Pesquisa Operacional
na Tomada de Decisões
Aplicações Reais
2ª Edição
Capítulo 3.2
© Gerson Lachtermacher,2005
Conteúdos do Capítulo






Caso LCL Motores Ltda.
Caso LCL Previdência Privada.
Caso LCL Malotes Ltda.
Caso LCL Tintas S/A
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
Caso LCL Restaurantes Ltda.
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda.
 A LCL Motores Ltda recebeu recentemente R$90.000,00 em pedidos
de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado
número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A
LCL pode terceirizar parte da sua produção. A tabela a seguir resume
essas informações. Modele o Problema para descobrir como distribuir a
produção.
Modelo
Demanda (unid)
Montagem(h/unid)
Acabamento (h/unid)
Produção (R$ )
Terceirizado (R$ )
Capítulo 3.2
1
3000
1
2,5
50
65
2
2500
2
1
90
92
3
500
0,5
4
120
140
Capacidade
6000 h
10000 h
Caso LCL Motores Ltda
 Variáveis de Decisão

F1 – Nº motores do modelo 1 fabricados pela LCL

F2 – Nº motores do modelo 2 fabricados pela LCL

F3 – Nº motores do modelo 3 fabricados pela LCL

T1 – Nº motores do modelo 1 terceirizados pela LCL

T2 – Nº motores do modelo 2 terceirizados pela LCL

T3 – Nº motores do modelo 3 terceirizados pela LCL
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
 Função-objetivo
Min 50 F1  90 F2  120 F3  65T1  92T2  140T3
 Restrições de Produção
1F1
 2 F2  0,5F3  6000
(montagem)
2,5F1  1F2  4 F3  10000 (acabament o)
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
 Restrições de Demanda
F1  T1  3000
(motor do tipo 1)
F2  T2  2500 (motor do tipo 2)
F3  T3  500
Capítulo 3.2
(motor do tipo 3)
Caso LCL Motores Ltda
O Modelo
Min 50 F1  90 F2  120 F3  65T1  92T2  140T3
st
1F1
 2 F2  0,5 F3  6000
(montagem)
2,5 F1  1F2  4 F3  10000 (acabament o)
F1  T1  3000
(motor do tipo 1)
F2  T2  2500 (motor do tipo 2)
F3  T3  500
(motor do tipo 3)
F1 ; F2 ; F3 ; T1 ; T2 ; T3  0
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
Variáveis de Decisão
Função-objetivo
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
Função-Objetivo
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
Função-Objetivo (alternativa)
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
LHS
=B3+B4
=C3+C4
=D3+D4
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
LHS
=(B13*$B$3)+(C13*$C$3)+(D13*$D$3)
=(B14*$B$3)+(C14*$C$3)+(D14*$D$3)
=SOMARPRODUTO(B13:D13;$B$3:$D$3)
=SOMARPRODUTO (B14:D14;$B$3:$D$3)
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
Definindo o Modelo
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
Definindo o Modelo
Capítulo 3.2
Caso LCL Motores Ltda
Resposta
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
 A LCL Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros
através da escolha de carteiras de investimento para
diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas.
Um de seus clientes exige que:
 Não mais de 25% do total seja aplicado em um único
investimento.
 Mais de 50% do total deve ser aplicado em títulos de
maturidade de mais de 10 anos.
 O total aplicado em títulos de alto risco deve ser no
máximo de 50% do total investido.
 A tabela a seguir mostra os dados dos títulos selecionados
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
Retorno
Anual
Anos para
Vencimento
Título 1
8,7%
15
1- Muito Baixo
Título 2
9,5%
12
3- Regular
Título 3
12,0%
8
4- Alto
Título 4
9,0%
7
2- Baixo
Título 5
13,0%
11
4- Alto
Título 6
20,0%
5
5- Muito Alto
Capítulo 3.2
Risco
Caso LCL Investimentos S.A.
 Variáveis de Decisão
 P1 – Percentual do total aplicado no título do tipo 1
 P2 – Percentual do total aplicado no título do tipo 2
 P3 – Percentual do total aplicado no título do tipo 3
 P4 – Percentual do total aplicado no título do tipo 4
 P5 – Percentual do total aplicado no título do tipo 5
 P6 – Percentual do total aplicado no título do tipo 6
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
 Função-objetivo
 P1 
 P2 
 P3 

