LUCIMARA FRAGA ANDRADE DA SILVA
INSTRUMENTOS QUE FACILITAM O ENSINO DE ÁLGEBRA NA SÉTIMA SÉRIE
NO PROJETO EJA (EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS)
Criciúma, 2004.
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LUCIMARA FRAGA ANDRADE DA SILVA
INSTRUMENTOS QUE FACILITAM O ENSINO DE ÁLGEBRA NA SÉTIMA SÉRIE
NO PROJETO EJA (EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS)
Monografia apresentada à Diretoria de PósGraduação da Universidade do Extremo Sul
Catarinense – UNESC, para a obtenção do
título de especialista em Educação
Matemática.
Criciúma, 2004.
3
DEDICATÓRIA
À minha mãe querida e ao meu pai tão amoroso.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, provedor de todas as graças, por me conceder a
conclusão de mais esta etapa.
Agradeço ao meu esposo Facione pelo apoio e pelo companheirismo,
indispensáveis ao meu sucesso.
5
RESUMO
Na pesquisa, envolvemos alunos de sétima série do ensino fundamental
do projeto E.J.A. (Educação de Jovens e Adultos) na Escola Municipal de Ensino
Fundamental Nossa Senhora de Fátima no município de Santo Antônio da Patrulha,
RS. O nosso objetivo é proporcionar aos alunos um ensino de álgebra de maior
qualidade e aos professores, mais uma oportunidade de formação. Procuramos
identificar e analisar os resultados de alguns instrumentos aos quais nos valemos da
geometria, que são usados para facilitar o ensino de álgebra em comparação ao
estudo
de
álgebra
sem
estes
instrumentos,
a
não
ser
quadro
e
giz.
Metodologicamente, fundamentamos a pesquisa na aplicação destes dois modos de
ensino de álgebra de sétima série. Três momentos marcaram a dinâmica da
pesquisa. Um deles diz respeito ao referencial teórico que é sobre: os modos de
ensino, as tendências, o desenvolvimento do pensamento algébrico. O segundo
momento foi marcado pela busca de dados, por meio da aplicação dos dois modos
do ensino de álgebra, o modo de ensino associado com a geometria e o modo de
ensino dissociado com a geometria. Por último, fizemos análise dos resultados
obtidos, verificando o modo de ensino que conseguimos melhores resultados, nos
quais tenha mais significado; e analisamos também a opinião dos alunos sobre o
trabalho realizado. É consensual que se aprende álgebra do modo mais sistemático
e desconexado com a geometria, mas onde associamos o estudo de álgebra com a
geometria, o tornamos com maiôs sentido, significado e de maior abrangência de
apreensão do conteúdo pelos alunos.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................7
1. REFERENCIAL TEÓRICO......................................................................9
1.1. Tendências históricas do ensino de álgebra .......................................9
1.2. Aspectos históricos da álgebra...........................................................10
1.3. Concepções de Álgebra ....................................................................14
1.4. Concepções da educação algébrica .................................................16
1.5. Pensamento Algébrico ......................................................................17
1.6. Funções do ensino de álgebra...........................................................18
1.7 Relação entre álgebra e geometria.....................................................19
1.8. Como ensinar álgebra........................................................................20
1.9. Ensinar álgebra com geometria..........................................................20
1.10. O que é mais importante: álgebra ou geometria?............................23
1.11. Alguns modos de ver e conceber o ensino de matemática no
Brasil...........................................................................................................................23
1.12. Dificuldades e erros dos alunos.......................................................28
1.13. Propostas para o ensino de álgebra................................................30
2. INTEGRANDO ÁLGEBRA E GEOMETRIA...........................................33
CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................42
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INTRODUÇÃO
Ensinar álgebra através da geometria é algo já estudado e socializado,
mas muitos professores têm muita insegurança em ensiná-la utilizando a geometria.
Muitos alunos de sétima série entendem e passam a dominar a álgebra
ensinada de forma tradicional, ao contrário de muitos outros. Estes, últimos, ficam à
margem, frustrados com a matemática. Assim, os professores levam os alunos a
pensar que a álgebra não serve para nada. Claro que isso não é culpa exclusiva dos
professores. Nós, professores, precisamos de uma formação continuada. Pois, eu
acredito, que o ensino de álgebra através da geometria não ocorre porque muitos
professores não dominam a geometria, e assim não conseguem associá-las.
Por isso, pretendo dar a contribuição ao ensinar desenvolvendo este tema
que tenta integrar a geometria no estudo da álgebra. Para muitos educadores é
necessário que se trabalhe o conteúdo de forma global, por isso, a álgebra e a
geometria devem seguir a mesma trajetória.
A maioria dos estudantes decora uma série enorme de regras que, para
eles, não lhes dizem nada, a não ser, um amontoado de números e letras.
Ao contrário da álgebra, a geometria é bem mais aceita. Os alunos têm
mais afinidade com as figuras geométricas, pois eles vivenciam no seu cotidiano.
Então percebi que seria muito mais interessante se esses ramos da matemática
fossem estudados de forma integrada.
No entanto, os livros de matemática do ensino fundamental apresentam
os conteúdos de geometria e álgebra separadamente. Com isso, os alunos da
escola pública, dificilmente aprendem geometria, pois este conteúdo é o último a
aparecer em quase todos os livros didáticos.
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No presente trabalho, pretendo demonstrar que a geometria e a álgebra
estão muito ligadas, não se negando, é claro, que a abordagem específica em cada
um desses ramos, é muito importante.
Trabalhando esses conteúdos juntos, os alunos passam a ver o
conhecimento como um todo, fazendo relações entre os mesmos.
Estou realizando este estudo para me aprofundar neste tema e auxiliar os
demais professores a procurar sanar este problema com seus alunos, dando
maiores oportunidades para que um maior número de alunos dominem e entendam
a álgebra. E o mais importante, que a tornem concreta e usual. Ao contrário de como
a álgebra é tratada: abstrata e sem sentido.
9
1. REFERENCIAL TEÓRICO
1.1. Tendências históricas do ensino de Álgebra
Fiorentini (1996) evidencia três tendências no ensino da álgebra:
1º - Lingüístico-pragmática: o papel do ensino da álgebra é fornecer um
instrumento técnico (superior ao da aritmética) para a resolução de equações ou de
problemas equacionáveis. Enfatiza o domínio prévio da linguagem do cálculo literal
através de muitos exercícios que capacitam os alunos no manejo das expressões
algébricas.
2º - Fundamentalista-estrutural: o ensino da álgebra é fornecer os
fundamentos para a matemática.
3º - Fundamentalista-analógica: procura fazer uma síntese entre as duas
anteriores, pois recupera o valor instrumental da álgebra e preserva a preocupação
fundamentalista só que não através de propriedades estruturais, mas sim do uso de
modelos analógicos geométricos (blocos de madeira ou mesmo figuras geométricas)
ou físicos (como a balança) que visualizem ou justificam as passagens do
transformismo algébrico.
