CAPíTULO
2 • NOÇÃO DE CONJUNTO
E CONJUNTOS
27
NUMÉRICOS
• • ••
Para resolver os exercícios 1 e 2 a seguir. use as convenções dadas na página ao lado.
c) 17 pertence ao conjunto dos números primos.
d) 15 não pertenceao conjunto dos númerosprimos.
e) Pentágononão pertence ao conjunto dos quadriláteros.
Escreva com símbolos:
a) Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados da
região Sudeste.
b) Bahia não pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste.
f) Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros.
2. Classifique em verdadeiro
Todo número primo maior do que 2 é ímpar?
(V) ou falso (F):
a) São Paulo E S
f) paralelogramo E C
b) Piauí fi S
g) trapézio fi C
c) Rio de Janeiro fi S
h) hexágono E C
d) 21 E B
i) 29
e) 2 E B
j) Venezuela E S
fi
Todo número ímpar maior do que 2 é primo?
~
B
Representações de úm conjunto)
Veja a seguir três formas de representar
1~) Citação ou enumeração
Como foi apresentado
um conjunto.
de seus elementos
no tópico anterior,
cula e ter seus elementos
envolvidos
um conjunto
pode ser representado
por uma letra maiús-
por chaves e separados por vírgula (ou ponto e vírgula).
A = {a, e, i, o, u} possui cinco elementos e o conjunto
= {1; 2; 3; 3; 3; 4; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 5} possui seis elementos. Note que a repetição
Por exemplo, o conjunto
B
conjunto
B é desnecessária, por isso devemos escrever cada elemento
2~) Através de propriedade
Consideremos
Consideremos
apenas uma vez.
p:
p: x é um número natural
pode ser expressa pelo conjunto
Assim, é indiferente
I
=
dizer que x possui a propriedade
ímpar
{1, 3, 5, 7, 9, 11, ... }.
p ou que x E I.
agora a condição c:
c: x é um número inteiro
que satisfaz a condição x2
Essa condição pode ser expressa pelo conjunto
Nesse caso, também
é indiferente
É mais simples trabalhar
A
=
4
-
=
O
{-2, 2}.
dizer que x satisfaz a condição c ou que x E A.
com conjuntos do que com propriedades
e condições. Além disso, podemos
definir relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades e condições isso
A
seria muito difícil.
-2
3~) Através de diagramas
Os elementos
de um conjunto
res a uma curva fechada
mada diagrama
conjuntos.
no
ou condição
a propriedade
Essa propriedade
dos elementos
podem ser representados
não entrelaçada.
de Euler-Venn,
é muito
Essa forma
por pontos
interio-
de representação,
útil na visualização
_7
cha-
da relação entre
- 10
28
MATEMÁTICA.
CONTEXTO & APLlCAÇÕE~
/~--------------------------------------------------------------------------~-
• • ••
d) Y é um número divisor de 16 tal que y3 = 8;
3. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
a) x é um número natural par; .
b) x é um número natural menor do que 8;
c) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do
que 31;
d) x é letra da palavra CONJUNTO;
e) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos.
e) y é um número inteiro menor do que 6 e maior do
que -2.
5. Escreva uma propriedade que define o conjunto:
a) {O. 1.2.3.4.5.6.7.8.
9};
b) {O. 2. 4. 6};
c) {ll. 13. 15. 17};
d) {O. 1.2.3.4
Todo quadra:!-o é um retângulo?
99. 100}.
6. Escreva uma condição que define o conjunto:
a) {-3.3};
4. Escreva o conjunto dado pela condição:
a) y é um número tal que y2 - 25 = O;
b) y é um número tal que y2 - 5y + 6 = O;
b) {1.2};
c) {5};
c) Y é um número maior do que zero tal que
y2 -
.....
d) {7,8.9.10.11
.... }.
3y - 10 = O;
Conjuntos vazio, unitário, finito, infinito e universo
Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação é 0 ou { }. Uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o conjunto vazio. Por exemplo:
{números naturais ímpares menores do que 1} = {x I x é um número natural ímpar menor do que 1} = 0,
Llê-se "tal que"
pois não há número natural ímpar menor do que 1.
Assim, o conjunto vazio não possui elementos.
Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por
um único elemento.
o correto é escrever
A = {números ímpares} e não
A = {conjunto dos números ímpares}.
Exemplo:
{números naturais pares e primos} = {x I x é um número natural par e primo}
= {2},
pois o único número natural par e primo é o 2.
Como curiosidade, observe que 0 é diferente de {0}, pois {0} é um conjunto unitário que tem como
único elemento o conjunto vazio.
Todo conjunto que tem uma quantidade limitada de elementos é um conjunto finito. Considere A
o conjunto formado por todos os estados do território brasileiro. Logo, A é um conjunto finito, pois
possui 26 elementos. Já o conjunto formado por todos os números pares positivos poderia ser representado pelo conjunto B = {2, 4, 6, 8, ...}, que não apresenta quantidade limitada de elementos e, portanto, é um conjunto infinito.
Um conjunto importante é o conjunto universo, cuja notação é U. É o conjunto formado por todos
os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o universo U, todos
os elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U.
É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto
dos números naturais, então a equação x + 5 = 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equação x + 5 = 2 tem como solução x = - 3.
CAPíTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUNTO E CONJUNTOS NUMÉRICOS
----------~------------------------------------------------------------------~,
31
••
1. Dado o conjunto A = {1, 2, {3, 4}. {5}}. verifique se os
itens abaixo são verdadeiros ou falsos:
h) {5} E A
a) O conjunto A tem 4 elementos.
b) 1 E A
i) {5} C A
c) 1 C A
j)
d) {1} E A
k) 2 E A
e){l}CA
I) {3, 4} E A
{{5}} C A
f)5EA
m) {2} C A
g) 5 C A
n)
{3, 4} C A
Resolução:
a) Verdadeiro, pois os elementos são 1, 2, {3, 4} e {5}.