  0,095    0,12 
Max 0,087 
 100
 100
 100
 P5 
 P4 
 P6 
 0,09 
  0,2  
  0,13 
 100
 100
 100
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
 Restrição de Orçamento
P1  P2  P3  P4  P5  P6  100
 Restrições de Máximo de Aplicação por Tipo de Título
P1  25 P2  25 P3  25
P4  25 P5  25 P6  25
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
 Restrições de Mínimo de Aplicação em Título de
Maturidade maior que 10 anos.
P1  P2  P5  50
 Restrições de Máximo de Aplicação em Título de Alto
Risco.
P1  P2  P4  50 ou
Capítulo 3.2
P3  P5  P6  50
Caso LCL Investimentos S.A.
=SOMARPRODUTO(B4:B9,H4:H9)
=SOMARPRODUTO(B4:B9,D4:D9)
=SOMARPRODUTO(B4:B9,F4:F9)
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
Capítulo 3.2
Caso LCL Investimentos S.A.
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
 A LCL Correios e Malotes, uma franquia da ECTEmpresa de Correios e Telégrafos, deseja estabelecer o
número de funcionários de horário integral que deve
contratar para iniciar suas atividades. Para fazê-lo,
recebeu uma tabela da ECT com o mínimo de
funcionários por dia da semana. Essas informações se
encontram na tabela a seguir.
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Continuação
 O sindicato dos empregados mantém um acordo sindical
que determina que cada empregado deve trabalhar cinco
dias consecutivos e folgar em seguida dois dias, e que as
franquias devem ter apenas empregados em regime de
horário integral. Formule o problema de maneira a
resolver o problema.
Dia da
Semana
2ª
3ª
4ª
5ª
Capítulo 3.2
N.º Mínimo
Empregados
18
12
15
19
Dia da
Semana
6ª
Sábado
Domingo
N.º Mínimo
Empregados
14
16
11
Caso LCL Correios e Malotes
Variáveis de Decisão
 N1 – nº de func. que iniciam atividades no domingo
 N2 – nº de func. que iniciam atividades na 2ª feira
 N3 – nº de func. que iniciam atividades na 3ª feira
 N4 – nº de func. que iniciam atividades na 4ª feira
 N5 – nº de func. que iniciam atividades na 5ª feira
 N6 – nº de func. que iniciam atividades na 6ª feira
 N7 – nº de func. que iniciam atividades no sábado
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
N1  N2  N3  N4  N5 -Nº de Empregados que trabalham na 5ª feira
N2  N3  N4  N5  N6 -Nº de Empregados que trabalham na 6ª feira
N3  N4  N5  N6  N7 -Nº de Empregados que trabalham no Sábado
N4  N5  N6  N7  N1 -Nº de Empregados que trabalham no Domingo
N5  N6  N7  N1  N2 -Nº de Empregados que trabalham na 2ª feira
N6  N7  N1  N2  N3 -Nº de Empregados que trabalham na 3ª feira
N7  N1  N2  N3  N4 -Nº de Empregados que trabalham na 4ª feira
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
 Função Objetivo
Min N1  N 2  N3  N 4  N5  N 6  N 7
 Restrições de Nº Mínimo de Empregados
N1  N 2  N 3  N 4  N 5  19
N 2  N 3  N 4  N 5  N 6  14
N 3  N 4  N 5  N 6  N 7  16
N 4  N 5  N 6  N 7  N1  11
N 5  N 6  N 7  N1  N 2  18
N 6  N 7  N1  N 2  N 3  12
N 7  N1  N 2  N 3  N 4  15
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
 Porém a solução apresentada não parece lógica já que o
nº de pessoas a iniciar o trabalho num determinado dia
não pode ser fracionário.
 A solução para tal é identificar as variáveis de decisão
como inteiras
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Capítulo 3.2
Caso LCL Correios e Malotes
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
A firma LCL Tintas Ltda produz dois tipos de tintas chamadas: Seca
Rápido (SR) e Super Seca (SS). Ambas são produzidas a partir de uma