Essa concepção acredita que uma “álgebra geométrica” por tornar visível
certas identidades algébricas, seria didaticamente superior a qualquer forma de
abordagem estritamente lógico-simbólico.
Para
Fiorentini
(1996),
o
pensamento
algébrico
se
desenvolve
gradativamente, antes mesmo da existência de uma linguagem algébrica simbólica,
sobretudo quando a criança:
-
estabelece relações/comparações entre expressões numéricas;
- produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação
problema;
-
transforma ou cria expressões aritméticas em outras mais simples;
10
- desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao
expressar-se matematicamente.
1.2. Aspectos Históricos da Álgebra
O termo “álgebra” vem do árabe “al-jabr” que significa restauração e
refere-se à transposição de termos para o outro lado da equação.
Os egípcios, por volta do século VII, ainda não conheciam as equações.
Os indícios do conhecimento algébrico se referem à regra de três simples.
Atribuíram valores desconhecidos, falsos, na busca da solução do problema, que
mais parecia uma receita sem nenhuma justificativa. Isso não satisfazia os
matemáticos da época.
A
geometria,
que
se
apresenta
hoje
nos
livros
didáticos
e,
conseqüentemente, abordada em situação escolar tem como base geometria.
Euclidiana, criada por volta do século III a.C. por estudiosos da época e publicada
por Euclides através de vários livros denominados de Os Elementos.
O mesmo tipo de sistematização não ocorreu com a álgebra. A álgebra
utilizada nos ensinamentos de Euclides, no centro de ensino e pesquisa de
Alexandria, era muito diferente da que ensinamos e aprendemos hoje nas escolas.
Os gregos da época não utilizavam letras para representar quantidades
desconhecidas, e sim figuras geométricas planas. Para ilustrar, a notação atual, a²,
segundo Baumgart (1992) era representado pelo desenho de um quadrado. A
preocupação, na época, era em obter visualização concreta das notações
algébricas. A maior parte dos problemas da álgebra babilônica foi refeita por
Euclides ficando denominada como álgebra geométrica de Euclides.
A insistência na resolução de certos tipos de problemas, como base nas
limitações da álgebra geométrica de Euclides, impediu que os matemáticos gregos
fizessem uma ligação entre a álgebra geométrica de Euclides e as notações
algébricas utilizadas hoje. Só por volta do século IV d.C. é que começou a surgir os
primeiros símbolos matemáticos, na cidade de Alexandria.
11
Foi no ano 250 que Gregos Diofantinos criaram uma notação algébrica
que se aproxima um pouco da usada na atualidade. Mesmo sendo preferência dos
matemáticos gregos o estudo da Geometria, Diofanto, por volta do século III d.C.,
seguindo os métodos dos antigos babilônicos, deu inicio ao simbolismo moderno.
Foi o primeiro matemático que introduziu um símbolo para a incógnita,
além de fazer algumas abreviações (abreviações e não símbolos), na resolução de
problemas e operações, evitando o estilo da álgebra retórica, em que as expressões
são escritas totalmente em palavras, para a álgebra vêm escritas em palavras e
outras são abreviadas.
Com a destruição do museu de Alexandria, pouco se conhece de suas
produções, o que temos hoje do trabalho de Diofanto, foi os poucos livros
transportados para a Europa, traduzidos e divulgados pelos matemáticos europeus.
Os adeptos da terceira leitura do desenvolvimento da álgebra, a qual fizemos
referência anteriormente, defendem que a álgebra teve início com Diofanto, pois ele,
foi o primeiro a utilizar um símbolo literal para a incógnita e, sobretudo, por ter sido o
primeiro a utilizar uma linguagem mais concisa e específica para expressar o
pensamento algébrico.
Por volta do século XI, os matemáticos hindus, como Bhaskara, por
exemplo, tinham uma certa admiração e preferência pelos números de valores
elevados.Um dos métodos mais utilizados por eles na resolução de problemas foi a
regra de inversão, em vez do uso de um simbolismo ou linguagem corrente. Partiam
da resposta do problema e iam utilizando operações inversas àquelas apresentadas,
sem recorrer a qualquer simbologia. Da mesma forma, resolviam as equações de
segundo grau de uma forma visual, completando quadrados.
A fórmula geral para solução de equação do segundo grau, a qual
conhecemos como fórmula de Bhaskara, não foi deduzida por ele, e sim pelo
matemático hindu, Sridhara no século XI. Segundo Garbi (1997), Bhaskara apenas
eternizou seu nome. Uma das dificuldades enfrentadas pelos matemáticos da época
na fórmula de Bhaskara, foi com as raízes quadradas de números negativos.
A passagem da álgebra sincopada para álgebra simbólica, que são as
equações representadas por símbolos como temos hoje, foi um processo longo,
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inclusive social da época e a destruição de alguns centros de estudos com seus
acervos. Nesse sentido, vale salientar que parte dos livros escritos pelos gregos na
cidade de Alexandria se converteu em prêmio de guerra. Por isso, muitos deles
foram transportados para Bagdá, e traduzido para a língua árabe, por volta do ano
833. Essa transferência, faz com que as pesquisas em matemática voltem a
avançar, desta vez, pelos árabes, seguidores de Maomé.
Tais pesquisas ocorreram no centro de ensino chamado a casa da
sabedoria pelo mais destacado matemático árabe de todos os tempos: Mohamed ibn
Musa al-Khowarizmi. Seu livro de destaque, foi Hisab al-jabr Wa-almuqabalah, que
em português significa Livro sobre as operações restauradoras e redutoras ou em
equilíbrio. Segundo Gueli (1992), é um modelo de livro didático: uma exposição
direta e clara das equações, explicando minuciosamente cada passagem, do início
ao fim. Porém, todos esses avanços ainda não foram suficientes para representar as
equações totalmente em forma de símbolos.
Para Babini (1996), o único progresso importante realizado desde a época
dos babilônicos só aconteceu no século XVI, pelos matemáticos italianos, que foi a
resolução algébrica das equações de terceiro e quarto graus.
François Viète (1540-1603), é reconhecido pelos adeptos a quarta leitura
da história da álgebra, anteriormente anunciada, como fundador da álgebra, embora
ainda utilizasse um estilo sincopado. Ele foi um dos principais responsáveis pelos
passos mais decisivos para a introdução dos símbolos na matemática que, até
então, eram utilizados
apenas para representar quantidades desconhecidas.
Também desenvolveu o calculo com letra para representar valores conhecidos, com
idéias usuais da aritmética e da geometria. Passou a representar a incógnita por
uma vogal, a palavra “mais” por “p” e “menos” por “m”; porém, ainda utilizava
algumas palavras como “área” para quadrado, “cubo” para a terceira potência e a
expressão “é igual a”.
A álgebra de Viète foi aperfeiçoada e consolidada pelo matemático e
filosofo francês René Descartes (1596-1650). Assim como também foi o primeiro a
escrever e estudar as equações através de expressões gerais. Ele criou a notação
para expoentes, usou as primeiras letras do alfabeto a, b, c, ... Para os coeficientes
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da incógnita e os termos independentes e as últimas x, y, z,... Para representar as
incógnitas.