É importante notar que conjuntos podem ser elementos de outro conjunto.
b) Verdadeiro, pois 1 é elemento de A.
c) Falso, pois 1 é elemento e o símbolo C relaciona
conjuntos.
d) Falso, pois {1} é conjunto e o símbolo E relacíona
elemento com conjunto.
e) Verdadeiro, pois {1} é subconjunto de A (lá que 1 é
elemento de A).
f) Falso, pois 5 não é elemento de A. Não devemos
confundir 5 com {5}.
g) Falso, pois 5 é elemento e o símbolo C relaciona
conjuntos.
h) Verdadeiro, pois {5} é elemento de A.
i) Falso,pois {5} não é subconjunto de A Oáque 5 não
é elemento de A).
j) Verdadeiro, pois {{5}} é subconjunto de A Oá que
{5} é elemento de A).
k) Verdadeiro, pois 2 é elemento de A.
I) Verdadeiro, pois {3, 4} é elemento de A.
m) Verdadeiro, pois {2} é subconjunto de A (jé que 2 é
elemento de A).
n) Falso, pois {3, 4} não é subconjunto de A Oá que 3
e 4 não são elementos de A).
Exercícios prop~_sl~~
9. Dado o conjunto A = {1, {2, 3}, {4}}, julgue se os itens
abaixo são verdadeiros ou falsos:
12. Considerando que:
a) 1 E A
e) {2, 3} C A
• A é o conjunto dos números naturais ímpares menores do que 1a;
b){l}EA
f) 0 E A
• B é o conjunto dos dez primeiros números naturais;
c) 1 C A
g) 0 CA
d) {1} C A
• C é o conjunto dos números primos menores do
que 9;
verdadeiros ou falsos:
use os símbolos C ou rt. e relacione esses conjuntos
na ordem dada:
a) A é o conjunto vazio
a) Ae B
b) A é um conjunto unitário.
b) CeA
c) 0 CA
c) C e B
d) 0EA
d) Ae C
10. Dado o conjunto A = {0}, diga se os itens abaixo são
e) {0} C A
13. Observe o diagrama a seguir. Os conjuntos X, Y e Z não
11. Dados os conjuntos A = {1, 2}. B = {1, 2, 3, 4, 5},
C = {3, 4, 5} e D = {a, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em
são vazios. Escreva algumas relações verdadeiras entre
eles usando os símbolos C ou rt..
verdadeiro (V) ou falso (F):
a) A C B
g) B C C
b) C cA
h) B C B
i) 0 rt.A
c) B C D
D:)A
d) De B
e) C rt. A
j)
f) A C D
I) C:) D
k) 0 C B
y
o
~-----------------------z
CAPiTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUNTO
E CONJUNTOS
35
NUMÉRICOS
• • ••
17. Dados os conjuntos A = {a, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
19. Dados os conjuntos:
• A = {x I x é um número naturalprimo menor do que 1O};
• B = {x I x é um número natural múltiplo de 2 menor
B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {a, 3, 6, 9, 1a}, determine:
n C) u B;
a) A U B;
g) (A
b) A n B;
h) (A n B)n C;
c) A U C;
d) A
n C;
n C;
j) (A U C) n B;
e) B
n
k) A U (B
do que 9};
i) (A U B)
C;
f) (A n B) U C;
n
• C = {x I x é um número natural divisar de 12};
determine:
C);
I) A n (B n C).
18. Dado o diagrama, hachure os conjuntos, desenhando
no caderno uma figura para cada item:
U B) n
a) A
n B;
b) A n C;
f) (A
c) B U C;
h) (A U C)
d) B
C;
g) (A U B) U C;
n C;
n B) n C;
i) (A
n
n B;
C) U B.
e) (A
20. Indique simbolicamente a parte colorida no diagrama:
a) A
n
a)
c)
b)
d)
B
b) B U C
c) (A U B)
nC
d)(BnC)UA
e) A
n
f) (A
(B U C)
n B) U
(A
n C)
Compare os diagramas obtidos em e e f. O que você
pode concluir?
~ Diferença entre conjuntos
Dados os conjuntos A
= {O, 1, 3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjunto C formadc
pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C
=
{O, 3, 6, 8}.
O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A - B (lê-se A menos B).
De modo geral, escrevemos:
A - B
=
{x I x E A e x
fi. B}
Nos diagramas abaixo, a diferença A - B está colorida.
o
O
36
MATEMÁTICA·
CONTEXTO & APLICAÇÕES
• • ••
21. Dados os conjuntos A = {a. b. c. d. e. f. g}.
B = (b, o, g. h. i} e C = {e. f m, n}, determine:
a) A - B;
b) A - C;
• Quando as palavras são digitadas com um espaço entre elas. a busca é feita por uma palavra e a outra palavra. Por exemplo. digitando amor esperança serão
procurados apenas os sites que contenham. ao mesmo
tempo. a palavra "amor" e a palavra "esperança".
c) B - C;
d) B - A
22. Dado o diagrama. hachure os conjuntos. fazendo uma
• Quando se usa um sinal de - na frente de uma determinada palavra. a busca é feita excluindo-se os sites
que contenham tal palavra. Por exemplo. digitando
amor - esperança serão procurados sites que contenham a palavra "amor". mas que não contenham a
palavra "esperança".
figura para cada item:
Com base nessas regras. considere que um rapaz
tenha feito a seguinte pesquisa no Google:
amor - beleza - desespero.
L--------------------------u
a) A- B
b) A - C
23. SelN ={O.1.2.3.4.5
No diagrama de Venn abaixo. considere que os sites
com as palavras Amor, Beleza e Desespero estão representados como conjuntos com a inicial da palavra.
ou seja. ao conjunto A pertencem todos os sites que
contêm a palavra Amor, e assim por diante. Pinte as
regiões que representam corretamente o resultado
da busca feita pelo rapaz.
d) B - A
.c) B - C
.... }eP={O.2.4.6.B.l0
.... }.
determine IN - P.
24. Se L é o conjunto dos números naturais primos e P o
conjunto dos números naturais pares. determine
L - P.
25. Na internet. sites de busca permitem que o internauta
faça combinações entre as palavras que devem ser
pesquisadas para obter os resultados desejados. Em
geral. as regras de procura são as seguintes:
Número de elementos da reunião de conjuntos
Sejam A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {O,2,4, 6, 8}. Observando os conjuntos, notamos que cada um tem
cinco elementos.
