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UNESC- UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE
ANDREIA RAMOS FARIAS
DESEMPENHO DOS ALUNOS DE 8ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS
Criciúma, 2004
I
ANDREIA RAMOS FARIAS
DESEMPENHO DOS ALUNOS DE 8ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS
Monografia apresentada à Diretoria de
Pós-Graduação da Universidade do
Extremo Sul Catarinense – UNESC,
para a obtenção do título de especialista
em Educação Matemática.
Orientador(a): Profª Ledina Lentz Pereira
Criciúma, 2004
II
MATEMÁTICA
A Matemática me ensinou a contar...
Mas não a contar apenas os números, mas principalmente a contar os pássaros
voando, os peixes no mar, as folhas e o quanto tudo isso é importante pro nosso
equilíbrio enquanto mundo, enquanto planeta....
A Matemática me ensinou a pensar...
Mas não só a pensar em problemas algébricos complexos e quase impossíveis, mas
sim a pensar a minha vida, o meu mundo e a tudo o que me cerca com mais lógica,
com mais raciocínio, enfim com mais justiça...
A Matemática me ensinou a somar...
Mas não a somar quantias cabalísticas, inimagináveis, castelos de números e sim a
somar momentos, somar alegrias, somar experiências que ao longo do tempo me
fizeram ser melhor a cada dia pra mim e aos outros...
A Matemática me ensinou a subtrair...
Mas não a subtrair quantias complexas, frações, porções, proporções, fatias nem
número algum, mas sim a subtrair da minha vida tudo o que era algo que pudesse
me impedir de seguir o meu caminho ou que me tornasse infeliz...
A Matemática me ensinou a dividir...
Mas não a dividir números fracionados, decimais, dízimas ou ângulos e vetores, mas
sim dividir melhor o espaço das coisas e das pessoas dentro do meu mundo, do meu
Universo. Ensinou a dividir e a cuidar de tudo o que me cerca...
A Matemática me ensinou a multiplicar...
Mas não a multiplicar potências de "enésimo" grau, logaritmos, conjuntos, números
astronômicos, mas sim a multiplicar e distribuir com as pessoas e com o mundo as
minhas alegrias, ensinou a multiplicar dentro de mim o espaço para novas chances,
novos horizontes...
( Autor desconhecido)
III
Dedico este trabalho a meus pais, e ao meu
namorado Arlei.
IV
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todas as pessoas que direta ou indiretamente ajudaram na
execução deste trabalho.
Especialmente, à Prof. Ledina Lentz Pereira, que acreditando em mim,
aceitou ser orientadora, e soube conduzir o trabalho com muita segurança e
dedicação, sempre disposta em ajudar-me.
Aos meus familiares e todos os colegas de curso, e , principalmente a
Deus pela nossa existência, ao qual devemos amar e reconhecer o verdadeiro valor
da vida.
V
RESUMO
Este trabalho é relato de uma pesquisa, que teve como objetivo avaliar o
desempenho dos alunos de 8ª série do Ensino Fundamental em resolver problemas
algébricos, analisando, quais as principais dificuldades deles na aprendizagem da
Álgebra e a relevância de se trabalhar a resolução de problemas como metodologia
de ensino.
Para esta análise, foram aplicadas atividades algébricas desenvolvidas
em duas etapas: na primeira foram propostos exercícios de reconhecimento de
conceitos e propriedades envolvendo Álgebra, e na segunda, trabalhou-se a
resolução de problemas algébricos.
Nesta pesquisa foram analisados pontos considerados relevantes por
pesquisadores da área para obtenção de um diagnóstico do desempenho dos
alunos na resolução de problemas algébricos. Tais como: os alunos...
-
os alunos conseguem interpretar o problema?
-
conseguem formular a equação?
-
apresentam dificuldades em trabalhar com as incógnitas e variáveis?
-
têm conhecimento da linguagem algébrica?
Os dados coletados na pesquisa foram considerados relevantes, pois
permitiram:
-
identificar os erros mais comuns cometidos pelos alunos;
-
investigar e analisar as principais dificuldades dos alunos em
aprender Álgebra;
VI
-
verificar os procedimentos desenvolvidos nas resoluções envolvendo
interpretação e aplicação de propriedades e conceitos algébricos;
-
analisar a resolução de problemas, como metodologia de ensino.
Estes procedimentos de levantamento e análise dos dados propiciaram a
construção de um diagnóstico de como o processo de ensino/aprendizagem da
Álgebra vem acontecendo. E também contribuíram para mostrar como uma
mudança de metodologia de ensino poderá auxiliar no aprendizado da Álgebra.
VII
SUMÁRIO
RESUMO .................................................................................................................. V
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................... 10
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Escola e processo ensino-aprendizagem da matemática ................................. 12
2.2. O ensino da Álgebra e a resolução de problemas............................................. 16
3. METODOLOGIA.................................................................................................. 25
4. O DESEMPENHO DOS ALUNOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ALGÉBRICOS
4.1. Levantamento e análise dos dados da primeira etapa da pesquisa.................. 29
4.2. Levantamento e análise dos dados da segunda etapa da pesquisa................. 38
4.3. Resultado geral da primeira etapa da pesquisa: atividades de reconhecimento54
4.4. Resultado geral da segunda etapa da pesquisa: problemas algébricos ........... 57
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 61
6. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA......................................................................... 64
7. ANEXOS .............................................................................................................. 66
VIII
LISTA DE TABELAS
TABELAS DA PRIMEIRA ETAPA DA PESQUISA
Tabela 01 – Demonstração de resolução de equações de 1º grau.......................... 30
Tabela 02 – Dados das questões com maior incidência de erros............................. 31
Tabela 03 – Dados das atividades de nº 12 a 16 ..................................................... 35
TABELAS DA SEGUNDA ETAPA DA PESQUISA
Tabela 04 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 1..................... 39
Tabela 05 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 2..................... 40
Tabela 06 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 3..................... 42
Tabela 07 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 4..................... 44
Tabela 08 – Desempenho dos alunos no item c da atividade nº 4........................... 44
Tabela 09 – Desempenho dos alunos na atividade nº 7........................................... 48
Tabela 10 – Desempenho dos alunos na atividade nº 8........................................... 50
Tabela 11 – Desempenho dos alunos na atividade nº 9........................................... 51
Tabela 12 – Desempenho dos alunos na atividade nº 10......................................... 53
IX
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICOS DA PRIMEIRA ETAPA DA PESQUISA
Gráfico 01 – Desempenho dos alunos na atividade nº 7.......................................... 32
Gráfico 02 – Desempenho dos alunos na atividade nº 11........................................ 33
GRÁFICOS DA SEGUNDA ETAPA DA PESQUISA
Gráfico 03 – Desempenho dos alunos na atividade nº 2.......................................... 41
Gráfico 04 – Desempenho dos alunos na atividade nº 6.......................................... 47
Gráfico 05 – Desempenho dos alunos na atividade nº 7.......................................... 49
GRÁFICOS DOS RESULTADOS GERAIS DA PESQUISA
Gráfico 06 – Desempenho dos alunos “ bons” nas atividades da 1ª etapa............. 54
Gráfico 07 – Desempenho dos alunos “regulares” nas atividades da 1ª etapa........ 55
Gráfico 08 – Desempenho dos alunos de “baixo rendimento” nas atividades da 1ª
etapa.................................................................................................... 56
Gráfico 09 – Desempenho dos alunos “bons” na resolução de probl emas
algébricos............................................................................................. 57
Gráfico 10 – Desempenho dos alunos “regulares” na resolução de problemas
algébricos............................................................................................. 58
Gráfico 11 – Desempenho dos alunos de “ baixo rendimento” na resolução de
problemas algébricos........................................................................... 58
10
INTRODUÇÃO
Na atualidade, a sociedade vive o avanço do desenvolvimento científico e
tecnológico, e isto contribui para a escola assumir seu papel fundamental, que é o
de transmitir o conhecimento científico de forma significativa e sistematizada, com o
objetivo de formar educandos que possam compreender e atuar na sociedade em
que vivem.
Desse modo, deve-se considerar os conhecimentos matemáticos que os
educandos trazem de sua prática social, e o docente como mediador e organizador,
explorar de forma competente este saber tomando-o como ponto de partida para a
elaboração dos conhecimentos matemáticos científicos.
Tradicionalmente, tem-se a Matemática como uma ciência exata, precisa e
abstrata. Mas, nos últimos anos, a necessidade de mudanças no processo ensinoaprendizagem da Matemática tem sido constatada e pesquisada por estudiosos da
área. No entanto, o ensino da Álgebra pouco mudou nas últimas décadas em
relação aos outros ramos da Matemática, pois ainda está sendo trabalhada de forma
fragmentada e destituída de significado para o aluno.
A Álgebra é um dos ramos da Matemática utilizada para expressar fatos
genéricos também relacionados com a aritmética, pois ambas se ligam. Neste
aspecto, há a importância de se considerar um equilíbrio entre o desenvolvimento
das capacidades e habilidades de resolver problemas, como também, os modos de
produzir significado e a utilização dos conceitos aritméticos e algébricos para
resolvê-los.
A aplicação de problemas algébricos pode ser um meio para se trabalhar a
11
Álgebra de forma significativa, pois possibilita ao educando criar estratégias,
métodos e modelos, contribuindo para o desenvolvimento de suas habilidades e
competências.
Sendo assim, a pesquisa relatada neste trabalho,
busca avaliar o
desempenho dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, em resolver problemas
algébricos. Tendo por objetivo a identificaçãoe a investigação dos tipos de erros que
os alunos mais cometem na resolução de problemas algébrico s, a fim de auxiliar na
escolha de uma metodologia que possa propiciar aos alunos compreensão da
utilização da Álgebra, bem como, sua importância quando se obtém significado.
A pesquisa é desenvolvida em duas etapas: na primeira com exercícios de
reconhecimento de propriedades e conceitos algébricos, e na segunda, trabalha-se
resolução de problemas algébricos.
Este trabalho apresenta na unidade 2 a fundamentação teórica; Na
unidade 3 apresenta os procedimentos metodológicos desenvolvidos; Na unidade 4
apresenta o levantamento e as análises dos dados, terminando com as
considerações finais na unidade 5.
12
2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 - Escola e o processo ensino-aprendizagem da matemática
A escola, hoje, não pode ser mais um meio de informações, pois
atualmente os educandos estão cercados de tecnologia e mídias que fazem este
papel. O ensino precisa acontecer de maneira produtiva e progressiva, fazendo com
que a escola assuma o papel de formar educandos que vejam o conhecimento
científico de forma significativa e não mais pela memorização.