Outros três matemáticos que contribuíram, no século XVIII, para o salto
do desenvolvimento das equações foram Euler, Lagrange e Gaus. Euler vale ser
mencionado, pois por ser considerado o consolidador da simbologia moderna das
quais muitas ainda são utilizadas na atualidade como é o caso do “i”, significando a
unidade imaginária no campo dos complexos, raiz quadrada de –1. Gaus formula e
demonstra o teorema fundamental da álgebra, o qual afirma que toda equação
polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos
uma raiz.
O último grande salto do desenvolvimento da álgebra, segundo Lins e
Gimenes (1997) aconteceu entre 1811 a 1940, por Galois, depois por Abel e,
posteriormente, por Bourbaki que desenvolveram a noção da estrutura algébrica.
Com isso, atinge-se a plena abstração e a álgebra se torna totalmente independente
da aritmética e da geometria.
Baumgart (1992) apresenta o desenvolvimento histórico das notações
algébricas através de alguns exemplos de 1545 a 1693 como apresentamos a
seguir:
MATEMÁTICO
Cardano (1545)
Bombelli (1572)
Viète (1591)
Harriot (1631)
Descartes (1637)
Wallis (1693)
FORMA ANTIGA
FORMA MODERNA
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Percebe-se, pois, que a álgebra, em sua origem, está limitada às
equações, ou ainda a ciência das equações. Com seu desenvolvimento essa
definição foi se tornando limitada, pois surgiram várias outras, intimamente ligadas a
visões e percepções de mundo, de matemática e de educação matemática. Sua
história influencia diretamente na forma como vem acontecendo a educação
algébrica. Portanto, conhecê-la é condição necessária para entendermos a atual
realidade, e dar subsídios para fazer uma profunda reflexão sobre a evolução do
pensamento algébrico como uma forma de entender as dificuldades de
aprendizagem dos alunos.
Muitas vezes, o que o que consideramos erro ou falta de atenção dos
alunos no processo de aprendizagem em situação escolar, é uma dificuldade
histórica, ou seja, tem uma certa aproximação com aquelas que o homem teve no
desenvolvimento de um determinado conceito. Cabe aos professores identificar tais
dificuldades e planejar atividades pedagógicas, com intuito de evitar e superar as
mesmas.
1.3. Concepções de Álgebra
Fiorentini, Miguel e Miorin (1993), e Usiskin (1995) são autores que
tentam explicitar as várias concepções de álgebra, educação algébrica e
pensamento algébrico. Tais concepções têm contribuído para que os professores as
socializem, muitas vezes de forma inconsciente, em sua prática pedagógica. São
elas que determinam o modo dos alunos entender a álgebra e seu interesse ou não
pela mesma.
Fiorentini, Miguel e Miorin (1993) com base em textos de história da
Matemática destacam as seguintes concepções de álgebra:
1)
Processológica:
também
concebida
como
um
estudo
de
procedimentos. A álgebra é um conjunto de fórmulas, com passos padronizados
(sexiste uma forma de resolver) a serem seguidos na resolução de problemas
equacionáveis, ou seja, aqueles que a aritmética por si só, não dá conta. O
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pensamento algébrico existe independentemente de uma forma específica de
linguagem que o expresse.
2) Lingüístico-estilística: possui uma linguagem própria, que foi elaborada
por um grupo de especialistas com propósitos de representar, de forma resumida, o
pensamento algébrico e seus procedimentos aos quais fizemos referência na
concepção anterior. Tal concepção está mais preocupada com a representação
simbólica do que com idéias e significações que caracterizam o pensamento
algébrico.
3) Lingüístico-sintático-semântica: nesta concepção a
álgebra
se
apresenta como na anterior, com uma linguagem particular, precisa e resumida,
onde o poder criativo e instrumental não reside propriamente em sua linguagem
aprimorada, mas sim por se apresentar de forma organizada e significativa. É mais
rigorosa que a linguística-estilística uma vez que, para adquirir o caráter produtivo, o
poder de transformação e de instrumentalização deve atingir o nível mais elevado de
uma linguagem verdadeiramente simbólica, peculiar. O poder está nas letras e nos
símbolos. Sua função pedagógica é ser instrumento de resolução de problemas.
4) Lingüístico-Postulacional: a álgebra é concebida como uma linguagem
simbólica, cujos símbolos são compreendidos em seu nível máximo de abstração e
generalização. Com uma estrutura geral, comum e com domínio sobre todos os
conceitos matemáticos, surge para facilitar a resolução de problemas.
Usiskin (1994) fez um estudo sobre as concepções de álgebra que
permeia o ensino fundamental e observou que elas têm ligações com significados
das letras ou variáveis e das operações com as mesmas. O autor evidencia as
seguintes concepções:
1) Aritmética generalizada: Concebe as variáveis como generalização de
modelos aritméticos, ou seja, como instrumentos para descrever situações
matemáticas com superioridade sobre a língua materna, preservando as
propriedades válidas para a aritmética. As instruções-chave são traduzir e
generalizar.
16
2) Meios de resolver problemas: é a tradução de uma situação problema
da linguagem escrita para uma linguagem algébrica. Neste caso, as variáveis são
incógnitas ou constantes, tendo como instruções-chave a simplificação e a
resolução.
3) Estudo de relação entre grandezas: fundamentalmente algébrica, é
composta por leis e modelos matemáticos operacionais que representam a relação
entre grandezas que variam. É nesta concepção que realmente aparece as noções
de variáveis dependente e independente, como também de domínio e imagem de
uma função.
4) Estudo das estruturas: a álgebra é vista como estudo das estruturas
como monóide, grupo, anel e corpo. Embora essa idéia de estrutura não esteja muito
presente no ensino médio e fundamental, mesmo assim, ela se apresenta
implicitamente nas propriedades que são atribuídas às operações com números
reais e polinômios. A concepção de variável não está vinculada a uma relação ou
função, nem atua como uma incógnita. Ou seja, a variável não é um argumento.
Nesse caso, a ênfase passa a ser os símbolos algébricos, como por exemplo, os
polinômios
e as técnicas abstratas de resolução/manipulação, sem qualquer
resquício numérico, sem um modelo aritmético a ser generalizado.
1.4. Concepções de educação algébrica
Novamente recorremos a Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) que
estudaram as várias formas de ensinar álgebra que se apresentaram ou ainda estão
presentes nas escolas. Destacam três tendências:
1) Lingüístico-pragmática: nessa concepção a álgebra é considera da
instrumento de resolução de problemas e equações. A aprendizagem se dá de
forma mecânica através de uma seqüência de transformações algébricas que,
posteriormente, são aplicadas na resolução de problemas artificiais, sem
contextualização, sem análise com materiais didáticos, ou modelos didáticos. E tem
como base a concepção algébrica lingüístico-sintático-semântica.