Representamos simbolicamente
o número de elementos desses conjuntos da seguinte forma:
n(A)
=
n(B)
5
=
5
Agora, veja:
nB
=
0 => n(A
A U B
=
{O, 1,2,3,4,5,6,
A
n B) =
O
7, 8, 9} => n(A U B)
= 10
Observe que:
10
5
+
n(A)
n(A U B)
Consideremos agora A o conjunto
mos de O a 10. Então:
A == {1,3, 5, 7, 9} => n(A)
=5
B = {2, 3, 5, 7} => n(B) = 4
+
+
5
+
n(B)
+
dos números ímpares de O a 10 e B o conjunto
A
nB=
{3, 5, 7} # 0 => n(A
n B) =
A U B := {1, 2, 3, 5, 7, 9} => n(A U B)
dos números pri3
=
6
Observe que n(A U B) # n(A) + n(B), pois há três elementos comuns a ambos os conjuntos [n(A
Assim:
n B) =
3].
CAPíTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUNTO E CONJUNTOS NUMÉRICOS
------------~------------------------------------------------------------------~,
Observação: No caso de três conjuntos, A, B e C, a fórmula
39
que indica o número de elementos da união
A U B U C é:
n{A U B U C)
=
n{A) + n{B) + n{C) - n{A
Assim, nos conjuntos
n{F U B U V)
=
n B) - n{A n C) - n{B n C) + n{A n B n C)
do exercício 7:
23 + 18 + 14 - 1a
-
9 - 8+5
=
33
Podemos justificar essa fórmula fazendo:
n{A U B U C) = n[{A U B) U C] = n{A U B) + n{C) - n[{A U B)
n C]
Como vale a propriedade distributiva da intersecção em relação à união (A U B)
temos:
n[{A U B) U C] = n{A) + n{B) - n{A n B) + n{C) - n[{A n C) U (B n C)] =
= n{A) + n{B) + n{C) - n{A n B) - n{B n C) - n{A n C) + n{A n B n C)
26. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe
de 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as
duas questões?
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C?
c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
29. Em uma classe 30 alunos acertaram a primeira questão de uma prova e 25 alunos acertaram a segunda
questão dessa prova. A prova continha apenas duas
questões e todos os alunos da classe acertaram pelo
menos uma questão.
27. Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar
a audiência dos programas de televisão, os seguintes
resultados foram encontrados: 510 famílias assistem
ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386
assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 farníliasassistem aos programas A e B, 60 assistem aos
programas B e C, 25 assistem aos programas A e C,
e 10 famílias assistem aos três programas.
n C = (A n C) U (B n C),
a) Qual é o máximo de alunos_que essa classe pode
ter? Em que situação?
b) Qual é o mínimo de alunos que essa classe pode
ter? Em que situação?
30. A, B e C são conjuntos tal que nCAn B) = 8, n(C) = 10,
n(A- C)=7,n(An B n C)=5,n(B n C)=6,n(B)=12,
n(A n C) = 7 Determine o número de elementos de:
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses
programas?
b) Quantas famíliasassistem somente ao programa A?
a) B - C;
c) A U B;
b) A;
d) A U B U C.
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A
nem ao programa B?
31. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique:
28. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados
a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A U B tem 7 elementos.
leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o jornal
C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e
6% leem os três jornais.
b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A n B tem 2 elementos.
c) Se A n B = 0, A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então A U B tem 9 elementos.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?
11 Complementar
r-
de um COnjUnto)
\
I O complementar de um
Dado o universo U = {a, 1,2,3,4,5,6,7,8,
9} e o conjunto A = {1, 3, 5, 7},
conjunto só tem sentido quando
dizemos que o complementar de A em relação a U é {a, 2,4, 6,8, 9}, ou seja, , fixamos um conjunto universo U.
é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.
De modo geral, dado um conjunto A, subconjunto de um certo universo
U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos
elementos
plementar
Logo,
de U que não pertencem
de A em relação a U).
AC
=
{x I x E U e x
a A; indica-se
tE A} = U - A.
C~ ou
AC ou
A
(lê-se com-
i
40
MATEMÁTICA
• CONTEXTO & APLICAÇÕES
/
~ Propriedades
É possível demonstrar
1!!) (AC)C
=
a validade das seguintes propriedades:
A para todo A C U (o complementar
do complementar
de um conjunto
A é o próprio
con-
junto A).
2!!) Se A C B, então AC ::J BC (se um conjunto está contido em outro, seu
complementar contém o complementar desse outro). Escrevendo de
outra forma:
É possível provar que a recíproca de A C B ~ BC C AC também
dadeira e escrevemos:
é verAe:
ou seja, as afirmações" A está contido
de A" são equivalentes.
em B" e "complementar
Be: 111111
de B está contido
no complementar
3!!) Leis de De Morgan
Dados A e B subconjuntos
de um universo U, tem-se:
(A U B)C = AC n BC (O complementar da reunião é igual à intersecção dos complementares.)
(A n B)C = AC U BC (O complementar da intersecção é igual à reunião dos complementares.)
Por exemplo, se U
A U B
=
(A U B)C
= {a, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 4, 6}, temos:
{l, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
=
{a, 8, 9}
AC = {a, 2, 4, 6, 8, 9}
BC = {a, 1,3, 5, 7, 8, 9}
AC n BC
=
{a, 8, 9}
Observe que (A U B)C = AC
Logo, (A
n B)C
=
n
BC =
{a, 8, 9}.
Nesse caso, A
n
B = 0, (A
n
B)C = U e AC U BC = U.
AC U BC.
• • ••
32.
Dados U = {a, 1,2,3,4,5,6,7,
8, 9}, A= {a, 2, 4, 6, 8},
q
B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {2, 4}, determine:
a)
33.
C~;
b)
C~;
c)
C~;
d)
C~.
Fique atento
De modo geral, podemos
considerar
Dado o diagrama de Euler-Venn abaixo, hachure os
Se A
conjuntos, fazendo uma figura para cada item:
a)
C~
b)
BC
determinar
-
c) C
u-------------------------,
34.
Dados U
=
35.
podemos
C;.
{1, 2,3,4,5,6,
BC = {5, 6, 7} e
a) A;
C; sempre que A C B.
ct B não
7}.
