Probabilidade
Professora Ana Beatriz Franco Sena
Disciplina: Bioestatística
Experimentos de probabilidade
Probabilidade de chover: 90 %
Probabilidade de sucesso em uma cirurgia: 50 %
Probabilidade de reprovação em uma matéria: 30%
Experimentos de probabilidade: determinam a probabilidade de que um
evento específico ocorra.
Conceitos
Experimento de probabilidade: ação, ou tentativa, pela qual
resultados específicos (contagens, medições ou respostas) são
obtidos.
Resultado: resultado de uma única tentativa em um experimento
de probabilidade.
Espaço amostral: o grupo de todos os resultados possíveis de
um experimento de probabilidade.
Evento: é um subgrupo do espaço amostral. Ele pode consistir de
um ou mais resultados.
Exemplo
Um experimento consiste em lançar uma moeda e então lançar um dado de seis
lados.
Lançamento de moeda - dois resultados possíveis: cara (CA) e coroa (CO).
Lançamento de dado: 1,2,3,4,5 ou 6.
1
CA
CO
2 3 4
5 61 2 3 4
5
6
Diagrama de árvore
Espaço amostral: 12 resultados
(CA1, CA2, CA3, CA4, CA5, CA6, CO1, CO2, CO3, CO4, CO5, CO6)
Exercícios
Para cada experimento de probabilidade, determine o número de
resultados e liste o espaço amostral.
Pesquisa: Deveria haver limite para o número de vezes em que um
senador é eleito?
( ) Sim ( ) Não ( ) Não sei
Experimento 1: Gravar as respostas para a pesquisa acima e o gênero
da pessoa que está respondendo.
Experimento 2: Gravar as respostas para a pesquisa acima e o partido
político (democrata, republicano ou outro) da pessoa que está
respondendo.
Passo a passo: montar o diagrama de árvore, encontrar o número de resultados
e listar o espaço amostral
Evento simples
Relembrando: Evento: é um subgrupo do espaço amostral. Ele pode consistir
de um ou mais resultados.
Evento simples: evento que consiste em um único resultado.
Exemplo:
Jogar cara em uma moeda + jogar o número 3 em um dado: evento simples
(CA3)
Jogar cara em uma moeda + jogar um número par em um dado: evento não
simples (CA2, CA4 e CA6)
Exercícios
Determine o número de resultados em cada evento e decida se o evento
é simples ou não.
Evento A: ao lançar um dado, jogar, no mínimo, o número 4.
Evento B: ao perguntar a idade a um aluno, a idade estar entre 18 e 23.
Evento C: ao perguntar a idade a um aluno, a idade ser 20.
Princípio fundamental da contagem
Se um evento pode ocorrer de m maneiras possíveis e o segundo de n
maneiras possíveis, o número de maneiras nas quais os dois podem
ocorrer em seqüência é m X n.
Essa regra pode ser expandida para qualquer número de eventos
ocorrendo em seqüência.
Ou seja: o número de maneiras nas quais um evento pode ocorrer em sequência
é encontrado multiplicando-se o número de maneiras nas quais um evento pode
ocorrer pelo número de maneiras nas quais o outro evento pode ocorrer.
Exemplo
O código de acesso para o sistema de segurança de um carro consiste
em 4 dígitos. Cada dígito pode ser de 0 a 9.
1º
2º
3º
4º
Códigos possíveis quando cada dígito pode ser usado apenas uma vez:
10 x 9 x 8 x 7 = 5040
Códigos possíveis quando cada dígito pode ser repetido:
10 x 10 x 10 x 10 = 10000
Códigos possíveis quando cada dígito pode ser repetido, mas o primeiro
não pode ser 0 ou 1:
8 x 10 x 10 x 10 = 8000
Exercícios
Quantas placas de automóvel você pode formar se cada placa consiste
de:
a) seis (de 26) letras, cada letra podendo ser repetida?
b) seis (de 26) letras, cada letra não podendo ser repetida?
c) seis (de 26) letras, cada letra podendo ser repetida, mas a primeira não
pode ser A, B, C ou D?
Passo a passo: identifique cada evento e o número de maneiras como cada
evento pode ocorrer, use o princípio fundamento da contagem
Probabilidade
A probabilidade de que o evento E ocorra é escrita como P(E).
Tipos de probabilidade:
Probabilidade clássica (ou teórica): é usada quando cada resultado
em um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer.
Probabilidade empírica (ou estatística): é baseada em observações
obtidas de experimentos de probabilidade. A probabilidade empírica de
um evento E é a frequência relativa do evento E.
Tipos de probabilidade
Clássica:
P(E) =
número de resultados no evento E
número total de resultados no espaço amostral
Empírica:
P(E) =
frequência do evento E
frequência total
=
f
n
Probabilidade clássica
Exemplo: Lançamento de dados:
Evento A: lançar um 3
P(A) = 1/6 = 0,167
Evento B: lançar um 7
P(B) = 0/6 = 0
Evento C: lançar um número menor que 5
P(C) = 4/6 = 0,667
Exercício
Usando um baralho ( 52 cartas), encontre a probabilidade de cada
evento:
Evento A – selecionar um 7 de ouros
Evento B – selecionar um ouros
Evento C - selecionar um ouros, uma copas, uma espadas ou um paus
Passo a passo: identifique o número total de resultados no espaço amostral,
encontre o número de resultados no evento e use a fórmula da probabilidade
clássica.
