4ª aula
Sumário:
Derivada de um vector de grandeza constante. Partícula em trajectória circular e
velocidade angular. Aceleração tangencial e centrípeta. Movimento circular uniforme.
Movimento não circular.
Depois do estudo do movimento uniformemente variado na aula anterior, nesta
aula vamos estudar movimentos de partículas em trajectórias circulares. Antes da
análise física da situação, começaremos por apresentar uma nota matemática sobre
derivadas de vectores de norma unitária mas cuja direcção e sentido podem variar ao
longo do tempo.
Derivada de um vector de grandeza constante
Designemos por ê um vector unitário (vector de norma igual a um ou versor)
cuja direcção varia com o tempo, embora mantenha constante a sua grandeza. Este
versor depende, pois, do tempo: ê = ê(t ) . No instante t este versor aponta numa direcção
e num instante posterior t + ∆t o vector aponta numa outra direcção (Fig. 4.1). Na
mesma figura, representa-se um outro versor, f̂ , que é perpendicular a ê ( f̂ é o versor
que se obtém de ê por uma rotação de 90º no sentido anti-horário).
ê(t + ∆t)
E
f̂
∆θ
α
ê(t)
Figura 4.1
No intervalo de tempo ∆t , o vector ê “varre” o ângulo ∆θ . A diferença entre os dois
vectores unitários é vector E :
ê (t + ∆t ) − ê (t ) = E
(4.1)
Consideremos agora que o ângulo ∆θ se torna arbitrariamente pequeno (infinitesimal).
Nesse caso, ê (t + ∆t ) tende para ê (t ) e E tende para um vector infinitesimal ε .
1
ê(t +dt)
O
ε
ê(t)
dθ
Figura 4.2
Por seu lado, o ângulo α tende para o ângulo recto. O comprimento do vector ε é o
comprimento de uma corda inscrita numa circunferência com centro na origem comum
dos vectores, O, e raio igual a 1. Ora, no limite que estamos a considerar, o
comprimento dessa corda é praticamente o comprimento do arco de circunferência o
qual vale dθ ê = dθ . Atendendo à orientação de ε e à orientação do vector unitário f̂
introduzido na Fig. 4.1, podemos escrever para a diferença dos dois vectores unitários
infinitesimalmente próximos,
ê (t + dt ) − ê (t ) = ε = dθ f̂ .
(4.2)
Dividindo ambos os membros por dt obtemos
ê (t + dt ) − ê (t ) dθ
=
f̂ .
dt
dt
(4.3)
Reconhece-se que o primeiro membro desta equação é uma razão incremental no limite
de intervalo de tempo infinitesimal ou, por outras palavras, é a derivada do vector
unitário ê em ordem ao tempo:
dê dθ
=
f̂ .
(4.4)
dt
dt
Seguindo raciocínios idênticos encontra-se a seguinte expressão para a derivada do
versor f̂ (ver Fig. 4.3 e notar a presença do sinal negativo na expressão seguinte):
df̂
dθ
=−
ê
dt
dt
(4.5)
ε'
f̂ (t)
f̂ (t +dt)
dθ
ê
Figura 4.3
2
Partícula em trajectória circular e velocidade angular
O movimento circular aparece em muitas situações: uma pessoa num carrossel, a
Lua à volta da Terra, electrões num acelerador, etc. Vamos estudar o movimento de
uma partícula cuja trajectória seja circular, embora não necessariamente com velocidade
de módulo constante. Particularizaremos depois para esta situação (movimento circular
uniforme). A Fig. 4.4 mostra a trajectória da partícula, representando-se o vector
posicional r com origem no centro da circunferência, o ângulo θ entre esse vector e o
eixo dos xx, e dois vectores unitários: ê r que aponta na direcção radial e êθ que é
tangencial à trajectória (e aponta no sentido dos arcos crescentes).
y
êθ
r
êr
θ
x
Figura 4.4
Utilizando os novos versores, as expressões (4.4) e (4.5) passam a escrever-se,
respectivamente,
dê r
dθ
=
êθ
dt
dt
e
dêθ
dθ
=−
ê r .
dt
dt
(4.6)
O vector posicional pode exprimir-se como produto da sua grandeza – o escalar r –
pelo vector unitário na direcção radial:
r = r ê r .
(4.7)
Como sabemos, o vector velocidade é a derivada do vector posição em ordem ao tempo.