C~ =
{1, 2, 6, 7},
CG = {1, 3, 5, 7}, determine os conjuntos:
b) B;
c) C.
Verifique com um exemplo a equivalência já apresentada: A C B
Ç::>
BC C AC
46
MATEMÁTICA • CONTEXTO & APLICAÇÕES
Desigualdades entre números reais
Dados dois números reais quaisquer a e b, ocorre uma e somente uma das seguintes possibilidades:
< b ou a
a
Geometricamente,
a desigualdade
a
=
b ou a
>b
< b significa que a está à esquerda de b na reta real:
-------La-----------+b----------·
A desigualdade
>b
a
a<b
significa que a está à direita de b na reta real:
------~b--------------'-a----------·
Aritmeticamente,
• 2,195
.4,128
.3,267
• 5,672
< 3,189
< 4,236
< 3,289
< 5,673
a>b
vamos analisar alguns exemplos:
, pois 2 < 3
, pois 4 = 4 e 0,1 < 0,2
Ordenar os números reais
aritmeticamente é como ordenar
as palavras num dicionário .
, pois 3 = 3; 0,2 = 0,2 e 0,06 < 0,08
, pois 5
=
5; 0,6
=
0,6; 0,07
=
0,07 e 0,002 < 0,003
/
e assim por diante.
a
Algebricamente,
a < b se, e somente se, a diferença d = b - a é um número positivo, ou seja, vale
< b se, e somente se, existe um número real positivo d tal que b = a + d.
Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais, dizemos que eles estão ordenados.
Usamos também a notação a :s; b para dizer que a < b ou a = b. Assim:
a :s; b lê-se a é menor do. que ou igual a b
b ~ a lê-se b é maior do que ou igual a a
• • ••
36.
Usando os símbolos
C e
ct., relacione
os conjuntos
numéricos a seguir:
b) tU e IR
a) IN e IN*
37.
Com os conjuntos
41.
numéricos dados, efetue as opera-
ções de união e intersecção:
a)ZetU
38.
b)tUelR
42.
Determine:
c) (lN
a) IN UZ
b) (IN
39.
n lU)
U Z
n
Z)
uu
d) (Zn IN) n u
c) 0,1231251271291211 ...
e) 0,020020002 ...
d) 0,26666 ...
f) 0,789145
Dê a representação
decimal
ros racionais:
7
b) ~
a) 13
8
3
c) -
Determine
.'d.ICOS:
no
Classifique em verdadeira
e) 1-
5
a geratriz ~ dos seguintes
b
7
decimais
c) 0,242424
.
núme1
d) ~
4
a) 0,333 .
b) 0,1666
dos seguintes
pe-
.
d) 0,125777 .
(V) ou falsa (f):
a) Todo número natural representa
a quantidade
de
43.
Coloque em ordem crescente
elementos de algum conjunto finito.
- 1
0,5;
b) Existe um número natural que é maior do que to-
4
os números reais: ~;
10
-
2"; "5; 0,52; 0,25.
dos os demais.
c) Todo número natural tem sucessor em IN.
d) Todo número natural tem antecessor
40.
44.
em IN.
B = {x é irracional
45.
a E A}, quais são
B?
Considere os conjuntos A = {x EZ
Ix
~ -5} e
B = {x E Z I x + 1 < O}. Quantos elementos tem o con-
dos números a seguir:
a) 0,555
I x = 18, com
os elementos do conjunto
Identifique como decimal exato (finito), decimal infinito periódico ou decimal infinito não periódico cada um
Dados A = {-4, -1, O,1, 2, 6, 9} e
b) 0,11454545
junto A
n B?
50
MATEMÁTICA • CONTEXTO & APLICAÇÕES
••..
'1 •.•••••.. , •••..
"
46.
Efetue as operações
indicadas.
do na forma algébrica z = a
+ i) +
a) (-2
b) (2
47.
+
o resulta-
48.
+ bi:
(-3 - 6i)
5i) - (1
escrevendo
+ 3i)
a) x2
c) (4
+
d) (1
+ i)3
2i) . (5
+ 3i)
49.
(C as
Resolva em
2x
-
+4
equações:
1+5i
b) 1~2i
a) --
2+3i
c) i400
b) i101
d) i25
-
+
50.
j150
i16
-
4x
+5
= O
Efetue as divisões indicadas:
Efetue:
a) i60
b) x2
= O
i
1- i
c) --
I
d)
3i
1+2i
1+ i
1- i
•
Calcule --,
- --,
e de a resposta na forma
1- I
1+ I
Z =
a + bi
Intervalos
Certos subconjuntos de IR, determinados por desigualdades, têm grande importância
ca: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:
na Matemáti-
a) Intervalo aberto
------~o~---a
~o~--------_
b
(a, b)
=
{x E IR I a
< x < b}
(A bolinha vazia (o) indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.)
b) Intervalo fechado
•
~
[a, b]
=
{x E IR I a ~ x ~ b}
(A bolinha cheia (.) indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.)
c)
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
•
d)
~
[a, b)
=
{x E IR I a ~ x
=
{x E IR I a
< b}
Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda
~
~
(a, b]
< x ~ b}
e) Semirreta esquerda, fechada, de origem b
b
f)
(-00, b]
=
{x E IR I x ~ b}
(-00, b)
=
{x E IR I x
[a, +00)
= {x
(a, +00)
=
Semirreta esquerda, aberta, de origem b
------------------~O~--------_
b
< b}
g) Semirreta direita, fechada, de origem a
a
E IR I x ~ a}
h) Semirreta direita, aberta, de origem a
__ --~O
i)
__------------------~
{x E IR I x
> a}
Reta real
.
(-00, +00)
,
=
IR
Observações:
1~) -00 e +00
não são números reais; apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados.
2~) Qualquer intervalo de extremos a e b, com a ~ b, contém números racionais e irracionais.
3~) Há outra forma de representar intervalos abertos, usando colchetes em vez de parênteses. Por exemplo:
• (a, b]
=
[a, b]
• (a, b)
=
]a, b[
51
CAPíTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUNTO E CONJUNTOS NUMÉRICOS
----------~-------------------------------------------------------------------~,
• • ••
51
Represente
graficamente
c) ~
na reta real os seguintes
intervalos:
a) {x E IR 1
1<x
-
<
3}
d)
.
e)
.
b) ]-00. 2]
c)
[-3. +]
53.