Probabilidade empírica
Quando um experimento é repetido muitas vezes, são formados padrões
regulares.
Estes padrões permitem encontrar a probabilidade empírica, a qual pode
ser usada mesmo se cada resultado de um evento não tiver a mesma
chance de ocorrer.
Ex: cor dos alunos matriculados em uma universidade
Exemplo
Uma empresa está conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos
selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no trânsito
é um problema na sua comunidade. Até agora 320 pessoas responderam à
pesquisa. A distribuição de frequência mostra os resultados.
Resposta
Número de vezes
É um problema sério
123
É um problema moderado
115
Não é um problema
82
Ʃf = 320
Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa
diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade?
Exemplo
Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa
diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade?
Resposta
Número de vezes
É um problema sério
123
É um problema moderado
115
Não é um problema
82
Ʃf = 320
P (problema sério) = 123 / 320 = 0,384
Exercício
Uma empresa de seguro de determina que de cada 100 reclamações, 4
são fraudulentas. Qual a probabilidade de que a próxima reclamação
recebida pela empresa seja fraudulenta?
Passo a passo: identifique o evento e encontre a sua frequência, encontre a
frequência total para o experimento, encontre a frequência relativa do evento.
Lei dos grandes números
A medida que aumentamos o número de vezes que um experimento de
probabilidade é repetido, a probabilidade empírica (frequência relativa)
de um evento aproxima-se de sua probabilidade teórica.
Exemplo
P (lançar cara em uma moeda não adulterada)
Se você lançar a moeda 10 vezes e obtiver somente 3 caras, você
obtém a probabilidade empírica de 3/10.
Devido ao fato de ter lançado a moeda apenas poucas vezes, sua
probabilidade empírica não é representativa da probabilidade teórica,
que é ½. Se, entretanto, você lançar a moeda milhares de vezes, a
probabilidade empírica será bem próxima à probabilidade real.
Probabilidade empírica (exercício)
Você pesquisou uma amostra de 1000 funcionários de uma empresa e registrou
a idade de cada um.
Idade dos funcionários
Frequência f
15 a 24
54
25 a 34
366
35 a 44
233
45 a 54
180
55 a 64
125
Acima de 65
42
Ʃf = 1000
Se você selecionar aleatoriamente outro funcionário qual é a probabilidade de
que ele tenha entre 25 e 34 anos?
Classificando tipos de probabilidade
(exercícios)
1) A probabilidade de que um eleitor escolhido aleatoriamente irá votar
em um republicano é de 0,45.
2) A probabilidade de ganhar na loteria num jogo com 1000 bilhetes
com 1 bilhete é de 1/1000.
Regra da amplitude das probabilidades
0 ≤ P(E) ≤ 1
P(E) = 1
é certo que o evento acontecerá
P(E) = 0
o evento é impossível!
P(E) = 0,5
o evento tem uma chance equilibrada de ocorrer
Campo de variação: 0 a 1
Eventos complementares
A soma das probabilidades de todos os resultados em um espaço
amostral é 1 (ou 100%).
P (é um problema sério)
= 123/320 = 0,38
38%
P (é um problema moderado) = 115/320 = 0,36
36%
P (não é um problema)
26%
= 82/320 = 0,26
1
100%
Complemento do evento
O complemento do evento E (E’) é o grupo de todos os resultados em
um espaço amostral que não está incluído no evento E.
Complemento do evento E = probabilidade contrária
P (E) + P(E’) = 1
P (E’) = 1 – P(E)
P (E) = 1 – P(E’)
Exemplo
Ao lançar um dado:
Evento: número ser ao menos 5
P(E)
=
P(número ser ao menos 5)
=
P(5) + P(6)
P(E’)
=
P(número ser menor que 5)
=
P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
=
1 – P(E)
P(E)
=
P(número ser ao menos 5)
=
0,16667 + 0,16667
P(E’)
=
P(número ser menor que 5)
=
0,16667 + 0,16667 + 0,16667 + 0,16667
=
1 – 0,33334
Exercício
1) Encontre a probabilidade de escolher aleatoriamente um funcionário
que não tenha entre 25 e 34 anos.
2) Encontre a probabilidade de escolher aleatoriamente um funcionário
que não tenha entre 45 e 54 anos.
Passo a passo: encontre a probabilidade de os funcionários terem as idades
específicas, subtraia a possibilidade resultante de 1.
Probabilidade condicional
É a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já tenha
ocorrido.
A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A
tenha ocorrido, é denotada por P(B A) e lê-se probabilidade de B, dado A
Exemplo
Duas cartas são selecionadas em sequência de um baralho normal.
