Resolução das atividades complementares
Matemática
M2 — Trigonometria nos Triângulos
p. 23
1 Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado.
a)
b)
5
sen γ =
5
5
2 5
5
1
tg γ 5
2
cos γ =
sen β 5
3
5
cos β 5
4
5
tg β 5
3
4
Resolução:
AB
5
BC
AC
5
cos γ 5
BC
AB
1
5
tg γ 5
AC
2
a) sen γ 5
1
5
5
5
2
2 5
5
5
5
AC
3
5
BC
5
AB
4
5
cos β =
BC
5
AC
3
5
tg β =
AB
4
b) sen β =
5
2 Sabendo que sen 10° 5 0,17; sen 65° 5 0,90 e cos 50° 5 0,64, calcule:
a) cos 25° 0,90
b) cos 80° 0,17
c) sen 40° 0,64
Resolução:
a) cos 25° 5 sen 65° 5 0,90
b) cos 80° 5 sen 10° 5 0,17
c) sen 40° 5 cos 50° 5 0,64
3 (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento d que forma um ângulo α com a
horizontal. Após subir a rampa, esta pessoa estará h metros acima da posição em que se encontrava
inicialmente, como mostra a figura abaixo.
h
a) Que relação existe entre os valores de α, h e d? sen α 5
d
d
h
b) Supondo α 5 30° e h 5 1 m, qual o valor de d? 2 m
α
Resolução:
cateto oposto
h
h
5
⇒ sen α 5
hipotenusa
d
d
1
1
1
b) sen 30° 5
⇒
5
⇒ d 5 2m
d
2
d
a) sen α 5
4 (Fatec-SP) De dois observatórios, localizados nos pontos X e Y da superfície da Terra, é possível
enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45º e 60º, conforme é mostrado na figura a seguir.
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à
superfície da Terra, é:
B
a) 30 2 15 3
b) 30 1 15 3
h
c) 60 2 30 3
d) 45 2 15 3
45
60
X
e) 45 1 15 3
Z
Y
B
Resolução:
1)O triângulo XZB é retângulo e isósceles: XZ 5 h
2)No triângulo BZY, como XY 5 30, tem-se ZY 5 30 2 h
h
h
e tg 60° 5
Æ 3 5
⇒ h 5 30 3 2
30 2 h
30 2 h
h
(
)
3 1 1 5 30 3 ⇒ h 5
30 3
3 11
?
3 21
3 21
h
3h ⇒
60
45
⇒
X
Y
Z
h
30 – h
30
h 5 45 2 15 3
5 (IBMEC-SP) Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra
de 10 metros, a partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como indica a figura.
Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz,
BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA ,
e admitindo A, B, C, D e T coplanares:
a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes;
D
T
raio de luz
C
10 m
1
sombra
b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é . 10 5 2 2 mB
2
Resolução:
a) Do enunciado, temos a figura, cotada em m, em que α e β são as medidas, em graus, dos ângulos
DÂB e CT̂D, respectivamente:
D
(
)
β
BD 2 r
r: medida do raio da circunferência
r
T
r
raio de Luz
C
10 m
α
No triângulo ABD, temos que B̂ = 90° e D̂ = β.
sombra
B
No triângulo CTD, temos que T̂ = 90° e D̂ = β.
Como os triângulos ABD e CTD têm dois ângulos com medidas iguais, eles são semelhantes.
b) No triângulo retângulo ABD, temos:
1
BD
1
tg α 5
Æ
5
Æ BD 5 5 e CD 5 5 2 r.
2
10
2
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABD, temos:
(AD)2 = (BD)2 + (AB)2 ⇒ (AD)2 = 52 + 102 ⇒ AD = 5 5 .
Como os triângulos ABD e CTD são semelhantes, temos:
CT
CD
r
52r
5
Æ
5
Æ r 5 10 ?
