GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Intersecções – Dois Planos II
© antónio de campos, 2010
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos de rampa, ρ e σ. A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal,
sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da
recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano
projectante auxiliar.
fα
xz
fρ
fα
F
F’
fρ
a
fσ
α
a2
b2
F2
F’2
i2
fσ
I2
F1≡ F’1
b
i
I
x
ρ
σ
x
H
hρ
hσ
H’
hα
i1
xy
hρ
hσ
I1
H2
H’2
H1
H’1
hα≡ a1 ≡ b1
Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 6 cm de afastamento, e o traço
frontal com 2 cm de cota. Um plano de rampa σ tem os traços simétricos em
relação ao eixo x, e o seu traço frontal tem 4 cm de cota. Determina as
projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
fα≡ a2 ≡ b2
F’2
fσ
A recta comum aos dois planos
tem que ser uma recta frontohorizontal, sendo assim já se
conhece a orientação da recta i.
Para obter a localização da recta,
são necessárias duas rectas
complanares auxiliares contidos
num plano projectante auxiliar.
fρ
F2
I2
i2
F’1
x
i1
H2≡ H’2
F1
I1
H’1
hσ
b1
a1
H1
hρ
hα
Um plano de rampa α tem os traços coincidentes, e o seu traço horizontal tem 2
cm de afastamento. Um plano de rampa θ tem os seus traços simétricos em
relação ao eixo x, e o seu traço frontal tem 4 cm de cota. Determina as
projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
fγ
A recta comum aos dois planos
tem que ser uma recta frontohorizontal, sendo assim já se
conhece a orientação da recta i.
Para obter a localização da recta,
são necessárias duas rectas
complanares auxiliares contidos
num plano projectante auxiliar.
fθ
F’2
b2
a2
I2
i2
H2
H’2
x
F2
fα ≡ hα
H1
i1
hθ
F1≡ F’1
H’1
I1
hγ ≡ a1 ≡ b1
Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 3 cm de afastamento, e o traço
frontal com 6 cm de cota. Um plano de rampa σ tem o traço horizontal com 8 cm
de afastamento, e o traço frontal com -4 cm de cota. Determina as projecções
da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
F2
fρ
fα
a2
A recta comum aos dois planos
tem que ser uma recta frontohorizontal, sendo assim já se
conhece a orientação da recta i.
Para obter a localização da recta,
são necessárias duas rectas
complanares auxiliares contidos
num plano projectante auxiliar.
b2
H’2
x
H2
I2
i2
H1
hρ
fσ ≡ i1
I1
hα≡ a1 ≡ b1
hσ
F1≡ F’1
H’1
F’2
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS
COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo
x, o ponto A.
Sendo o traço frontal e horizontal o
mesmo ponto, o ponto A, é necessário
obter um outro ponto comum aos dois
planos para definir a recta i. Um plano
horizontal auxiliar ν permite obter as
rectas de intersecção do plano ν com
os planos α e δ.
xz
i2
fδ
fα
α
F’
(fν)
F
b
(fν) ≡ a2≡ b2
i
a
A1 ≡ A2
x
I
A
fα
I2
F2
F1
F’2
F’1
I1
x
hα
xy
i1
hα
b1
hδ
hδ
fδ
a1
Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto M. O traço horizontal do plano α
faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x, e o traço frontal do plano α faz um
ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta também o eixo x no
ponto M. O traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x,
e o traço frontal do plano θ faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina
as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois
planos.
fα
Sendo o traço frontal e horizontal o
mesmo ponto, o ponto M, é necessário
obter um outro ponto comum aos dois
planos para definir a recta i. Um plano
horizontal auxiliar ν permite obter as
rectas de intersecção do plano ν com
os planos α e θ.
i2
fθ
(fν) ≡ a2≡ b2
M1 ≡ M2
x
I2
F2
F’2
F1
F’1
I1
hα
hθ
i1
a1
b1
Um plano oblíquo γ corta o eixo x num ponto T, e os traços do plano são
simétricos em relação ao eixo x. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo de
60º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo δ corta também o eixo x no ponto T, e
os seus traços são coincidentes. O traço horizontal do plano δ faz um ângulo de
30º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i,
recta de intersecção entre os dois planos.
fγ
a2
Sendo o traço frontal e horizontal o
mesmo ponto, o ponto T, é necessário
obter um outro ponto comum aos dois
planos para definir a recta i. Um plano
frontal auxiliar φ permite obter as
rectas de intersecção do plano φ com
os planos γ e δ.
i2
b2
fδ ≡ hδ
I2
T1 ≡ T2
H’2
x
(hφ)≡ a1≡ b1
H2
I1
H’1
i1
H1
hγ
Um plano oblíquo γ corta o eixo x num ponto T, e os traços do plano são
simétricos em relação ao eixo x. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo de
60º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo δ corta também o eixo x no ponto T, e
os seus traços são coincidentes. O traço horizontal do plano δ faz um ângulo de
30º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i,
recta de intersecção entre os dois planos.