Pode-se dizer que ocorre uma aprendizagem significativa quando um
indivíduo consegue relacionar uma nova informação a algum aspecto
relevante, já existente, em sua estrutura de conhecimento. Depende,
portanto, da experiência prévia do indivíduo uma vez que envolve, a nível
psicológico, a assimilação de novas informações dentro de uma estrutura de
conhecimento específica existente na estrutura cognitiva. Assim, quando a
ação pedagógica possibilita ou facilita ao aprendiz relacionar as novas
informações a conceitos que ele já possui, os novos elementos de
conhecimento aprendidos poderão ser distribuídos de forma significativa e
relacionados de maneira não arbitrária na sua estrutura de conhecimento.
(RABELO, 2002, p.56)
Desta forma, os educandos tornam-se capazes de analisar fatos,
refletir sobre os mesmos, questionar, indagar, levantar hipóteses e até mesmo
duvidar, e sobre as dúvidas pesquisar organizando suas idéias a fim de buscar
soluções.
Rabelo, (2002, p.31), sugere que: para a escola modificar seu papel
atual, é necessário primeiro que os professores mudem, e para isso é preciso “[...]
aprender a propor uma aprendizagem a partir de desafios, isto é,
a partir de
situações-problema e não a partir de respostas prontas”
É necessário repensar o papel da escola atual e fazer acontecer o seu
13
papel, que é o de formar cidadãos conscientes na leitura de mundo que se tem.
Na sociedade atual a escola assume um papel fundamental de transmitir,
de forma competente e sistemática, o conhecimento formal historicamente
acumulado, instrumentalizando os alunos para compreenderem a sociedade em que
vivem e nela poderem atuar de forma crítica.
Sendo assim, ao ingressar na escola o aluno traz consigo os
conhecimentos empíricos, informais e de senso comum. Compete ao professor a
mediação do processo ensino-aprendizagem, propiciando a sistematização do
conhecimento cientifico, legitimado pela humanidade ao longo da história.
O ensino não deve basear-se em cobranças de informações, e cabe ao
professor ser mais atuante. No ensino da Matemática, por exemplo, de acordo com
Rabelo, (2002, p.65) “[...] ao invés do conteúdo ser adaptado ao aluno, o aluno é
que tem que se adaptar ao conteúdo” , e isto,
faz com que o aluno não
compreenda, tornando o erro “fruto de deficiências e incompetências” .
Nesse sentido, não se pode considerar os alunos analfabetos em
Matemática, pois ela está presente em diversas situações que o aluno vivencia,
embora não tenha consciência deste fato.
Segundo o mesmo autor, ( 2002, p.67), no ensino da matemática, “uma
mudança na qualidade de ensino implica uma mudança de comportamento dos
professores”. Isto interfere que, as aulas de Matemática não podem mais ser apenas
transmissões de propriedades, fórmulas, e conceitos matemáticos, mas precisa dar
liberdade ao aluno,
desde as séries iniciais, favorecendo a criatividade e as
estratégias nas resoluções de situações-problema.
A resolução de problemas é uma aptidão cognitiva altamente complexa
que caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes. [...] deve
proporcionar a construção de conceitos e a descoberta de relações e
formular e resolver problemas deve ser assumido não só como atividades
mas também como conteúdos de aprendizagem. (RABELO, 2002, p.76-77)
14
Para Fiorentini, (2002, anotações), quando docente da disciplina de
Tendências Atuais em Educação Matemática do curso de Pós-Graduação nesta
área, o conhecimento Matemático passa a ser um bem cultural em constante
construção e elaboração. E “a Matemática, enquanto bem cultural, tem sido vista de
várias formas: de ciência do número e da forma, passou a ciência das estruturas e,
hoje à ciência dos padrões e regularidades”.
Sendo assim, a dimensão formativa do currículo do ensino da matemática
tem um papel sócio-politíco-cultural de formação do ser humano, o qual se expressa
no desenvolvimento de capacidades, atitudes e valores.
Na Proposta Curricular de Santa Catarina - PCSC a Matemática:
[...] deve ser entendida como um conhecimento vivo, dinâmico, produzido
historicamente nas diferentes sociedades, sistematizado e organizado com
linguagem simbólica própria em algumas culturas, atendendo às
necessidades concretas da humanidade. (1998,p.106)
Considerando também os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN para
a Matemática pode-se verificar que:
[...] a Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver
problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e
funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos
em outras áreas curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na
formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na
agilização do raciocínio dedutivo do aluno. (1997, p.15)
Nesta perspectiva, ensinar e aprender Matemática deve ser muito mais do
que reconhecer símbolos, manipular fórmulas, utilizar regras, resolver problemasmodelo e cálculos padronizados. É sobretudo interpretar, construir ferramentas
conceituais, criar significados, sensibilizar-se para perceber os problemas, tanto
15
quanto saber equacioná-los ou resolvê-los.
Conforme o PCN, (1997, p.19) “ A atividade matemática escolar não é
“olhar para as coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a apropriação de um
conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua
realidade”.
Para Paolo Boero, apud Lins e Gimenez, (2000, p.101), o interessante é
decidir que transformações são requeridas num determinado ponto de atividade,
neste caso, na atividade
algébrica que consiste no processo de produção de
significado para a Álgebra, e “ [...] no processo de antecipações, que consiste em
“antever” onde quero chegar, de modo que as transformações aplicadas não são “às
cegas” .
Sendo assim, é apenas com base na coexistência de significados
matemáticos e não-matemáticos na escola que se poderá constituir uma legitimidade
comum, o que pode, por sua vez, “ impedir que a matemática da escola seja
percebida como inútil, um saber cuja razão de ser deixa de existir quando termina a
escolarização que envolve matemática” (LINS e GIMENEZ, 2000, p. 28).
De acordo com o PCN, (1997, p. 19), a aprendizagem está diretamente
ligada à compreensão, e a apreensão dos significados auxiliando numa
aprendizagem real em que: “apreender o significado de um objeto ou acontecimento
pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos”.
Para isso, o papel do docente deve ser além de mediador, também de
organizador da aprendizagem para que, além de conhecer as condições sócioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, possa escolher o(s)
problema(s)
que
possibilita(m)
a
construção
de
conceitos/procedimentos,
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contribuindo para o processo de resolução, sempre tendo em vista os objetivos a
que se propõe atingir.
Nesse sentido um dos objetivos gerais de Matemática para o Ensino
Fundamental, segundo o PCN , é:
[...] identificar os conhecimentos matemáticos como meios para
compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de
jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o
interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da
capacidade para resolver problemas;(1997, p. 51)
Este objetivo, se for atingido, possibilita aos educandos uma postura
crítica em relação aos conceitos matemáticos, isto é, tornam-lhes capazes de
interpretar e analisar os problemas, podendo desenvolver ações significativas sobre
si e sobre a sociedade.
2.2 - O ensino da Álgebra e a Resolução de problemas
Como toda linguagem, a Álgebra possui seus símbolos que são as letras,
e possui suas regras que são as mesmas da aritmética, as quais nos permitem
manipular os símbolos assegurando o que é ou não permitido, tornando-se a
linguagem da Matemática utilizada para expressar fatos genéricos.
Para Lins e Gimenez, tem-se que:
Enquanto a aritmética trata de números, de operações e de suas
propriedades, visando a resolução de problemas ou de situações que
exigem uma resposta numérica, a álgebra procura expressar o que é
genérico, aquilo que se pode afirmar para vários valores numéricos
independente de quais sejam eles. (2000, p.160)
Assim, o que se precisa é entender, conforme Lins e Gimenez, (2000,
p.113) “ [...] de que modo a Álgebra e a Aritmética se ligam, o que elas têm em
17
comum”, com isso, encontra-se uma grande raiz, o que
permite repensar a
Educação Aritmética e a Algébrica de forma única.
Para estes mesmos autores, o grande objetivo da educação aritmética e
algébrica, hoje, deve ser o de encontrar um equilíbrio entre três frentes: o
desenvolvimento da capacidade de pôr em jogo nossas habilidades de resolver
problemas e de investigar e explorar situações; o desenvolvimento de diferentes
modos de produzir significado (pensar), e, o aprimoramento das habilidades
técnicas, isto é, da capacidade de usar as ferramentas desenvolvidas com maior
facilidade.
Percebe-se que uma das dificuldades dos educandos é a ausência de
significados para as expressões algébricas, e no entanto, a educação algébrica
precisa considerar que só pode desenvolver-se ao modo de produção de significado
que o sustenta, quando for trabalhado desde as séries iniciais. Para Lins e Gimenez
, (2000, p.10) ” [...] é preciso começar mais cedo o trabalho com Álgebra de modo
que esta e a Aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no desenvolvimento
da outra”.
Fazendo uma análise da forma como vem sendo trabalhado os
conhecimentos matemáticos de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental, segundo
Abreu,et al, 2002, observa-se que tradicionalmente e atualmente, ainda se inicia o
ensino da Álgebra com mais ênfase na sexta série do Ensino Fundamental, quando
as “letras” substituem os números, surgindo uma nova linguagem matemática que
tenta traduzir em símbolos matemáticos idéias de forma didática. Nas sétimas
séries, há uma abordagem diferente, pois o objetivo é de ensinar as propriedades
algébricas, e somente nas oitavas séries quando se trabalha função, é que as
variáveis são apresentadas com significado e mesmo assim, passa despercebido
18
aos alunos.
[...] o trabalho com Álgebra é realizado de forma fragmentada e destituído
de significado para o aluno, enfatizando, ora um aspecto, ora outro, sem se
preocupar com a ligação entre eles e com sua contextualização, ignorando
totalmente a formação da idéia básica da Álgebra, que é o conceito de
variável em suas múltiplas formas: incógnita, parâmetro e variável
propriamente dita.(ABREU, et. al.: 2002, p 20)
Outro aspecto sobre o qual deve-se refletir, é que, quando se trabalha
com incógnitas, enfatizando excessivamente a resposta e a técnica de resolução de
equações e sistemas, deixa-se de mostrar ao aluno que a função de tudo isso é
resolver problemas por meio de métodos genéricos que independem dos dados das
questões, mas sim, da estrutura dos problemas.
Segundo Carvalho, (1996, anotações), do Seminário da Educação, o
pensamento algébrico inclui:
[...] fazer e verificar hipótese; distinguir, entre as variáveis envolvidas numa
situação-problema, as que são passíveis de matematização; organizar
dados, perceber regularidades e estabelecer leis gerais de conseqüências e
tabelas, criar situações-problema a partir de uma sentença matemática.
Deve acontecer também, uma interação dialética entre o desenvolvimento
do pensamento algébrico e a aquisição da linguagem. A aquisição da
linguagem matemática (da qual a linguagem algébrica faz parte) se dá em
um processo de comunicação social: aluno/professor, aluno/aluno,
aluno/livros de matemática.
De acordo com Coxford e Shulte, (1995, p.1) “a realidade de nossos dias
obriga os educadores matemáticos a reexaminar, em toda sua extensão, o currículo
da Matemática e a maneira como é ensinada”.