AB
AD
10
5 5
(
)
5 22 m
A
A
AB e a corda 
BC, de modo que
6 Em uma circunferência de raio 5 cm, considere o diâmetro 
BC. 5 3 cm
med (AB̂C) 5 30°. Determine 
Resolução:
C
BC
3
Æ cos 30º 5
AB
2
10 3
BC 5 AB ⋅ cos 30° 5
2
cos 30° 5
30°
A
5 cm
O
B
BC 5 5 3 cm
7 (Unic-MT) Uma escada de 5 metros de comprimento está encostada num muro vertical formando
com ele um ângulo de 30°. Um homem, ao subir nessa escada, observa que, devido a problemas de aderência
com o piso horizontal, esta escorrega sem se afastar do muro e pára no ponto em que o ângulo formado
entre ela e o piso horizontal é de 30°. Nessas condições, o deslocamento efetuado pela escada junto ao muro
foi de:
a) 1,85 m
c) 2,50 m
e) 5,00 m
Dados:
b) 0,85 m
sen 30° 5 0,5
cos 30° 5 0,87
d) 4,35 m
Resolução:
sen 60° 5
h
5
5m
h 5 0,87 ? 5 5 4,35 m
y
sen 30° 5
5
30°
x
60°
y
y 5 0,5 ? 5 5 2,5 m
h
60°
30°
x 5 h 2 y 5 4,35 2 2,5 5 1,85 m
1
8 (UERJ) Na figura, observa-se um quadrado ABCD e dois
triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos
mede 2 cm, calcule o lado l do quadrado ABCD. 2 3 2 3 cm
Resolução:
Para o triângulo da figura, temos:
(
C
B
)
3
L
60°
L� 3
A
L2 3
tg 60° 5
3�L
L 2 3
3 2 L
(
L 5
L2 3
32L
3 3 2 L 3 5 L 2
D
L 11 3 5 4 3
32l
3 5
)
3 (1 2 3 )
4
5
L�2
4
12 3
(
)
Daí, L 5 2 3 2 3 cm
3
3 2 12
56 2 2 3
22
9 (Unisinos-RS) Observe o triângulo retângulo ao lado desenhado,
no qual as medidas dos catetos são 4x e x2 + 4. O valor de x é:
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
e) 5
4x
45°
x2 � 4
Resolução:
tg 45° 5
4x
4x
Æ 15 2
Æ x2 1 4 5 4x
x 14
x 14
2
x2 − 4x 1 4 5 0 ⇒ x’ 5 x” 5 2
10 (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B
ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu
erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de
120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto
que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo
ABC, como mostra a figura.
120°
Com base na figura, a distância, em quilômetros, que o avião voou partindo
de A até chegar a B foi:
(Oeste) C
a) 30 3 c) 60 3 b) 40 3 Resolução:
d) 80 3
60
Æ
sen 60° 5
BC
B (Norte)
A
e) 90 3
B
3
60
5
2
BC
BC 5 40 3
cos 60° 5
AC
40 3
Æ
1
AC
5
2
40 3
60°
C
A
AC 5 20 3
BC 1 AC 5 (40 3 1 20 3 ) km 5 60 3 km
11 A ranhura trapezoidal é utilizada na construção
y
de guias para elementos de máquinas. A mais comum
é a ranhura conhecida como rabo de andorinha, indicada
na figura.
Determine os valores de x e y.
