NDMAT – Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos
Profº Eliton Mendes
1) Um projetil é lançado da origem (0;0). segundo um referencia dado, percorre uma trajetória parabólica
que atinge sua altura máxima no ponto (2;4). escreva a equação dessa trajetória.
Observe como é a trajetória desse projétil:
O projétil parte da origem (0,0) e quando atinge a abcissa 2
sua altura será de a ordenada 4. Como estamos falando de
uma parábola, pelo vértice (ponto máximo da parábola)
passa o eixo de simetria e divide a parábola em duas partes
idênticas, logo o projétil atinge o solo na abscissa 4. Dessa
forma temos as raízes da nossa função quadrática.
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
(Forma fatorada da função
quadrática onde x1 e x2 são as raízes)
Substituindo o valor das raízes encontramos:
2
f(x) = a(x – 0) (x – 4) = ax – 4ax
No ponto (2; 4) o coeficiente a assume tal valor:
2
4 = a(2) – 4a(2)
4 = 4a – 8a
4 = - 4a
a=-1
2
Logo a função procurada será f(x) = - x + 4x
2) Para cercar um terreno retangular dispõe-se de 800 metros de tela. Calcule a área máxima cercada.
Diante mão, vale salientar que, o retângulo de área máxima será sempre um quadrado. Logo, um quadrado de
2
800 metros de perímetro tem lado de 800/4 = 200. Com isso, a área máxima será 200 = 40 000.
Podemos nos certificar disso demonstrando o que acabei de falar.
Considere um retângulo de perímetro p. Algebricamente podemos representar o perímetro pela equação:
2x + 2y = p
x + y = p/2
que isolando o y, ficamos: y = p/2 - x
Esse retângulo tem área igual a:
A = xy substituindo o valor de y ficamos:
A = x.(p/2 – x)
(A função quadrática que representa a área tem coeficiente a = - 1 (negativo) o que indica que
a concavidade da parábola é para baixo e com isso a função área tem valor máximo.)
Para a área máxima temos um determinado x que é o xv = -b/2a
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Então:
Logo o y será:
Então chegamos a conclusão que x = p/4 e y = p/4, ou seja, x = y. Logo, o retângulo de área máxima é um
quadrado.
Mas partindo do pressuposto que você não saberia dessa informação, vamos resolver a questão.
Observe uma modelagem de um terreno retangular cujas dimensões
representadas por x e y ao lado:
são
x
Ele utilizou 800 m de tela para cercar, logo temos o perímetro do
terreno:
2x + 2y = 800
: (2)
x + y = 400
y = 400 – x
y
Para o cálculo da área temos:
A = x.y que substituindo o valor de y temos
A = x.(400 – x)
A = 400x – x
2
Podemos calcular área máxima de duas maneiras. Calculando o valor de x (x v = - b/2a) para que a área seja
máxima e com o valor encontrado substituímos na função ou calculando o yv =
.
Usando o yv:
(
yv =
)
Usando xv:
xv = - (400)/2. (-1) = - 400 / (-2)
2
2
xv = 200 m ( observe que estamos falando de um quadrado de lado 200, então a área é 200 = 40 000 m )
Substitua na função área
A = 400 . 200 – (200)
A = 80 000 – 40 000
A = 40 000 m
2
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3) Para cercar um terreno retangular em cujo fundo existe um muro retilíneo, dispõe-se de uma tela de 400
metros de comprimento. Determine a área máxima cercada.
Muro
x
x
y
A partir da modelagem acima montamos uma expressão algébrica para a quantidade de tela utilizada:
2x + y = 400
y = 400 – 2x
A área do terreno é dada pela expressão:
A = x.y
Que substituindo o valor de y ficamos:
A = x ( 400 – 2x)
2
A = 400x – 2x
A função quadrática que representa a área tem coeficiente a = - 2 (negativo) o que indica que a concavidade da
parábola é para baixo e com isso a função área tem valor máximo.
Achamos a área máxima usando o yv =
yv =
(
:
)
Observe que, se o problema dissesse que iria cercar os quatro lados de um terreno e este, teria que ser de área
máxima, então o terreno seria um quadrado. Logo cada lado do terreno teria comprimento igual a 400/4 = 100 e
2
2
a área seria 100 = 10 000 m . Mas, no caso acima ele utilizou como um lado um muro e com isso o formato
será de um retângulo não quadrado.
Bons Estudos!
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