base de silicato e uma solução de óleo de linhaça, que são adquiridos
pela LCL de vários fornecedores. Atualmente apenas duas soluções
preliminares estão disponíveis no mercado, além dos produtos isolados.
A solução do tipo A contém 60% de silicato e 40% de óleo de linhaça, e
a do tipo B contém 30% de silicato e 70% de óleo de linhaça. O preço
da solução A custa R$0,50 por litro e a do tipo B custa R$ 0,75 por
litro, enquanto o silicato e óleo de linhaça isoladamente custam R$1,00
e R$1,10 por litro. Cada litro de SR requer no mínimo 25% de silicato e
50% de óleo de linhaça, e cada litro de SS requer no mínimo 20% de
silicato e no máximo 50% de óleo de linhaça. Formule o problema de
programação linear para determinar quantos litros de cada solução e de
cada produto isoladamente devem ser comprados para produzir
exatamente 100 litros de SR e 250 litros de SS?
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
Variáveis de Decisão
 XAR - Quantidade em litros da solução A que foi utilizado na
produção da tinta SR
 XBR - Quantidade em litros da solução B que foi utilizado na
produção da tinta SR
 XSR - Quantidade em litros de silicato puro que foi utilizado na
produção da tinta SR
 XOR - Quantidade em litros de óleo de linhaça que foi utilizado
na produção da tinta SR
 XAS - Quantidade em litros da solução A que foi utilizado na
produção da tinta SS
 XBS - Quantidade em litros da solução B que foi utilizado na
produção da tinta SS
 XSS - Quantidade em litros de silicato puro que foi utilizado na
produção da tinta SS
 XOS - Quantidade em litros de óleo de linhaça que foi utilizado
na produção da tinta SS
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
Função Objetivo
Min 0,5(XAR+XAS)+0,75(XBR+XBS)+1,0(XSR+XSS)+1,1(XOR+XOS)
Restrições de Tipo de Componentes
0,6 XAR + 0,3 XBR + XSR  0,25 ( XAR + XBR + XSR + XOR )
0,4 XAR + 0,7 XBR + XOR  0,50 ( XAR + XBR + XSR + XOR )
0,6 XAS + 0,3 XBS + XSS  0,20 ( XAS + XBS + XSS + XOS )
0,4 XAS + 0,7 XBS + XOS  0,50 ( XAS + XBS + XSS + XOS )
Restrições de Quantidade de Produção
XAR + XBR + XSR + XOR =100
XAS + XBS + XSS + XOS =250
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
O Modelo
Min 0,5 X AR  0,5 X AS  0,75 X BR  0,75 X BS  1X SR  1X SS  1,1X OR  1,1X OS
st
0,35 X AR  0,05 X BR  0,75 X SR - 0,25 X OR  0
- 0,1X AR  0,2 X BR - 0,5 X SR  0,5 X OR  0
0,4 X AS  0,1X BS  0,8 X SS - 0,2 X OS  0
- 0,1X AS  0,2 X BS - 0,5 X SS  0,5 X OS  0
X AR  X BR  X SR  X OR  100
X AS  X BS  X SS  X OS  250
X AR ; X BR ; X SR ; X OR ; X AS ; X BS ; X SS ; X OS  0
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
O Modelo no Excel
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
O Modelo no Excel
Capítulo 3.2
Caso LCL Tintas Ltda
Solução Ótima
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
 A LCL Armazéns e Comércio Ltda. possui 1 armazém com
capacidade de armazenamento de 200.000 toneladas de grãos. No
início do mês de janeiro a LCL tinha 8.000 toneladas de grãos de
trigo em seu armazém. Considerando que em cada mês você
pode comprar ou vender trigo a preços pré-fixados pelo governo
(tabela a seguir), em qualquer quantidade desejada, desde que
sujeitas as restrições de armazenagem e o estoque inicial do mês
(vendas máximas no mêsi = saldo mês(i-1) ). Formule o problema
de maneira a maximizar o lucro da operação nos próximos 12
meses.