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2) Fundamentalista estrutural: teve seu auge simultaneamente ao
Movimento da Matemática Moderna, fundamenta-se na concepção lingüísticapostulacional de álgebra. Decorrente dessa concepção, houve uma reorganização
na abordagem e na seqüência dos conceitos algébricos em situação escolar,
comparada com a concepção Lingüístico-pragmática. Acreditava-se que uma
justificativa lógica para cada passo das resoluções algébricas, facilitaria a
identificação e, conseqüentemente, a aplicação nas diferentes situações de
necessidade. A álgebra passa a ser considerada como fundamentadora da
organização curricular da matemática escolar, tendo como base a teoria dos
conjuntos, os campos numéricos e as propriedades que constituem as estruturas
algébricas.
3) Fundametalista-analógica: concilia as duas concepções anteriores
resgatando o valor instrumental da álgebra, com a justificativa lógica de cada passo
nas resoluções algébricas. Também é considerada como instrumento de resolução
de problemas com base na concepção lingüístico-sintático-semântica. O visual
geométrico é utilizado para facilitar o processo de aprendizagem, assim como o uso
das leis do equilíbrio físico (por exemplo, balança de dois pratos para resolução de
equações), superando assim abordagens estritamente lógico-simbólicas.
1.5. Pensamento Algébrico
Existe
uma
grande
diferença
entre
pensar
algebricamente,
aritmeticamente e geometricamente, cada um desses pensamentos possuem
características
próprias,
mas,
necessariamente,
um
contribui
para
p
desenvolvimento do outro, ou seja, estão interligados.
O pensamento algébrico, considerado por Vygotski, o nível máximo de
abstração e generalização do pensamento matemático, deve ser priorizado na
escolarização.
De acordo com Lins e Gimenes (1997) não existe um consenso referente
ao que seja pensar algebricamente e sim aos conceitos algébricos. Para eles, o
pensamento algébrico é um modo de produzir significado para a álgebra, que não
18
pode ser reduzido apenas a uma noção abstrata e extremamente genérica, incluir
também, as manipulações formais carregadas de significados.
Segundo Firentini, Miorin e Miguel (1993) a possibilidade de manifestação
do pensamento algébrico não ocorre só no sistema conceitual matemático, mas nas
diversas áreas do conhecimento, que pode se manifestar através da linguagem
natural, da aritmética, da geometria e da linguagem das notações algébricas.
A diferença entre o pensamento aritmético e o algébrico, para Fiorentini
(2001), é que o pensamento algébrico é genérico e a expressão dentro de uma
linguagem mais generalizada, tendo como um dos conceitos fundamentais a
igualdade e não o x ou o y, tão usual no senso comum educacional: as letras são
apenas álgebra simbólica. Já o pensamento aritmético se reduz a uma resposta
final, ele tende reduzir a um valor único, a um resultado físico. É característico do
pensamento aritmético a frase “o resultado é”. Ela não tem um sentido algébrico e se
torna um obstáculo para o ensino da álgebra.
1.6. Funções do ensino de álgebra
Para Fiorentini (1996), as funções do ensino da álgebra são:
- Álgebra como aritmética generalizadora: as instruções chaves para o
aluno, são traduzir e generalizar. Trata-se de técnicas importantes, não só para a
álgebra, mas também para a aritmética. As letras aparecem como números
gen´ricos quaisquer, não assumindo o significado de incógnita, nem de variável.
- Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas: as variáveis são incógnitas ou constantes. Enquanto as instruções-chave
no uso de uma variável como generalizadora de modelos são traduzir e generalizar,
simplificar e resolver; “simplificar” e “resolver” são às vezes dois nomes diferentes
para a mesma idéia.
- Álgebra como estudo de relações entre grandezas variáveis: uma
variável é um argumento (isto é, representa os valores do domínio de uma função).
As letras assumem significados de variáveis.
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- A álgebra como estudo das estruturas: as letras aparecem como objetos
arbitrários como se fossem sinais no papel, isto é, símbolos arbitrários sem nenhuma
referência numérica.
1.7. Relação entre álgebra e geometria
Para Bigode (2000), a linguagem algébrica ganha grande impulso tanto
na história quanto na escola quando aplicada à geometria. No presente trabalho a
linguagem algébrica é utilizada para expressar perímetros e área de figuras planas;
baseando a aprendizagem de coisas “novas” no conhecimento e na compreensão
que os alunos já tem.
As mentes dos alunos não são tábuas rasas, quando eles começam o
primeiro ano de álgebra, além de já terem conhecimentos adquiridos em cursos
anteriores de matemática, os alunos já tem muita crença e preceitos sobre álgebra.
O professor ao introduzir os cálculos algébricos com a geometria, não deverá ter
receio em voltar ou explorar temas já vistos, entendendo como investimento
geométrico e resultados algébricos positivos.
Primeira é a utilização “concreta” das letras para representar números e
assim, um bom ponto de partida para o conceito geral de variável.
O conceito de área e as fórmulas associadas serão necessárias em
muitos problemas algébricos em etapas posteriores do curso.
A geometria métrica proporciona uma boa parte para um trabalho inicial,
pré-álgebra, com experiências de resolução de perímetro, área e volume.
Proporciona uma melhor compreensão dos cálculos algébricos, uma vez que os
alunos, ao longo de sua história escolar, em matemática, utilizam as letras em
variadas situações e contextos, porem raramente eles tem consciência dos
diferentes significados a elas.
Para Bigode (2000) é comum cometerem erros e se confundirem com
letras que ora representam incógnitas (a letra estática) ora representam variáveis (a
letra dinâmica). É importante ressaltar que o professor tem um papel fundamental na
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criação de tarefas e de um contexto de atividades e discussões que possam guiar a
participação do aluno e no processo de construção de conhecimento.
1.8. Como ensinar álgebra?
Na década de noventa, as professoras: Claudia Lisete Oliveira Groenvald,
Maristela de Quadros Albé, Rosmari Irma Klaus e Vera Kern Hoffmann, se uniram
para cria uma metodologia para desenvolver os conteúdos de sétima série
trabalhando a geometria interligada com a álgebra. Esta metodologia procura ligar a
lógica matemática necessária à compreensão da álgebra junto com a criatividade
através de problemas orientadores que sejam envolventes e interessantes ao aluno,
abordando os conteúdos através da redescoberta.
As atividades induzem o aluno a pensar, envolver-se, tirar conclusões,
generalizar. Os alunos concluem as regras sem a explicação formal do professor e,
ao compreenderem, acham o estudo mais fácil e prazeroso. Além disso, as
atividades são desenvolvidas com os alunos desenhando, pintando, recortando,
tirando conclusões, e não, apenas, resolvendo exercícios.
A importância de trabalhar geometria e álgebra interligando conceitos
justifica-se porque a geometria é um assunto do interesse do aluno e serve como
motivação para o desenvolvimento dos conteúdos, desde que tenha um enfoque
prático e que o professor parta de situações concretas da vivencia do aluno, sendo a
abstração e o uso de símbolos uma conseqüência do trabalho desenvolvido, dando
oportunidade para a descoberta e o amadurecimento de conceitos. Desenvolvida
assim a geometria não apresenta dificuldades para os alunos, pois eles estão
constantemente em contato com ela.