x  4,62 cm; y  37,76 cm
8 cm
60°
x
47 cm
Resolução:
8
8
8 3
Æ 3 5
Æ x 5
x
x
3
x  4,62 cm
y 5 47 − 2x ⇒ y 5 47 − 2 ? 4,62
y  37,76 cm
tg 60° 5
8
60°
x
DF
12 (Cefet-PR) Se na figura ao lado AB = 9 cm, o segmento 
E
B
C
mede, em centímetros:
a) 5
c) 8
b) 4
d) 7
F
e) 6
60°
30°
Resolução:
A
D
∆ABE
C
30°
60°
60°
∆AEF
tg 30° 5
E
B
AB
3
9
Æ
5
Æ AE 5 6 3
cos 30° 5
AE
2
AE
9
EF
Æ
AE
3
EF
5
Æ EF 5 6
3
6 3
F
60°
30°
30°
30°
A
∆ADF ~ ∆AEF (caso ALA)
D
DF 5 EF ⇒ DF 5 6 cm
13 (Faap-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior
mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30°. 10 3
m
3
x
Resolução:
x 1 2x 5 30 ⇒ x 5 10 m
tg 30° 5
h
3
h
Æ
5
x
3
10
h
h
x
10 3
∴h 5
m
3
x
30°
2x
14 Num triângulo retângulo, a tangente de um dos ângulos agudos é 1,05 e a soma dos comprimentos
dos catetos é 41 cm. Qual o comprimento da hipotenusa desse triângulo? 29 cm
Resolução:
C
b 1 c 5 41 cm
tg α 5 b 5 1,05 ⇒ b 5 1,05c
c
b
a
1,05c 1 c 5 41 ⇒ c 5 20 cm
a
b 5 1,05 ? 20 ⇒ b 5 21 cm
A
a2 5 202 1 212 5 400 1 441 5 841
a 5 29 cm
c
B
15 (UECE) Na figura, MNPQ é um trapézio isósceles,
Q
P
MN = 20 cm, QP = 10 cm e θ = 60°. Então, a área desse trapézio,
em centímetros quadrados, é:
a) 55 3 c) 75 3
b) 65 3 d) 85 3
θ
M
N
Resolução:
QR
QR
Æ 3 5
Æ QR 5 5 3
MR
5
MN 1 QP
20 1 10
Strapézio =
? QR 5
? 5 3
2
2
Q
tg 60° =
10
60°
60°
5
M
Strapézio = 75 3 cm2
P
R
10
S 5 N
p. 29
16 (Fameca-SP) Dois amigos, André e Bruno, estão num campo aberto empinando pipa. Eles estão,
respectivamente, nas posições A e B. Os fios dessas pipas se enroscam e se rompem, fazendo com que as duas
pipas caiam juntas num ponto C, distante 40 m de André. A distância de Bruno até as pipas é:
a) 10 2 m
C
b) 10 3 m
c) 20 m
d) 20 2 m
e) 20 3 m
45
30
A
B
Resolução:
C
40 m
x
45
30
A
B
2
1
sen 45°
sen 30°
5
Æ 2 5 2 Æ x 5 20 2 m
40
x
40
x
Em questões como a 17, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II.
17 (Ufes) No quadrilátero ABCD da figura ao lado, tem-se:
–
–
–
–
ângulo BÂD é reto;
BD 5 3 cm e CD 5 6 cm;
BD̂C 5 60º;
a tangente de AD̂B é o dobro da tangente de AB̂D.
Utilize as informações acima para analisar as afirmações seguintes:
I – II
0 – 0 – AB 5
6 cm
1 – 1 – O seno de um dos ângulos agudos no triângulo ABD é igual a
2 – 2 – BC 5 3 3 cm
3
.
3
3 – 3 – O perímetro do quadrilátero ABCD é igual a (6 6 1 4 3 ) cm.
4 – 4 – AC 5
33 1 6 cm
Resolução:
00. (verdadeira)
tg (AD̂B) = 2tg (AB̂D) ⇒ tg α 5 2tg β ⇒
Pitágoras: x2 + y2 = 32 
y
x
52?
Æ y 2 5 2x 2 
x
y
Substituindo  em , vem:
x2 1 2x2 5 32 ⇒ 3x2 5 9 ⇒ x2 5 3 ⇒ x = 3
Logo:
y2 = 2x2 ⇒ y2 = 2(β)2
y2 = 6 ⇒ y = 6
 AB = 6 cm
11. (verdadeira)
6
sen α = y ⇒ sen α =
3
3
3
sen β = x ⇒ sen β =
3
3
22. (verdadeira)
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
z2 = DB2 + DC2 2 2 ? DB ? DC ? cos 60°
1
z2 = 32 + 62 − 2 ? 3 ? 6 ?
2
z2 = 27
z = 3 3 cm
33. (falsa)
perímetro 5 AB 1 BC 1 CD + DA
p5 613 3 +61 3
p 5 ( 6 1 4 3 1 6) cm
44. (falsa)
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
AC2 5 AD2 1 DC2 − 2 ? AD ? DC ? cos (60º + α)
AC2 5 ( 3 ) 1 62 − 2 ?
2
3 ? 6 ? [cos 60° ? cos α − sen 60º ? sen α]
1
3
3
6
2
?
AC2 5 3 1 36 − 12 3  ?