Derivando (4.7) como um produto (é o produto de um escalar por um vector) obtém-se
v=
dê
dr
ê r + r r .
dt
dt
(4.8)
3
Mas a derivada de r em ordem ao tempo é nula, dr/dt = 0, porque o movimento é
circular: o raio r é constante e, portanto, não varia com o tempo. Quanto ao segundo
termo do lado direito de (4.8), pode ser reescrito usando a primeira das expressões (4.6):
v=r
dθ
êθ .
dt
(4.9)
Esta expressão mostra, tal como era esperado, que a velocidade tem a direcção de êθ ,
ou seja, é um vector tangente à trajectória. Por outro lado, o valor da velocidade (ou
velocidade linear) é
dθ
v=r
= rω
(4.10)
dt
onde se introduziu a grandeza
ω=
dθ
dt
(4.11)
que é chamada velocidade angular e se exprime, no SI, em radianos por segundo, cujo
símbolo é rad s–1.
Aceleração tangencial e centrípeta
A expressão da velocidade (4.9) pode pois reescrever-se na forma
v = v êθ
e a aceleração da partícula obtém-se derivando esta expressão:
dê
dv
êθ + v θ
dt
dt
dv
dθ
êθ − v
=
ê r ,
dt
dt
(4.12)
a =
(4.13)
tendo-se utilizado a segunda das equações (4.6). A expressão (4.13) mostra que a
aceleração é a sobreposição de dois termos. O primeiro tem a direcção tangencial e é
proporcional à variação temporal da velocidade linear. Se o módulo da velocidade
aumentar ou diminuir este termo será diferente de zero, mas será nulo se o módulo da
velocidade se mantiver constante. O primeiro termo em (4.13) é designado por
aceleração tangencial e representa-se por at:
dv
at =
(4.14)
dt
Usando (4.10) e (4.11) podemos exprimir a aceleração tangencial em função da
derivada temporal da frequência angular, ω (lembrar que r é uma constante no
movimento circular):
at =
d( rω )
dω
=r
= rα ,
dt
dt
(4.15)
4
onde α designa a aceleração angular
α=
dω d 2θ
= 2 .
dt
dt
(4.16)
O segundo termo de (4.13) é a chamada aceleração centrípeta pois é um vector que
aponta para o centro da circunferência, escrevendo-se
ac = v
dθ
.
dt
(4.17)
Se usarmos (4.10) e (4.11), a aceleração centrípeta pode ainda exprimir-se nos seguintes
termos:
v2
ac =
= rω 2
(4.18)
r
Movimento circular uniforme
O movimento de uma partícula sobre uma trajectória circular com velocidade de
módulo constante designa-se por movimento circular uniforme. Claro que se a
velocidade linear é constante, também a velocidade angular o é.
Nesse movimento só há aceleração centrípeta já que o primeiro termo em (4.13)
se anula (dv/dt=0). De acordo com a Lei fundamental da Dinâmica a força responsável
pelo movimento circular uniforme é Fc = m a c ou, usando (4.17),
Fc = m
v2
= mrω 2 .
r
(4.19)
Esta força centrípeta mantém constante a sua grandeza, já que tanto r como ω são
constantes no movimento circular uniforme.
O tempo que demora a descrever uma volta completa designa-se por período e
representa-se por T. Esta quantidade relaciona-se com a frequência angular através de
2π
T=
.
(4.20)
ω
O inverso do período é a frequência, f, que é o número de ciclos que a partícula
descreve num segundo:
1
ω
f = =
.
(4.21)
T 2π
A unidade de frequência no SI é o hertz, cujo símbolo é Hz (Hz é o mesmo que s–1).
Movimento não circular
No caso de a partícula descrever uma qualquer trajectória, e designando por s a
posição da partícula sobre essa trajectória (relativamente a uma origem O), a velocidade
escreve-se
5
v = v t̂ =
ds
t̂ ,
dt
(4.22)
onde t̂ é o versor tangente à trajectória no sentido crescente de s (ver Fig. 4.5).
C
t̂
n̂
v
O
A
ac
B
at
Figura 4.5
Na Fig. 4.5 representa-se a trajectória da partícula, sendo o ponto O tomado para
origem. A velocidade representa-se em A e em C indicam-se os dois versores.
Habitualmente, o versor n̂ , que é perpendicular à trajectória, aponta para “dentro” da
curva. Assim, em B, esse versor tem a direcção e sentido da aceleração centrípeta. A
aceleração encontra-se por derivação da expressão da velocidade (4.22) obtendo-se uma
expressão semelhante a (4.13):
v2
dv
t̂ + n̂
(4.23)
dt
ρ
(o primeiro termo é a aceleração tangencial e o segundo a aceleração centrípeta), onde
ρ designa o raio de curvatura da trajectória no ponto onde a partícula se encontra.
a=
6