O aluno
deve, sem dificuldades, conseguir transferir a linguagem
matemática utilizada na geometria para a sua utilização na álgebra.
1.9. Ensinar álgebra com a geometria.
21
Segundo Baratojo (1990), quando os estudantes chegam às portas do
estudo de álgebra, em geral, enfrentam duas grandes dificuldades: o problema da
abstração e o da generalização. A maioria dos alunos decora uma série de regras, o
que torna a álgebra, uma disciplina odiada. Para eles, são um amontoado de
números e letras que não lhes dizem nada.
Baratojo (1990), diz que foi através de observações de fatos concretos
que o levou através de algo, como a geometria, que já fosse familiar ao aluno, e
viesse a facilitar não só a iniciação do estudo da álgebra mas, também, consolidar
os seus conhecimentos geométricos.
Assim, sugere a iniciação ao estudo da álgebra utilizando conhecimentos
da geometria já estudados nas séries anteriores como segmento de retas, perímetro
e áreas.
O autor propõe que inicialmente, pediríamos ao aluno para traçar dois
segmentos de retas quaisquer. Podendo dizer que a medida de um segmento é “a”
e a do outro é “b”.
Então pediríamos para o aluno unir os dois segmentos.
Provavelmente o aluno chegaria a conclusão que o resultado seria ( a +
b), desta forma levaríamos o aluno à idéia de binômio, trinômio ( a + b + c) e assim
sucessivamente.
Baratojo (1990), nos diz também que com os segmentos de retas
poderíamos mostrar ao aluno a diferença entre monômios.
22
O autor também faz demonstrações de multiplicações de binômios e
divisão de monômios.
Vemos que a área total do retângulo ABCD é (a + b) . (c + d); isto é,
multiplicação de dois binômios. Estudando as áreas dos retângulos que completam o
retângulo ABCD, teríamos:
Logo: (a + b) . (c + d)
=
ac + ad + bc + bd.
Da mesma forma pode-se apresentar a divisão de monômios pela
geometria. Por exemplo, dividir 9x ² por 3x.
Podemos representar o 9x ² como sendo a área de um quadrado de lado
3x, isto é:
Logo o outro lado
deveria ser também, 3x. Então:
9x ² : 3x = 3x
Para apresentar o caso de fatoração colocando um termo comum em
evidência, o autor
propõe usar dois retângulos de lados “a” e “b” e “c” respectivamente.
23
Veríamos que a . b + a .c = a . (b + c).
1.10. O que é mais importante: álgebra ou geometria?
Fiorentini (1992), abordando esta temática, nos pergunta o que é mais
importante no ensino da matemática, a álgebra ou a geometria? Ele diz
que
atualmente o estudo da álgebra foi abandonado. Isto não significa que desapareceu
dos livros didáticos, mas sim ausência de reflexão crítica sobre esse ensino. Pois
analisando o modo como os professores trabalham a álgebra; de forma mecânica,
enfatizando simplesmente a memorização, regras, símbolos e expressões como
ocorria há várias décadas, mostra que o seu ensino não tem recebido a devida
atenção.
Segundo Fiorentini (1992), a geometria tende a desempenhar, cada vez
com mais freqüência, um papel subsidiário na construção de conceitos e na
visualização de propriedades aritméticas e algébricas.
As conseqüências do movimento modernista foram muitas, vários autores
matemáticos ressaltam apenas o abandono do ensino da geometria. Fiorentini
(1992) pensa diferente, ambos sofreram prejuízos, pois o ensino da álgebra
necessita de uma reavaliação.
Notamos que a álgebra é uma disciplina de difícil compreensão e
necessita de algo para facilitar o seu estudo, como a inclusão da geometria. Como
vimos estes dois conteúdos possuem vários pontos em comum o que ajudaria muito
a aprendizagem do aluno.
1.11. Alguns Modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil
24
O estudo das relações/interações que envolvem a tríade aluno-professorsaber matemático é hoje reconhecido como um dos principais projetos da
investigação em Educação Matemática. embora o papel da investigação seja
elucidar aspectos da dinâmica dessa tríade, tal elucidação tem como eixo
fundamental a transformação qualitativa, ainda que nem sempre imediata ou direta,
do ensino/aprendizagem da Matemática.
Há, entretanto, diferentes modos de conceber e ver a questão da
qualidade do ensino da Matemática. Alguns podem relacioná-la ao nível de rigor e
formalização dos conteúdos matemáticos trabalhados na escola. Outros, ao
emprego de técnicas de ensino e ao controle do processo ensino/aprendizagem com
o propósito de reduzir as reprovações. Há ainda aqueles que a relacionem ao uso de
uma matemática ligada ao cotidiano ou à realidade do aluno. Ou aqueles que
colocam a Educação Matemática a serviço da formação da cidadania.
Por trás de cada modo de ensinar, esconde-se uma particular concepção
de aprendizagem, de ensino, de Matemática e de Educação. O modo de ensinar
sofre influência também dos valores e das finalidades que o professor atribui ao
ensino de matemática, da forma como concebe a relação professor-aluno e, além
disso, da visão que tem de mundo, de sociedade e de homem.
Por exemplo, o professor que concebe a Matemática como uma ciência
exata, logicamente organizada e a-histórica ou pronta e acabada, certamente terá
uma prática pedagógica diferente daquele que a concede como uma ciência viva,
dinâmica e historicamente sendo construída pelos homens, atendendo a
determinados interesses e necessidades sociais
Da mesma forma, o professor que acredita que o aluno aprende
Matemática através da memorização de fatos, regras ou princípios transmitidos pelo
professor ou pela repetição exaustiva de exercícios, também terá uma prática
diferenciada daquele que entende que o aluno aprende construindo conceitos a
partir de ações reflexivas sobre materiais e atividades, ou a partir de situaçõesproblema e problematizações do saber matemático.
25
Com base nessas situações, identificamos seis tendências: a formalista
clássica; a empírico-ativista; a formalista moderna; a tecnicista e suas variações; a
construtivista e a socioetnoculturalista.
Tendência Formalista Clássica: o ensino nesta tendência pedagógica foi
acentuadamente livresco e centrado no professor e no seu papel de transmissor e
expositor do conteúdo através de preleções ou de desenvolvimentos teóricos na
lousa. A aprendizagem do aluno era considerada passiva e consistia na
memorização e na reprodução precisa dos raciocínios e procedimentos ditados pelo
professor ou pelos livros.
Tendência Empírico-Ativista: aqui o professor deixa de ser o elemento
fundamental do ensino, tornando-se orientador ou facilitador da aprendizagem. O
aluno passa a ser considerado o centro da aprendizagem – um ser “ativo”. O
currículo, nesse contexto, deve ser organizado a partir dos interesses do aluno e
deve atender ao seu desenvolvimento psicobiológico.
