CINEMÁTICA
1 – INTRODUÇÃO E CONCEITOS INICIAIS
1.1 – Mecânica
É a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos.
1.2 -Cinemática
É a parte da mecânica que descreve os movimentos, sem se preocupar com suas causas.
1.3 - Ponto Material ou Partícula
Quando estudamos o movimento de um corpo, suas dimensões podem ser relevantes ou não.
Definimos ponto material ou partícula como o corpo cujas dimensões são desprezíveis em comparação
com as distâncias envolvidas no movimento estudado.
1.4 - Posição e Sistema de Referência
Para determinamos a posição de uma partícula precisamos de um sistema de referência.
Se a partícula está sempre sobre uma reta, sua posição é definida pela coordenada x no sistema de
referência constituído por uma reta graduada e orientada, contendo uma origem (ou ponto zero) e uma
escala, com a respectiva unidade.
Se a partícula está sempre sobre um plano, a sua posição pode ser definida pelo par de coordenadas
( x , y ) no sistema de referência constituído pelo plano cartesiano xy .
Se a partícula pode estar em algum lugar do espaço, sua posição pode ser definida pelo terno de
coordenadas ( x , y , z ) no sistema de referência constituído pelo sistema cartesiano ortogonal xyz .
1.5 - Repouso e Movimento
Repouso e movimento são conceitos que dependem do referencial adotado.
Uma partícula está em repouso, em relação a um referencial, quando a sua posição permanece constante
no decorrer do tempo.
Uma partícula está em movimento, em relação a um referencial, quando a sua posição varia no decorrer
do tempo.
1.6 - Trajetória
Trajetória de uma partícula é o lugar geométrico das posições ocupadas pela partícula no decorrer do
tempo, isto é, é a linha sobre a qual a partícula se move.
Exemplos de trajetórias: retilínea, parabólica, circular, elíptica, etc.
1.7 - Equação do Movimento
O movimento de uma partícula fica completamente determinado se conhecermos a posição da
partícula em cada instante de tempo. O modo como a posição varia com o tempo pode ser expresso por
uma função matemática x( t ) , relacionando a posição com o tempo, denominada equação do movimento
ou equação horária do movimento.
Marta Maria Cassiano
1
CINEMÁTICA
1.8 -Deslocamento, Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Consideremos uma partícula em movimento ao longo de uma reta. No instante ti a posição da
partícula é xi e no instante t f a posição é x f .
O deslocamento da partícula é definido como a variação da posição
∆x = x f − x i
A velocidade média da partícula entre os instantes ti e t f é definida como a razão entre o
deslocamento
∆x da partícula e o intervalo de tempo ∆t
∆x x f − xi
v=
=
∆t t f − ti
A velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) em um determinado instante de tempo é o
valor ao qual tende a velocidade média quando calculada em um intervalo de tempo infinitamente
pequeno, ∆t tendendo a zero.
∆x
∆t → 0 ∆t
v = lim v = lim
∆t → 0
Unidade de velocidade no S.I. (Sistema Internacional de Unidades): m/s
1.9 -Aceleração Média e Aceleração Instantânea
Consideremos uma partícula em movimento ao longo de uma reta. No instante ti a velocidade da
partícula é vi e no instante t f a velocidade é v f .
A aceleração média a da partícula entre os instantes ti e t f é definida como a razão entre a
variação da velocidade
∆v
da partícula e o intervalo de tempo
a=
∆t
∆v v f − vi
=
∆t t f − ti
A aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) em um determinado instante de tempo é o
valor ao qual tende a aceleração média quando calculada em um intervalo de tempo infinitamente
pequeno, ∆t tendendo a zero.
∆v
∆t → 0 ∆t
a = lim a = lim
∆t → 0
Unidade de aceleração no S.I.: m/s2
Marta Maria Cassiano
2
CINEMÁTICA
2 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
Quando uma partícula está em movimento ao longo de uma reta com velocidade constante (e,
portanto, aceleração nula), o movimento é chamado retilíneo uniforme. Neste caso, a equação do
movimento dada por
x − x0 = vt
Gráficos do movimento retilíneo uniforme
A equação do movimento é uma função do primeiro
grau, portanto seu gráfico é uma reta. O coeficiente
angular da reta é igual à velocidade: v = tg β .
A velocidade é constante e não nula, portanto seu gráfico
é uma reta paralela ao eixo dos tempos. A área sob o
gráfico v( t ) entre dois instantes, ti e t f , é igual ao
deslocamento
∆x
da partícula entre esses instante.
A aceleração é constante e nula, portanto seu gráfico é
uma reta, coincidente com o eixo do tempos.