•
•
\Í3
]-.J5 . .J5[
<
g) {x E IR 1 x
Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:
a) 2 E [2.6]
e) {x E IR 1 2 ~ x < 7}
b) -1 E ]-5. -1[
c) O E {x E IR
-4}
d) 3
h) [O. 6[
52.
1
2
-\Í3
d) {x E IR 1 x ;;. 6}
f)
•3
o
Escreva os intervalos representados
1
f) [O. 2]
2
< x < l}
<
x
<
4}
=
{x E IR 1 O ~ x ~ 2}
g) -3 E ]-00.-1]
0--------_
b) •
{x E IR 3
1
e) {2. 5} C [O. +oo[
graficamente:
a)------ __ ----~----_
-4
fi-
1 -
h) (1 +
-J2) E
{x E IR 1 O ~ x ~ 1}
Operações com intervalos
Como intervalos
secção, união,
13.
Dados A
são subconjuntos
diferença
=
de IR,
e complementar
{x E IR
1 -
é
possível fazer operações
serão apresentadas
1 < x < 1} e B = [O. 5[.
com eles. As operações
de inter-
por meio de exercícios.
c) A - B
determine:
n
B
c) A - B
b)A U B
d) B - A
a) A
-1
··
·
Resolução:
a) A
n
1
A~--------~D------------------
··
,
,
B
Vamos fazer a representação
A-B~----------------------o
gráfica:
-1
A- B
= {x E IR
1-1 < x < O} = ]-1.
O[
5
r---~--~------------~O----
A
nB=
{x E IR 1 O ~ x
< 1} = [O. 1 [
d) B - A
-1
1
A~'--------~?------------------
b)A U B
.
-1
A~'--------~o------------------
·
B~·---+:----·~-----------------~
:
o
5
··
AUB~·-----------------------~
-1
AU B
= {x E IR
1
-
1
< x < 5} =
]-
B~'--------~--~'~----------o
•
5
:
.
B-A~.------------,~~------------&--5
5
1. 5 [
B- A
=
{x E IR 1 ~ x
1
< 5} =
[1. 5[
52
MATEMÁTICA
e) C~ não se define. pois A
ct
B.
b)
• CONTEXTO & APLlCAÇÕL
B
B~'----------~9----------~'-------3
6
B-·----------------------~O.,
_
-
, Analise os possíveis significados
de {3. 5}. ]3. 5[ e [3, 5].
6
B=
14.
Dados os conjuntos A
=
[2.5] e B
=
c)
]3. 6]. calcule
para U = IR:
A
A
c) A U B
b) B
d) A U B
a)
B
Observação: C~ = IR - A também pode ser repreAUB
sentado por C A ou
A.
A = {x E
,
,
2
S
o
2
S
< 2 ou x > 5}
=
U ]6. +oo[
,
,
S
ç
,
3
6,
.
.
•
=
6
{x E IR I 2 ,,; x ,,; 6}
=
[2. 6]
d) A U B
AUB-·------oo--------------~o
..
,
··
o··
IR I x
= ]-00. 3]
2
a) A
à •
6}
2
.
A U B
.
>
AU B
.
Resolução:
A
{x E IR I x"; 3 ou x
__ --
2
A U B = {x E IR 1 x
x>
]-00. 2[ U ]5. +oo[
_
6
< 2 ou
6} = ]-00. 2[ U ]6. +oo[
• • ••
54.
Dados os conjuntos
pede:
a seguir.
determine
d) A
o que se ~
:
= ]-
2, 1 [ e B =
[-
3, O]: A. B, A
e) A= ]-00.3] e B = ]2.5]:
a) A = [2. 4] e B = [3. 6]: A n B. A U B. A -
= {x
E IR I x
55.
< 4} e B = {x
E IR I x
< l):
ia
B)
e
B.
B - A.
Dados A = (-5.2]. B = [-6. 6] e C = (-00. 2]. calcule:
a) A U B U C
A U B.
BnA·C~eC~·
c) A = [-2. a[ e B = [-'.
A. B. C1An
U
B.
B-AeC~·
b) A
nBeA
c)
+00[:A U B e A n B.
nBnC
(A U B) n C
A n (B U C)
b) A
d)
Coordenadas cartesianas )
A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado
de números reais a e b, no qual o número a
é a primeira coordenada e o número b é a segunda coordenada. Observe que os pares ordenados
(3,4) e (4, 3) são diferentes, pois a primeira coordenada de (3, 4) é 3, enquanto a primeira coordenada
de (4,3) é 4.
53
L:APíTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUNTO E CONJUNTOS NUMÉRICOS
~ Sistema de eixos ortogonais
Um sistema de eixos ortogonais
perpendiculares,
(eixo vertical ou
eixo das ordenadas)
é constituído
y
por dois eixos
Ox e Oy, que têm a mesma origem O.
Damos o nome de plano cartesiano
a um plano munido
de
o plano cartesiano
em
um sistema de eixos ortogonais.
Os eixos ortogonais
quatro
regiões
x
Ox e Oy dividem
quadrantes,
chamadas
na
ordem
colocada
o
(eixo horizontal ou
eixo das abscissas)
(origem)
no segundo gráfico ao lado.
Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um
y
b
ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são as coor-
denadas cartesianas do ponto P, em que a é a abscissa e b é a
., P(a, b)
(O, y)
22 quadrante
12 quadrante
ordenada.
Observe que a cada par ordenado
ponde um ponto do plano cartesiano
ponto do plano corresponde
Essa correspondência
reais corres-
e, reciprocamente,
um par ordenado
biunívoca
pontos do plano permite
de números
a cada
pretar geometricamente
entre pares de, números
algébrica
a
reais e
e, reciprocamente,
32 quadrante
42 quadrante
geointer-
relações entre números reais.
Por exemplo, vamos localizar num plano cartesiano os pontos
A(4, 1),8(1, 4),'C(-2,
-3), D(2, -2), E(-1, O), F(O,3)
Ponto A(4, 1) ~ ponto A de coordenadas
a abscissa é 4
{ a ordenada
(x,O)
de números reais.
escrever conceitos e propriedades
métricas em uma linguagem
x
o
y
e 0(0, O).
cartesianas 4 e
4
- - -. , B
3
F
2
.