Tendência Formalista Moderna: aqui a matemática escolar perde tanto
seu papel de formadora da “disciplina mental” como seu caráter pragmático de
ferramenta para a resolução de problemas. Passa a enfatizar a dimensão formativa
sob outra perspectiva mais importante que a aprendizagem de conceitos e as
aplicações da matemática, seria a apreensão da estrutura subjacente, a qual,
acredita-se, capacitaria o aluno a aplicar essas formas estruturais de pensamento
inteligente aos mais variados domínios, dentro e fora da Matemática.
Tendência Tecnicista e suas Variações: a finalidade do ensino da
Matemática na tendência tecnicista seria desenvolver habilidade e atitudes
computacionais e manipulativas, capacitando o aluno para a resolução de exercícios
ou de problemas-padrão. Isto porque o tecnicismo, com base no funcionalismo, parte
do pressuposto de que a sociedade é um sistema tecnologicamente perfeito,
orgânico e funcional. Caberia, portanto, à escola preparar recursos humanos
“competentes” tecnicamente para este sistema. Ou seja, não é preocupação desta
tendência formar indivíduos não-alienados, críticos e criativos, que saibam situar-se
historicamente no mundo.
26
Tendência Construtivista: a principal finalidade do ensino da Matemática
para esta corrente é de natureza formativa. Os conteúdos passam a desempenhar
papel de meios úteis, mas não indispensáveis, para a construção e desenvolvimento
das estruturas básicas da inteligência. Ou seja, o importante não é aprender isto ou
aquilo, mas sim aprender a aprender e desenvolver o pensamento lógico-formal.
Tendência Sócioetnocultural: face a estudos dessa natureza, surge então
da diferença cultural. Segundo esta teoria, as crianças de classes pobres não são
carentes de conhecimentos e de estruturas cognitivas, mas talvez não tenham
habilidades formais tão desenvolvidas em relação à escrita e à representação
simbólica; ou talvez possuam uma experiência de vida muito rica na qual usam
procedimentos matemáticos não formais (Etnomatemática) que a escola, além de
não saber aproveitá-los como ponto de partida discrimina-os ou rejeita-os enquanto
formas válidas e possíveis de saber.
A Etnomatemática inicialmente significa a Matemática não-acadêmica e
não-sistematizada, isto é, a Matemática oral, informal, “espontânea” e, às vezes,
oculta ou congelada, produzida e aplicada por grupos culturais específicos
(indígenas, favelados, analfabetos, agricultores,...). Isto é, seria “uma maneira muito
particular de grupos culturais específicos realizarem as tarefas de classificar,
ordenar, inferir e modelar”1.
Mais tarde, D’Ambrosio ampliaria o significado da Etnomatemática,
definindo-a como “a arte ou técnica de explicar, de conhecer, de entender nos
diversos contextos culturais” (D’AMBROSIO, 1990: 81).
O grande mérito da Etnomatemática foi trazer uma nova visão de
Matemática e de Educação Matemática de feição antropológica, social e política, que
passam a ser vistas como atividades humanas determinadas sócioculturalmente
pelo contexto em que são realizadas. A Matemática, por exemplo, só adquiri
validade e significação no interior de um grupo cultural – que tanto pode ser uma
comunidade indígena, uma classe de alunos ou até uma comunidade científica –
onde se encontra presente nas diferentes práticas sócioculturais.
27
Ou seja, o conhecimento matemático deixa de ser visto, como faziam as
tendências formalistas, como conhecimento pronto, acabado e isolado do mundo. Ao
contrário, passa a ser visto como um saber prático, relativo, não-universal e
dinâmico, produzido histórico-culturalmente nas diferentes práticas sociais, podendo
aparecer sistematizado ou não. Esta forma cultural-antropológica de ver e conceber
a Matemática e sua produção-divulgação, proporcionada
pela Etnomatemática
trouxe também profundas transformações no modo de conceber e tratar a Educação
Matemática.
O ponto de partida do processo ensino/aprendizagem seriam os
problemas da realidade. Estes seriam identificados e estudados conjuntamente pelo
professor e pelos alunos. A relação aluno-professor é dialógica: troca de
conhecimentos entre ambos, atendendo sempre à iniciativa dos primeiros. O método
de ensino preferido por essa tendência será, portanto, a problematização (tanto do
saber popular como daquele produzido pelos matemáticos) e a Modelagem
Matemática, que contempla uma abordagem externalista para a Matemática. em
outras palavras, trata-se de um método de ensino que contempla a pesquisa e o
estudo/discussão de problemas que dizem respeito à realidade dos alunos.
Qual tendência: Alguma destas ou outra? O processo de construção de
um ideário pedagógico, tanto individual como coletivo, é sempre dinâmico e dialético.
De fato, se estamos permanentemente refletindo sobre nossa prática pedagógica, se
discutimos com nossos pares, se pesquisamos e buscamos continuamente novas
fontes teóricas e novas alternativas de ação em sala de aula,... então, é de se
esperar que nosso ideário também esteja em permanente mutação.
Embora, nesse processo de mutação, algumas concepções/crenças
permaneçam inalteradas, no geral, o ideário pedagógico de uma pessoa ou grupo é
sempre efêmero, pois representa apenas idéias que foram dominantes num
determinado momento histórico. Se isso for verdadeiro, então, nenhum quadro
classificatório, por melhor que seja, dará conta da multiplicidade de pensamentos e
idéias presentes na práxis do ensino da Matemática.
1
In: Boletim nº 1 do Grupo Internacional de Estudos sobre Etnomatemática (ISGEm),
agosto/1985 (Apud ANASTÁCIO, 1993: 59)
28
1.12. Dificuldades e erros dos alunos
A álgebra “é uma fonte de confusões e atitudes negativas consideráveis
entre os alunos”, comentário de recordações de alunos sobre suas experiências ao
aprender matemática na escola (Boot, 1994).
Segundo Boot (1994) uma das maneiras de tentar descobrir o que torna a
álgebra difícil é identificar os tipos de erros que os alunos comumente cometem e
investigar as razões deste erro; muitos deles podem ter origem nas idéias dos
alunos sobre aspectos como:
a) foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”;
b) o uso da notação em álgebra;
c) o significado das letras e das variáveis;
d) os tipos de relações e métodos usados em aritmética.
Fiorentini (1996) aponta, além desses, outros aspectos como:
1) O foco da atividade em álgebra (respostas genéricas ou expressões) é
diferente da aritmética (respostas particulares, números bem definidos). Dificuldade
em aceitar como resposta “y + 5” ou tenderá a simplificar “3x + 5y = 8xy”;
2) Dificuldades em interpretar o símbolo da igualdade como equivalência;
3) Na aritmética a justaposição de termos significa adição. (Ex: 3 . ¼ = 3 +
¼). Na álgebra multiplicação ( Ex: 4n = 4.n);
4) A pedagogia da “facilitância” geralmente não contribui para uma efetiva
aprendizagem. Ex: 2a + 2b; 2 abacaxis e 2 bananas;
5) Dificuldades oriundas da aritmética como por exemplo, o uso dos
parênteses, as regras dos sinais, potenciação, o uso de propriedades como a
distributiva;
29
6) Dificuldades em compreender os diferentes significados das letras:
incógnita, objeto, unidade de medida variável, número genérico, parâmetro e
símbolo arbitrário.