2
3
2
3 
 3
2
AC2 5 39 − 12 3 
2
 5 39 − 6 1 6 6
 6
2 
33 1 6 6
AC 5
18 (Fuvest-SP) Na figura abaixo, AD = 2 cm, AB = 3 cm, a medida do ângulo BÂC é 30° e BD = DC,
onde D é ponto do lado AC . A medida do lado BC , em centímetros, é:
a)
3
B
b) 2
c)
5
d)
6
e)
7
A
D
C
Resolução:
B
3
A
x
2
BD 5 DC 5 1 ⇒ AC 5 2 1 1 5 3
β
α
30°
D
C
x2 5 (AB)2 1 (AC)2 − 2 ? AB ? AC ? cos 30°
BD 5
( AB)2 1 ( AD)2 2 2 ? AB ? AD ? cos 30°
BD 5
314 22? 3 ? 2?
x2 5 3 1 9 − 2 ?
3
5 1 51
2
x2 5 3 ⇒ x 5
3 ?3?
3 cm
3
2
19 (Mackenzie-SP) Na figura, um octógono regular e um quadrado estão inscritos na circunferência de
2 . A área da região sombreada é:
raio r =
a) 4
b)
(
)
c) 4( 2 11) 5
2 21 e)
2 111
8
2
d) 8 2
11 2
7
Resolução:
Do enunciado, temos a figura, em que O é o centro da circunferência:
C
B
45°
45°
A
O
0
OA 5 OB 5 OC 5
Sendo
temos:
S: área do triângulo ABC;
S1: área dos triângulos AOB e BOC;
S2: área do triângulo AOC,
S= 2 ?
2
S = 2 ? S1 − S2
( OA ) ? ( OC )
1
? ( OA ) ? ( OB ) ? sen 45° 2
2
2
2
2? 2
S 5 2 ? 2 ?
2
2
2
S= 2 −1
A área pedida é quatro vezes a área do triângulo ABC, ou seja, 4( 2 − 1).
20 (UFPE) O círculo da ilustração abaixo tem raio 6, o ângulo BÔC mede 60°
e os ângulos AÔB e CÔD medem 30°. Qual o inteiro mais próximo da área da região
colorida? (Obs.: use a aproximação π  3,14.) 19
Resolução:
Da figura, obtemos:
O
A
D
B
1
A área do setor OABCD é igual da área do círculo. Logo:
3
1
1
S1 = ? π ? r2 ⇒ S1 = ? π ? 62 ⇒ S1 = 12π
3
3
O
6
30° 60° 30°
6
A
D
B
C
A área do triângulo OAD é igual a:
1
1
3
S2 = ? OA ? OD ? sen 120° ⇒ S2 = ? 6 ? 6 ?
⇒ S2 = 9 3
2
2
2
1
A área do setor OBC é da área do círculo. Logo:
6
1
1
S3 = ? π ? r2 ⇒ S3 = ? π ? 62 ⇒ S3 = 6π
6
6
A área do triângulo OBC (triângulo eqüilátero) é:
62 ? 3
L2 3
S4 =
⇒ S4 =
⇒ S4 = 9 3
4
4
A área S da região colorida é:
S = S1 − S2 − (S3 − S4) ⇒ S = 12π 2 9 3 − (6π − 9 3 )
S = 6π
S = 6 ? 3,14
S = 18,84
C
21 (Unesp-SP) Uma estátua de 2 metros de altura e um poste
Z
de 5 metros de altura estão localizados numa ladeira de inclinação
igual a 45°, como mostra a figura. A distância da base do poste
à base da estátua é 4 metros, e o poste tem uma lâmpada acesa
na extremidade superior.
Y
2m
5m
Adotando 2 = 1,41 e sabendo que tanto o poste quanto
a estátua estão na vertical, calcule:
a) o comprimento aproximado da sombra da estátua projetada
sobre a ladeira; 2,67 m
4m
45
X
b) a área do triângulo XYZ indicado na figura. 11,75 m2
P
Z
Resolução:
Do enunciado, temos a figura ao lado, cotada em m.
a) Os triângulos PYQ e ZYX são semelhantes. Logo:
α
2
QY
PQ
QY
PQ
QY
2
8
5
Æ
5
Æ
5
Æ QY 5
YX
ZX
QY 1 QX
ZX
QY 1 4
5
3
Y
sombra
Q
5
4
Assim, a medida aproximada da sombra é igual a 2,67 m.