1
-4
-3 -2 -1
O
,
-1
,
Ponto 8(1, 4) ~ ponto
a abscissa é 1
{ a ordenada
8 de coordenadas
cartesianas
1 e 4
:
A
--~----------.
, x
O '
E
é 1
,
:
,
,
,
:
234
,
,
,,
-2 -------.
D
.
~----3
C
é 4
• • ••
56. Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto do
plano cartesiano abaixo.
57. Assinale, num plano cartesiano, os seguintes pontos:
a) A(- 1,3);
d) E(3, - 1);
b) D(4, O);
e)
c(%, 4}
c) B(O, -2);
f)
F(+'-2}
y
4
.
A
B
2
x
C
O
-4 -3 -2 -1
-1
-2 F
2
3
4
.
58. Um ponto P tem coordenadas (2x - 6, 7) e pertence
ao eixo das ordenadas. Determine x.
E
.
D
-3
-4
59. Os pares ordenados (2x, y) e (3y
Determine x e y.
- 9,8 - x) são iguais.
54
MATEMÁTICA.
y
~ Distância entre dois pontos
A pergunta
mos exprimir
CONTEXTO & APLlCAÇÕE'
P,
é: Se P(a, b) e Q(c, d), como pode-
fundamental
a distância do ponto P ao ponto Q com base nes-
sas coordenadas?
Assim, dados dois pontos P1(x" y,) e P2(X2, Y2)' vamos obter a
expressão da distância d(P" P2) em termos das coordenadas de P1
e P2. Para isso, é preciso introduzir um novo ponto Q(x2, y.).
P
-------1
:
---------------~Q
Y1
:
O triângulo P,P2Q é retângulo em Q e o segmento de reta P'P2
é a sua hipotenusa. Seus catetos medem (x2 - x.) e (Y2 - y,), toma-
x
x,
dos em valores absolutos. Usando a relação de Pitágoras temos:
Essaexpressão geral obtida não
depende da localizaçãodos
pontos P, e Pr
ou seja,
••
15. Calcule a distância entre os pontos A(l, -4) e
11
16. Demonstre que o triângulo com vértices
B( -3,2).
V(4, -3) e l(3, 4) é isósceles.
Resolução:
Resolução:
d(A, B)
d(X, Y) = ~r-(4---( --4-))-2-+-(--3---3)-2
=
~r(X-2---Xl-)2-+-(-y2---y-l)-2
= ~(-3 - 1)2+ (2 - (-4))2
= ~64 + 36 =.JlOO
=
= ~(-4)2 + (6)2 = J16 + 36 =.J52
Logo, d(A, B) =.j52
mento.
=
7,2 unidades de compri-
X( -4, 3).
= 10
dcy,Z)=~(3
- 4)2+ (4 - (-3))2=.J1+49
d(X,Z)=~(3
- (-4))2+ (4 -
3i =J49+l
=J50
=.j5õ
Como dCY,Z) = d(X, Z), o triângulo XYZé isósceles.
• •••
60. Determine a distância entre os pontos A e B nos se-
61. Demonstre que a distância de um ponto P(x, y) à ori-
guintes casos:
gem 0(0, O) é igual a ~X2 + y2 .
a) A(3, -4) e B( -1, 2)
62. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são
b) A(3, -3) e B( -3,3)
A(2, 3), B(O, O) e C(3, 2).
iijl Produto cartesiano
Dados dois conjuntos
os pares ordenados
)
A e B não vazios, chama-se
produto cartesiano de A por B o conjunto de todos
(a, b), com a E A e b E B.
Indicamos o produto
cartesiano
de A por B por A x B, que se lê A cartesiano
U
A x B
= {(a, b) I a E
A e b E B}
B
U
•
Assim:
56
63.
MATEMÁTICA.
Dados os conjuntos A = {-1,
O, 1, 2} e B = {2, 3},
69.
CONTEXTO & APLlCAÇÕE
Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A x B tem 12
determine:
elementos, então A U B pode ter, no máximo, um
a) A X B;
número de elementos igual a:
b) B x A;
a) 7.
b) 8.
c) N;
c) 11.
d) B2.
d) 12.
64.
co de A x B e de B2
65.
e) 13.
Com os dados do exercício anterior, construa o gráfi-
70.
Se n(A x B) = 15 e B = {-3,
gráficodeAx
1, 3}, quantos elemen-
tos tem o conjunto A?
66. O gráfico
Assinale a alternativa na qual está representado o
a)
3
t-------,,
,
----e--------.,
:
.-------:
2
,,
,,
,,
.•.
---- ,
,
--------~
,
,
,
,
:
-2:,
o
-1
,
.-------:
-1
,,
,,,
,1
,
,
,
,
,
,
,
-2
.
2
,
- - - - ~- - - - - - -
I
,
---~--------
--------
-3
SeA={xEIRI-1
t:
<
y
4
3
3
2
2
II
o
,
,,
,
,
,
'
2
b)
c
:3
4
,
--.,
D
3
x
o
4
d)
y
234
y
4
4
3
3
2
2
/
x
x
.•,
o
71.
~x~2}e
B = {x E IR I -2 ~ x
X
c)
x
Escreva os conjuntos C e D.
a) A
y
e B={1,2}:
4
de C x D é dado por:
D
67.
BcomA=[2,3]
2
3
o
4
234
Assinale a alternativa na qual está representado o
gráfico de A x B com A = ]-00,2]
e B = [1,2]:
a)
y
4}, construa o gráfico de:
c)
y
4
4
B;
b) B x A.
68. O gráfico
2
x
x
de E x F é dado por:
o
2
3
4
3
4
F
4
b)
---------3
2
E
-4
- 3
- 2
o
-1
1
3
d)
J
y
4
x
-1
~
2
-2
-3
________
-=-4
72.