3 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Quando uma partícula está em movimento ao longo de uma reta com aceleração constante não nula,
o movimento é chamado retilíneo uniformemente variado. Neste caso, a equação do movimento é dada
por
1
x − x0 = v0t + at 2
2
e a relação entre velocidade e tempo é
v = v0 + at
Isolando t da equação da velocidade e substituindo na equação do movimento, obtemos a equação
de Torricelli
2
v 2 = v0 + 2a( x − x0 )
Marta Maria Cassiano
3
CINEMÁTICA
3.1 - Gráficos do movimento retilíneo uniformemente variado
A equação do movimento é uma função do segundo
grau, portanto seu gráfico é uma parábola. A
concavidade do gráfico é dada pelo sinal da
aceleração. Se a > 0 a concavidade é para cima e
se a < 0 a concavidade é para baixo. O vértice da
parábola corresponde ao instante em que a
velocidade da partícula é nula e a partícula inverte o
seu sentido de movimento.
A relação entre velocidade e tempo é uma função
do primeiro grau, portanto seu gráfico é uma reta. O
coeficiente angular da reta é igual à aceleração:
a = tg β .
A aceleração é constante e não nula, portanto seu
gráfico é uma reta paralela ao eixo dos tempos. A
área sob o gráfico a( t ) entre dois instantes, ti e
t f , é igual à variação da velocidade ∆v da
3.2 -Queda Livre
partícula entre esses instante.
Se lançássemos vários objetos verticalmente, para cima ou para baixo, e, de alguma maneira,
pudéssemos eliminar os efeitos da resistência do ar, verificaríamos que eles seriam acelerados para baixo
(para o centro da Terra), todos com a mesma aceleração, independentemente de suas massas. Esta
aceleração é chamada aceleração de queda livre ou aceleração da gravidade e é representada pelo símbolo
g . O valor de g apresenta pequenas variações de acordo com a latitude e altitude, mas, em geral, nos
movimentos estudados, podemos considerar g como sendo constante e igual a 9,8 m/s2.
Como o movimento é retilíneo vertical, escolhemos como sistema de referência o eixo y . Se
escolhermos o sentido positivo do eixo orientado para cima, então g apontará para o sentido negativo do
sistema de referência.
Assim, as equações da posição e da velocidade da
partícula em queda livre são dadas por
1
y − y0 = v0t + at 2
2
v = v0 + at
a = −g
Marta Maria Cassiano
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CINEMÁTICA
4 - CINEMÁTICA VETORIAL
Quando uma partícula está em movimento sobre um plano ou no espaço, os elementos descritivos do
movimento (posição, velocidade e aceleração) devem ser estudados considerando seu caráter vetorial. Sua
G
G
posição, a partir da origem, é especificada pelo vetor r , sua velocidade pelo vetor v e sua aceleração
G
pelo vetor a .
Se o movimento da partícula é sobre um plano, esses vetores podem ser expressos em termos de suas
G
G
componentes cartesianas nas direções dos versores i e j , que correspondem às direções dos eixos x e
y , respectivamente.
Vetor Posição
Vetor Velocidade
Vetor Aceleração
G G
G
r = xi + yj
G
G
G
v = vx i + v y j
G
G
G
a = ax i + a y j
G
r = x2 + y2
G
2
2
v = vx + v y
G
2
2
a = ax + a y
,
,
,
G
G
Direção de v e Orientação de a
G
O vetor velocidade de uma partícula é sempre tangente à sua trajetória e o sentido de v é o sentido do
movimento.
Nos movimentos retilíneos o vetor aceleração tem a direção da trajetória e nos movimentos
G
curvilíneos a aponta sempre para o lado côncavo da trajetória.
4.1 - Movimento em um Plano com Aceleração Constante
G
Se a partícula está em movimento sobre um plano com a constante, isto é, módulo e direção
constantes, as equações de posição e velocidade da partícula em função do tempo podem ser expressas na
forma vetorial
G G G
1G
r − r0 = v0t + at 2
2
G G G
v = v0 + at
ou ser escritas em termos de suas componentes
Componente x
Componente y
1
x − x0 = v0 x t + a x t 2
2
v x = v0 x + a x t
1
y − y0 = v0 y t + a y t 2
2
v y = v0 y + a y t
4.2 - Movimento de Projéteis
Um exemplo de movimento no plano com aceleração constante é o movimento de um projétil, isto é,
G
o movimento de uma partícula lançada obliquamente no ar, com uma velocidade v0 formando um ângulo
θ0
com a horizontal.