A Álgebra, por sua vez,
pode ser considerada como uma forma
específica de pensamento, que se desenvolve gradativamente, e à construção do
pensamento algébrico e de sua linguagem exigem atividades ricas em significado e
que, permitam ao aluno pensar generalizando situações-problema, percebendo as
regularidades e expressando-as por meio da linguagem matemática.
19
Os pesquisadores como Lins e Gimenez (1997), Fiorentini, Miorin e
Miguel (1993) e Damazio (2000) , apud Rosa, (2002, p.28), consideram
características do pensamento algébrico: “Levantar hipóteses; fazer afirmações e
justificações; identificar regularidades, variáveis e constantes; estabelecer relações
entre grandezas; generalizar as regularidades, usar variáveis e pensar em
totalidades”.
De
acordo
com
Polya
(1978,
p.4),
nas
principalmente, os alunos “devem estar em condições
atividades
algébricas
de identificar as partes
principais do problema, a incógnita, os dados, a condicionante e desejar resolvê-lo”.
Para Coxford e Shulte, (1995, p.98), “a introdução precoce e sem suporte
concreto a uma linguagem simbólica abstrata pode funcionar como freio à
aprendizagem significativa da Álgebra”, o menosprezo ao modo de expressão
simbólico-formal
constitui-se
também
no
impedimento
para
seu
pleno
desenvolvimento.
Nesta perspectiva o aluno se perde, havendo, “no entanto, uns poucos
“privilegiados” que simplesmente tentam jogar o jogo[...]” proposto pelo docente, e
assim, aumentam as chances de sucesso, bem como, “aprovação”. (LINS E
GIMENEZ, 2000,p.135)
Nesse sentido, eles destacam o seguinte problema:
olhamos para o aluno e, se ele se comporta de modo identificavelmente,
correto, sei que ele “está lá”, sei onde ele está. Mas se ele se comporta
de maneira “estranha”, divergente em relação ideal? Onde está o aluno,
então? Certamente não está em meu mapa. E pior, entregamo-nos à tarefa
de “trazê-lo” para onde queremos, sem sequer sabermos onde ele está.
Acontece, no entanto, que esse olhar assim dirigido, resulta em pontos de
vista que dão conta do que é certo, olhando aquele ainda não atingiu esse
ponto ideal sempre da perspectiva da falta. É como se buscassem produzir
um “mapa” do que é correta atividade algébrica, na qual professores e
desenvolvedores curriculares se orientariam “. (2000, p. 104).
20
Sendo assim, para Coxford e Shulte, 1995, na Educação Algébrica a
primeira etapa deve ser trabalhada com situações-problema, de forma que garanta o
trabalho reflexivo do aluno, possibilitando a construção de uma linguagem simbólica
que seja significante para o mesmo, e que transforme o concreto em expressões
algébricas.
No entanto, segundo os mesmos autores,
a necessidade maior dos
alunos é uma compreensão dos conceitos algébricos, e a capacidade de usar o
conhecimento em situações novas.
E também para Lins e Gimenez, (2000, p.149),
“ a ausência de
significado para as expressões algébricas está sendo o principal obstáculo para o
desenvolvimento das mesmas, e não alguma dificuldade “intelectual””.
Para Abreu, et al, (2002, p.17) “[... ] a preocupação excessiva com as
apresentações formais, obscurece o que há de mais importante na atividade
algébrica que entende-se ser a produção de significado”.
O registro gráfico pode
exercer papel fundamental no processo de
aquisição da linguagem algébrica, pois segundo Abreu,et al, (2002, p.21) “[...] na
Álgebra o foco é estabelecer procedimentos e relações e expressá-los numa forma
simplificada e geral”.
Desse modo, não se espera que o professor domine completamente
todas as possibilidades que possam surgir em uma situação, mas, que mantenha
sua atenção no processo de forma “intelectualmente honesta”, de modo que o que
ele “ não souber (ou não entender) se torne motivo para aprender e não uma “falha”,
como se costuma considerar”. (LINS e GIMENEZ, 2000, p.110).
Contudo, tratar as questões matemáticas de forma problematizante pode
ser um valioso recurso pedagógico, pois, além de mediar o conhecimento científico
21
de forma significativa, permite o desenvolvimento da criatividade, do raciocínio lógico
e do sentido na apropriação do conhecimento, podendo ser ponto de partida para se
desenvolver conceitos e trabalhar conteúdos matemáticos, quanto ponto de
chegada, ajudando na sistematização.
Segundo Polya, 1978, para se trabalhar com resolução de problemas
deve-se: compreender o problema, elaborar e executar o plano fazendo o
retrospecto ou verificação.
De acordo com Dante, (1989, p.52) “uma das maiores dificuldades do
aluno ao resolver problemas é ler e compreender o texto” , cabendo ao professor o
papel de manter os alunos pensando e gerando idéias produtivas.
Para Polya, (1978, p.3) “[...] se o aluno conseguir resolver problemas que
lhe é apresentado, terá acrescentado alguma coisa à sua capacidade de resolver
problemas”.
No entanto, a resolução de problemas pode propiciar aos alunos
compreensão e significado de problemas algébricos ,“literais”, que para Polya,
(1978, p. 11) “apresentam uma grande vantagem sobre os puramente “numéricos” .
Uma abordagem de um verdadeiro problema pode ser considerada como
uma situação que é nova, inusitada para o indivíduo, o que exprime a
necessidade de inventar, de criar, de conjecturar, de elaborar estratégias e
produzir significados.
Ao contrário do que acontece numa abordagem tradicional, na qual os
conceitos são introduzidos em primeiro lugar e depois seguidos de um
problema de aplicação, na abordagem por resolução de problemas os
alunos começam a interagir com um problema, aberto e qualitativo, o qual
constitui o foco de partida para a aprendizagem”.(ABREU, et. al., 2002, p.
55)
Para Lins e Gimenez, (2000, p. 162) “[...] na educação algébrica básica,
devemos entender sua contribuição à formação dos educandos de maneira ampla”.
Primeiro, em sua participação na educação aritmética e na formação de um sentido
22
numérico. Segundo, em seu papel no desenvolvimento de instrumentos para a
resolução de problemas e para processos investigativos
dentro e fora da
matemática .
Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um
conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado
principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na
construção das soluções das situações-problema. (DANTE, 1989, p. 8)
Segundo Lins e Gimenez , para Bazanezzi,
a caracterização é por conteúdos, mas não no sentido de que uma dada
situação admita somente “investigação algébrica” se o modelo é algébrico,
então, há atividade algébrica; o foco é na motivação que a modelagem
oferece e na possibilidade de os alunos se tornarem capazes de “aplicar” o
que aprendem (BAZANEZZI apud LINS e GIMENEZ, 2000, p. 109)
O uso
de resolução de problemas pode contribuir na elaboração de
estratégias, métodos e modelos desenvolvidos pelos alunos. Quando um aluno está
resolvendo
uma
situação
problema,
desenvolve
diversas
habilidades
e
conhecimentos que são aplicados na solução de vários tipos de problemas, ou seja,
desde os problemas escolares até os cotidianos.
Dependendo do problema em questão há maneiras diferentes de se
chegar a um resultado, pois cada um busca a solução de acordo com seus
conhecimentos, tornando-se assim, mais fácil para alguns do que para outros, pois,
“ o que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função de nível de
desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe”.( PCN, 1997, p.44)
Quanto a situações-problema, a questão é mais que ensinar a resolver
problemas, propor problemas relacionados com a realidade do aluno, para que este
possa relacioná-la a um problema questionando e estudando, visando uma solução.
23
Pois, aqueles problemas sugestivos e significativos aos docentes podem
ser desinteressantes
e impróprios
quando se considera a situação em que o
educando se encontra, não ocorrendo a busca de resposta , e tornando-se assim,
mais um exercício.
[...], sem compreensão da tarefa os problemas se transformam em
pseudoproblemas, em meros exercícios, de aplicação de rotinas aprendidas
por repetição e automatizadas, sem que o aluno saiba discernir o sentido do
que está fazendo e, por conseguinte , sem que possa transferi-lo ou
generaliza-lo de forma autônoma a situações novas, sejam cotidianas ou
escolares.( POZO.1998, p. 15)
Há a preocupação de distinguir a diferença entre problemas que gerem
aprendizado, e que, quando trabalhados são reflexivos e instigantes proporcionando
a aplicação de meios e conceitos obtidos a fim de uma solução, ou até mesmo, da
descoberta de que não há uma solução única, e há aqueles que são resolvidos
diversas vezes da mesma maneira que se tornam meros exercícios.
De acordo com Pozo, (1998, p. 17) “ se um problema é repetidamente
resolvido acaba por tornar-se um exercício, a solução de um problema novo requer a
utilização estratégica de técnicas ou habilidades previamente exercitadas”.
Sendo assim, a Educação Aritmética e Algébrica para o século XXI deve,
segundo Lins e Gimenez, 2000, cumprir um papel de organizar o mundo fora da
escola também e tornar-se mais efetiva em seu papel de ajudar os alunos a
aumentar o seu repertório de modos de produzir significado.
Para Zalman Usiskin,
a Álgebra continua sendo um veículo para a
resolução de certos problemas, mas também é mais do que isso. Ela fornece meios
para se desenvolverem e analisarem relações. E é considerada a chave para a
caracterização e a compreensão das estruturas matemáticas. “ Dados esses
recursos e a matematização crescente na sociedade, não é de surpreender que a
24
Álgebra seja hoje a área-chave de estudo da Matemática e que essa posição de
destaque provavelmente perdure por muito tempo” (1995, p. 21).
Para tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que
forem explorada metodologias que priorizem a criação de estratégias, a
comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam
a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda
do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e
enfrentar desafios. (PCN, 1997, p. 31)
Desse modo, a Matemática perde o caráter impessoal criando a
possibilidade do aluno sentir-se incluído como agente no processo de produção do
conhecimento matemático e mostrando-se mais disposto e interessado em aprender.
A unidade seguinte deste trabalho apresenta a metodologia utilizada,
para atingir os objetivos desta pesquisa.
25
3 – METODOLOGIA
Este trabalho é relato de uma pesquisa avaliativa numa abordagem
ontogênica do desenvolvimento de uma experiência para análise do desempenho
dos alunos no ensino da Álgebra, tendo como população alvo os alunos da 8ª série
do Ensino Fundamental, da Escola Ensino Fundamental Professora Doralina Clezar
da Silva, em Balneário Gaivota – SC. A pesquisa aconteceu no primeiro semestre de
2004.
Considera-se a pesquisa avaliativa, pois segundo Amaral, 2001 ”tem por
objetivo fornecer argumentos de fato para um julgamento de valor” numa abordagem
ontogênica, uma vez que segundo a mesma autora “é aquilo que chamamos de
prática-reflexiva, que tanto quer legitimar e reforçar uma prática já desenvolvida,
como atuar numa inovação ou criar nova prática”.