Encontre a probabilidade de que a segunda carta seja uma dama, dado
que a primeira carta seja um rei.
1ª carta = rei
Nas cartas restantes (51) existem 4 damas
P(B A) = 4 / 51= 0,078
Exercício
A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa na qual avaliaram
o QI de crianças e a presença de um gene específico nela.
Gene presente
Gene ausente
Total
QI alto
33
19
52
QI normal
39
11
50
Total
72
30
102
1) Encontre a probabilidade de que a criança tenha um QI alto, dado
que ela tem o gene.
2) Encontre a probabilidade de que a criança não tenha o gene, dado
que ela tenha o QI normal.
Eventos dependentes e independentes
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não
afeta a probabilidade de outro.
P(B A) = P(B)
P(A B) = P (A)
Eventos que não são independentes, são dependentes.
Exemplo
Decida se os eventos são dependentes ou independentes:
1) Selecionar um rei de um baralho (A) sem reposição e então
selecionar uma dama do baralho (B).
2) Jogar uma moeda e tirar cara (A) e então jogar um dado de seis
lados e tirar um 6 (B).
3) Dirigir a mais de 120km/hora (A) e, então, sofrer um acidente de
carro (B).
4) Fumar um maço de cigarros por dia (A) e desenvolver enfisema
pulmonar (B).
Regra de multiplicação
A probabilidade de que dois eventos ocorram em sequência é:
P(A e B) = P(A) x P(B A)
Se os eventos forem independentes, a regra pode ser simplificada para:
P(A e B) = P(A) x P(B)
Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de
eventos independentes.
Exemplo
Duas cartas são selecionadas sem reposição da primeira carta, de uma
baralho normal. Encontre a probabilidade de selecionar um rei e então
uma dama.
1ª carta não é reposta: eventos dependentes
P (K e Q) = P (K) x P(Q K)
4/52 x 4/51
16/2652
0,0060
Exemplo
Duas cartas são selecionadas cem reposição da primeira carta, de uma
baralho normal. Encontre a probabilidade de selecionar um rei e então
uma dama.
1ª carta é reposta: eventos independentes
P (K e Q) = P (K) x P(Q)
4/52 x 4/52
16/2704
0,0059
Exercícios
1) Uma moeda é jogada e um dado é lançado. Encontre a
probabilidade de se obter um cara e então jogar um 6.
2) Duas cartas são selecionadas de um baralho padrão sem reposição.
Encontre a probabilidade de que ambas as cartas sejam de copas.
3) A probabilidade de que um salmão nade, com sucesso, através de
uma barragem é de 0,85. Encontre a probabilidade de dois
atravessarem com sucesso.
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A e B não puderem
ocorrer ao mesmo tempo
Exemplos:
Evento A: rolar 3 em um dado
Evento B: rolar 4 em um dado
Mutuamente
exclusivos
Evento A: selecionar aleatoriamente um estudante do sexo masculino
Evento B: selecionar aleatoriamente um graduando em enfermagem
Não são mutuamente
exclusivos
P(A ou B) – probabilidade de um dos dois eventos ocorra. Para isso os
eventos devem ser mutuamente exclusivos
Exercício
Decida se os eventos são mutuamente exclusivos ou não:
1) Evento A: selecionar aleatoriamente um doador de sangue com tipo O
Evento B: selecionar aleatoriamente um doador de sangue do sexo
feminino
2) Evento A: selecionar aleatoriamente um estudante de 20 anos
Evento B: selecionar aleatoriamente um estudante de olhos azuis
3) Evento A: selecionar aleatoriamente um veículo Ford
Evento B: selecionar aleatoriamente um veículo Toyota
Regra da adição
A probabilidade de que os eventos A ou B ocorram [ P(A ou B)] é dada por:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Se os eventos forem mutuamente exclusivos então a regra pode ser
simplificada para:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de
eventos mutuamente exclusivos.
Exemplo
Você seleciona uma carta de um baralho. Encontre a probabilidade de
esta carta ser um 4 ou um Ás.
P(4) = 4/52
P(Ás) = 4/52
P(4 ou Ás) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13 = 0,154
Exercícios
1) Você joga um dado. Encontre a probabilidade de rolar um número
menor que 3 ou rolar um número ímpar.
2) Você joga um dado. Encontre a probabilidade de rolar um 6 ou um
número ímpar.
3) Uma carta é selecionada de um baralho normal. Encontre a
probabilidade de que seja uma carta de figura ou uma carta de copas
Teorema de Bayes
A probabilidade do evento A, dado que o evento B tenha ocorrido é:
P(A B) =
P(A) x P(B A)
P(A) x P(B A) + P(A’) x P(B A’)
Exercícios
1) P(A) = 2/3 P(A’) = 1/3 P(B A) = 1/5 P(B A’) = ½
2) P(A) = 3/8 P(A’) = 5/8 P(B A) = 2/3 P(B A’) = 3/5
3) P(A) = 0,25 P(A’) = 0,75 P(B A) = 0,3 P(B A’) = 0,5