Dados os conjuntos A e B abaixo, construa o gráfico
deA X B
a) A= {1, 4} e B= [1, 3]
Escreva os conjuntos E e F.
b) A
= [1, 3] e
B = ]-00, 3[
58
MATEMÁTICA
• CONTEXTO & APLiCAÇÕE
~ Relação inversa
Dada uma relação binária R de A em B, definimos a relação inversa R-1 como o conjunto formado pel
pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par
Assim:
R-1
Por exemplo, se R
=
=
{(x, y) E B x A
{(1, 2); (3, 4)}, então R-I
=
I (y, x) E R}
{(2, 1); (4, 3)}.
• • ••
73. Dados os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}, indique
76. Considerando a relação R de A em B do exercício 75,
quais desses conjuntos de pares ordenados representam uma relação entre os elementos de A e os
elementos de B, ou seja, uma relação de A em B.
determine a relação inversa R-I de B em A, expressando-a de acordo com o que se pede a seguir.
a)
r, = {(1, 3);
(2,4); (2, 5)}
b) F2 = {(2, 3); (2,5); (2, 6)}
b) Faça o diagrama de flechas de R-I.
c) F3 = {(1, 4); (1,5); (2, 4); (2, 5)}
d) F4
=
a) Escreva a relação R-I como um conjunto de pares
ordenados.
c) Construa o gráfico de R-I.
{(1, 5); (O, 3); (2, 4)}
d) Escreva o domínio e a imagem de R-I.
74. Considerando as relações do exercício anterior:
a) construa o gráfico de cada uma delas;
b) desenhe o diagrama de flechas de cada uma delas;
77. Dados os conjuntos A =
{-1, l} e B = {-2, 2},
determine o número de relações binárias não vazias
de A em B.
c) escreva o domínio e o conjunto imagem.
78. Examine a relação R de A em B representada pelo
75. Dados A =
{-1, O, 1, 2} e B = {2, 4, 6}, a relação R
diagrama de flechas abaixo:
definida de A em B tem o seguinte gráfico:
6
y
- - - - --o ,
5
4
--~
3
,
2
t" --
__
.
.
:
-1
···
··
·· ··
·· ·.··
·· ..
· .
· .
1
o
1__
-.
r
r
•
r
2
A
x
3
B
a) Escreva a relação R como conjunto de pares ordenados.
b) Escreva o domínio e o conjunto imagem de R.
a) Escreva a relação R como um conjunto de pares ordenados.
b) Faça o diagrama de flechas de R.
c) Escreva o domínio e a imagem de R.
c) Construa o gráfico de R.
79. Considerando a relação R de A em B do exercício
78, determine a relação inversa R-I de B em A, expressando-a de acordo com o que se pede a seguir.
a) Escreva a relação R-I como um conjunto de pares
ordenados.
o gráfico de uma relação R entre os conjuntos
. A e B é o subconjunto G(R) do produto
cartesiano A x B formado pelos pares (x, y) tal
que x R y, ou seja, G(R) = {(x, y) E A x B I x R y}.
b) Faça o diagrama de flechas de R-I .
c) Construa o gráfico de R-1 .
d) Escreva o domínio e a imagem de R-I.
59
CAPíTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUNTO E CONJUNTOS NUMÉRICOS
='
Relacões definidas por certas condições entre x e y
Entre
as relações,
que estabelecem
Por exemplo,
reais
< -1,
• -4
• 5
pois
é
não
"menor
por condições
definidas
y.
com
«)
do que"
entre
números
3 - 2 > O.
(-1) - (-4)
pois
De modo
A
a relação
menor
do que
geral,
3,
=
3 > O.
3 - 5
pois
a condição
A = {-1,
Dados
aquelas
de IR em IR):
(relação
• 2 < 3,
destacam-se
se x está ou não relacionado
2, 5} e B
que
=
B
A
é
não
maior
nos permite
escrever
Diagrama
O.
do que
x
< y,com
de flechas
é Y - x > O.
x E IR e y E IR,
{1, 5}, temos:
x B = {(-1, 1); (-1, 5); (2,1); (2, 5); (5,1); (5, 5)} e R = {(x, y) E A x B I x < y}
Nesse
ção x
8
caso,
< y.
(x, y), para
um par ordenado
pertencer
pertencer
a A
Dados os conjuntos A
= {l,
2, 3, 4} e B = {2, 3,5, 6},
determine:
e satisfazer
a condi-
: 81.
B=
Dados os conjuntos A = {3, 4, 5} e
{3, 4}, escreva as
relações a seguir como conjunto de pares ordenados.
Depois, faça o diagrama de flechas, determine o domínio,
a) a relação R de A em B definida por
E
A x B Iy =x
+ 2};
o conjunto imagem e a sua respectiva relação inversa.
x B I x = y}
b) R2 = {(x, y) E A X B I x + 1 > y}
a) R1 = {(x, y) E A
b) o domínio e a imagem da relação R;
c). a relação R-l inversa de R
Acesse o Portal Pedagógico (veja instruções na seção" Conheça seu livro",
capítulo. Selecione o capítulo 2 e você encontrará os seguintes materiais:
• Atividades adicionais (Atividades
página 5) e amplie o estudo deste
para imprimir);
• Operações com conjuntos
(Slides para aula).
• Relação de inclusão e implicação lógica e Contrapositiva (Textos complementares).
1. O diagrama
de Euler-Venn para os conjuntos A,
B e C decompõe o plano em oito regiões. Numere-as e exprima cada um dos conjuntos
a) (AC U B)C
b) (AC U B)
de risco é a metade do número de pacientes que não
pertencem
Quantos
n CC
3. (Uece)
ficados em três grupos de risco: hernofüicos. hoe toxicômanos.
75 pacientes, verificou-se
são toxicômanos;
Num certo país, de
que: 41 são homosse-
xuais; 9 são homossexuais
e hernofflicos,
7 são homossexuais
manos, e não são hemofnicos;
e toxicômanos,
e não
e toxicô-
2 são hernofflicos
e não são homossexuais;
6 per-
tencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos; o número de pacientes que são apenas hernofflicos é igual ao número de pacientes que são
apenas homossexuais;
que pertencem
o número
simultaneamente
dos grupos
de risco.
pacientes
pertencem
simultaneamente
aos
três grupos de risco?
(Vunesp) Considere os pacientes da Aids classimossexuais
a nenhum
abaixo
como reunião de algumas dessas regiões.