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
Mês do Ano
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
Capítulo 3.2
Preço de Venda (R$/ton)
Preço de Compra (R$/ton)
3
6
8
2
4
5
6
1
3
2
3
3
8
8
2
3
4
3
3
2
5
5
3
3
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
 Variáveis de Decisão
QCi – Quantidade de Grãos Comprados no mês i
QVi – Quantidade de Grãos Vendidos no mês i
 Variáveis Auxiliares
SFi – Saldo Final no mês i
SF0 – Saldo Final em Dezembro anterior = 8000 ton.
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
 Função Objetivo
Max Lucro  Receita - Custo
12
Receita   PVendai  QVi 
i 1
12
Custo   PComprai  QC i 
i 1
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
 Restrições Auxiliares de Saldo Armazenado
SFi  SFi -1  QCi - QVi
para i  1...12
 Restrições de Armazenagem
SFi  200.000
para i  1...12
 Restrições de Quantidade Vendida
QVi  SFi -1
Capítulo 3.2
para i  1...12
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
O Modelo
Max 3QV1  6QV2  8QV3  2QV4  4QV5  5QV6  6QV7  1QV8  3QV9  2QV10  3QV11  3QV12
- 8QC1 - 8QC 2 - 2QC3 - 3QC 4 - 4QC5 - 3QC 6 - 3QC 7 - 2QC8 - 5QC9 - 5QC10 - 3QC11 - 3QC12
st
SF1  8000  QC1 - QV1 ; SF2  SF1  QC 2 - QV2 ; SF3  SF2  QC3 - QV3
SF4  SF3  QC 4 - QV4 ; SF5  SF4  QC5 - QV5 ; SF6  SF5  QC6 - QV6
SF7  SF6  QC 7 - QV7 ; S 8  SF7  QC8 - QV8 ; SF9  SF8  QC9 - QV9
SF  SF  QC - QV ;F SF  SF  QC - QV ; SF  SF  QC - QV
10
9
10
10
11
10
11
11
12
11
12
12
SF1  200000 ; SF2  200000 ; SF3  200000 ; SF4  200000 ; SF5  200000 ; SF6  200000 ;
SF7  200000 ; SF8  200000 ; SF9  200000 ; SF10  200000 ; SF11  200000 ; SF12  200000 ;
QV1  8000 ; QV2  SF1 ; QV3  SF2 ; QV4  SF3 ; QV5  SF4 ; QV6  SF5 ;
QV7  SF6 ;QV8  SF7 ; QV9  SF8 ; QV10  SF9 ; QV11  SF10 ; QV12  SF11
QCi ;QVi  0 (i  1,2,...12)
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
O Modelo no Excel
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
O Modelo no Excel
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
O Modelo no Excel
Capítulo 3.2
Caso LCL Armazéns e Comércio Ltda.
A Solução
Capítulo 3.2
Caso LCL Restaurantes Ltda.
A LCL Restaurantes Ltda. quer construir um novo
restaurante. O total R$ 500.000,00 da obra será pago a
construtora em duas parcelas de R$ 150.000,00 ao final
do 2º e do 5º mês e uma parcela de R$ 200.000,00 ao
final da construção no 7º mês. A empresa dispõe de 4
tipos de investimentos (tabela a seguir) que podem ser
utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção
de maneira a reduzir a necessidade total de caixa.
Capítulo 3.2
Caso LCL Restaurantes Ltda.
Mês Disponível
Investimento
para aplicação
Meses de
Duração
Da aplicação
Retorno ao
Final do
Investimento
Tipo A
1,2,3,4,5,6,7
1
1,5%
Tipo B
1,3,5
2
3,2%
Tipo C
1,4
3
4,5%
Tipo D
1
7
9,0%
Capítulo 3.2
Caso LCL Restaurantes Ltda.
 Variável de Decisão

Ai – Valor aplicado no mês i na aplicação A
(i=1,2,3,4,5,6,7)

Bi – Valor aplicado no mês i na aplicação B
(i=1,3,5)

Ci – Valor aplicado no mês i na aplicação C
(i=1,4)

Di – Valor aplicado no mês i na aplicação D
(i=1)
Capítulo 3.2
Caso LCL Restaurantes Ltda.
 Função Objetivo
Min A1  B1  C1  D1
 Restrições
 Total R$

 retornando
 no final

 do mês

Capítulo 3.2
  Total R$ 
 Total R$ de 
 



  reinvestid o 
 pagamento 
 -  no final    no final 
 



  do mês 
 do mês 
i 
i 
i
Caso LCL Restaurantes Ltda.
Capítulo 3.2
Caso LCL Restaurantes Ltda.
Capítulo 3.2
Caso LCL Restaurantes Ltda.
Capítulo 3.2