O tema da pesquisa foi o desempenho dos alunos de 8ª série na
resolução de problemas algébricos, cujo problema era “É possível promover
mudanças no ensino da Álgebra analisando e avaliando o desempenho dos alunos
na resolução de problemas algébricos?”
O instrumento de avaliação para análise da pesquisa foi: primeiro, a
aplicação de atividades, conforme (ANEXO I), que não exigiu interpretação na
resolução para verificar o conhecimento algébrico dos alunos. Após esta etapa da
pesquisa foram aplicadas atividades, (ANEXO II), envolvendo problemas algébricos.
Os dados coletados descritivamente, tiveram por objetivo a identificação e
a investigação dos tipos de erros que os alunos mais cometem na resolução de
problemas algébricos. A análise dos dados buscando conhecer os pontos de
26
maiores incidências de erros, a fim de auxiliar na procura de uma metodologia que
possa propiciar aos alunos compreensão da utilização da Álgebra, bem como sua
importância quando se consegue dar significado.
O objetivo geral da pesquisa foi o de avaliar o desempenho dos alunos da
8ª série do Ensino Fundamental, em resolver problemas algébricos, analisando
quais as principais dificuldades dos alunos na aprendizagem da Álgebra. Salienta-se
que, a motivação deste trabalho teve origem na dificuldade de ensinar os conceitos
algébricos de maneira significativa que faça o aluno compreender e entender a
Álgebra.
Os objetivos específicos dessa experiência foram:
-
pesquisar bibliografias: Educação Matemática; o papel da Escola na
formação do educando e a resolução de problemas como
metodologia para o ensino da Álgebra;
-
diagnosticar as dificuldades mais comuns cometidas pelos educandos
na resolução de problemas algébricos;
-
analisar se a metodologia de resolução de problemas contribui como
facilitadora no processo ensino-aprendizagem da Álgebra.
O público alvo envolvido foi 42 alunos de 8ª séries do Ensino
Fundamental, numa faixa etária de treze a quinze anos, (alguns são repetentes),
descendentes de famílias com baixo poder aquisitivo.
A avaliação dos alunos da pesquisa foi processual qualitativa, com
análise do desempenho deles nas atividades desenvolvidas nas duas etapas.
Nas etapas da pesquisa anteriormente descritas, considerou-se alguns
pontos importantes na análise do desempenho dos alunos na resolução de
problema, segundo Polya, tais como:
27
- Os alunos conseguem interpretar o problema?
- Os alunos conseguem formular a equação?
- Apresentam dificuldades em trabalhar com as incógnitas?
- Têm conhecimento da linguagem algébrica?
Na próxima unidade deste trabalho apresenta-se o levantamento dos
dados e análise dos resultados.
28
4 – O DESEMPENHO DOS ALUNOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ALGÉBRICOS
A sociedade está em constante mudança, e uma das causas é devido ao
rápido desenvolvimento das tecnologias. E para acompanhar essa evolução faz-se
necessário mudar o ensino tradicional, e também, o ensino da Matemática.
Nas últimas décadas, muitos pesquisadores vêm se empenhando em
estudar como os educandos aprendem, como aplicam a aprendizagem para resolver
situações-problema e como constroem seus conceitos para se apropriar,
com
significado, do conhecimento científico.
A finalidade da escola é formar cidadãos dotados de competências e
habilidades, capazes de aprender a aprender, com capacidade de adaptar-se as
mudanças e enfrentar desafios.
Neste sentido, a Matemática deve ser vista como um processo em
permanente evolução no contexto histórico e sócio-cultural em que foi desenvolvida
e continua se desenvolvendo. Sendo assim, em uma sociedade voltada ao
conhecimento e a comunicação, faz-se necessário que o saber informal e cultural
interaja com o trabalho matemático escolar, diminuindo a distância entre a
Matemática formal e a Matemática da vida.
A história nos mostra que a construção do pensamento matemático teve
como base a necessidade humana em resolver problemas da vida cotidiana. Para
muitos estudiosos da Educação Matemática, a resolução de problemas pode ser
uma metodologia eficaz para o ensino da Matemática, pois possibilita uma
aprendizagem mais abrangente.
29
De fato, nas situações-problema os educandos adquirem um conjunto de
habilidades, estratégias, tentativas, deduções, análise, erros e acertos que lhes
auxiliaram na construção do conhecimento de forma significativa. Para isso, os
problemas devem ser interessantes, para que os educandos se sintam desafiados e
motivados em resolvê-los.
Aprender Matemática é apropriar-se dos significados dos conceitos e
propriedades matemáticas e saber aplicá-los em situações novas. Assim, é
necessário, que estes, sejam trabalhados com significado, principalmente, no caso
da aprendizagem algébrica, que visa transpor o conhecimento de propriedades das
operações aritméticas de situações-problema em linguagem matemática.
Nesta perspectiva, desenvolveu-se o trabalho de pesquisa, tendo como
população alvo, quarenta e dois alunos da oitava série do Ensino Fundamental, que
foram escolhidos por considerar-se a possibilidade deles terem um contato maior
com a Álgebra. Com o objetivo de levantar os dados referentes aos erros mais
freqüentes cometidos pelos alunos, tanto nos exercícios de reconhecimento quanto
nos problemas algébricos, a finalidade foi a possibilidade de um diagnóstico do que
não vai bem no processo ensino-aprendizagem da Matemática, principalmente, da
Álgebra.
A pesquisa foi realizada em duas etapas descritas a seguir:
4.1 – LEVANTAMENTO E ANÁLISE DOS DADOS DA PRIMEIRA ETAPA
Na primeira etapa foram aplicadas atividades (ANEXO I), cujos
conhecimentos científicos necessários para desenvolvê-las foram conceitos e
30
propriedades algébricas, que deveriam ser trabalhados nas séries anteriores.
Principalmente, na sétima série do Ensino Fundamental, onde a sistematização do
conhecimento matemático é a Álgebra.
Salienta-se, também, que o objetivo era apenas o reconhecimento, isto é,
os educandos precisaram identificar conceitos e propriedades algébricas de um fato
específico, sem a mediação do professor.
Nas questões aplicadas pode-se observar no desenvolvimento das
atividades, que os educandos até reconhecem, satisfatoriamente, os conceitos
algébricos, mas não conseguem identificar e nem lembrar direito das propriedades,
não demonstraram segurança na execução da atividade.
Atribui-se a este resultado, o que muitos estudiosos na área de Educação
Matemática vêm diagnosticando, que os alunos ainda não se apropriaram do
conhecimento algébrico, por não ter sido dado o significado necessário para a sua
compreensão.
Nas atividades propostas, os alunos deixaram de acertar questões por
terem cometido erros graves, tais como: desconsideraram os sinais dos números e a
operação pedida. Exemplo, nas equações, tiveram oito alunos que, abandonaram o
sinal da igualdade, buscando chegar a um resultado único para a equação, isto é,
resolveram as equações de 1º grau, das formas descritas na Tabela 01 abaixo:
x – 2 = 10
2x – 10
8x
x+3=1
3x + 1
Além
de
desconsiderarem
a
operação
(subtração), adicionaram termos distintos. O
sentido da igualdade foi desprezado também.
Adicionaram termos distintos e desconsideraram
o sentido da igualdade.
4x
Tabela 01 – Demonstração de resolução de equações de 1º grau
31
Nas questões de número um até sete conforme (ANEXO I), o conteúdo
exigido era cálculo de equação de 1º Grau, dos quarenta e dois alunos participantes
da pesquisa, obteve-se o seguinte resultado apresentado na Tabela 02:
Nº da atividade
Nº de alunos que não acertaram
Percentual de erros
(aproximado)
01
11
26%
02
14
33%
03
18
43%
04
19
45%
05
29
69%
06
17
40%
07
28
67%
Tabela 02 – Dados das questões com maior incidência de erros
Estes alunos apresentaram dificuldades em trabalhar com as incógnitas, e
também, falta de compreensão das operações aritméticas, principalmente, na
divisão, atividade cinco, e também na aplicação da propriedade distributiva
necessária na atividade sete.
Alguns, trocam as operações, considera-se falta de atenção, por exemplo,
quando é multiplicação, somam e quando é adição, multiplicam. Nas equações,
observa-se que
há dificuldade em efetuar as operações inversas, e assim,
buscaram a solução por meio de tentativas.
Outro aspecto que ocorreu foi na multiplicação entre incógnitas, onde o
conhecimento das propriedades de potências era prioridade. Exemplo: na resolução
de, x . x , os alunos resolveram da seguinte maneira: x . x = 2x
(adicionaram, em
vez de multiplicar). Mostrando a falta de entendimento e compreensão dos conceitos
e propriedades trabalhadas em séries anteriores.
32
Na atividade sete, já comentada anteriormente, para resolver à equação
era necessário aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, neste caso:
•
somaram os termos dos parênteses, como se faz nas expressões
numéricas, desconsiderando a multiplicação conforme exemplo a
abaixo;
•
multiplicaram apenas um dos termos, exemplo b;
•
aplicaram a propriedade distributiva, mas na seqüência da resolução
isolaram a incógnita, exemplo c;
Atividade nº 7:
a)
7) 2 ( x + 5 ) = -4
2 ( 5x) = -4
b)
c)
7) 2 ( x + 5 ) = -4
7) 2 ( x + 5 ) = -4
2x + 5 = -4
5x = -4 –2
2x + 10 = -4
x = -2 –10 -4
Observou-se que os erros cometidos no item a, foram feitos, também
pelos mesmos alunos das questões anteriores, totalizando oito alunos dos vinte e
oito que erraram esta questão.
Para reforçar a compreensão dos resultados da atividade sete apresentase o gráfico na página seguinte:
DESEMPENHO DOS ALUNOS NA
ATIVIDADE Nº 7
Acertos
33%
Erros
67%
33
Pode-se observar que a incidência de erros atingiu a grande maioria, e os
erros cometidos pelos alunos foram preocupantes.
Nas questões envolvendo aplicação de propriedades algébricas, como as
de número oito até a onze (propriedades de potência), pode-se observar, que os
alunos resolveram estas questões da seguinte maneira:
Atividade 9: (a2 )6 = a8
Nesta questão, trinta e um alunos, somaram os expoentes ao invés de
multiplicarem, representando aproximadamente 74% dos alunos. Fato considerado
grave, pois trabalha-se com propriedades das potências também na aritmética.
Atividade 11: a) a-3 = a3
b) a-3 = 3a
c) a-3 = a.a.a
Trinta e oito alunos dos quarenta e dois erraram esta questão. Destes,
vinte e um, resolveram conforme o item a, e cinco, pelo item b, e três de acordo com
o item c, e os restantes de diferentes maneiras. O que se observa é que a questão
do expoente negativo é totalmente desconhecida pela grande maioria dos alunos.