45
X
8
b) Do item anterior, sabemos que QY 5 .
3
sombra
45
chão horizontal
Como XY 5 QX 1 QY, temos que XY 5 4 1
20
8
, ou seja, XY 5
.
3
3
A área S pedida, em m2, é tal que:
1
20
2
25 2
1
?
Æ S 5
? ZX ? XY ? sen 45° ⇒ S 5 ? 5 ?
2
3
2
3
2
25 ? 1, 41
Adotando 2 5 1,41, temos que S 5
, ou seja, S 5 11,75 m2
3
S5
p. 30
22 (Unifor-CE) Um triângulo isósceles é tal que um de seus ângulos mede 120° e o lado oposto a esse
ângulo mede 4 3 cm. A área desse triângulo é, em centímetros quadrados:
a)
3
b) 2
c) 2 3 d) 4
e) 4 3
Resolução:
BC
AC
5
Æ
sen 120°
sen 30°
4 3
5
3
2
AC 5 AB
S5
A
120°
AC
Æ AC 5 4 cm
1
2
B
1
1
3
? AB ? AC ? sen 120° ⇒ S 5 ? 4 ? 4 ?
2
2
2
S 5 4 3 cm2
10
30°
30°
4 3 cm
C
23 (UFES) No triângulo ABC da figura ao lado, o cosseno
C
do ângulo obtuso α é igual a:
a)
1
9
3
2
5
d) 2
3
c) 2
1
b) 2 2
e)
5
2
4
3
α
30°
B
A
Resolução:
4
3
5
sen α
sen 30°
4
3
2
5
Æ sen α 5
1
sen α
3
2
cos α 5 1 2
4
5
5 ±
9
3
α > 90° Æ cos α 5 2
5
3
24 (UEBA) Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120°, a medida do lado 
BC é:
a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 8 3
Resolução:
A
4
120°
4
30°
B
30°
C
3
BC
AC
BC
sen 120°
BC
5
Æ
5
Æ
5 2 Æ BC 5 4 3
1
sen 120°
sen 30°
AC
sen 30°
4
2
25 (UnB-DF) Um observador, situado no ponto A, distante 30 m
do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, conforme a figura.
Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício em metros
e divida o resultado por 2 . 15 m
Resolução:
∆ABC
α 1 β 1 γ 5 180° ⇒ 75° 1 60° 1 γ 5 180° ⇒ γ 5 45°
Pela Lei dos Senos, temos:
AB
AC
30
AC
5
Æ
5
sen 45°
sen 60°
sen 45°
sen 60°
sen 60°
AC 5 300 ?
Æ AC Æ 30 ?
sen 45°
3
2
?
D
B
60°
C
AB 5 30 m
A
med (CÂD) 5 30°
med (CÂB) 5 75°
2
2
5 15 6
med (AB̂C) 5 60°
med (DĈA) 5 90°
D
CD
tg 30° 5
AC
3
CD
5
Æ CD 5 15 2
3
15 6
CD
2
5
15 2
2
75°
30°
Dados:
5 15 Æ
CD
2
B
C
5 15 m
b 5 60°
45° 5 γ
30°
a 5 75°
A
11
30 m
D
26 O terreno ABCDE, representado pela figura ao lado, foi vendido
C
a R$ 35,00 o metro quadrado. Qual o seu valor? Use sen 60° = 0,86.
