GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Ângulos (Diedros) entre Planos
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
O ângulo entre dois planos é o rectilíneo do menor diedro formado entre os
dois planos, utilizando rectas dos planos e perpendiculares a recta de
intersecção entre os planos.
α
r
i
A
θº
s
β
1.º PROCESSO
O 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica:
1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e β;
2 – Conduzir um plano auxiliar δ ortogonal às arestas do diedro;
3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, as rectas r e s;
4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos.
α
δ
r
i
A
θº
s
β
O 1.º processo
é para ser
utilizado
quando o plano
auxiliar
ortogonal às
arestas do
diedro for um
plano
projectante e
tenha
determinação
imediata. Nos
outros casos,
será utilizado
o 2.º processo.
2.º PROCESSO
O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas
p e p’;
2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos.
α
p
δ
r
B
180º - θº
i
A
P
θº
s
θº
C
p’
β
Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical α e um plano
frontal φ.
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
fα
i2
1 - Identificar a recta de intersecção i
entre os dois planos α e φ, que será uma
recta vertical a passar pelo cruzamento
de hα e hφ;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o Plano
Horizontal de Projecção;
3 – Determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os
dois planos dados, que seram os traços
horizontais dos dois planos, ou seja hα e
h φ;
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, hα e hφ, será o ângulo entre
os dois planos α e φ.
x
(hφ)
(i1)
θº
hα
Um plano de topo θ intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e
contém o ponto A (-2; -1; 4). Um plano horizontal ν tem 2 cm de cota.
Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e ν.
y ≡ z ≡ i1
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
A2
1 - Identificar a recta de intersecção
i entre os dois planos θ e ν, que será
uma recta de topo a passar pelo
cruzamento de fθ e fν;
2 – Conduzir um plano auxiliar
ortogonal às arestas do diedro, que
será o Plano Frontal de Projecção;
3 – Determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os
dois planos dados, que seram os
traços frontais dos dois planos, ou
seja fθ e fν;
fθ
αº
(fν)
(i2)
A1
x
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, fθ e fν, será o ângulo
entre os dois planos θ e ν.
hθ
Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano
Horizontal de Projecção.
fγ ≡ e2 ≡ fγr
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
d2
F2 ≡ Fr
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será hα;
dr
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano
vertical γ;
3 – Determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os
dois planos dados, que seram os traços
horizontais dos dois planos, ou seja as
rectas d e hγ ;
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, d e hγ , será o ângulo entre
os dois planos, obtido via o rebatimento
do plano γ para o Plano Frontal de
Projecção para determinar a sua V.G..
fα
θº
H2
F1 ≡ (e1)
x≡
hγr
H1
hγ ≡ d 1
hα
Hr
Um plano oblíquo ψ é ortogonal ao β1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de
40º (a.d.) com o eixo x. Um plano frontal φ tem 4 cm de afastamento.
Determina a V.G. do ângulo entre os planos ψ e φ.
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois planos:
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será fψ, com o
Plano Frontal de Projecção a substituir o
plano φ;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano de
topo δ;
3 – Ao invés de determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os dois
planos dados, optou-se pela obtenção de
uma recta de maior inclinação (a recta i)
do plano ψ, pois o ângulo que um plano
oblíquo faz com o Plano Frontal de
Projecção é igual ao ângulo que qualquer
das suas rectas de maior inclinação faz
com o Plano Frontal de Projecção;
4 – O ângulo entre a recta i e fδ, será o
ângulo entre os dois planos, obtido via o
rebatimento do plano δ para o Plano
Frontal de Projecção para determinar a
sua V.G..
fψ
fδ ≡ i2 ≡ e2 ≡ i2r ≡ Fr
F2 ≡ Fr
Hr
ir
αº
x ≡ e1
F1
H2
H1
(hφ)
hδ
i1
hψ
Ângulo entre um Plano de Rampa e um Plano Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano de rampa ρ e um
plano frontal φ.