E para ficar mais clara a idéia desta representação, apresenta-se o
Gráfico 02 a seguir:
DESEMPENHO DOS ALUNOS NA
ATIVIDADE Nº 11
erros
diversos
24%
Item C
8%
ITEM B
13%
Item A
55%
34
Nas atividades de número doze até dezesseis, o conteúdo exigido era
operações de polinômios. Destas questões, as que tiveram maior incidência de erros
foram as atividades número treze e quatorze (adição de polinômios), número quinze
(multiplicação de polinômios), e a de número dezesseis (divisão de polinômios).
Os erros mais freqüentes foram:
•
Não consideraram o sinal dos números na operação:
•
Somaram todos termos dos parênteses;
•
Não consideraram os termos diferentes;
•
Buscaram um valor único;
•
Não aplicaram as propriedades de potências.
Os alunos resolveram da seguinte maneira:
Atividade 13: x + y + 3x = 4xy
Atividade 14: (3x2 + 9x – 5) + (2x 2 – 8x – 3)=
5x2 + 17x – 8
ou
(3x2 + 9x – 5) + (2x 2 – 8x – 3)=
5x2 +x + 8
6 x2 + 8
14 x2
Atividade 15: 6x2 . 4x 3y = 10x5y
ou
Atividade 16: (15x4 + 20x 3) : (5x2)=
(35x7) : (5x2)
7x 5
6x2 . 4x 3y = 24x 6y
35
Os alunos desconsideraram as operações, a condição de termos
semelhantes, e estavam preocupados apenas em responder com um termo. Fato,
também, considerado grave.
A Tabela 03 apresenta os dados referentes às questões aqui descritas:
Nº da atividade
Nº de alunos que não
Percentual
acertaram
%
12
5
12%
13
17
40%
14
24
57%
15
16
38%
16
34
81%
Tabela 03 – Dados das atividades de nº 12 a 16
Analisando os resultados apresentados na Tabela 03, considera-se que os
erros cometidos pelos alunos demonstraram, no desenvolvimento da resolução, o
fato de como a Álgebra tem sido trabalhada, destituída de significado com ênfase
apenas na memorização.
As atividades número dezessete e dezoito, (produtos notáveis), foram
resolvidas pelos alunos da seguinte maneira:
Atividade 17: a) (x + y)2 = x2 + y2
c) (x + y)2 = (x + y) . (x + y)
b) (x + y)2 = x y2
d) (x + y)2 = 2xy
e) (x + y)2 = 2x + 2y
Nesta atividade houve um número significante de alunos que não
acertaram, trinta e nove alunos dos quarenta e dois. Destes, vinte resolveram como
foi apresentado na atividade dezessete item a, não souberam resolver produtos
36
notáveis, dez resolveram conforme o item b, três tentaram resolver pela definição de
potência (item c), aplicando o conceito, mas não resolvendo, e outros três de acordo
com o item d e e. Considera-se que o aluno, na época que viu este conteúdo,
apenas memorizou, por isso esqueceu.
Atividade 18: a) (x + 3) . (x – 3)
3x . 3x
6x
b) (x + 3) . (x – 3)
x 2 – 3x + 3x - 9
x2 – 6x – 9
Nesta questão, treze alunos resolveram os termos dos parênteses,
buscando um valor único por meio de adição e não da multiplicação, quatro, mais
uma vez, desconsideraram o sinal, não prestando atenção, convém salientar que
estes não foram os mesmos das atividades anteriores. Os demais cometeram
diferentes erros, sendo, os citados acima, os mais freqüentes.
Nas questões de número vinte e um a vinte e quatro, teve grande número
de alunos que não conseguiram resolver, chegando à aproximadamente 90% dos
alunos, ocorrendo o mesmo na atividade dezessete, elevando cada termo da soma
ou da subtração ao expoente dado. Exemplos:
Atividade 21: (x- 2)2 = x 2 – y2
Atividade 22: (x-1)3 = x3 – 13
Atividade 23: (x + 2)3 = x3 + 23
Atividade 24: (x + 1)4 = x 4 + 14
37
Nas atividades de radicais do número vinte e cinco a vinte e sete,
também não conseguiram usar as propriedades, representando 98% dos alunos.
Pode-se perceber uma certa confusão, por exemplo:
Atividade 25: a)
c)
x2 + y2 = x + y
b) x 2 + y 2 = x + y = xy
x 2 + y 2 = xy4
No item a, extraíram a raiz, sem considerar que o radicando apresentava
uma soma de potência e não uma multiplicação.
Atividade 26: a) a 2 b 4 = ab6
b)
a 2 b 4 = ab
c)
a 2b 4 = a + b
d)
a 2 b 4 = a + b2
e)
a 2 b 4 = a2b2
f)
a 2 b 4 = a2 b4
Neste caso, não aplicaram a propriedade de radicais, sendo que, dos
81% dos alunos que não acertaram, 38% resolveram conforme o item a, 12% de
acordo com o item b, e 9% pelo exemplo do item c , os itens (d, e, f)
corresponderam a 5% cada um, e os restante 7%, resolveram de maneira
diversificada.
Na atividade 27, houve certa falta de atenção, pois os alunos resolveram
da seguinte maneira:
Atividade 27:
3
-
− x 3 , para x >0
x3
Dentre os alunos que participaram das atividades, 50% acertaram esta
questão, e os demais 50%, resolveram como o modelo anterior.
38
Nesta primeira etapa da pesquisa, observa-se que os alunos ainda não
entenderam com significado os conceitos algébricos, pois 74% deles apresentaram
rendimento inferior a 50% nos exercícios de reconhecimento aplicados.
4.2 – LEVANTAMENTO E ANÁLISE DOS DADOS DA SEGUNDA ETAPA
Nesta etapa da pesquisa foram aplicadas questões envolvendo problemas
algébricos (ANEXO II). Nela pode-se observar a grande força que a aritmética ainda
exerce sobre o raciocínio dos alunos nas resoluções de problemas, dificultando a
sistematização algébrica, ou seja, a maioria dos alunos não conseguiram generalizar
as situações-problema, buscando sempre resolver tais situações aritmeticamente.
Além disso, os alunos apresentaram dificuldades em resolver situações,
que precisavam do conhecimento considerado básico de geometria, fazendo
confusão entre área e perímetro de uma figura.
Assim, apresenta-se nas atividades a seguir, os erros mais freqüentes
ocorridos entre os alunos da oitava série do Ensino Fundamental referente à
Álgebra, que, segundo PCN deveria ter sido trabalhado desde a sexta série.
Dos
alunos
participantes
na
primeira
atividade
desta
etapa,
aproximadamente 50%, não conseguiram atingir o objetivo de representar
algebricamente o problema. E procederam da maneira descrita a seguir:
Atividade nº 1:
Uma equipe de rally, desloca-se por etapas, cada uma com a mesma
extensão:
39
Se a extensão para cada etapa é de 80km. O que você poderia dizer
sobre a distância percorrida pela equipe em x etapas?
Resposta do problema: A distância percorrida pela equipe é de 80x.
D = 80x
Procedimentos dos alunos:
•
Dos participantes, 20% não acertaram, e resolveram esta questão,
contando a quantidade de segmentos da figura,
e fazendo o
cálculo aritmético, exemplo: 17 . 80 = 1360, demonstrando a
necessidade de obter um valor numérico final;
•
Aproximadamente,
11%
representaram
algebricamente,
continuando a resolver até conseguir o resultado em número, como
o exemplo a seguir:
80x = 1360
x = 1360/80
x = 17
A Tabela 04 apresenta o desempenho geral da turma:
Atividade nº 1
Percentual dos resultados (%)
Resolveram aritmeticamente
20%
Representaram algebricamente, mas
11%
buscando valor numérico
Resolveram corretamente
50%
40
Não fizeram
19%
Tabela 04 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 1
Nesta atividade metade da turma conseguiu acertar a questão,
demonstrando ter boa leitura interpretativa do problema proposto, conseguindo
representar algebricamente, atingindo o objetivo previsto na atividade.
A questão seguinte, teve como objetivo, analisar o conhecimento dos
alunos em geometria e a sua aplicação com o propósito de investigar se eles
conseguiriam representar o cálculo da área da figura, utilizando a Álgebra.
Atividade de nº 2:
O que você pode escrever como área do retângulo?
p
a
m
Resposta do problema: Área = p ( a + m)
ou
Área = ap + mp
Nesta atividade verificou-se que, faltou o conhecimento da geometria
básica, os alunos calcularam o perímetro da figura, resolvendo da forma
apresentada na Tabela 05:
Resolução da atividade nº 2
Percentual dos resultados
A = 2p + 2m + 2a
3%
A = p + am
7%
A = pa + m
5%
2
2
2
12%
A=p+a+m
14%
A = p .a .m
A = pam
41
A = 3p + 2m + 2a
5%
Diversas maneiras
34%
Acertaram
20%
Tabela 05 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 2
Analisando a Tabela 05, observa-se que os alunos, preocupados em
resolver o problema rapidamente, não fizeram uma boa leitura, demonstrando a falta
de atenção, pois nas resoluções apresentadas, efetuaram o cálculo do perímetro e
não da área da figura.
Para uma melhor análise do desempenho dos alunos nesta atividade,
apresenta-se o seguinte Gráfico 03:
DESEMPENHO DOS ALUNOS NA
ATIVIDADE Nº 2
20%
acertaram
Não acertaram
80%
Oitenta por cento ( 80%) dos alunos, não representaram corretamente a
área da figura, confundindo área com perímetro, mostrando não terem adquirido
ainda, o significado destes conceitos, e também que não se familiarizaram com a
Álgebra.
Atividade nº 3:
42
O que você poderia escrever sobre o perímetro desta figura:
2
Parte da figura não está desenhada.
São n lados ao todo, cada um de comprimento
2.
2
2
2
Resposta do problema: P = 2n
Esta atividade teve como objetivo principal verificar se os alunos além de
interpretar o problema a partir da figura proposta, conseguiriam representá-lo, por
meio de uma equação.
Constatou-se que, a maioria dos alunos, aproximadamente 79%, tiveram
dificuldade na interpretação, pois, a partir da figura proposta, não souberam
representar algebricamente o problema, desenvolvendo a atividade da seguinte
maneira:
•
Atribuíram valor 2 para cada segmento da figura, desconsiderando
que a figura está incompleta;
•
Fecharam a figura buscando um resultado numérico;
•
Tentaram resolver usando a aritmética a fim de chegar a um valor
único;
•
Representaram algebricamente, mas não usaram a operação
adequada, mostrando a falta de conhecimento da geometria.