fγ
Sendo o traço frontal e horizontal o
mesmo ponto, o ponto T, é necessário
obter um outro ponto comum aos dois
planos para definir a recta i. Um plano
horizontal auxiliar ν permite obter as
rectas de intersecção do plano ν com
os planos γ e δ.
i2
fδ ≡ hδ
(fν) ≡ a2≡ b2
F2
I2
F1
x
b1
i1
I1
a1
hγ
F’2
T1 ≡ T2
F’1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E
UM PLANO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está
definido pelo eixo x e o ponto P.
xz
α
fα
ρ
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
horizontal coincidente com
o traço horizontal do plano
vertical α (projectante
r2
horizontal).
fα
i2
I2
P2
i
P
I
r
A1 ≡ A 2
x ≡ fρ ≡ hρ
A
r1
P1
I1
x ≡ fρ ≡ hρ
hα
xy
hα ≡ i1
Através de uma recta
auxiliar frontohorizontal r, que
pertence ao plano ρ,
obtem-se o ponto de
intersecção com a recta
i, o ponto I. Como o
ponto A pertence aos
dois planos, a recta de
intersecção está
definida pelos pontos A
e I.
É dado um plano horizontal υ com 2 cm de cota. Um plano passante ρ está
definido pelo eixo x e o ponto P (4; 3). Determina as projecções da recta de
intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
frontal coincidente com o
traço frontal do plano
horizontal ν (projectante
frontal).
r2
P2
(fν) ≡ i2
I2
Através de uma recta
auxiliar passante r, que
pertence ao plano ρ
(definida pelos pontos P
e de intersecção com o
eixo x), obtem-se o
ponto de intersecção
com a recta i, o ponto I.
A recta de intersecção
passa pelo ponto A e só
pode ser frontohorizontal, pois o único
tipo de rectas comum a
planos passante e
horizontal.
x ≡ fρ ≡ hρ
A1 ≡ A 2
i1
I1
P1
r1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E
UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está
definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α.
xz
α
fα
i
ρ
Nesta situação, a
determinação da recta
comum aos dois planos, a
recta de intersecção, é
imediata, pois o ponto P é
um ponto comum aos dois
planos.
fα
i2
P2
P
A
A1 ≡ A 2
x ≡fρ ≡ hρ
P1
x ≡ fρ ≡ hρ
hα
xy
hα ≡ i1
Um plano de topo θ contém o ponto P (4; 3) e faz um diedro de 45º (a.d.) com o
Plano Horizontal de Projecção. Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o
ponto P. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção entre os dois planos.
fθ≡ i2
Nesta situação, a
determinação da recta
comum aos dois planos, a
recta de intersecção, é
imediata, pois o ponto P é
um ponto comum aos dois
planos.
P2
x ≡ fρ ≡ hρ
P1
hθ
i1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E
UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está
definido pelo eixo x e o ponto P.
É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto
xz
φ
ρ
b
fα
P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A
recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta frontohorizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma
recta frontal.
fα
i2
b2
i
α
I
P2
a2
I2
P
a
A1 ≡ A 2
x ≡fρ ≡ hρ
A
x ≡ fρ ≡ hρ H
(hφ) ≡ a1 ≡ b1
hα
H2
H1
P1
I1
xy
A intersecção das rectas a e b vão definir
o ponto I, que juntamente com o outro
ponto comum aos dois planos ρ e α,
permitem a definição da recta de
intersecção i.
hα
i1
Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o ponto P (-2; 2; 5). Um plano
oblíquo α corta o eixo x num ponto T com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do
plano α faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. O traço frontal do plano α faz
um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de
intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
È necessário utilizar um plano
auxiliar horizontal ν passando pelo
ponto P, para determinar as rectas
de intersecção entre os planos. A
recta de intersecção entre o plano
ν e o plano ρ é uma recta frontal. A
recta de intersecção entre o plano
ν e o plano α é uma recta frontohorizontal.
(fν) ≡ a2 ≡ b2
x ≡ fρ ≡ hρ
A intersecção das rectas a e b
vão definir o ponto I, que
juntamente com o outro ponto
comum aos dois planos ρ e α,
permitem a definição da recta
de intersecção i.
fα
y≡ z
P2
F2
T1 ≡ T 2
i2
I2
F1
I1
b1
P1
i1
hα
a1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E
UM PLANO DE RAMPA
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o
ponto P.