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois planos:
fπ ≡ hπ≡ p1 ≡ p2 ≡ e2 ≡ fπr
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será uma recta
fronto-horizontal, embora não seja
necessário a sua determinação neste caso;
fρ
F2 ≡ Fr
θº
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às
arestas do diedro, que será o plano de
perfil π;
3 – Determinar as rectas de intersecção
do plano auxiliar com os dois planos dados,
que seram as rectas p (recta de
intersecção do plano π com o plano ρ) e v
(recta de intersecção do plano π com o
plano φ);
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, p e v , será o ângulo entre os
dois planos, obtido pelo ângulo entre a
recta p e o Plano Frontal de Projecção, via
o rebatimento do plano π para o Plano
Frontal de Projecção para determinar a
sua V.G..
pr
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
x ≡ hπr
(hφ)
hρ
H1
Hr
Um plano de rampa ρ com um traço horizontal de 2 cm de afastamento e um
traço frontal de 5 cm de cota. Um plano horizontal ν tem 3 cm de cota.
Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e ν.
fπ ≡ hπ≡ p1 ≡ p2 ≡ e2 ≡ fπr
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
fρ
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será uma
recta fronto-horizontal, embora não
seja necessário a sua determinação
neste caso;
(fν)
pr
2 – Conduzir um plano auxiliar
ortogonal às arestas do diedro, que
será o plano de perfil π;
3 – Determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os
dois planos dados, que seram as rectas
p (recta de intersecção do plano π com
o plano ρ) e v (recta de intersecção do
plano π com o plano ν);
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, p e v , será o ângulo entre
os dois planos, obtido pelo ângulo entre
a recta p e o Plano Frontal de
Projecção, via o rebatimento do plano
π para o Plano Frontal de Projecção
para determinar a sua V.G..
F2 ≡ Fr
αº
Hr
x ≡ hπr
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
hρ
H1
Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Oblíquo
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical γ e um plano
oblíquo α.
fα
fγ
P2
p’2 ≡(fν) ≡ e2
Como a recta de intersecção será uma
recta oblíqua, qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não projectante,
o que implica a utilização do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação do
ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois
planos, duas rectas ortogonais aos dois
planos, as rectas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é
o ângulo entre os dois planos, via o
rebatimento para um plano horizontal
auxiliar ν.
p2
A2
x
Ar1
A1
P1 ≡ Pr
θº
hα
hγ
p’1 ≡ e1 ≡ p’r
p1
Ar
pr
Um plano de topo θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um
ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano oblíquo α
corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um
ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º
(a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e α.
fα
Como a recta de intersecção será uma
recta oblíqua, qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a utilização
do 2.º processo.
p2
p’2 ≡ e ≡ p’
2
r
P2≡ Pr
pr
O 2.º processo para a determinação
do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos
dois planos, duas rectas ortogonais aos
dois planos, as rectas p e p’;
βº
Ar1
y≡ z
A2
x
A1
2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’
é o ângulo entre os dois planos, via o
rebatimento para um plano frontal
auxiliar φ.
hα
p’1 ≡ (hφ) ≡ e1
hθ
P1
p1
Ar
fθ
Ângulo entre dois Planos Oblíquos
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano
oblíquo δ.
p2
Como a recta de intersecção será
uma recta oblíqua, qualquer plano
auxiliar ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a
utilização do 2.º processo.
fδ
P2
O 2.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior
aos dois planos, duas rectas
ortogonais aos dois planos, as
rectas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas rectas p
e p’ é o ângulo entre os dois planos,
via o rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
p’2
fα
(fν) ≡ e2
A2
B2
x
B1 ≡ Br
Pr
hδ
pr
p1
hα
θº
P1
p’r
A1 ≡ Ar
Pr1
p’1
e1
Um plano oblíquo α é ortogonal ao β1,3 e corta o eixo x num ponto com 0 cm de abcissa,
sendo que o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano
oblíquo δ tem o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, o seu
traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x, sendo ambos os traços
concorrentes num ponto com 0 cm de abcissa.Determina a V.G. do ângulo entre os
planos α e δ.
y≡ z
p’2
Como a recta de intersecção
será uma recta oblíqua,
qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a
utilização do 2.º processo.
O 2.º processo para a
determinação do ângulo entre
dois planos implica:
fδ
P2
(fν) ≡ e2
A2
B2
x
1 – Conduzir por ponto P
exterior aos dois planos, duas
rectas ortogonais aos dois
planos, as rectas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas
rectas p e p’ é o ângulo entre
os dois planos, via o
rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
fα
p2
B1 ≡ Br A1 ≡ Ar
Pr1
P1
p1
e1
hδ
Pr
βº
pr
p’1
p’r
hα
Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano de Rampa
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano
de rampa ρ.