Na tabela abaixo, apresenta-se o desempenho dos alunos nesta
atividade:
Atividade nº 3
a) Fecharam a figura
Percentual dos resultados
24%
43
b) Tentaram resolver aritmeticamente
40%
c) Acertaram
7%
d) P = n +2 + 2 + 2 + 2
7%
e) P = 17 + n
3%
f) P= 2 + n
5%
g) Não fizeram
14%
Tabela 06 – Resultado do desempenho dos alunos na atividade nº 3
Aproximadamente, 64% dos alunos, buscaram um resultado numérico e,
ao representar algebricamente, cometeram erros que possibilitaram uma análise do
procedimento deles nas resoluções das atividades. Exemplos: na forma (e),
apresentada na Tabela 06, o aluno adicionou o número dois tantas vezes quanto ele
aparece na figura, considerando, também, os demais segmentos como n; na forma
(f), na mesma Tabela, não usaram a operação adequada. Observou-se que, a
operação de adição aparece com muita freqüência nas resoluções.
Atividade nº 4:
Um estacionamento cobra 8 reais pelas primeiras duas horas e mais
1,50 reais pelas horas subseqüentes. Quanto se pagará se:
a) Um carro ficar estacionado 4 horas?
Resposta: Q = 1,50 . 2 + 8
⇒
b) Um carro ficar estacionado 6 horas?
Resposta: Q = 1,50 . 4 + 8
Q = 14
c) Um carro ficar estacionado n horas?
Resposta: Q = 1,50 . n + 8
Q = 11
44
O objetivo desta atividade foi investigar se os alunos tinham domínio das
operações aritméticas envolvidas, e também, analisar a forma de construção da
equação.
A Tabela abaixo apresenta o desempenho, por itens, dos alunos nesta
atividade:
Itens da atividade nº 4
Percentual
Percentual
aproximado de acertos aproximado de erros
Não fizeram
(%)
(%)
(%)
Item a
50%
36%
14%
Item b
45%
41%
14%
Item c
2%
77%
21%
Tabela 07 – Desempenho dos alunos na atividade nº 4
Nesta atividade constatou-se que, 33% dos alunos não acertaram nenhum
item da questão, demonstrando a falta de conhecimento e de significado da Álgebra,
e também, dificuldades aritméticas. Pode-se verificar que 98% deles, não souberam
representar algebricamente o item c do problema, e as formas de resolução mais
freqüentes, apresenta-se na Tabela 08, abaixo:
Resolução do item c da
Percentual dos erros (%)
Análise
n reais
34%
8n
10%
n . 8 . 1,50
2%
Consideraram apenas a representação
de um valor qualquer
O valor das primeiras duas horas,
multiplicada
pelas
n
horas,
desconsiderando o restante dos dados
do
problema.
Faltou
leitura,
interpretação e relação com os itens
anteriores.
Não fizeram uso correto da operação.
8+n
5%
Idem a análise anterior
atividade nº 4
45
Aritmeticamente
26%
Não fizeram
21%
Não
generalizaram
a
situação,
procurando um resultado numérico.
Nem tentaram resolver
Tabela 08 – Desempenho dos alunos no item c da atividade nº 4
A Tabela 08, apresenta os dados de 98% dos alunos, e os 2% restantes,
que não estão incluídos, correspondem ao índice de acerto desta atividade, este
valor significa que, apenas, um aluno conseguiu atingir o objetivo da atividade
representando corretamente o item c.
De modo geral, observa-se, que além da falta de interpretação, há
principalmente, a dificuldade de relacionar os dados do problema, pois mesmo
conseguindo resolver aritmeticamente, não souberam relacionar os itens a e b para
representar de forma algébrica o item c.
Atividade nº 5:
Esta atividade teve o propósito de analisar o desempenho dos alunos na
interpretação de determinada situação-problema a partir de uma figura, além de,
diagnosticar o conhecimento deles na geometria, e o domínio das operações
aritméticas envolvidas.
Observe a planta abaixo:
8m
10m
5m piscina
6m
vestiário
18m
2m
Nesse pátio qual deve ser a área ladrilhada?
Resposta do problema: Área total = 10m . 20m = 200 m2
46
Área da piscina = 5m . 8m = 40 m2
Área do vestiário = 6m . 2m = 12 m2
Área ladrilhada = 200 m2 - 40 m2 - 12 m2
Área ladrilhada = 148 m2
Pode-se observar que os alunos não conseguiram aplicar os conhecimentos
adquiridos de geometria na resolução do problema.
Nesta atividade, todos erraram, confundiram novamente o conceito de
área com perímetro, demonstrando a falta de conhecimento geométrico.
Atividade nº 6:
Observe o número de mesas e quantos lugares cada situação acomoda:
a) Quantos lugares teremos quando houver 4 mesas? E quando houver
5 mesas?
Resposta:
Para 4 mesas: 2 . 4 + 2 = 10
Para 5 mesas: 2 . 5 + 2 = 12
b) Havendo 10 mesas quantos serão os lugares?
Resposta: 2 . 10 + 2 = 22
c) Havendo m mesas quantos serão os lugares?
Resposta:
Para m mesas: 2 . m + 2
Para resolver esta atividade, os alunos partiriam de dados aritméticos até
generalizá-los (representando algebricamente o problema).
47
Sessenta por cento (60%) dos alunos, não conseguiram resolver o
problema corretamente, nem de forma aritmética, e nem algebricamente,
demonstrando assim, dificuldade de interpretação do problema proposto. Porém,
24% deles foram bem na resolução aritmética, mas não conseguiram fazer a
representação algébrica. Sendo assim, o que se observa é, ainda, a dificuldade em
trabalhar com incógnitas, mesmo quando o problema proposto sugere que o aluno
parta de dados numéricos para depois chegar na generalização do problema.
O Gráfico 04 abaixo representa o desempenho dos alunos na resolução
desta atividade.
DESEMPENHO DOS ALUNOS NA ATIVIDADE Nº 6
14%
2%
Acertaram
Não acertaram
Acertaram parcialmente
24%
60%
Não fizeram
Na análise deste gráfico pode-se constatar que, 14% dos alunos, não
fizeram esta atividade, e que apenas, 2%, correspondendo a um aluno, conseguiu
resolver de forma correta.
Atividade nº 7:
Observe a seqüência abaixo:
48
a) Acrescente as duas seqüências seguintes;
b) Que relação tem essa seqüência com a das figuras dos números
quadrados?
Resposta: n2 - 1 , o quadrado de um número qualquer subtraindo 1,
ou, o valor do lado da figura ao quadrado, menos 1.
c) A quantidade de bolinhas em cada figura da seqüência é: 3 ; 8 ; 15.
Quantas são as bolinhas na 4ª figura? E na 5ª? E na 9ª? E na n
figura?
Resposta:
Na 4º figura: 52 – 1= 24
Na 5º figura: 62 – 1 = 35
Na 9º figura: 102 – 1 = 99
Na n figura: n2 – 1
Esta atividade teve o objetivo de diagnosticar a interpretação e a
representação algébrica dos alunos a partir da figura proposta.
O desempenho deles nesta atividade, apresenta-se na Tabela 09 a seguir,
em que os resultados foram apresentados por itens:
Atividade nº 7
Percentual de
Percentual de erros
acertos (%)
cometidos (%)
Não fizeram (%)
Item a
31%
45%
24%
Item b
0%
53%
47%
Item c
0%
69%
31%
Tabela 09 – Desempenho dos alunos na atividade nº 7
49
Pode-se observar que nos itens b e c, em que foi necessária a
interpretação e representação da Álgebra, o percentual de acertos foi nulo,
evidenciando, desta maneira, a dificuldade que os alunos possuem em Álgebra.
DESEMPENHO DOS ALUNOS NA
ATIVIDADE Nº 7
14%
0% 7%
Acertaram tudo
Acertaram
parcialmente
Não acertaram
Não fizeram
79%
A maioria dos alunos, 79%, não conseguiram resolver corretamente, pois
7% deles acertaram parcialmente e 14% não resolveram nenhum dos itens. Isto
demonstrou a falta de leitura e de conhecimento significativo para a resolução do
problema.
Atividade nº 8:
Este é um quadrado mágico. A soma dos três números de cada linha,
coluna e diagonal é a mesma. Neste caso, essa soma é 15. Descubra os valores
restantes.
2
9
4
7
5
3
6
1
8
50
Esta atividade , cujo objetivo maior era de verificar a estratégia dos alunos
na resolução do problema, isto é, se eles resolveriam a atividade por tentativas
(aritméticas) ou usando como recurso, a Álgebra.
A Tabela 10 apresenta os resultados obtidos nesta atividade:
Atividade nº 8
Percentual (%)
Resolveram aritmeticamente
67%
Resolveram algebricamente
0%
Não acertaram
19%
Não fizeram
14%
Tabela 10 – Desempenho dos alunos na atividade nº 8
Constatou-se que nenhum aluno tentou resolver algebricamente. Todos
que tentaram resolver o problema, a forma utilizada foi aritmeticamente, sendo que,
19% do total de alunos não conseguiram o resultado correto.
Atividade nº 9:
Eu lhe dei o
dobro que
você
Agora, cada
um de nós
tem 45 reais.
possuía.
Quanto possuía cada um deles antes da transação monetária?
Sugestão: Paula possuía x. Aí recebeu...
Resposta do problema:
Paula possuía: x + 2x = 45
51
x + 2x = 45
3x = 45
x = 45/3
x = 15
Paula possuía x reais, e recebeu o dobro, 2x , ficando com R$ 45,00.
Resolvendo a equação obtém-se o valor x correspondente a 15, logo, Paula tinha
R$ 15,00, antes da transação monetária. E ele deu a Paula o dobro do valor que ela
possuía, então, R$ 30,00, ficando com R$ 45,00. Portanto, ele possuía antes da
transação monetária, R$ 30,00, que ele deu a Paula, mais os R$ 45,00 que sobrou,
totalizando R$ 75,00.
A tabela 11 apresenta o desempenho da turma:
Atividade nº 9
Percentual dos resultados (%)
Acertaram tudo
0%
Acertaram parcialmente
5%
Não acertaram
81%
Não fizeram
14%
Tabela 11 – Desempenho dos alunos na atividade nº 9
Nesta atividade, os 5% que resolveram parcialmente, conseguiram
formular a equação resolvendo parte do problema, fizeram da seguinte maneira:
x + 2x = 45
3x = 45
x = 15
Encontraram o valor correto da equação e, consideraram este valor como
resposta para o problema.
52
Oitenta e um por cento (81%), não conseguiram representar utilizando
uma equação para resolver a situação-problema, mas todos tentaram resolver
aritmeticamente. Não houve também, interpretação adequada para o problema, pois
aproximadamente, 21%, determinaram que, o valor correto para a solução seria, a
metade de quarenta e cinco reais. Exemplo: 45 : 2 = 22,50, os demais, 60%, tiveram
respostas diversificadas.