2.
x B
R = {(-1, 1); (-1, 5); (2, 5)}.
Assim,
R = {(x, y)
a R,deve
de pacientes
aos três grupos
Seja
X
o conjunto
dos números
da forma
31 754xy (x é o dígito das dezenas e y o dígito das
unidades),
que são divisíveis por 15. O número de ele-
mentos de
X
b) 7
a) 6.
4. (ITA-SP)
(X - Y)
wn
é:
d) 9.
Sejam X, V, Z, W subconjuntos
nZ=
{l, 2, 3, 4}, Y
(X - Z) = {7, 8}. X
conjunto
c) 8.
=
nwn
[X n (Z U W)] - [W
Z
=
n Y = 0,
{2, 4}. Então o
n (Y U Z)] é igual
a) {l, 2, 3, 4, 5}
d) {l,3}.
b) {l, 2, 3,4, 7}
e) {7,8}
c) {l, 3, 7, 8}.
de IN tal que
{5, 6}. Z
a:
63
CAPíTULO 2 • NOÇÃO DE CONJUN TO E CONJUNTOS NUMÉRICOS
~
1.
QUESTÕES DE VESTIBULAR
•
(UTFPR) Uma classe de quarenta alunos realizou a prova
de uma olimpíada contendo duas questões: uma de Matemática e outra de Física. Se 10 alunos acertaram as
duas questões, 25 acertaram a questão de Matemática e
20 acertaram a questão de Física, pode-se afirmar que o
número de alunos que erraram as duas questões foi de:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) Nenhum.
2.
(Uece) Se P = {1, 2, 5, 7, 8}, então o número de elementos do conjunto W = {(x, y) E p2 1x < y} é:
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
3.
eUFS-SE) Considere os conjuntos:
A = {x E IR 1 1 < x ~ 3 ou 4 ~ x ~ 6}
B = {x E IR 11 ~ x < 5 e x ~ 3}
C = {x E IR 1 2 < x ~ 4}
para analisar as afirmações que seguem.
O - O) B
7.
8.
9.
5
eu FPB) Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde
(Unitor-Cf) Considerando o universo das pessoas
responderam a uma pesquisa, sejam: V o conjunto
pessoas que têm mais de 20 anos, A o conjunto das
soas que têm automóveis e M o conjunto das pessoas
*'
que
das
pesque
(UFG-GO) Sejam os conjuntos A = {2n; n E g'} e B =
= {2n - 1; n E g'} Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar:
I) AnB=0
Está correto o que se afirma em:
a) I e li, apenas.
d) 111,apenas.
b) 11,apenas.
e) I, II e 111.
c) II e 111,apenas.
10.
(Unifor-CE)
Na figura abaixo tem-se
onde aparecem
têm motos. Admitindo que A C V, M C V e A n M
0, é
correto afirmar que:
a) Toda pessoa que não tem automóvel tem menos de
13+
destacados
I
V3+F2
I
I
I
I
~
Se a distância entre 13 então o número X é:
d) As pessoas que não têm automóveis não podem ter motos.
e) Algumas pessoas que têm menos de 20 anos podem
a) 513
-fi.
c) 513
o conjunto
de números
y
o maior elemento de M. Então, é correto afirmar que:
5
6.
4
3
4
a) x = e y = - .
11
7
c) x = - e y = -.
7
7
3
5
b) x = - e y = - .
7
9
5
5
d) x = e y = - .
11
9
(lTA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o
conjunto U = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
I) 0EUen(U)=10.
111)5EUe{5}CU.
11)0 C U e n(U) = 10.
IV) {O, 1,2, 5} n {5} = 5.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a) apenas I e 111.
d) apenas IV.
b) apenas II e IV.
c) apenas II e 111.
b) 513 -
racionais
M = {5
-, -,3 -,5 -4} . Sejam x o menor elemento de M
9 7 117
e
I
I
I
fi
e 13
-fi.
5
ter automóveis.
Considere
e) todas as afirmações.
J3 - J2, X e
I
I
I
I
I
t
x
ter automóveis.
(U FMG)
uma escala linear
os números
fi.
V3-F2
tu
20 anos.
b) Toda pessoa que não tem moto não tem mais de 20 anos ..
c) As pessoas que não têm mais de 20 anos não podem
5.
~x<y
+ Y = 9.
s:
-
verso IR, então - E A.
3
4.
d) x
11)A é o conjunto dos números pares.
III)B U A =
de A em relação ao uni-
complementar
~y~4.
b) x ~ 4.
com essa redução, o número de pessoas sem qualquer
um desses vícios passou a ser:
a) 102.
b) 104.
c) 106.
d) 108.
e) 110.
::> C
Aéo
~x=4ey=5.
de um município fez algumas observações de campo e
notou que dos 300 indivíduos analisados, 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios.
Após a campanha, o número de pessoas que apresentavam,
pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20%.
Com base nessas informações, é correto afirmar que,
1 - 1) A U B = [1,6]
2 - 23 A n C = ]2, 3]
3 - 3) B - C = {x E IR 11 ~ x ~ 2 ou 4 < x < 5}
4 - 4) Se
(PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {1, 4, 5}
e {x, y, 1} sejam iguais. Então, podemos afirmar que:
11.
5fi.
d) 13
+ fi é
e)
igual a 15 u,
513
-5fi
5
.
-5fi .
5
(U FCG-PB) A Universidade Federal de Campina Grande,
criada em 12 de abril de 2002, a partir do desmembramento da Universidade Federal da Paraíba, possui atualmente 12 000 estudantes em seus 45 cursos de graduação. Destes, 35% são do sexo feminino, 1 300 são do sexo
feminino e têm menos de 21 anos' e 28% têm menos de
21 anos. Uma empresa de consultaria realizará uma pesquisa, somente com estudantes do sexo masculino e com
idade superior ou igual a 21 anos, para saber a opinião
dos estudantes
mero de
('Dados
a) 7560
b) 4200
c) 5500
sobre o serviço militar obrigatório.
O nú-
estudantes participantes desta pesquisa será:
aproximados)
estudantes.
d) 3360 estudantes.
estudantes.
e) 5740 estudantes.
estudantes.