: 120 minutos
1.ª FASE
2005
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA
VERSÃO 1
Na sua folha de respostas, indique claramente a
versão da prova.
A ausência desta indicação implicará a anulação
de todo o GRUPO I.
A prova é constituída por dois Grupos, I e II.
O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.
O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta,
algumas delas subdivididas em alíneas, num total de
onze.
V.S.F.F.
435.V1/1
Formulário
Comprimento de um arco de
circunferência
(!  amplitude, em radianos, do
ângulo ao centro; <  raio)
!<
Áreas de figuras planas
Losango:
Progressões
Soma dos 8 primeiros termos de uma
?"  ? 8
‚8
#
Prog. Aritmética:
"  <8
Prog. Geométrica:
?" ‚ "  <
H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89<
#
Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+
Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema
Sector circular:
! <# (!  amplitude,
#
em radianos, do ângulo ao centro; <  raio)
Regras de derivação
Ð?  @Ñw œ ?w  @w
Ð?Þ@Ñw œ ?w Þ @  ? Þ @w
w
w
ˆ ? ‰w œ ? Þ @ #? Þ @
@
@
Ð?8 Ñw œ 8 Þ ?8" Þ ?w
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: 1 < 1
(<  raio da base; 1  geratriz)
Ðsen ?Ñw œ ?w Þ cos ?
Área de uma superfície esférica: % 1 <#
(<  raio)
Ðtg ?Ñw œ cos?# ?
Ð8 − ‘Ñ
Ðcos ?Ñw œ  ?w Þ sen ?
w
Ð/ ? Ñ w œ ? w Þ / ?
Volumes
Pirâmide: "$ ‚ Área da base ‚ Altura
Cone: "$ ‚ Área da base ‚ Altura
Esfera: %$
1<
$
(<  raio)
Trigonometria
sen Ð+  ,Ñ œ sen + Þ cos ,  sen , Þ cos +
cos Ð+  ,Ñ œ cos + Þ cos ,  sen + Þ sen ,
tg +  tg ,
tg Ð+  ,Ñ œ "tg + Þ tg ,
Ð+? Ñw œ ?w Þ +? Þ ln +
w
Ðln ?Ñw œ ??
w
Ðlog + ?Ñw œ ? Þ?ln +
a3 -3= )b8 œ 38 -3= Ð8 )Ñ
8 3 -3= ) œ È
8 3 -3= ) # 5 1 ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8  "×
È
8
435.V1/2
Ð+ − ‘ Ï Ö"×Ñ
Limites notáveis
lim senB B œ "
BÄ!
B
lim / B" œ "
BÄ!
ln ÐB"Ñ
B
BÄ!
lim
Complexos
Ð+ − ‘ Ï Ö"×Ñ
lim
BÄ_
ln B
B
/B
:
BÄ_ B
lim
œ"
œ!
œ _
Ð: − ‘Ñ
Grupo I
• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que
seleccionar para responder a cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo
acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justificações.
1.
Na figura, está representada parte do gráfico de uma função 0 , contínua em ‘.
A função 0 tem apenas dois zeros:  $ e ".
Seja 1 a função definida por 1ÐBÑ œ È 0 ÐBÑ
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função 1 ?
(A) Ó  _ß "Ó
(B) ‘ Ï Ö  $ß "×
(C) Ó  _ß  $c
(D) c  $ß  _c
V.S.F.F.
435.V1/3
2.
Considere uma função 0 , de domínio ‘Ö&×, contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
• lim 0 ÐBÑ œ  $
BÄ&
•
•
lim 0 ÐBÑ œ #
BÄ_
lim Ò0 ÐBÑ  BÓ œ !
BÄ_
Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada
uma delas uma recta.
Em qual das opções as duas rectas assim definidas são as assimptotas do gráfico da
função 0 ?
3.
(A) C œ B e C œ #
(B) C œ # e B œ &
(C) C œ B e B œ &
(D) C œ  $ e B œ #
Considere a função 0 , de domínio ‘, definida por 0 ÐBÑ œ cos B .
Qual das expressões seguintes dá a derivada de 0 , no ponto 1 ?
(A) lim
BÄ1
cos B  "
B1
(B) lim
BÄ!
cos B
cos B
(C) lim B  1
BÄ1
4.
cos B  1
B
(D) lim B  1
BÄ!
Na figura junta, está representada, em
referencial o.n. BSC , parte do gráfico da
função 0 , definida, em Ó  "ß  _Ò , por
0 ÐBÑ œ log # aB  "b
Na mesma figura, está também representado
um triângulo rectângulo ÒEFSÓ .
O ponto E tem abcissa $ e pertence ao
gráfico de 0 .
O ponto F pertence ao eixo SC .
Qual é a área do triângulo ÒEFSÓ ?
(A) "
435.V1/4
(B) #
(C) $
(D) %
5.
Seja H o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma
certa experiência aleatória.
Sejam \ e ] dois acontecimentos (\ § H e ] § H ).
Apenas uma das afirmações seguintes não é equivalente à igualdade T Ð\  ] Ñ œ !.
Qual?
(A) \ e ] são acontecimentos incompatíveis.