Como a recta de intersecção será
uma recta oblíqua, qualquer plano
auxiliar ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a
utilização do 2.º processo.
O 2.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior
aos dois planos, duas rectas
ortogonais aos dois planos, as
rectas p e p’, rebatida com uso de
um plano auxiliar π e a recta de
intersecção i entre o plano π e o
plano ρ;
2 – O ângulo entre as duas rectas p
e p’ é o ângulo entre os dois planos,
via o rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
p2
fα
p’1 ≡ p’2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ e1 ≡ hπr
fρ
F2
(fν) ≡ e’2
B2
A2
P2
ir
H2≡ F1 ≡ (e2)
x ≡ fπr
hρ
H1 ≡ Hr
B1≡ Br P1
Pr2
Pr1
hα
Fr
Pr
A1≡ Ar1
Ar
e’1
θº
pr
p’r1
p’r
p1
Um plano vertical γ faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de
Projecção. Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de
afastamento e um traço frontal com 5 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo
entre os planos γ e ρ.
p’1 ≡ p’2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2≡ e2≡ fπr
fγ
Como a recta de intersecção será
uma recta oblíqua, qualquer plano
auxiliar ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a
utilização do 2.º processo.
fρ
A2
p2 ≡ (fν) ≡ e’2
P2
2 – O ângulo entre as duas rectas p
e p’ é o ângulo entre os dois planos,
via o rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
Ar
Pr
O 2.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior
aos dois planos, duas rectas
ortogonais aos dois planos, as
rectas p e p’, rebatida com uso de
um plano auxiliar π e a recta de
intersecção i entre o plano π e o
plano ρ;
p’r
F 2 ≡ Fr
ir
x≡ hπr
hρ
Ar2
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
αº
P1 ≡ Pr1
Ar1
p1 ≡ e’1 ≡ pr
hγ
H1
A1
Hr
p’r1
Ângulo entre dois Planos de Rampa
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre dois planos de rampa ρ e σ.
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será uma
recta fronto-horizontal, embora não
seja necessário a sua determinação
neste caso;
fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e2 ≡ fπr
fρ
fσ
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano
de perfil π;
3 – Determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os
dois planos dados, que seram as rectas i
(recta de intersecção do plano π com o
plano ρ) e i’ (recta de intersecção do
plano π com o plano σ);
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, i e i’ , será o ângulo entre
os dois planos, obtido via o rebatimento
do plano π para o Plano Frontal de
Projecção para determinar a sua V.G..
F 2 ≡ Fr
F’2 ≡ F’r
θº
Hr
H’r
H2 ≡ F1 ≡ H’2 ≡ F’1 ≡ (e1)
x ≡ hπr
i’r
hρ
H1
hσ
H’1
ir
Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é
ortogonal ao β1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P
(2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ.
x’
P2
A solução passaria pelo 1.º
processo, embora neste caso, o
processo mais simples é via o
processo de mudança do diedro
de projecção, transformando os
dois planos em planos
projectantes, planos de topo.
fρ
A2
f4σ
x ≡ fσ ≡ hσ
A1
P1
f4ρ
O ângulo entre f4σ e f4ρ é o
ângulo entre os dois planos.
P4
O ponto C de fρ é utilizado para
determinar o traço do plano ρ no
plano 4.
2
1
αº
A é um ponto de fρ utilizado para
definir f4ρ.
A4
O ponto P no novo diedro define
a recta f4σ.
hρ
4
1
Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é
ortogonal ao β1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P
(2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ.
fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e2 ≡ fπr
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será uma recta
fronto-horizontal, embora não seja
necessário a sua determinação neste
caso;
ir
Pr
P2
i’r
αº
fρ
F 2 ≡ Fr
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano de
perfil π;
3 – Determinar as rectas de intersecção
do plano auxiliar com os dois planos
dados, que seram as rectas i (recta de
intersecção do plano π com o plano ρ) e i’
(recta de intersecção do plano π com o
plano σ);
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, i e i’ , será o ângulo entre
os dois planos, obtido via o rebatimento
do plano π para o Plano Frontal de
Projecção para determinar a sua V.G..
Hr
H2 ≡ F1 ≡ H’1≡ H’2 ≡ F’1 ≡ F’2 ≡ (e1) ≡ F’r
x ≡ fσ ≡ hσ≡ hπr
P1
hρ
H1