Atividade nº 10:
Em um jornal estava o seguinte anúncio: ALUGA-SE CASA COM 2
QUARTOS E DEMAIS DEPENDÊNCIAS POR R$ 300,00 MENSAIS.
a) Se a duração do contrato for de 6 meses quanto se gastará de
aluguel?
Resposta do problema: 300 . 6 = 1 800
Se gastará R$ 1 800,00 de aluguel
b) E se for de 12 meses?
Resposta do problema: 300 . 12 = 3 600
Neste caso, o valor do aluguel será de R$ 3 600,00.
c) E quanto custará se a duração do contrato for de n meses?
Resposta do problema: Aluguel = 300 . n
d) E de quantos meses será o contrato se for pago 5.400,00 reais de
aluguel?
Resposta do problema:
A = 300 . n
5 400 = 300 . n
5 400/300 = n
18 = n
53
Esta atividade, também, sugere que o aluno parta de questões aritméticas
( itens a e b ), até chegar na representação algébrica ( itens c e d ).
No geral, 15% acertaram todos os itens, 69%, parcialmente, e 2% não
acertaram nenhum item, os demais, 14%, não fizeram esta atividade.
A tabela 12 apresenta os resultados obtidos em cada item desta atividade:
Atividade nº 10
Percentual de acertos
Percentual de erros
Não fizeram (%)
(%)
(%)
Item a
83%
5%
12%
Item b
76%
7%
17%
Item c
21%
58%
21%
Item d
67%
17%
16%
Tabela 12 – Desempenho dos alunos na atividade nº 10
A maior incidência de erros ocorreu no item c, cuja, resolução exigia a
representação algébrica. Novamente, os alunos utilizaram a aritmética, sendo que
apenas, 21% dos alunos, resolveram corretamente. Nos itens a e b, eles não tiveram
dificuldades, pois se resolvia por operações aritméticas. Como foi dada a
possibilidade no item d para resolver tanto de forma aritmética como algébrica, 67%
dos alunos que chegaram a resposta correta usaram apenas a aritmética.
Para se obter uma análise geral do grupo de alunos envolvidos nesta
pesquisa, fez-se uma classificação deles, fundamentada no desempenho de cada
aluno no desenvolvimento das atividades, isto é, de acordo com a média bimestral,
que é uma das exigências do Sistema Educacional.
Os alunos foram classificados como:
54
“bons” , aqueles que apresentaram rendimento escolar igual ou
superior a 7;
os “regulares”, com rendimento escolar entre 5 e 7, incluindo o 5;
“baixo rendimento”, com média inferior a 5.
4.3- RESULTADO GERAL DA PRIMEIRA ETAPA DA PESQUISA: ATIVIDADES
DE RECONHECIMENTO
Nas atividades da primeira etapa deste trabalho de pesquisa, como já foi
dito, foram trabalhadas com atividades de reconhecimento, envolvendo questões de
equações do 1º grau, propriedades de potência e de radicais, operações com
polinômios e produtos notáveis.
Estas questões foram exploradas nos exercícios com o objetivo de
verificar se os alunos se apropriaram destes conhecimentos, pois eram temas de
séries anteriores.
A demonstração do desempenho geral dos alunos participantes deste
trabalho de pesquisa encontra-se, nos Gráficos apresentados a seguir:
GRÁFICO 06
DESEMPENHO DOS ALUNOS "BONS" NAS
ATIVIDADES DA 1ª ETAPA
11%
4%
40%
Equações 1º Grau
Propriedades de
potência
Operações com
polinômios
Produtos notáveis
20%
25%
Propriedades de
radicais
55
Neste caso, os alunos apresentaram um desempenho inferior a 50%, em
todos os temas abordados na primeira etapa. Principalmente nas questões
envolvendo operações com polinômios, o percentual de acertos ficou de apenas
20%, dado considerado preocupante, pois isto significa que 80% dos alunos, não
souberam resolver. Nas questões de propriedades, 11% acertaram as de radicais e
25% de potência, totalizando 36% de acertos em ambos os casos, mostrando que
64% dos alunos ainda não se apropriaram do conhecimento trabalhado em séries
anteriores.
O diagnóstico das resoluções das atividades de equações do 1º grau
apresentou um índice de acerto um pouco melhor em relação as outras questões,
pois houve um percentual de 40%, mas ainda preocupante, pois, 60% dos alunos
não conseguiram resolver corretamente. De todas as atividades propostas, o menor
percentual de acertos ocorreu nas questões de produtos notáveis, apenas, 4%
acertaram, deixando um percentual de erros de 96% dos alunos envolvidos.
GRÁFICO 07
DESEMPENHO DOS ALUNOS "REGULARES" NAS
ATIVIDADES DA 1ª ETAPA
9%
3%
43%
22%
Equações 1º Grau
Propriedades de
potencia
Operações com
polinômios
Produtos notáveis
23%
Propriedades de
radicais
56
Pelos resultados apresentados, tanto no Gráfico 06 como no Gráfico 07,
pode-se observar que nos dois casos, os alunos apresentaram rendimento inferior a
50%, em todos os temas abordados na primeira etapa.
Nas atividades de operações com polinômios, os acertos dos alunos
considerados regulares foram de 22%, com uma vantagem de 2% em relação ao
resultado do Gráfico 06, mas com um percentual de erros de 78%. Nas questões
envolvendo propriedades, obteve-se acertos de 23% nas de potência e 9% nas de
radicais, totalizando 32%, ficando um índice de 68% de erros. Nas atividades de
equações do 1º grau, os alunos acertaram 43%, e 57%, não conseguiram resolver
corretamente. Assim como no Gráfico 06, as questões de produtos notáveis foram
as que tiveram o menor percentual de acertos, apenas 3%.
GRÁFICO 08
DESEMPENHO DOS ALUNOS DE "BAIXO
RENDIMENTO" NAS ATIVIDADES DA 1ª ETAPA
0% 6%
21%
Equações 1º Grau
15%
58%
Propriedades de
potência
Operações com
polinômios
Produtos notáveis
Propriedades de
radicais
Pelos resultados apresentados no Gráfico 08, estes alunos tiveram
rendimento superior a 50%, nas atividades sobre operações com polinômios, mas
inferior a 50%, nas demais.
Nesta etapa, estes alunos surpreenderam em relação aos considerados
57
“bons” e “regulares” nas atividades de operações com polinômios, pois o percentual
de acertos deles foi mais que o dobro em relação aos demais. Nas questões de
propriedades o percentual foi de 15% nas de potência e 6% nas de radicais,
totalizando 21% de acertos, e nas atividades sobre equações do 1º grau, obteve-se
também, 21%. Tanto nas questões envolvendo propriedades, como nas equações
do 1º grau, tem-se um percentual
preocupante de 79% de alunos que não
acertaram, e mais alarmante foi nas atividades de produtos notáveis, na qual o
número de acertos foi nulo.
4.4 – RESULTADO GERAL DA SEGUNDA ETAPA PESQUISA: PROBLEMAS
ALGÉBRICOS
Nesta segunda etapa da pesquisa, como já foi dito anteriormente, as
atividades aplicadas envolviam problemas algébricos, com o objetivo de analisar o
desempenho dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental na resolução destes
problemas, bem como o uso da Álgebra.
A demonstração do desempenho geral dos alunos participantes deste
trabalho de pesquisa encontra-se, nos Gráficos a seguir:
GRÁFICO 09
DESEMPENHO DOS ALUNOS "BONS"
NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS
ALGÉBRICOS
28%
ACERTARAM
56%
16%
ACERTARAM
PARCIALMENTE
NÃO ACERTARAM
58
No Gráfico 09, constatou-se que os alunos considerados “bons”,
obtiveram um percentual de acertos de apenas 28% e 16% conseguiram acertar
parcialmente as atividades propostas, o restante, 56%, não acertaram as questões
envolvendo problemas algébricos, correspondendo a um valor significativo e
preocupante, pois demonstra a falta de conhecimento científico dos alunos.
GRÁFICO 10
DESEMPENHO DOS ALUNOS "REGULARES"
NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS
ALGÉBRICOS
17%
20%
63%
ACERTARAM
ACERTARAM
PARCIALMENTE
NÃO
ACERTARAM
Estes alunos, obtiveram um percentual de acertos de apenas 17%, os que
conseguiram acertar parcialmente as atividades propostas, correspondem a 20%, os
demais, 63%, não acertaram as questões envolvendo problemas algébricos, dado
preocupante como os do Gráfico 06.
GRÁFICO 11
DESEMPENHO DOS ALUNOS DE "BAIXO
RENDIMENTO" NA RESOLUÇÃO DOS
PROBLEMAS ALGÉBRICOS
8%
16%
ACERTARAM
76%
ACERTARAM
PARCIALMENTE
NÃO ACERTARAM
59
No Gráfico 11, observa-se um percentual de acertos menor que dos
outros dois gráficos anteriormente apresentados, pois apenas, 8% destes alunos
conseguiram acertar as atividades propostas. Destes alunos considerados de “baixo
rendimento”, 16%, acertaram parcialmente os problemas algébricos, ficando o
percentual de alunos que não acertaram em aproximadamente 76.
No geral, pode-se constatar que nesta segunda etapa os alunos,
obtiveram um percentual de acertos inferior a 30% (considerando a questão
totalmente certa), em todos os três grupos classificados.
Analisando as duas etapas deste trabalho de pesquisa, observa-se que
os alunos tiveram um rendimento inferior a 50% em todas as atividades da primeira
etapa, envolvendo exercícios de reconhecimento, e que, este percentual baixou para
30%, nas atividades da segunda etapa sobre problemas algébricos.
Nas atividades da primeira etapa, os alunos mostraram-se tensos e
preocupados em lembrar a maneira correta de resolver as questões, apresentando
dificuldades em aplicar as propriedades e os conceitos que deveriam ter sido dados
em séries anteriores e apropriados por eles.
Na segunda etapa, o fato de se trabalhar com situações-problema, não
proporcionou um clima tenso por parte dos alunos, pois para eles os problemas
apresentaram certa
dificuldade na
resolução, mas, dependia apenas
da
interpretação adequada. Sendo assim, os alunos procuraram resolver os problemas
algébricos de acordo com suas interpretações. Nos itens das questões envolvendo
aritmética, muitos alunos conseguiram resolver, porém apresentaram
bastante
dificuldade
Álgebra,
nas
situações-problema
e
resoluções
envolvendo
a
demonstraram não “aceitar” a generalização do problema, pois, na maioria das
vezes, buscavam um valor numérico final como resposta.
60
Nesta etapa os alunos tentaram resolver com mais motivação,
conseguindo visualizar a aplicação da Álgebra, embora não tenham aplicado os
conhecimentos corretamente, ao contrário das atividades propostas na primeira
etapa, que foram resolvidos por meio da memorização. Em ambas etapas constatouse a falta de
anteriores.
significado
da Álgebra
aos conteúdos trabalhados em séries
61
5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao término deste trabalho de pesquisa, espera-se que os dados
levantados, analisados e relatados contribuam para uma mudança na metodologia
do ensino da Álgebra.