É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto
P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A
recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta
fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o
ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i.
xz
fα
F
fσ
σ
fσ
fα
F2
α
a2
b2
b
P2
i2
i
I
a
P
ρ
x ≡ fρ ≡ hρ
x≡ fρ ≡ hρ
hσ
i1
H
hα
xy
hσ
F1
I2
H2
I1
H1
P1
hα ≡ a1 ≡ b1
Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o ponto P (-2; 2; 5). Um plano
de rampa σ tem o traço horizontal com 3 cm de afastamento, e o traço frontal
com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção entre os dois planos.
É necessário utilizar um plano
auxiliar de topo α passando pelo
ponto P, para determinar as rectas
de intersecção entre os planos. A
recta de intersecção i entre o
plano ρ e o plano σ é uma recta
fronto-horizontal, A intersecção
das rectas a e b vão definir o
ponto I, que permite a definição da
recta de intersecção i.
y≡ z
fα ≡ a2 ≡ b2
P2
F2
fσ
i2
I2
H2
x ≡ fρ ≡ hρ
F1
i1
I1
H1
hσ
hα
a1
P1
b1
INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO
DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção
entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O
plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto
P.
i2
É necessário utilizar um plano
auxiliar horizontal ν e determinar
as rectas de intersecção entre os
planos.
A intersecção das rectas m e n
vão definir o ponto I. A recta m é
a recta de intersecção entre o
plano ν e o plano α. A recta n é a
recta de intersecção entre o plano
ν e o plano δ.
Para a definição da recta de
intersecção i, será necessário um
outro ponto I’, obtido utilizando
outro plano auxiliar horizontal ν1 e
outras rectas de intersecção de
planos. A recta m’ é a recta de
intersecção entre o plano ν1 e o
plano α. A recta n’ é a recta de
intersecção entre o plano ν1 e o
plano δ.
a2
b2
B2
(fν) ≡ m2 ≡ n2
I2
r2
s2
R2
A2
S2
P2
(fν1) ≡ m’2 ≡ n’2
A’2
I’2
R’2
x
A’1
I’1
A1
I1
m’1
b1
B1
R’1
P1
R1
i1
r1
m1
n’1
a1
n1
S1
s1
Um plano α está definido pelos seus traços simétricos em relação ao eixo x e concorrentes
com o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa. O traço frontal do plano α faz um ângulo de
45º (a.d.) com o eixo x. Um plano δ está definido por duas rectas horizontais paralelas h e
h’. A recta h contém o ponto A (-2; 3; 3) e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal
de Projecção. A recta h’ contém o ponto B (-4; 3; 1). Determina as projecções da recta de
intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
d2
i2
y≡ z
A intersecção das rectas a e b
vão definir o ponto I. A recta a é
a recta de intersecção entre o
plano φ e o plano α. A recta b é a
recta de intersecção entre o plano
φ e o plano δ.
Para a definição da recta de
intersecção i, será necessário um
outro ponto I’, obtido utilizando
outro plano auxiliar frontal φ1 e
outras rectas de intersecção de
planos. A recta c é a recta de
intersecção entre o plano φ1 e o
plano α. A recta d é a recta de
intersecção entre o plano φ1 e o
plano δ.
I’2
b2 fα
É necessário utilizar um plano
auxiliar frontal φ e determinar as
rectas de intersecção entre os
planos, passando pelos pontos A e
B.
c2
h2
a2
M2
A2
I2
h’2
H2
H’2
x
N2
B2
(hφ1) ≡ c1 ≡ d1
H’1
M1
I’1
A1
H1
(hφ) ≡ a1 ≡ b1
h1
h’1
i1
I1
hα
B1
N1
Um plano θ está definido por duas rectas oblíquas paralelas, r e s. A recta r contém os
pontos A (4; 2; 2) e B (2; 1; 4). A recta s contém o ponto C (3; 4; 1). Um plano γ está
definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto D (-4; 2; 3). A recta h é horizontal
e faz um ângulo de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal e faz
um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da
recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
y≡ z
É necessário utilizar um plano
auxiliar horizontal ν e
determinar as rectas de
intersecção entre os planos.
A intersecção das rectas n e
h vão definir o ponto I. A
recta n é a recta de
intersecção entre o plano υ e
o plano θ. A recta h é a recta
de intersecção entre o plano
ν e o plano γ.
Para a definição da recta de
intersecção i, será
necessário um outro ponto I’,
obtido utilizando outro plano
auxiliar horizontal ν1 e outras
rectas de intersecção de
planos. A recta a é a recta de
intersecção entre o plano ν1 e
o plano θ. A recta b é a recta
de intersecção entre o plano
ν1 e o plano γ.
r2
B2
h2 ≡ (fν) ≡ n2
M2
s2
A2
(fν1) ≡ a2 ≡ b2
f2
i2
N2
D2
I2
I’2
C2
E2
x
M1
f1
B1
A1
D1
r1
N1
C1
s1
I1
b1
i1
h1
I’1
a1
n1
E1