Marta Maria Cassiano
5
CINEMÁTICA
Admitindo que os efeitos da resistência do ar sobre os seus movimentos possam ser desprezados, a
aceleração da partícula é g , considerada constante, dirigida para baixo. A trajetória descrita pelo projétil
é parabólica e seu movimento pode ser decomposto em componentes horizontal (componente x) e vertical
(componente y). Deste modo, as equações acima podem ser usadas, sendo
ax = 0
ay = −g
v0 x = v0 cos θ 0
v0 y = v0 senθ 0
Supondo x0 = y0 = 0 a expressão da trajetória é dada por
y = ( tgθ 0 )x −
g
x2
2
2v0 cos θ 0
2
4.3 - Componentes da Aceleração
Algumas vezes, quando estudamos movimentos curvilíneos, pode ser interessante escrevermos o vetor
G
aceleração a não em termos de suas componentes cartesianas a x e a y , mas em termos de outras duas
G
G G G
a = at + ac
G
componentes, denominadas aceleração tangencial at e aceleração centrípeta ac
A aceleração tangencial tem a mesma direção do vetor velocidade (tangente à trajetória), podendo ter ou
não o mesmo sentido. A aceleração centrípeta é perpendicular à direção do vetor velocidade e o seu
sentido é sempre orientado para o centro da curvatura da trajetória.
O interesse nessas duas componentes é que elas apresentam um significado físico, não apenas geométrico.
A aceleração tangencial é proveniente da variação do módulo do vetor velocidade e a aceleração
centrípeta é proveniente da variação da direção do vetor velocidade.
O módulo da aceleração centrípeta é dado por
v2
ac =
R
onde R é o raio de curvatura da trajetória.
Marta Maria Cassiano
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CINEMÁTICA
G
G
G
G
Nos movimentos retilíneos, a direção do vetor velocidade não varia com o tempo. Neste caso, ac = 0 e
G G
a = at .
Nos movimentos curvilíneos uniformes o módulo da velocidade é constante. Neste caso, at = 0 e
G G
a = ac .
G
G
G
G
Nos movimentos curvilíneos variados, v varia em módulo e direção. Neste caso, a = at + ac .
4.4 - Movimento Circular
Consideremos uma partícula em movimento descrevendo uma trajetória circular de raio R e centro C .
Seja P a posição da partícula, em relação à origem O , em um instante de tempo t .
Posição Angular
Se s é o comprimento do arco de trajetória OP , a posição
da partícula pode ser dada pelo ângulo θ , denominado
posição angular
θ=
s
R
(radianos)
4.4.1 - Velocidade Angular Média e Velocidade Angular Instantânea
Se no instante ti a posição angular da partícula é
velocidade angular média
deslocamento angular
∆θ
ω
θi
e no instante t f a posição angular é
θf
,a
da partícula entre os instantes ti e t f é definida como a razão entre o
da partícula e o intervalo de tempo
ω=
∆θ θ f − θ i
=
∆t t f − ti
∆t
A velocidade angular instantânea (ou simplesmente velocidade angular) em um determinado instante
de tempo é o valor ao qual tende a velocidade angular média quando calculada em um intervalo de tempo
infinitamente pequeno, ∆t tendendo a zero.
∆θ
∆t →0 ∆t
ω = lim ω = lim
∆t →0
Unidade de velocidade angular: rad/s ou s-1
4.4.2 -Aceleração Angular Média e Aceleração Angular Instantânea
Se no instante ti a velocidade angular da partícula é
aceleração angular média
α
ωi
e no instante t f a velocidade é
ωf
,a
da partícula entre os instantes ti e t f é definida como a razão entre a
variação da velocidade angular
∆ω
da partícula e o intervalo de tempo
α=
∆t
∆ω ω f − ω i
=
∆t
t f − ti
Marta Maria Cassiano
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CINEMÁTICA
A aceleração angular instantânea (ou simplesmente aceleração angular) em um determinado instante
de tempo é o valor ao qual tende a aceleração angular média quando calculada em um intervalo de tempo
infinitamente pequeno, ∆t tendendo a zero.
∆ω
∆t →0 ∆t
α = lim α = lim
∆t →0
Unidade de aceleração angular: rad/s2 ou s-2
4.4.3 - Relação entre grandezas lineares e angulares
Posição
Velocidade
Aceleração
s = Rθ
v = Rω
a = Rα
4.4.4 - Movimento Circular Uniforme (MCU)
O movimento circular uniforme é aquele em que a trajetória descrita pela partícula é circular e o
módulo do vetor velocidade é constante. Como conseqüência, a velocidade angular também é constante.
A posição angular da partícula, em função do tempo, é dada por
θ −θ0 = ω t
G
G
Embora v seja constante, como v é sempre tangente à trajetória, sua direção é variável. Deste modo, a
componente tangencial do vetor aceleração da partícula é nula e a componente centrípeta é dada por
v2
ac =
= Rω2
R
4.4.5 - Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
No movimento circular uniformemente variado o módulo do vetor velocidade é variável.
A posição e velocidade angulares da partícula, em função do tempo, são dadas por
1
2
ω = ω0 + α t
θ − θ 0 = ω 0t + α t 2
Neste caso, como o vetor velocidade varia em módulo e direção, as componentes tangencial e
centrípeta do vetor aceleração da partícula são ambas não nulas.
Marta Maria Cassiano
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