A mesma idéia de respostas com um único termo parece estar subjacente
ao erro, freqüente entre os alunos de simplificar expressões como 2a + 5b = 7ab.
Esse problema pode ocorrer porque os alunos têm dificuldades cognitivas em aceitar
a ausência do fechamento, ou pode simplesmente refletir expectativas derivadas da
preocupação aritmética quando a maneira como deveriam ser as respostas bem
formadas.
Marquis (1994: 234,235) fez um levantamento dos erros comuns em
álgebra que os alunos cometem.
30
Para Boot (1994) essas descobertas parecem à diversas sugestões:
1º - Deixar claro para as crianças que a 2 + 3 não representa apenas uma
instrução, mas também o resultado da adição desses números. Acentuar o valor
bidirecional do símbolo de igualdade.
2º - Representar a multiplicação em álgebra por justaposição, 3n, deveria
ser escrito 3 . n na forma completa, pelo menos na iniciação da álgebra.
3º - o enfoque “2 maçãs mais 5 bananas” para o problema 2a + 5b pode
não ser oportuno. Ele não só favorece uma visão errada das letras, como também
pode ser usado pelos alunos para justificar a simplificação de 7ab.
Esta lista de possíveis causas das dificuldades das crianças no
aprendizado de álgebra não é, de modo algum exaustiva. No entanto, poderá servir
para lançar alguma luz sobre os tipos de dificuldades que as crianças provavelmente
experimentarão quando começarem a estudar álgebra, devemos indagar que o
professor pode evitar ou corrigir esses problemas.
O professor deve fazer o papel de moderador e deixar que as diferentes
facções de classes exponham seus pontos de vista. Discussões desse tipo, em sala
de aula, são excelentes não só para identificar as diferentes concepções erradas
que os alunos possam ter, como também para ajudá-los e superá-los num processo
de interação com os colegas.
1.13. Propostas para o ensino de álgebra
Evidenciaremos duas propostas para o ensino da álgebra, uma
apresentada pelos pesquisadores Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) que defende a
idéia de que a melhoria da qualidade da educação algébrica exige um repensar na
relação entre pensamento e linguagem. A outra, apresentada por Lins e Gimenes
(1997), sugere que passemos a pensar em termos de significados e não em termos
de técnicas e conteúdos.
31
Ambas as propostas, sugerem a antecipação do início do ensino de
álgebra, para que este se desenvolva em concomitância com o ensino da aritmética.
Assim sendo, rompe-se com o que tradicionalmente ocorre: primeiro aritmética e
depois, com uma brusca ruptura, vem a álgebra carregada de transformações sem
significados, pois seus conceitos são apresentados aos alunos com um
exemplo/modelo introdutório e uma seqüência de outros semelhantes a serem
desenvolvidos. O objetivo é a memorização dos passos evidenciados no
exemplo/modelo, e os alunos mais bem treinados receberão como prêmio uma boa
nota na avaliação e, por conseqüência, a aprovação ao final do ano letivo.
Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) ao defenderem que desde as séries
inicias deve ser trabalhado o pensamento algébrico, por não haver razão para adialo, advertem que a introdução precoce e sem suporte concreto a uma linguagem
simbólica abstrata pode funcionar como freio a aprendizagem significativa da
álgebra. Ao proporem um repensar na relação entre pensamento e linguagem,
acreditam que teremos como conseqüência a superação da prática pedagógica
tradicional onde se inicia o ensino da álgebra com ênfase aos transformismos.
Como proposta para o ensino da álgebra, sugerem que se inicia com
situações problemas das mais diversificadas naturezas, através de reflexões e
análises que possibilitem a elaboração de uma linguagem simbólica, carregada de
significados. Após esta etapa fazer o contrário, ou seja, partir da expressão
algébrica, atribuindo significados as mesmas. Só após esse processo de ir e vir é
que deve ser enfatizar, as transformações de uma expressão em uma outra
equivalente, por meio de procedimentos que as legitimam.
Por sua vez, Lins e Gimenes (1997) defendem que a educação algébrica
deve permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados e de pensar
algebricamente, antes de ter o domínio de habilidades técnicas, considerada por
eles como, a capacidade de usar ferramentas desenvolvidas com maior facilidade. O
domínio da habilidade técnica é uma etapa necessária, mas não pode anteceder as
anteriores, uma vez que os alunos precisam compreender a natureza do que estão
fazendo. Apenas praticar um conjunto de técnicas operatórias, não se justifica em si
e por si mesma, é preciso ter a compreensão de que estas estão inseridas em um
quadro maior de significações. Advertem que não se pode conduzir este processo
32
de forma que os alunos não percebam
que o conhecimento está sendo
aprofundado. Agir dessa forma é estar compactuando com as abordagens
facilitadoras. O que o professor deve fazer é convidar o aluno a pensar diferente,
com o objetivo de proporcionar uma aprendizagem consciente.
Nessa perspectiva, o papel da escola é contribuir com o processo de
análise e tematização dos significados. Sendo assim, não se nega tal conhecimento
nem tenta substituí-lo, mas mostra-se ao aluno que ele sabe algo, cuja versão
correta e completa do que ele sabe, ele vai aprender na escola.
Tendo como base as idéias acima, os autores propõem atividades que
permitem dar significado à linguagem simbólica, às expressões algébricas e às
transformações de expressões. Introduzem o conceito de Modelos de Campos
Semânticos como uma nova tendência para o ensino da álgebra. Para isso, parte do
pressuposto que o conhecimento matemático e sua aprendizagem deve pautar-se
por manifestação de uma crença-afirmação junto com uma justificação que autoriza
o sujeito a produzir enunciação. É essa tríade crença-afirmação-justificação que
justifica a necessidade da socialização do conhecimento em situação escolar. Para
eles a mudança de perspectiva do ensino da álgebra refere-se a pensarmos em
termos de significados sendo produzidos no interior de atividades, e não, como até
que, pensarmos em termos de técnicas e conteúdos.
O acima exposto nos mostra que a questão do significado é fundamental
no processo ensino-aprendizagem da álgebra por permitir que o aluno revele o nível
de compreensão dos conceitos como também a manifestação do pensamento
algébrico.
33
2. INTEGRANDO ÁLGEBRA E GEOMETRIA
A pesquisa foi realizada com uma turma de sétima série da Escola
Municipal de Ensino Fundamental Nossa Senhora de Fátima no município de Santo
Antônio da Patrulha no estado do Rio Grande do Sul.
Primeiramente foram estudados os conceitos de adição e subtração de
monômios na forma puramente algébrica, sistemática e descontextualizada. Partindo
do conceito, exemplos e resolução de exercícios, o que ainda hoje, é muito comum.