A Matemática deve deixar de ser vista como algo pronto e acabado, pois
segundo pesquisadores da área, deve ser trabalhada no contexto histórico,
possibilitando ao educando percebê-la como algo construído ao longo da história da
humanidade, que está sendo utilizada e renovada no cotidiano dos mais diversos
povos.
Sendo assim, uma das opções seria trabalhar a Educação Algébrica por
meio de situações-problema, como forma de garantir o trabalho reflexivo do aluno,
possibilitando a construção de uma linguagem simbólica que tenha significados.
Para tanto, a formação do pensamento e da linguagem algébrica deve ultrapassar a
manipulação de símbolos e regras.
Os professores, enquanto mediadores no processo ensino-aprendizagem,
precisam dar liberdade ao aluno, desde as séries iniciais, estimulando a criatividade
deles na elaboração de estratégias,
nas resoluções de situações-problema,
contribuindo desta forma para as aulas de matemática deixarem de ser apenas
transmissões de propriedades, fórmulas e conceitos matemáticos.
Para isso, o papel do docente deve ser além de mediador, também de
organizador da aprendizagem, pois pode escolher problemas que possibilitam a
construção de conceitos/procedimentos, e que contribuam para o processo de
resolução, sempre tendo em vista os objetivos a serem atingidos, buscando
qualificação para as mudanças.
62
Pode-se observar na aplicação dos problemas, que os alunos
apresentaram
dificuldades
em
resolver
problemas
algébricos,
pois
eles
demonstraram isto, na interpretação do problema, não conseguindo sistematizar
para a solução e nem representar de forma algébrica sem o auxílio do professor.
Apresentando também, dificuldades em trabalhar com as incógnitas na formulação
de equações, bem como, sua resolução mostrando assim, um superficial
conhecimento da linguagem algébrica.
Além disso, verificou-se, que os alunos apenas decoraram regras,
técnicas, propriedades algébricas, que, por terem sido memorizadas por eles
acabam sendo esquecidas, e quando necessário, precisando de dicas para serem
lembradas.
Com isso, sugere-se que o ponto de partida para uma atividade
matemática significativa, poderá ser uma situação-problema e não a definição,
como se costuma fazer. Considera-se que, mediante a exploração de situaçõesproblema, os alunos precisem desenvolver estratégias para a resolução, tornando-se
esta uma orientação para a aprendizagem. Sendo assim, acredita-se que a Álgebra
possa deixar de ser trabalhada de forma fragmentada e destituída de significado
para o aluno.
Com esta pesquisa pode-se deduzir que quando o aluno está resolvendo
uma situação problema desenvolve diversas habilidades, conhecimentos e
estratégias, pois ele fica diante de uma situação que exige uma seqüência de ações
ou operações para que obtenha o resultado.
Sendo assim, tratar as questões matemáticas de forma problematizante
pode ser um valioso recurso pedagógico, pois, além de mediar o conhecimento
científico de forma significativa, permite o desenvolvimento da criatividade, do
63
raciocínio lógico e do sentido na apropriação do conhecimento. Poderá ser ponto de
partida para se desenvolver conceitos e trabalhar conteúdos matemáticos,
contribuindo para
sistematização dos conhecimentos científicos por parte dos
alunos.
Recomenda-se para trabalhos futuros, desenvolver esta experiência
adaptada em séries anteriores, pois a resolução de problemas como metodologia de
ensino, motiva os alunos a trabalharem com a Álgebra, podendo desta forma,
melhorar o processo de ensino-aprendizagem.
64
6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Florianópolis: UFSC/LED. 2002. 104p.
AMARAL, Maria Teresa. Metodologia da Pesquisa. In Formação em Educação da
a Distância – UniRede: módulo 5: Metodologia da Pesquisa e Didática do Ensino
Superior. Ed. Lindasay Azambuja da Silva. Curitiba: UFPR, 2001
BACQUET, Michelle. Matemática sem dificuldades: ou como evitar que ela seja
odiada por seu aluno/ trad. Maria Elizabeth Schneider. Porto Alegre: Artmed. 2001.
119p.
BRASIL,
SECRETÁRIA
DE
EDUCAÇÃO
FUNDAMENTAL.
Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática.Brasília: MEC/SEF, 1997. 142p.
CARVALHO, Dione Luckesi. Os caminhos não lineares da álgebra. Florianópolis:
SME, 1996. Seminário da Educação.
COXFORD, Arthur F., SHULTE, Alberto P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual,
1995. 285p.
DANTE, Luis Roberto. Didática da resolução de problemas: 1ª a 5ª série para
estudantes do curso de magistério e professores do 1º Grau. São Paulo: Ática, 1989.
176p.
FIORENTINI, Dario. Alguns modos de ver e conceber o Ensino de Matemática
no Brasil. Zetetiké. Ano 3, n. 4, Nov/95. 1-37p.
_______________. Tendências Atuais em Educação Matemática. Criciúma: PósGraduação em Educação Matemática (anotações), 2002.
65
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 5ª série. 2.ed. São
Paulo:Scipione, 2002.
LINS, Rômulo Campos, GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra
para o século XXI. 3. ed. Campinas, SP: Papirus, 2000. 176p.
POLYA, G. A arte de resolver problemas;tradução/de/Heitor Lisboa de Ara újo. Rio
de Janeiro. Interciência, 1978. 196p
POZO, Juan Ignacio, et. al. A solução de problemas:Aprender a resolver, resolver
para aprender.trd. beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: Artmed. 1998. 177p.
RABELO, Edmar Henrique. Textos Matemáticos: produção, interpretação e
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ROSA, Josélia Euzébio da. Desenvolvimento do pensamento algébrico:
significado dos conceitos algébricos no ensino fundamental. Criciúma, 2002. 105p.
Monografia (Educação Matemática) – Universidade do Extremo Sul Catarinense,
2002.
SANTA
CATARINA,
SECRETÁRIA
DO
ESTADO
DA
EDUCAÇÃO
E DO
DESPORTO DE. Proposta Curricular de Santa Catarina. Educação infantil, ensino
fundamental e médio: Disciplinas Curriculares. Florianópolis: COGEN, 1998.
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das
variáveis. In. COXFORD, A. F., SHULTE, A. P. As idéias da álgebra. São Paulo:
Atual, 1995. 285p.
66
ANEXO I
ATIVIDADES DA PRIMEIRA ETAPA DA PESQUISA
Nesta atividade o aluno deverá reconhecer, identificar ou lembrar de
conceitos algébricos, de fato específico, de definição e de propriedades algébricas.
Esta atividade servirá como exercício de reconhecimento, em que os
alunos executaram sem a necessidade de interpretação. Bastando apenas ter se
apropriado dos conceitos algébricos trabalhados nas séries anteriores.
ATIVIDADES DE RECONHECIMENTO:
1) x -2 = 10
2) x + 3 = 1
3) 5x = 30
4) 2x + 4 = 6
5) x/2 = 5
6) 5x – 4 = 8 + 2x
7) 2 ( x + 5 ) = -4
8) a2 . a7 =
9) (a2 )6 =
10) x 5 : x 2 =
11) a-3 =
12) 2y + 6y =
13) x + y + 3x =
14) (3x2 + 9x – 5) + (2x 2 – 8x – 3)=
15) 6x2 . 4x3y =
16) (15x 4 + 20x 3) : (5x2)=
17) (x + y)2 =
18) (x + 3) . (x – 3) =
19) x + 3b = 5b
20) 9b/c + 5b/c
(c ≠ 0)
67
21) (x- 2)2
22) (x-1)3
23) (x + 2)3
24) (x + 1)4
25)
x2 + y2
27) 3 − x 3 , para x >0
26) a 2 b 4
68
ANEXO II
ATIVIDADES DA SEGUNDA ETAPA DA PESQUISA
Pontos a serem observados nos alunos envolvidos na pesquisa:
Conseguem interpretar o problema?
Conseguem formular equação?
Tem dificuldades em trabalhar com as incógnitas?
Quais os erros mais comuns?
Conseguem interpretar o significado das raízes em uma equação?
Tem conhecimento da linguagem algébrica?
Conseguem resolver equações e expressões isoladamente?
ATIVIDADES ENVOLVENDO PROBLEMAS ALGÉBRICOS
1)
Uma equipe de rally, desloca-se por etapas, cada uma com a mesma
extensão:
Se a extensão para cada etapa é de 80km. O que você poderia dizer sobre a
distância percorrida pela equipe em y etapas?
2)
O que você pode escrever como área do retângulo?
p
a
m
69
3) O que você poderia escrever sobre o perímetro desta figura:
2
Parte da figura não está desenhada.
São n lados ao todo, cada um de comprimento
2.
2
2
2
4) Um estacionamento cobra 8 reais pelas primeiras duas horas e mais 1,50
reais pelas horas subseqüentes. Quanto se pagará se:
a) Um carro ficar estacionado 4 horas?
b) Um carro ficar estacionado 6 horas?
c) Um carro ficar estacionado n horas?
5) Observe a planta abaixo:
8m
10m
5m piscina
6m
vestiário
18m
2m
Nesse pátio qual deve ser a área ladrilhada?
6) Observe o número de mesas e quantos lugares cada situação acomoda:
a) Quantos lugares teremos quando houver 4 mesas? E quando houver 5
mesas?
b) Havendo 10 mesas quantos serão os lugares?
c) Havendo m mesas quantos serão os lugares?
7) Observe a seqüência abaixo:
70
a) Acrescente as duas seqüências seguintes;
b) Que relação tem essa seqüência com a das figuras dos números
quadrados?
c) A quantidade de bolinhas em cada figura da seqüência é: 3 ; 8 ; 15.
Quantas são as bolinhas na 4ª figura? E na 5ª? E na 9ª? E na n figura?
8) Este é um quadrado mágico. A soma dos três números de cada linha,
coluna e diagonal é a mesma. Neste caso, essa soma é 15. Descubra os
valores restantes.
2
9
7
5
8
9)
Eu lhe dei o
dobro que
você
Agora, cada
um de nós
tem 45 reais.
possuía.
Quanto possuía cada um deles antes da transação monetária?
Sugestão: Paula possuía x. Aí recebeu...
10) Em um jornal estava o seguinte anúncio: ALUGA-SE CASA COM 2
QUARTOS E DEMAIS DEPENDÊNCIAS POR R$ 300,00 MENSAIS.
a) Se a duração do contrato for de 6 meses quanto se gastará de
aluguel?
b) E se for de 12 meses?
c) E quanto custará se a duração do contrato for de n meses?
d) E de quantos meses será o contrato se for pago 5.400,00 reais de
aluguel?
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