(B) \ e ] não podem ocorrer simultaneamente.
(C) Se \ ocorreu, ] não pode ocorrer.
(D) \ e ] são ambos impossíveis.
6.
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória \ é dada pela tabela
B3
T Ð\ œ B3 Ñ
!
+
#
,
%
,
( + e , designam números reais).
A média da variável aleatória \ é igual a ".
Qual é o valor de + e qual é o valor de , ?
"
(A) + œ #
#
(C) + œ $
7.
,œ %
"
(B) + œ &
$
"
(D) + œ #
"
,œ '
Em ‚, conjunto dos números complexos, considere
Sejam T"
e T#
D" œ # -3= 1%
"
,œ &
"
,œ '
e
as imagens geométricas, no plano complexo, de
D# œ # 3 .
D" e de D# ,
respectivamente.
Sabe-se que o segmento de recta T" T# ‘ é um dos lados do polígono cujos vértices são
as imagens geométricas das raízes de índice
Qual é o valor de
(A) %
8
de um certo número complexo
A.
8?
(B) '
(C) )
(D) "!
V.S.F.F.
435.V1/5
Grupo II
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os
cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor
exacto.
1.
Seja ‚ o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária.
1.1. Considere A œ
#3
"3
3
Sem recorrer à calculadora, escreva A na forma trigonométrica.
1.2. Considere D" œ -3=Ð!Ñ
D# œ -3=Š 1#  !‹
e
Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de
D"  D #
pertence à
bissectriz dos quadrantes ímpares.
2.
Admita que o número de elementos de uma população de aves, > anos após o início de
1970, é dado aproximadamente por
T Ð>Ñ œ &,# ‚ "! ( ‚ / ÐR Q Ñ > ,
> !,
em que R e Q são duas constantes, denominadas, respectivamente, taxa de natalidade
e taxa de mortalidade da população.
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos,
resolva as duas alíneas seguintes:
2.1. Sabendo que R  Q , calcule
lim T Ð>Ñ
>Ä_
e interprete o resultado obtido, no
contexto do problema.
2.2. No início de 2000, a população era metade da que existia no início de 1970.
Sabendo que a taxa de natalidade é (,&', determine a taxa de mortalidade.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
Nota:
sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos,
conserve, no mínimo, três casas decimais.
435.V1/6
3.
Na figura está representada uma circunferência com centro no ponto S e raio $.
Os diâmetros ÒIJ Ó e ÒKLÓ são perpendiculares.
Considere que o ponto F se desloca sobre o arco J K.
Os pontos E, G e H acompanham o movimento do ponto F, de tal forma que:
• as cordas ÒEFÓ e ÒGHÓ permanecem paralelas a ÒIJ Ó ;
• ÒEHÓ e ÒFGÓ são sempre diâmetros da circunferência.
Os pontos M e N também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são
sempre os pontos de intersecção de ÒKLÓ com ÒEFÓ e ÒGHÓ , respectivamente.
Para cada posição do ponto F , seja B a amplitude, em radianos, do ângulo J SF
ŠB − ’!ß # “‹.
1
3.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de B, por
EÐBÑ œ ") aB  sen B Þ cos Bb
Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.
3.2. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que
lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de B para o qual a área
da região sombreada é igual a metade da área do círculo?
Apresente
todos
os
elementos
recolhidos
na
utilização
da
calculadora,
nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes
de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima,
arredondado às centésimas.
V.S.F.F.
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4.
Seja 0 uma função, de domínio ‘ , tal que a sua derivada é dada por
0 w ÐBÑ œ #  B ln B ,
a B − ‘
Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes:
4.1. Seja < a recta tangente ao gráfico de 0 no ponto de abcissa ".
Seja T o ponto de intersecção da recta < com o eixo SB.
Sabendo que 0 Ð"Ñ œ $, determine a abcissa do ponto T .
4.2. Estude a função 0 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à
existência de pontos de inflexão.
5.
Num saco, estão três bolas pretas e nove bolas brancas, indistinguíveis ao tacto.
Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas do saco.
Determine:
5.1. A probabilidade de as duas primeiras bolas extraídas não serem da mesma cor.
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
5.2. A probabilidade de as três bolas pretas serem extraídas consecutivamente (umas a
seguir às outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
6.
Considere um prisma regular em que cada base tem 8 lados.
Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as
faces do prisma (incluindo as bases) é dado por
# Ð 8G#  8Ñ  # 8
FIM
435.V1/8
COTAÇÕES
Grupo I .................................................................................................... 63
Cada resposta certa .......................................................................... +9
Cada resposta errada........................................................................ - 3
Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0
Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.
Grupo II ................................................................................................. 137
1. ............................................................................................. 21
1.1. ................................................................................10
1.2. ................................................................................11
2. ............................................................................................. 28
2.1. ................................................................................14
2.2. ................................................................................14
3. ............................................................................................. 28
3.1. ................................................................................14
3.2. ............................................................................... 14
4. ............................................................................................. 28
4.1. ................................................................................14
4.2. ................................................................................14
5. ............................................................................................. 20
5.1. ................................................................................10
5.2. ................................................................................10
6. ............................................................................................. 12
TOTAL .................................................................................................. 200
435.V1/9