Desenvolvendo exercícios como os exemplos abaixo:
Exemplo 1: adição e subtração de monômios:
a) (+7x) + (-3x) =
b) (-3x) + (+11x) =
c) (-2y) + (-3y) =
d) (+2m) + (+m) =
e) (+3x) – (-3x) =
f) (–5x) – ( -11x) =
g) (+7y) – (+7y) =
h) (-3a) – (+4a) =
Exemplo 2: redução de termos semelhantes:
a) 6a + 3a – 7 =
b) 7a – 2a +4b –2b =
c) x + 7 + x – 10 – 1 =
34
d) 2x³ - 7x² + 4x –2 + 8 – 3x² =
Exemplo 3: adição e subtração de polinômios:
a) (2x² - 9x +2) + (3x² - 7x –1) =
b) (5x² - 4x +7) – (3x² + 7x – 1) =
Depois foram trabalhados os mesmos conceitos, de adição e subtração
de monômios e polinômios, mas agora associando os conceitos algébricos com os
conceitos geométricos.
Foram associados os conceitos de adição e subtração de monômios e
polinômios com os conceitos de medida segmento de reta, perímetro e área de
figuras planas.
O trabalho foi realizado do seguinte modo:
a) A primeira etapa foi desenvolvida iniciando-se o estudo traçando
segmentos de reta com o uso da régua, a partir de medidas determinadas. Como
segue abaixo:
Em seguida realizamos o mesmo procedimento mas, agora sem a régua.
Como aqui não sabemos mais as medidas, usamos as letras.
b) A partir da união (adição de medidas) dos segmentos, percebemos os
monômios, binômios, trinômios e polinômios, como descrito abaixo:
35
Da mesma maneira, vimos a diferença de monômios. Comparamos dois
segmentos de reta, verificamos quanto falta para um ficar do tamanho do outro.
Como ilustrados abaixo:
Para verificarmos a adição de monômios vimos, também, o perímetro de
figuras planas. Deste modo, reduzimos os termos semelhantes somando os lados da
figuras que forem iguais. Como ilustrado abaixo:
Outra atividade de adição de monômios foi a medição do perímetro de
objetos da sala de aula como: cadernos, livros, classes, quadro, caixas, etc, como
tiras de papel de tamanhos variados
c) Nesta etapa vimos a adição e subtração de polinômios:
Para tanto construímos o seguinte material:
-
cinco quadrados vermelhos de medida 8 x 8 cm²;
-
cinco quadrados azuis de medida 8 x 8 cm²;
-
dez retângulos vermelhos de medida 2 x 8 cm²;
-
dez retângulos azuis de medida 2 x 8 cm²;
36
-
vinte quadrados vermelhos de medida 2 x 2 cm²;
-
vinte quadrados azuis de medida 2 x 2 cm².
Após a construção das figuras as medidas ficaram as seguintes:
A = x²
A = xy
A = y²
As figuras azuis representariam os monômios positivos e as figuras
vermelhas, os monômios negativos. Para assim realizar as adições e subtrações.
Realizamos estas operações após o manuseio e a introdução dos alunos,
sendo que eles convencionaram que soma-se as figuras iguais de mesma cor e
elimina-se cada par de figuras iguais de cores diferentes. Como pode ser visualizado
abaixo:
Legenda:
a) adição:
x² + 2xy + y²
+
+
2x² - 1xy – 3y²
+3x² + 1xy – 2y²
1x² + 1xy + 2y²
+
1x² + 3xy + 1y²
+
37
2x² + 4xy + 3y²
2x² + 3xy + 4y²
+
+
-1x² - 1xy – 2y²
1x² + 2xy + 2y²
-2x² + 1xy -5y²
+
+
1x² - 4xy + 3y²
-1x² - 3xy – 2y²
b) subtração:
(2x² - 2xy – 3y²) – (1x² - 6xy + 3y²) =
=(2x² - 2xy – 3y²) + ( -1x² + 6xy – 3y²)=
2x² - 2xy – 3y²
+
-1x² + 6xy – 3y²
x² + 4xy – 6y²
+
38
(1x² + 1xy + 2y²) – (1x² + 3xy + 1y²) =
=(1x² + 1xy + 2y²) + ( -1x² - 3xy – 1y²)=
1x² + 1xy + 2y²
+
+
-1x² - 3xy – 1y²
0x² - 2xy + 1y²
(2x² + 3xy + 4y²) – (-1x² - 1xy - 2y²) =
=(2x² + 3xy + 4y²) + ( 1x² + 1xy + 2y²)=
2x² + 3xy + 4y²
+
+
1x² + 1xy + 2y²
3x² + 4xy + 6y²
(-2x² + 1xy - 5y²) – (1x² - 4xy + 3y²) =
=(-2x² + 1xy - 5y²) + (-1x² + 4xy - 3y²) =
-2x² + 1xy - 5y²
39
+
-1x² + 4xy - 3y²
-3x² + 5xy - 8y²
+
40
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os alunos, de um modo geral, demonstram que alcançaram os objetivos
do conteúdo de adição e subtração de monômios e polinômios. Tiveram um bom
desempenho em todo o decorrer do desenvolvimento de seus estudos. Isto se
mostrou tanto da forma de se estudar a álgebra dissociada da geometria tanto na
associação dos conteúdos algébricos como os conteúdos geométricos.
Nos depoimentos dos alunos, foi visto que houve quem gostasse da
forma de se trabalhar álgebra dissociada da geometria, outros que gostaram da
forma associada com a geometria, outros ainda que gostaram das duas formas.
Vale lembrar que o público em que realizei a pesquisa são alunos do
projeto E.J.A.(Educação de Jovens e Adultos) que freqüentaram a escola tempos
atrás e eles não estão acostumados com as inovações da educação. Assim
constatei que eles querem que se trabalhe da mesma forma de que eles estudaram
na sua época que freqüentaram a escola: quadro e giz.
A maioria dos alunos admite que a forma de se estudar os conceitos
algébricos associados com os conceitos geométricos lhes atribui mais sentido,
significado, contextualização e compreensão do conteúdo, mesmo os alunos que
gostaram mais de estudar álgebra dissociada da geometria.
Lutar para recuperar o verdadeiro sentido do estudo da Matemática que,
hoje ainda revela vestígios da herança do ensino de matemática passado, é para
mim o motivo de estar atuando nesta área do conhecimento. Eu não poderia fazer o
contrário, mecanizar mentes humanas que não produzem conhecimento e sim o
reproduzem. Não poderia passar para as novas gerações, assim como foi no
passado por muitos anos para mim, uma matemática opressora, bloqueadora, que
impede a mente humana de criar e de maravilhar-se com o estudo da matemática.
Não posso criar pessoas frustradas, pacatas, não criadoras, infelizes com o estudo
da Matemática. Esta mesma Matemática que está no presente na nossa vida que
não conseguimos nos dissociar dela. Uma Matemática que não é tão difícil como
41
parece e, às vezes, é tão simples que chega até ser banal ou até impercebível aos
nossos olhos, à nossa mente.
Uma matemática que faz parte de nós, faz parte do nosso ser e do nosso
viver.
42
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