R$ 56 476,00
25 m
38 m
E
Resolução:
SABCDE 5 SABC 1 SAEDF 1 SFDC
∆ABC
(AC)2 5 402 1 382 2 2 ? 40 ? 38 ? cos 60°
30 m
60°
A
D
1
(AC) 5 1 600 1 1 444 2 2 ? 1 520 ? 5 1 524
2
AC 5 39 m
C
2
25 m
F
38 m
E
25 m
FC 5 39 − 25 5 14
FC 5 14 m
SABCDE 5
B
40 m
30 m
60°
A
B
40 m
38 ? 40 ? sen 60°
14 ? 30
1 30 ? 25 1
2
2
SABCDE 5 760 ? 0,86 1 750 1 210 5 1 613,60
preço: 35,00 ? 1 613,60 5 R$ 56 476,00
27 Qual é a área de um triângulo isósceles no qual cada lado congruente mede 10 cm e o ângulo
adjacente à base mede 75°? 25 cm2
A
Resolução:
S5
30°
10 ? 10 ? sen 30°
100 ? 0, 5
5
5 25
2
2
10 cm
S 5 25 cm2
10 cm
75°
75°
B
C
28 (Unisinos-RS) O paralelogramo da figura tem área 20,785 m2.
B
AD é 6 m. Então, o comprimento do lado 
AB
O comprimento do lado 
será, em metros, aproximadamente igual a:
a) 3
c) 5
e) 7
b) 4
d) 6
C
120°
A
Resolução:
D
Dados:
sen 60° 5 sen 120° 5 0,866
cos 60º 5 2cos 120° 5 0,5
1
? 6 ? x ? sen 120° 5 20,785
2
6 ? x ? 0,866 5 20,785 ⇒ 5,196x 5 20,785
S52?
B
C
x
x54m
120°
A
12
6
D
29 (Unicamp-SP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência, tais que AB = 2 km, BC = 1 km e a
medida do ângulo seja de 135°.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
Resolução:
1 km
2 2
cos 135° 5
2
C
10 1 4 2
km
2
2
km2
2
B
2 km
135°
O
R
A
R 5
a) (AC)2 5 4 1 1 − 2 ? 2 ? 1 ? cos 135°
(Lei dos Cossenos)
(AC)2 5 5 1
AC 5
R 5
4? 2
55 12 2
2
R 5
5 1 2 2
AC
5 2R
sen 135°
R 5
AC
5
2 ? sen 135°
b) S ABC
512 2
2?
2
2
5
512 2
AC
5
2 ? sen 135°
512 2
2
2?
2
?
2
5
2
2
512 2
2
10 1 4 2
2
5
10 1 4 2
km
2
2 ? 1 ? sen 135°
2
2
5
5
Æ S ABC 5
km2
2
2
2
512 2
2
5 1 2calcular
2
10 1 4 2 de um terreno irregular dividindo-o em triângulos formados a
30 Podemos
a2área aproximada
R 5
?
5
partir de um mesmo
a figura.
2
2 vértice,
2 como mostra
Dê a área aproximada desse terreno. � 5 203,21 m2
10 1 4 2
R 5
km
Resolução:
2
2 ? 1 ? sen 135°
2
2
b) SSABC
5 50 ? 40 ? sen 60°
5
Æ S ABC 5
km2
1 5
22
2
2
40 m
70 m
75°
60°
50 m
135°
3
S1 5 1000 ?
� 866, 03
2
40 ? 70 ? sen 75°
S2 5
2
S 2 � 1400 ? 0, 9659 5 1352, 26
60 m
70 ? 60 ? sen 135°
2
5 2100 ?
� 1484 , 92
2
2
60 ? 50
S4 5
5 1500
2
St 5 S1 1 S2 1 S3 1 S4 � 5 203,21 m2
S3 5
40 m

50 m
60°
75°
70 m
135°

60 m
13


31 (Fuvest-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD
e θ é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será:
a) 12 sen θ
B
b) 8 sen θ
c) 6 sen θ
A
d) 10 cos θ
E
e) 8 cos θ
θ
C
D
Resolução:
SABCD 5 SEAB 1 SEBC 1 SECD 1 SEDA (I)
1
2
1
SEBC 5
2
1
SECD 5
2
1
SEDA 5
2
SEAB 5
B
? 1 ? 4 ? sen (180° 2 θ) 5 2 sen θ
4
A
1
? 4 ? 3 ? sen θ 5 6 sen θ
2
? 3 ? 2 ? sen (180º 2 θ) 5 3 sen θ
D
? 2 ? 1 ? sen θ 5 sen θ
Substituindo em (I), temos:
SABCD 5 2 sen θ 1 6 sen θ 1 3 sen θ 1 sen θ
SABCD 5 12 sen θ
14
E
�
3
C